Table des matières. Inteférences non localisées de deux ondes totalement cohérentes. S.Boukaddid Optique MP2

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1 .Boukai Optique P Inteférenes non loalisées e eux ones totalement ohérentes Table es matières 1 Interférene entre eux ones lumineuses 1.1 éfinition uperposition e eux ones lumineuses Conitions interférene ispositifs interférentiels ispositif interférentiel par ivision u front one ispositif interférentiel par ivision amplitue Figure interférene éfinitions Orre interférene Contraste u figure interférene ou fateur e visibilité Observation longituinale u figure interférene Observation transversale u figure interférene Appliations 10.1 Trous e Young iroirs e Fresnel / 1

2 .Boukai Optique P 1 Interférene entre eux ones lumineuses 1.1 éfinition éfinition : On it qu il y a interférene entre eux ones,si l intensité lumineuse résultante en un point est ifférente e la somme es intensités e haque one. I I 1 + I la éfinition se généralisent à N ones : il y a interférene si I I 1 + I +...I N on se plae ans le are e l approximation salaire e la lumière 1. uperposition e eux ones lumineuses Consiérons eux soures pontuelles monohromatiques émettant respetivement eux ones lumineuses e pulsation ω 1 et ω 1 au niveau es soures les vibrations lumineuses s érivent 1 1, t) = a 10 osω 1 t ϕ 1 ), t) = a 0 osω t ϕ ) au point les vibrations lumineuses s érivent 1, t) = 1 1, t ) 1) = a 10 os ω 1 t ) ) 1) ϕ 1, t) =, t ) ) = a 0 os ω t ) ) ) ϕ en notation omplexe 1, t) = a 10 exp j ω 1 t ) ) 1) ϕ 1, t) = a 0 exp j ω t ) ) ) ϕ l one lumineuse résultante, t) = 1, t)+, t) = a 10 exp j ω 1 t ) ) 1) ϕ 1 +a 0 exp j ω t ) ) ) ϕ, t) = a 10 exp j ) ω 1 t φ 1 + a0 exp j ) ω t φ φ 1 = ω 1 1) + ϕ 1 φ = ω ) + ϕ l intensité lumineuse I, t) = k <, t) > t = k <, t)., t) ) > t = k a 10 + a0 + a 10.a 0 < exp j [ ω ω 1 )t φ φ 1 ) ] + a 10.a 0 exp j [ ω ω 1 )t φ φ 1 ) ] ) > t / 1

3 .Boukai Optique P I 1 = k < 1, t) >= k a 10 I = k <, t) >= k a 0 I, t) = I 1 + I + I 1 I < os ω ω 1 )t φ φ 1 ) ) > t 1.3 Conitions interférene ynhronisation es ones < os ω ω 1 )t φ φ 1 ) ) > t = 0 si ω ω 1 si ω ω 1 alors I, t) = I 1, t) + I, t) : pas interférene si les eux ones ne sont pas synhrones ω ω 1 ),elles ne peuvent plus interférer pour eux ones synhrones on peut érire I, t) = I 1 + I + I 1 I < osφ, t)) > t φ, t) = φ φ 1 = π λ 0 ) 1 )) + ϕ ϕ 1 = π λ 0 δ) + ϕ ϕ 1 δ) = ) 1 ) δ) : ifférene e marhe au point es ones issues e 1 et Cohérene mutuelle es eux soures éfinition : eux soures 1 et émettant eux vibrations 1, t) et, t) sont ites mutuellement ohérentes si la ifférene es éphasages au niveau es soures ϕ ϕ 1 )est inépenant u temps en un point,elles sont forément synhrones. si ϕ = ϕ ϕ 1 est une fontion aléatoire u temps on < osφ, t) >= 0 : pas interférene si les eux soures sont physiquement ifférentes les atomes onstituant la soure 1 sont ifférents e eux onstituant ),alors les trains ones suessifs émis par haune es eux soures sont éphasés e manière aléatoire,on ne peuvent plus interférer les rayons lumineux provenant une seule soure lumineuse,et qui sont issues e eux trains ones ifférents présentent un éphasage aléatoire on ne peuvent plus interférer Pour réaliser le phénomène interférene,il est néessaire avoir eux soures 1 et pontuelles obtenues par éoublemnt une soure pontuelle primaire à l aie un système aéquat appelé ispositif interférentiel. Reouvrement es trains one à t 1 : la soure émet un train one qui se ivise en eux trains,haun es eux trains suit un hemin ifférent à t 3 : le train one 1) arrive au point t 1 1 t t 3 à t 4 : le train one ) arrive au point t = t 4 t 3 τ : la urré u train one 3 / 1

4 .Boukai Optique P si τ t : il y a reouvrement es eux trains one on il y a interférene si τ < t : pas e reouvrement es eux trains one on pas interférene Temps e ohérene τ : On appelle temps e oherene τ une soure la urée moyenne es trains one en un point onné,il est e l orre e graneur e τ Longueur e ohérene temporelle l : On appelle longueur e oherene temporelle l une soure la istane parourue par la lumière ans le vie) penant τ l = τ. la ifférene e marhe es hemins optiques) es eux trajets : δ =. t la longueur e ohérene temporelle : l = τ. Conlusion : Il y a reouvrement es eux trains ones en un point si δ l Orre e graneur e l Laser hélium-néon He-Ne) oure spetrale Hg Lumière blanhe l = 30m l = 3mm l = 3µm Conlusion : La réalisation interférenes lumineuses à eux ones lumineuses suppose que les eux ones : soient synhrones : ω 1 = ω soient mutuellement ohérentes : ϕ ϕ 1 = te soient issues um même train one et se reouvrent en un point : δ l ans es onitions l intensité lumineuse s érit : I) = I 1 + I + I 1 I osφ)) = I 1 + I + I 1 I os 1.4 ispositifs interférentiels ispositif interférentiel par ivision u front one ) π δ) λ 0 éfinition : ans e ispositif l one émise par la soure est séparée géométriquement en eux ou plusieurs) parties,qui suivent ensuite es trajets ifférents pour arriver en un point où on observe le phénomène interférene. 1 ystème 1 1 ystème 1 4 / 1

5 .Boukai Optique P Exemples Trous e Young iroirs e Fresnel Biprisme e Fresnel Champ interférene : On appelle hamp interférene,la zone e l espae ou les faiseaux issus u système optique 1) et u système optique ) se oupent ispositif interférentiel par ivision amplitue éfinition : ans e ispositif,un même rayon issu une soure est séparé en eux parties ivision énergétique),par exemple grae à l utilisation une lame semi-réfléhissante. ystème Optique Exemple : Interférométre e ihelson 1.5 Figure interférene éfinitions urfae égale intensité : est l ensemble es points e l espae pour lequel : I) = te I) = te δ) = te 1 = te les surfaes égales intensités sont es hyperboloïes e foyers 1 et et e révolution 1 I 1 I I / 1

6 .Boukai Optique P Franges interférene : On appelle franges interférene,les lignes intersetion es surfaes égales intensités et un éran plan. si l éran est perpeniulaire à 1 vision transversale) : les franges sont es anneaux si l éran est parallèle à 1 vision longituinale) : les franges sont es ars hyperboles,pratiquement retilignes au voisinage u plan bisseteur e Orre interférene éfinition : On appelle orre interférene p) la quantité p) = φ) π = δ) λ 0 I = I 1 + I + I 1 I )osπp)) Franges brillantes : les lignes intensité maximale : I = I max I max = I 1 + I + I 1 I = I 1 + I ) osπp)) = 1 πp) = πn ave n N franges brillantes : p) = n Franges sombres : les lignes intensité minimale : I = I min I min = I 1 + I I 1 I = I 1 I ) osπp)) = n + 1)π Frange entrale : orrespon à δ) = 0 franges sombres : p) = n Contraste u figure interférene ou fateur e visibilité éfinition : On appelle ontraste une figure interférene C ou fateur e visibilité) la quantité suivante C = I max I min I max + I min le ontraste est toujours ompris entre 0 et 1 pour avoir un meilleur ontraste il faut : C = C max = 1 I min = 0 I 1 = I Conlusion : Pour obtenir es figures interférenes bien ontrastés,il faut faire interférer eux rayons e même intensité Observation longituinale u figure interférene On plae l éran parallèle à l axe 1 a : la istane qui sépare les eux soures : la istane entre les soures et l éran 6 / 1

7 .Boukai Optique P y x Y X 1 Y a/ O a/ O X z Calul e la ifférene e marhe ans le système Ox yz) on a : 1 a,0,0 ) et a,0,0 ) δ) = ) 1 ) = 1 = on δ) = ans le système e ooronnées O XYZ) :X,Y,0), 1 a,0, ), a,0, ) 1 = X a = X + a en posant X = x ) + Y + ) + Y + δ) = ax les franges orresponent à δ = te x = te : les franges interférene sont es roites parallèles à Oy l orre interférene : p) = δ) λ franges brillantes F.B) : ax p λ = p ) λ x p = p a franges sombres F.) : ax p λ = p + 1 ) x p = λ a p + 1 Interfrange éfinition : On appelle interfrange i ),la istane entre eux franges suessives e même nature i = x p+1 x p = λ a interfrange : i = λ a 7 / 1

8 .Boukai Optique P Observation transversale u figure interférene on plae l éran parallèle à l axe 1 a = 1 = OO : la istane séparant entre entre O et l éran x x O 1 O z 1 0,0, + a ); 0,0, a 1 = x + y + a ) = x + y + + a ) δ) = y ); x, y,0 ) 1 = a [ x + y + + a ) ] [1 + x + y [ x + y + a ) ] [1 + x + y a δ) = [1 + x + y ] 1/ a 1 x + y y ] 1/ ] 1/ δ) = a 1 x + y ) Remarque : On retrouve la même résultat si le point est à l infini ) H α z O 1 8 / 1

9 .Boukai Optique P δ) = ) 1 ) = H) + H) 1 H) théorème e alus : H) = 1 ) on δ) = H) = H α << 1r a on osα = 1 α ) δ) = a osα = a 1 α α tan α = x + y Nature es franges δ) = a 1 x + y ) x franges orresponent à δ) = te x + y = te : les franges sont es anneaux onentriques e entre O ) y Orre interférene p) = δ) λ 0 = a λ 0 1 x + y ) au entre x = y = 0 on x + y = 0 p 0 = a λ 0 on l orre interférene p) = p 0 1 x + y l orre interférene est maximal au entre Rayon R p e l anneau e l orre p R p = x + y ) p) p 0 = 1 R p R p = 1 p) ) p 0 ifférene e eux rayons e eux anneaux suessives e même nature R p 1 R p = 1 p 1 ) ) 1 pp0 = ) 1 p 1 1 pp0 p 0 p 0 9 / 1

10 .Boukai Optique P R p 1 R p ) p R p 1 R p ) p = p pp0 1 1 p 1 p 0 0 : lorsque p iminue R p 1 R p ) iminue aussi R p 1 R p n est plus onstante,on on peut plus parler e l interfrange Conlusion : Les anneaux se resserent lorsqu on s éloigne u entre Appliations.1 Trous e Young : la istane entre l axe es soures 1 et et l éran : istane entre la soure primaire et l axe es soures 1 x : l absisse e la soure x x x 1 y y O z ifférene e marhe δ) δ) = ) 1 ) δ) = ) + ) 1 ) 1 ) = 1 ) + 1 ) 1 = ax 1 = ax δ) = ax + ax Remarque : ans le as partiulier ou la soure est située sur l axe Oz : = 1 on δ) = ax 10 / 1

11 .Boukai Optique P les franges : δ) = te x = te les franges sont es roites parallèles à Oy la frange entrale : δ) = 0 x f = x ans le as partiulier ou la soure est situé sur l axe OZ : x f = 0 Conlusion : lorsqu on éplae la soure ave une istane x en haut perpeniulaire à l axe Oz),la frange entrale se éplae en bas sens ontraire) ave une istane x = x l orre interférene p) = δ) λ = 1 ax λ + ax ) les franges brillantes : p = 1 ax λ + ax ) p ) λ x p = p x a les franges sombres : p + 1 = 1 ax λ + ax ) x p = λ a p + 1 ) x interfrange : i = x p+1) x p = λ a i = λ a. iroirs e Fresnel hamp interférene α 1 1 α 1 1 I J O les eux miroirs arrêt ommun font entre eux un angle α << 1r a : la istane entre l arrêt es miroirs et l éran : istane entre l axe es soures 1 et l arrêt es miroirs a = 1 et x : l absisse u point δ) = J) I) = J + J + λ ) I + I + λ ) I = 1 I et J = J 11 / 1

12 .Boukai Optique P δ) = 1 = ax + on montre failement que a α δ) = αx + les franges : δ) = te x = te : roites parallèles à Oy l orre interférene : p) = δ) λ = α.x λ + ) δp = 1 1 = α.i λ + ) i = λ 1 + ) α 1 / 1