Laser hélium néon. Source spectrale lumière blanche

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1 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE ITRODUCTIO AUX ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE I Raels sur le modèle ondulatoire de la lumière ) Les idées de base du modèle ondulatoire de la lumière Le concet du train d ondes Les atomes d'une source lumineuse émettent des imulsions de radiation endant une durée extrêmement courte, formant un train d ondes Chaque train d'onde contient tyiquement quelques 4 oscillations La radiation émise ar un train d'ondes donné est quasi monochromatique, ossédant une amlitude et une hase initiale donnée, grandeurs qui varient aléatoirement d'un train d'onde à un autre Laser hélium néon ource sectrale lumière blanche 9 6 à s 6 9 ( qqs à osc ) à s 3 5 ( qqs à osc ) 4 s Lumière "naturelle" émise ar une source onctuelle ou étendue On admet le ostulat fondamental : La vibration lumineuse en un oint M à l instant t issue d un oint source eut s'écrire sous la forme scalaire : s ( M, t ) A ( M )cos t ( M ) ( t ), où l amlitude AM ( ) eut éventuellement déendre de M ( M ) rerésente le déhasage de la vibration en M ar raort à et al (t) est une fonction aléatoire du tems À cause de la résence de cette fonction al (t) aléatoire du tems, la source est dite temorellement incohérente On aelle tems de cohérence c d'une source la durée moyenne des trains d'onde en un oint donné ( c est de l'ordre de grandeur de ) On note c = c c la distance arcourue ar la lumière (dans le vide) endant c c est aelée longueur de cohérence temorelle Laser hélium néon ource sectrale lumière blanche c 3 cm à 3 m c 3 mm à 3 cm c 3 µm Un autre roblème vient de l'étendue satiale de la source: les trains d'onde rovenant de oints différents de la source n'ont as tous le même vecteur d'onde k On dit qu une source étendue résente un défaut de cohérence satiale ) Éléments de hotométrie visuelle Les ériodes temorelles des vibrations lumineuses sont tyiquement de l ordre de al 5 s Les détecteur les lus raides (hototransistors, hotodiodes, ) ont des tems de réonse de l ordre du / µs : les cateurs de lumière ne mesurent donc que la valeur moyenne du signal détecté, sur une durée T Il ne sert à rien de recueillir directement la vibration lumineuse, uisque cos t ( M ) tem Page / 7

2 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE Aucun détecteur de lumière n ayant un tems de réonse suffisamment raide our isoler une ou quelques oscillations lumineuses, tous les détecteurs de lumière sont quadratiques, sensibles ainsi à la uissance moyenne rayonnée ar l onde, elle même roortionnelle à s ( M, t ) tem On définit différentes grandeurs énergétiques selon qu'on s'intéresse : à la source de lumière : Le flux lumineux, exrimé en lumens (symbole lm), grandeur roortionnelle à la uissance énergétique moyenne totale transortée ar l'onde lumineuse La constante de roortionnalité corresond à l'efficacité lumineuse du rayonnement émis (en lmw - ) L'intensité lumineuse, définie ar I = d, où d est le flux lumineux émis dans un angle d solide d L'unité I d'intensité lumineuse est la candela (symbole cd) au réceteur : L'éclairement, noté E c, exrimé en usi en lux, défini comme le raort E c = d d, où d est le flux lumineux reçu sur l'aire d E Puissance C surface On retient que our une radiation monochromatique, le flux lumineux, l'intensité lumineuse et l'éclairement sont roortionnels à la uissance moyenne rayonnée, elle même roortionnelle à s ( M, t ) tem 3 ) Ondes à trois dimensions Théorème de Malus Duin Ondes rogressives shériques Dans un roblème à trois dimensions, our une symétrie shérique, on montre que les solutions de l équation des ondes s écrivent sous forme de suerosition d ondes rogressives dites shériques, dont la fonction t) cherchée ne déend que du tems et de la distance r = OM Les ondes rogressives shériques harmoniques s'écrivent : A ( r, t) cos( t kr) On arle d'onde divergente à artir du oint O si la r hase est en t - kr et convergente vers O our une hase en t + kr, où k est le module d onde urfaces d'onde On aelle surface d'onde associée à une onde (M,t) le lieu des oints M tels que (M,t) = Cste à t donné Ainsi, ar exemle, our l'onde shérique récédente, les surfaces d'onde sont des shères de centre O Le modèle de l'onde rogressive lane L onde rogressive lane est la limite d une onde rogressive shérique lorsque la source est infiniment loin Page / 7

3 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE Une onde rogressive lane harmonique s écrit sous la forme : ( r, t) Acos( t k r ), où k est le vecteur d'onde, de module k k Les surfaces d'onde sont des lans erendiculaires à la direction définie ar k Relation entre hase et chemin otique Pour une onde shérique, le terme en kr s'écrit aussi : k r L, où rerésente la longueur d'onde dans le vide O M Pour une onde lane, la différence de hase à un instant t donné entre deux oints O et M s'écrit : (M) - (O) = k OM, soit encore : ( M ) ( O) L O M Généralisation : les surfaces d'onde, ou surfaces équihases, sont aussi le lieu des oints M tels que L O M = Cste Théorème de Malus-Duin (admis) : Dans tout milieu, homogène ou non, et arès un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions, les rayons lumineux sont erendiculaires aux surfaces d'onde IIGénéralités sur le hénomène d interférences à deux ondes Définition : Le hénomène d'interférences consiste en une modulation satiale de l énergie venant de la suerosition dans une région de l'esace (aelé cham d'interférences) d'au moins deux ondes, ayant arcouru des chemins différents (ie résentant entre elles au oint M un déhasage, ou différence de marche ou différence de chemin otique) Les lieux des oints d iso-énergie forment des franges d'interférences dont la forme déendra des conditions d'observation et de suerosition des ondes Cherchons à établir les conditions nécessaires à l observations de franges d interférences ) Intensité résultant de la suerosition de OPPH a) Le concet d ondes mutuellement cohérentes oit deux vibrations lumineuses scalaires, qui se suerosent en un oint M s( M, t) acos t ( M, t) On écrit, toujours ossible en choisissant convenablement s ( M, t) a cos t ( M, t) l'origine des dates, mais à condition de comter les déhasages ar raort à une même origine des hases et bien sûr la même origine our les deux vibrations La vibration résultante en M à l'instant t est s( M, t) s( M, t) s( M, t ) L'intensité en M vaut, à une constante de roortionnalité rès On obtient : I( M) s I( M) I I II cos[( ) t ( )] cos[( ) t ( )] tem Page 3 / 7

4 Définition: ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE Les deux vibrations n'interfèrent as entre elles (I(M) = I + I ) quand : (ou ) : on dit que les deux vibrations ne sont as synchrones = mais les vibrations sont issues de deux sources de lumière indéendantes du fait des termes aléatoires contenus dans (M,t) et (M,t) les vibrations rovenant d une seule source de lumière sont issues de deux trains d onde différents (résence de termes de hases aléatoires) Deux sources et émettant deux vibrations s (M,t) et s (M,t) sont dites mutuellement cohérentes si (M,t) - (M,t) ne déend as exlicitement du tems (et en articulier, ne fait as aaraître une fonction aléatoire du tems) Deux sources mutuellement cohérentes sont forcément synchrones! Ce critère de cohérence mutuelle est une condition nécessaire (mais non suffisante nous le verrons ar la suite) our que I( M) I I L'intensité entre deux OPPH mutuellement cohérentes se suerosant en un oint M s'écrit alors I( M) I I II cos[ ( M) ( M )] (formule de Fresnel) C'est le 3 ème terme qui rend comte du hénomène d'interférences b) Rerésentation des vibrations lumineuses ar les images comlexes On eut substituer aux vibrations réelles leur rerésentation comlexe, en notant : s( M, t) Aex[ j( t ( M ))], à condition de n'oérer cette transformation que lors d'oérations linéaires (suerosition des amlitudes en ratique) L intensité d un signal lumineux est défini comme I(M) = < s > tem Par exemle, our s a cos t, on a : Posons ainsi a I Or on a : s a On en déduit : L'intensité en M s écrit IM) s s * (facteur sans imortance) s ( M, t) a ex j t ( M, t) s ( M, t) a ex j t ( M, t), our deux ondes mutuellement cohérentes La vibration résultante s écrit : s( M, t) ex j t a ex j ( M) a ex j ( M ) Comme on ne s intéresse qu au module de s (en fait s ), il est ossible de multilier s ar un comlexe de module unité, ermettant de ramener toute la hase sur un seul des deux signaux On écrit ainsi : s( M, t) ex j t ( M) a a ex j, où ( M) ( M ) rerésente le déhasage du signal ar raort au signal L intensité s écrit alors : I( M) s s * soit I( M) a a ex j a a ex j a a qui donne : I( M) a a aa ex j ex j aa cos( ) On retrouve l exression déjà établie I( M) I I II cos Page 4 / 7

5 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE c) Origine géométrique et ondulatoire des déhasages Le déhasage d un signal lumineux donné en un oint M vient de deux hénomènes : Un déhasage «géométrique» dû au trajet arcouru ar la lumière entre la source et M : géom M/ vide L, soit / M géom M km kom our une onde shérique, avec our une onde lane k milieu Un déhasage sulémentaire d origine ondulatoire, trouvant son exlication dans le cadre de la roagation des ondes électromagnétiques dans les milieux matériels ond, dans le cas d une réflexion métallique (réflexion sur un métal) ou vitreuse (réflexion sur un milieu lus réfringent, c est à dire d indice lus élevé) ) Franges d'interférences ; visibilité On aelle frange d'interférences le lieu des oints M ayant une intensité donnée On arlera de frange brillante (ou claire) si I(M) est maximale et de frange noire (ou sombre) si I(M) est minimale Imax Imin On aelle facteur de visibilité, (ou contraste) des franges V I I max min Par construction du facteur de visibilité, on a toujours V uosons que I mi, m réel ositif On montre que V m, et que V est maximal our m = m La meilleure visibilité est obtenue our I I Alors l'intensité varie entre Imin I Imax 4I Dans le cas où I =I, l intensité s'écrit I( M) I cos[ ( M )] Réartition d intensité our différentes valeurs de V (; 8; 6; 4; ) V = V = 8 V = 6 V = 4 V = On retient comme critère visuel de bon contraste : V min =,5 à,6 3 ) Différence de marche, ordre d'interférences, interfrange ur une frange d'interférence donnée (nature quelconque), I(M) = Cste, donc: (M) = Cste Au déhasage, on associe le réel, aelé ordre d'interférence en M, tel que ( M) M ( ) ur une frange brillante, est entier et sur une frange noire, est demientier Entre deux franges consécutives de même nature, = Page 5 / 7

6 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE Ce déhasage eut s écrire en fonction de la différence de marche en M (différence des chemins otiques calculés le long des rayons interférant au oint M) selon la relation: ( M) ( M ), où est la longueur d'onde dans le vide de la radiation utilisée On aelle interfrange, noté i, la distance sur l'écran d'observation entre deux franges consécutives de même nature Pour un délacement satial d'une interfrange, a varié de de et de On retient les équivalences fondamentales Résumé : La réalisation d interférences lumineuses entre deux OPPH suose que les deux ondes : soient mutuellement cohérentes, donc issues d une même source lumineuse dite source rimaire, se recouvrent au oint M d observation dans une certaine région de l esace, aelée cham d interférences, 3 soient issues d un même train d ondes, donc que ( M ) c, 4 aient des amlitudes égales ou du moins du même ordre de grandeur our avoir une bonne visibilité des franges L intensité résultante s écrit en M I( M) I I V cos ( M), où est la longueur d'onde dans le vide (ou l'air) de la radiation émise et V le facteur de visibilité III Interférences entre ondes mutuellement cohérentes ) Position du roblème On considère la suerosition de ondes quasi-monochromatiques cohérentes entre elles, de même amlitude a dont la vibration lumineuse de la ième onde est de la forme : a ( M ) a ex[ j ( t ( ) ( M ))] A ( M )ex( j t ) où ( M ) est un déhasage déendant de la osition du oint M mais indéendant de Cela revient à rendre des ondes déhasées l une ar raort à la suivante de la même quantité ( M ) ) Interrétation grahique avec un diagramme de Fresnel La suerosition des ondes trouve une interrétation simle en utilisant le diagramme de Fres- j nel (rerésentation d un comlexe z z e ar un vecteur OA dans le lan de norme OA z et faisant un angle avec l axe horizontal choisi ar convention comme origine des hases) On obtiendra des interférences constructives lorsque tous les vecteurs sont colinéaires, c est-à-dire lorsque, entier OM symbolisant A P ( ) Au contraire, on obtiendra des interférences destructives, conduisant à une intensité totale nulle lorsque q /, q entier, q, q non entier ( min our avoir I ( ) ) Page 6 / 7

7 ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE I tot ondes de même amlitude en hase entre elles I tot = ondes de même amlitude déhasées de On retient que la demi-largeur angulaire des franges brillantes est des franges d autant lus fines que grand devant, donc 3 ) Comlément HP : exression de l intensité résultante j ( ) L amlitude comlexe de la vibration résultante s écrit : A ( M) A ( M) a e tot On reconnaît la somme des remiers termes d une suite géométrique de raison j e Atot( M) a a e j j j j e e e j j j e e e j e, d où : En utilisant les formules d Euler, on eut réécrire l exression récédente sous la forme : ( ) sin j A ( ) tot ae sin L intensité résultante, est à un facteur de roortionnalité rès I( ) K A tot( ), soit : sin I( ) a sin La fonction I ( ) est une fonction aire, ériodique en I( ) s'annule our q, avec q entier, q et q/ non entier Pour avec entier, I( ) est indéterminée Étant donnée la ériodicité de la fonction réseau, on lève cette indétermination en examinant le comortement de I( ) au voisinage de = Ainsi lim I ( ) a Entre deux minima nuls on obtient des maxima secondaires (ou des maxima rinciaux deux fois lus larges our avec entier) Une discussion grahique de di( ) / d ermet de montrer que ces maxima secondaires sont très eu marqués : Ainsi seuls sont visibles les maxima rinciaux, tels que, entier Page 7 / 7