Boucle à verrouillage de phase

Transcription

1 Chaitre 2 Boucle à verrouillage de hase Introduction La boucle à verrouillage de hase, que l on désignera ar la suite ar l acronyme anglais PLL (Phase Locked Loo), est un disositif largement utilisé dans l électronique : génération de signaux, télécommunication (modulation et démodulation de signaux, récuération de orteuse). Initialement faites à l aide de comosants discrets et our des alications urement analogiques, les PLLs sont de lus en lus réalisées en artie ou entièrement à l aide de comosants numériques (our des alications numériques). Tout comme le filtrage, il existe de nombreux logiciels ermettant de synthétiser des PLLs ayant les caractéristiques voulues et de les imlémenter directement in-situ. Qu elle soit numérique ou analogique, le rincie de fonctionnement d une PLL reste le même; ceendant, ar soucis de simlicité, on s attachera lus articulièrement aux PLLs analogiques, qui ermettent en outre un déveloement relativement raide et nécessitant moins de matériel en laboratoire. 2.1 Présentation générale But du disositif Le but d une PLL est de réaliser un asservissement de la hase d un signal. Etant un asservissement de hase, ce disositif ermet donc d asservir la fréquence. On eut donc raisoner soit en hase, soit en fréquence, selon l alication concernée. L intérêt de ces disositifs est d obtenir un signal (fréquence ou hase) stable, ossèdant une erreur statique de l asservissement réalisé la lus faible ossible. On distingue trois grands tyes de PLL : Les PLLs linéaires, qui fonctionnent avec des comosants analogiques Les PLLs numériques dont le comarateur de hase est réalisé à l aide de circuits intégrés numériques, mais dont les autres comosants sont analogiques et externes (oscillateur, filtre, correcteur) Les PLLs tout numérique, dont tous les comosants sont numériques 19

2 Remarque : dans le cas d un créneau, on désignera ar le terme de hase la hase du fondamental d un tel signal. Notations. Considérons le fondamental s 1 d un signal s : s 1 (t) = S cos(φ(t)). On aelera : Φ(t) = Φ 0 + ϕ(t) : hase instantanée, comosée d une artie constante Φ 0 et d une artie variable ϕ(t) ω(t) = dφ(t) dt = dϕ(t) dt : ulsation instantanée f(t) = 1 ω(t) = 1 dφ(t) : fréquence instantanée 2π 2π dt Dans le cas d un signal sinusoïdal : s(t) = S cos(φ 0 + ωt) : la ulsation instantanée ω(t) (res. la fréquence instantanée f(t)) du signal corresond à la ulsation ω (res. la fréquence f) du signal. Les grandeurs statiques seront reérées ar l indice Structure globale u E (t) (comarateur de hases) (correcteur, facultatif) CP PB C d(t) u d (t) (asse bas) u c (t) u R (t) VCO (oscillateur commandé en tension) Fig. 2.1 Structure globale d une PLL. CP désigne le comarateur de hase, C un correcteur otionnel, VCO : Voltage Controlled Oscillator, oscillateur commandé en tension (OCT). La figure 2.1 rerésente l allure générale d une PLL. La tension d entrée est u E (dont la hase ou la fréquence rerésentera la consigne de l asservissement), la tension de sortie est u C ou u R selon l alication. Une PLL est constituée, sous sa forme la lus générale de 3 blocs : un comarateur de hase (CP), qui fournit une tension de sortie d faisant aaraitre la différence des hases d entrée. un filtre asse-bas. Le rôle de ce filtre est d éliminer les fréquences élevées et de ne laisser asser que la tension liée à la différence des hases. Ce filtre orte le nom de filtre de boucle. 20

3 un correcteur, qui ermet de modifier les aramètres dynamique de l asservissement. Les corrections des PLLs ne seront as étudiées dans ce olycoié. Par la suite, nous considèrerons donc que u d (t) = u c (t). Bien que cette figure ne le montre as, il s agit bien d un asservissement; il n est donc as utile de revenir sur l intérêt des corrections des asservissments dans les systèmes bouclés. un oscillateur commandé en tension (OCT), que l on désignera ar la suite ar l acronyme anglais VCO (Voltage Controlled Oscillator). Le but d un tel comosant est d obtenir des variations de la ulsation du signal de sortie u R linéaires 1 ar raort à la tension d entrée. Si l asservissement de hase est bien réalisé, les deux hases (entrée et sortie) seront donc identiques, éventuellement à une constante additive rès due à une olarisation comme nous le verrons lus loin : la hase de sortie reroduit alors bien la hase d entrée. De même, si l asservissement de fréquence est bien réalisé, les deux fréquences seront identiques : la fréquence de sortie reroduira bien la fréquence d entrée. On comrend ainsi qu un tel disositif va ermettre ar exemle de se caler sur une fréquence articulière du signal d entrée, et de récuérer un signal à cette fréquence en sortie du VCO armi un sectre d entrée riche en fréquence, réalisant en quelque sorte une fonction de filtrage 2 très récise et ayant les mêmes caractéristiques de stabilité en fréquence que signal d entrée. Remarque : sur la figure 2.1, on ne voit as directement la structure d un asservissement. Il s agit d un schéma de rincie et non d un schéma bloc corresondant à une étude dynamique sen transformées de Lalace Oscillateur commandé en tension u C (t) VCO u R (t) (oscillateur commandé en tension) Fig. 2.2 Notations our l étude d un VCO. Le but d un oscillateur commandé en tension est de fournir un signal sinusoïdal dont la fréquence f R varie (idéalement) linéairement avec la tension d entrée u C : f R = f R0 + K V CO u C. Le coefficient K V CO est une constante qui caractérise le VCO (en Hz.V 1 ). Dans la ratique, la fréquence de sortie ne déend linéairement de 1 idéalement 2 Le terme de filtrage emloyé ici est un eu abusif, en tout cas au sens de filtrage vu jusqu à résent en cours. La PLL retourne un signal à une fréquence donnée, ce que ferait un filtre assebande idéal dont la fonction de transfert ressemblerait à un ic de Dirac. Mais une PLL est lus qu un simle filtre asse-bande : la fréquence eut varier dans une lage de fréquence donnée. Enfin, même s il n y a as de signal en entrée, la PLL fournit un signal en sortie, ce qui n est as le cas dans un filtre classique 21

4 la tension d entrée que sur une lage restreinte autour d une fréquence de sortie centrale f 0, comme c est rerésenté ar exemle sur la figure 2.3(a). Afin de simlifier les notations, on suosera ar la suite que la relation fréquence-tension s écrit : f R = f 0 + K V CO u C (cf figure 2.3(b)). On ourra toujours se ramener à une telle exression en rajoutant un offset sur la tension d entrée. Voici quelques exemles de f R f R f R Max f R Max f 0 f 0 u C f R Min f R Min u C f R0 (a) (b) Fig. 2.3 Caractéristique d un VCO. (a) : allure d une caractéristique; (b) : zone linéaire centrée en tension. réalisation de VCO : 1. utilisation d une diode varica. On remlace un condensateur d un oscillateur LC ar une diode varica (ou varactor), qui est un comosant résentant une caacité qui varie en fonction de la tension à ses bornes. La caacité variant en fonction de la tension, il en résulte que la fréquence d oscillation du circuit LC (qui vaut 1/2π LC) varie en fonction de la tension. 2. utilisation d un oscillateur à relaxation, dans lequel on remlace une tension d offset ar la tension d entrée du VCO Plages de verrouillage et de cature Soient f E la fréquence du signal d entrée (u E ) et f R la fréquence du signal en sortie du VCO (u R ). Alors : Si f R f E : l asservissement n est as réalisé. On dit que la boucle est déverrouillée. La boucle oscille à une fréquence libre, qui déend de la technologie du VCO. Si f R = f E : l asservissement est réalisé. On dit que la boucle est verrouillée. On distingue deux lages de fréquences : la lage de cature [f c min ; f c max ]. On suose la boucle initialement non verrouillée (f E f R ). La lage de cature corresond aux fréquences our lesquelles la boucle se verrouille. la lage de verrouillage [f v min ; f v max ]. On suose la boucle initialement verrouillée. La lage de verrouillage corresond aux fréquences our laquelle la boucle reste verrouillée. 22

5 On eut montrer que la lage de cature est incluse dans la age de verrouillage, comme le rerésente la figure 2.4. Ainsi, suosons que la fréquence du signal d entrée Plage de verrouillage Plage de cature f f v min f c min f c max f v max Fig. 2.4 Plages de verrouillage et de cature f E soit initialement lus etite que f v min, la boucle étant alors déverrouillée. Voici ce qui se asse concernant la boucle si l on augmente continument la fréquence f E : f E f v min : la boucle reste déverrouillée. La fréquence (de sortie) de la boucle est la fréquence d oscillation libre du VCO : f R = f 0 f E. f E [f v min ; f c min ] : la boucle reste déverrouillée. La fréquence de la boucle est f R = f 0 f E. f E [f c min ; f c max ] : la boucle se verrouille en f = f c min, uisqu on atteind la lage de cature, uis reste verrouillée. La fréquence de la boucle suit la fréquence d entrée : f R = f E. f E [f c max ; f v max ] : la boucle reste verrouillée, uisqu elle était verrouillée dans l état récédent, et que l on reste dans la lage de verrouillage. On a toujours : f R = f E. f E f v max : la boucle se déverrouille. On retrouve alors la fréquence d oscillation libre en sortie du VCO : f R = f 0 f E. Une étude analogue eut être effectuée si initialement f E > f R. 2.2 Etude de quelques comarateurs de hase La comaraison des hases s effectue à l aide d un comarateur de hase et nécessite un filtre asse bas, aelé filtre de boucle, qui a our rôle d éliminer les fréquences hautes et de ne conserver que les fréquences basses issues de la différence des hases. Nous verrons sur les exemles des comarateurs le rôle de ce filtre Filtre de boucle Dans la ratique, les filtres de boucle sont d ordre 1 (éventuellement 2), mais très rarement d ordre lus élevé. Nous verrons ultérieurement que l asservissement qu est la PLL est un système bouclé d ordre égal à l ordre du filtre +1. Un ordre élevé du filtre engendrera un ordre élevé du système, risquant ainsi de le rendre instable. Il est donc référable de diminuer l ordre du filtre afin d assurer la stabilité du système. 23

6 u E d u d X K u R Fig. 2.5 Schéma bloc d un comarateur de hase utilisant un multilieur Multilieur analogique Le comarateur de hase analogique le lus simle est constitué d un multilieur (de gain K) et d un filtre asse-bas, comme le montre la figure 2.5. Ce comarateur de hase va nous ermettre de comrendre le verrouillage de la boucle. Nous ne raisonnerons que sur des signaux sinusoïdaux. La généralisation avec des signaux quelconques ériodiques se fera facilement à condition de raisonner sur la série de Fourier. Posons : u E (t) = U E cos (Φ E (t)) u R (t) = U R cos (Φ R (t)) Avec : Φ E (t) = Φ E0 + ϕ E (t) = Φ E0 + 2πf E t Φ R (t) = Φ R0 + ϕ R (t) = Φ R0 + 2πf R t f 3dB désignera la fréquence de couure du filtre asse-bas, et G 0 son gain statique. On suosera que les fréquences des signaux étudiés (f E et f R ) sont grandes devant cette fréquence de couure : f E, f R f 3dB. Si u E (t) = 0 (absence de signal en entrée) : d(t) = 0 = u d (t). Le VCO oscille donc à sa fréquence libre f 0 (la boucle est déverrouillée). Si u E (t) 0 : d(t) = KU E U R cos (2πf E t + Φ E0 ) cos (2πf R t + Φ R0 ) = KU EU R 2 cos (2π(f E + f R )t + Φ E0 + Φ R0 ) + } {{ } u dh 24

7 + cos(2π(f E f R )t + Φ E0 Φ R0 ) } {{ } u dl Le terme u dh a une fréquence f E + f R grande devant la fréquence de couure du filtre de boucle : il sera donc filtré, et devient négligeable. La fréquence du terme u dl est en revanche lus faible que la récédente. Deux cas de figures existent : Si f E est très différente 3 de f R. Suosons 4 ar exemle que f E f R (figure 2.6(a)). La fréquence f E f R est alors suérieure à la fréquence de couure du filtre ( f E f R f E f 3dB ) : ce terme est filtré, et la sortie du filtre est nulle. L asservissement ne eut as être réalisé : la boucle est déverrouillée. Suosons maintenant que f E et f R soient roches l une de l autre, avec ar exemle f E f R (figure 2.6(b)). La différence des fréquences devient alors très faible : f E f R f R f 3dB : ce terme n est donc lus filtré et u d = d 0. La fréquence du VCO va ensuite évoluer en fonction de cette valeur moyenne, c est à dire en fonction du déhasage Φ E (t) Φ R (t). L asservissement va être réalisé : la boucle se verrouille. (a) f f -3dB f R f E - f R f R + f E f E (b) f f E - f R f -3dB f R f E f R + f E Fig. 2.6 Réartition des fréquences dans le cas où f E > f R ; cas (a) : f E f R ; cas (b) : f E f R. On a alors la relation suivante our le comarateur de hase utilisant un multilieur (cf figure 2.7) : d(t) = KU EU R 2 cos Φ E (t) Φ R (t) (2.1) } {{ } Φ(t) 3 en ce qui concerne la fréquence f R, soit la boucle est verrouillée et la fréquence est voisine de la fréquence libre f 0, soit elle est déverrouillée et la fréquence vaut f 0. Dans tous les cas, l ordre de grandeur de f R est f 0 4 un raisonnement analogue eut être fait si f E f R et aboutit à la même conclusion. 25

8 u d (t) - π / 2 π / 2 Φ E (t) - Φ R (t) Fig. 2.7 Caractéristique du comarateur de hase à multilieur La caractéristique ainsi trouvée est non-linéaire : il s agit donc d un asservissement non-linéaire. Ceendant, deux zones de cette caractéristique euvent être considérées comme linéaires aux voisinages de ±π/2. On eut en effet linéariser la courbe (effectuer un déveloement limité du cosinus autour des ces deux oints et assimiler la tangente à la courbe). Deux oints de reos sont donc à riori ossibles our utiliser ce tye de détecteur de hase en régime linéaire; on montrera analytiquement en TD, avec des hyothèse restreintes, que seul le oint π/2 est un oint de fonctionnement stable. Une démonstration rigoureuse et lus générale reose sur l étude de cet asservissement non-linéaire dans le lan de hase, déassant le cadre de ce cours. Une aroche qualitative ermet ceendant de comrendre ourquoi seul le oint de fonctionnement π/2 est stable. Raelons qu un oint de reos d un système hysique est stable si, lorsqu on écarte le système de sa osition d équilibre (ie du oint de reos), il a tendance à y revenir. Il est instable si le système s en éloigne. Suosons que nous soyons au oint de olarisation π/2. La boucle est verrouillée. Si Φ E augmente (on s écarte du oint de reos à droite), Φ augmente et d arès la caractéristique : d augmente uisque la tension u d augmente. Il en résulte que la tension d entrée du VCO u C augmente et donc Φ R augmente. Donc Φ = Φ E Φ R diminue : le système revient vers le oint π/2. Ce oint de reos est donc stable. Suosons maintenant que nous soyons au oint de olarisation +π/2 et que la boucle soit verrouillée. Si Φ E augmente (on s écarte du oint de reos à droite), Φ augmente et d arès la caractéristique : les tensions u d et d diminuent. Il en résulte que la tension d entrée du VCO u C diminue et donc Φ R diminue. Donc Φ = Φ E Φ R augmente : le système s écarte du oint +π/2. Ce oint de reos est donc instable. Remarques : 1. Le système se lacera naturellement vers le oint d équilibre stable (oint de reos). Il n y a as besoin de olarisation externe. 26

9 2. L équation 2.1 nous montre que la tension d entrée du VCO déend des amlitudes des signaux. En effet, arès linéarisation autour de π, on obtient : 2 u d = KU EU R G 0 2 (2.2) Cela signifie que les erformances de la PLL déendent des amlitudes des signaux, ce qui est un gros inconvénient. Il existe des disositifs en amont ermettant de s affranchir de ce roblème. 3. La zone linéaire est étroite. Il en résulte que l asservissement se fera sur une lage de fréquence étroite. 4. Généralement, le VCO crée un signal numérique (carré). L étude se fait de manière analogue, en considérant le déveloement en série de Fourier. Seul le fondamental comte, uisque les harmoniques sont filtrées ar le filtre de boucle. Le résultat est donc analogue. 5. Le signal d entrée eut également être numérique (carré). La caractéristique du détecteur eut se trouver lus facilement en raisonnant sur les formes des signaux directement Détecteur à OU-exclusif u E d u d u R Fig. 2.8 Schéma d un comarateur de hase à OU-excusif. Le détecteur à Ou-excusif fonctionne de manière analogue au récédent (figure 2.8). Il ne fonctionne qu avec des signaux carrés, que nous suoserons comris entre 0 et V DD. Suosons que les deux signaux aient la même fréquence, mais déhasés, comme le rerésente la figure 2.9. On eut montrer, si Φ = Φ E Φ R, que : si Φ [0; π] : d(t) = V DD π Φ si Φ [ π; 0] : d(t) = V DD π Φ La caractéristique obtenue est rerésentée sur la figure Par un raisonnement analogue à celui effectué our le comarateur de hase à multilieur, le oint de fonctionnement stable 5 est le oint ( Φ, u d ) = (π/2, V DD /2). 5 le oint de fonctionnement stable est en effet un oint situé sur une courbe dont la ente est ositive, uisqu il y a arès le VCO une contre-réaction négative. 27

10 u E V DD (a) 0 u R Φ t V DD (b) 0 t (c) d V DD 0 u d V DD t (d) 0 t Fig. 2.9 Evolution des signaux dans un comarateur de hase à OU-exclusif. (a) : u E ; (b) : u R ; (c) : d ; (d) : u d. u d V DD π π / 2 0 π / 2 π Φ Fig Caractéristique du comarateur de hase à OU-exclusif Remarques : 1. on voit sur cette figure l intérêt d un tel détecteur : la caractéristique est linéaire. C est une raison our laquelle ce détecteur de hase est lus intéressant que le détecteur utilisant un multilieur, lorsque la PLL est utilisée our des signaux numériques. 2. Si les signaux ne sont as idéaux (as de retour à 0 our le bit de oids faible ar exemle), la caractéristique récédente est tronquée : des zones saturées aaraissent. La zone linéaire est donc lus étroite. 3. Les signaux étant numériques, ce sont des créneaux. Ils ossèdent donc des harmoniques. Un verrouillage de la boucle sur des harmoniques (éventuellement sous-harmoniques) est arfois ossible. 28

11 2.2.4 Les autres détecteurs D autres comarateurs de hase utilisant divers circuits logiques existent. Une bascule JK ermet ar exemle d avoir une caractéristique analogue à celle du comarateur à OU-exclusif. Citons également le détecteur 3-états, aelé également comarateur à intégration. Nous ne rentrerons as dans le détail de ce comarateur qui est lus comlexe, mais qui offre des erformances intéressantes. Il faut juste mentionner qu il est très résent dans l électronique actuelle, car il ermet un verrouillage de la boucle sur une large bande sectrale. 2.3 Linéarisation : étude en régime dynamique Introduction Nous allons dans cette artie, étudier l asservissement en régime linéaire (dans le domaine de Lalace). Nous linéariserons donc les caractéristiques étudiées récédemment autour des oints d équilibre stables Comarateur de hase La caractéristique du comarateur de hase en régime de etits signaux est, d arès l étude récédente, la suivante en régime temorel : u d (t) = K d (ϕ E (t) ϕ R (t)) (2.3) où K d est une constante qui déend du comarateur utilisé (cf équation?? dans le cas du multilieur). Il en résulte dans le domaine de Lalace que : d() = K d (ϕ E () ϕ R ()) (2.4) Si l on souhaite raisonner en fréquence, on sait que la hase s écrit en fonction de la 1 dϕ fréquence : = f, ce qui s écrit en Lalace : 2π dt La relation 2.4 devient alors : d() = 2πK d Influence du filtre ϕ() = 2πf (2.5) (f E () f R ()) (2.6) Si le filtre est suosé idéal (filtre à ente infinie), seul le gain statique doit être ris en comte dans la chaine : F() = G 0. Si en revanche on considère le filtre réel, il faudra tenir comte de la fonction de transfert F() de ce filtre. Raelons que cette fonction de transfert est de tye asse-bas, le lus souvent du remier ordre ou éventuellement du second ordre. 29

12 2.3.3 Oscillateur commandé en tension Un VCO doit fournir une fréquence f R roortionnelle à la tension d entrée u c. Autour du oint de olarisation, on a donc : f R (t) = K V CO u c (t) en fréquence, soit : 1 dϕ R = K 2π dt V CO u c (t). D où en régime de Lalace : ϕ R () = 2πK V CO u c () (2.7) Synthèse ϕ E ε ϕ P u d u R C 2π K K d F() C() VCO ϕ R (a) f E 2π ϕ E ε P u d u C K d F() C() K VCO f R ϕ R 2π (b) f E ε F 2π ϕ E ud u C K d F() C() K VCO f R (c) Fig Schémas blocs de l asservissement : (a) en hase; (b) et (c) : en fréquence. La figure (c) corresond à une modification de la figure (b) afin d avoir un retour unitaire. Les équations 2.4, 2.7 ermettent d en déduire le schéma bloc de l asservissement (figure 2.11(a)), en raisonnant sur les hases. Cet asservissement est à retour unitaire. On aelera ε P l erreur de hase de cet asservissement. En utilisant la relation 2.5, cet asservissement eut se mettre sous la forme d un asservissement de fréquence, ce qui est rerésenté ar la figure 2.11(b) ou (c). On aelera ε F l erreur de fréquence de cet asservissement. 30

13 2.3.5 Analyse de l asservissement Fonctions de transfert et stabilité Les figures 2.11 (a) et (c) montrent que les deux boucles en hase et en fréquence sont analogues. Si FTBO désigne la fonction de transfert en boucle ouverte, on a, en suosant que le filtre de boucle F() est un filtre du remier ordre de gain statique G 0 et de constante de tems τ, et que le correcteur est un simle correcteur roortionnel de gain K c : FTBO() = 2πK df()k c K V CO = 2πK df()k c K V CO (1 + τ) = K (1 + τ) (2.8) Il s agit donc d un filtre du second ordre, de gain K > 0 : la boucle fermée est donc inconditionnellement stable. On conçoit bien sur cette exression qu un filtre de boucle d ordre lus élevé ourra rendre la boucle instable. En outre, l ordre de la boucle corresond à l ordre du filtre+1, en raison de la résence d un intégrateur. Précision de la boucle La fonction de transfert est identique, que l on raisonne en fréquence ou en hase. Nous allons dans un remier tems étudier la récision en hase, uis voir ce qui se asse en fréquence. On raelle que l erreur ε n d ordre n est donnée ar l exression : ε n = lim 0 E() 1 + FTBO() } {{ } ε n() Erreur de hase Nous allons voir les erreurs statique (ordre 1 : saut de hase) et l erreur de trainage (ordre 2 : hase linéaire, corresondant donc à une signal sinusoïdal en entrée) : Erreur statique : E() = Φ 0. On a alors : ε 0 () = Φ K (1+τ) 0 0 Φ 0 K 0 31

14 Il n y a donc as d erreur de hase en régime ermanent lorsqu on soumet la boucle à un saut de hase 6. Remarque : lorsque l on affirme qu il n y a as d erreur de hase, cela signifie que la différence des hases, en régime dynamique, est nulle. Mais il ne faut as oublier que cette différence de hase que l on étudie et qui intervient dans le schéma bloc, est un écart de hase ar raort au oint de olarisation : l écart de hase vaudra en ratique π 2. Erreur de trainage : E() = Φ 0 2. On a alors : ε 0 () = Φ K (1+τ) 0 Φ 0 K 0 Il y a donc une erreur non nulle de trainage. Afin de minimiser cette erreur, on eut agir sur le correcteur roortionnel, en veillant en ratique à ne as avoir tro de déassements 7. Erreur de fréquence La fonction de transfert étant la même, l erreur statique de fréquence est nulle en régime ermanent et l erreur de trainage est donc constante. Considérons donc un échelon de fréquence. La fréquence de la boucle (en sortie du VCO) est donc identique à la fréquence d entrée. Le système est bien asservis (si la boucle est verrouillée bien entendu). Ce système emet donc d asservir arfaitement la fréquence. Mais l erreur de hase sous ces conditions est non nulle, de valeur finie : n oublions as que la hase est obtenue ar intégration de la fréquence. Ainsi, si on considère un échelon de fréquence f E en entrée (erreur statique de fréquence), cela revient à considérer une hase d entrée : ϕ E () = 2π f E (erreur de trainage de hase). D arès 2 les résultats récédents, on a alors une erreur de hase qui vaut : ε = 2π f E. Ainsi, K lors d un saut de fréquence, l écart de hase ne vaut lus 0 (ou π ), mais déend 2 de la fréquence du signal d entrée. 2.4 Phénomènes non-linéaires Pour étudier facilement la PLL en régime dynamique dans le aragrahe récédent, nous avons linéarisé toutes les caractéristiques de la boucle. Une telle étude est 6 Ce résultat est imortant car il ermet de justifier l emloi des PLL dans les modulations numériques de hase (tye PSK). La PLL ourra donc récuérer les sauts de hase et donc démoduler le signal. 7 la fonction de transfert réelle est un eu différente; n oublions as que les caractéristiques ne sont as forcément linéaires. Si le gain est tro grand, le système, qui en théorie est stable, ourra en ratique devenir instable. Il faudrait en toute rigueur raisonner sur la marge du système et assurer une marge suffisante... 32

15 donc valable our des etites variations autour du oint de olarisation. Une étude en régime non-linéaire, lus générale, ermet de comrendre l existence des lages de verrouillage et de cature. Nous allons, sur un exemle simle, montrer quelles euvent être les origines de la lage de verrouillage Plage de verrouillage f R f R Max f f R Min u C min u u C max u C Fig Caractéristique non linéaire du VCO. Suosons que la caractéristique du comarateur de hase soit linéaire, et que celle du VCO résente deux saturations, comme le montre la figure Partons du oint de olarisation (u c, f R ) = (u, f) (on a donc f E = f R ). Augmentons la fréquence d entrée f E. Tant que f E < f R max, la boucle reste verrouillée et l asservissement est bien réalisé : la tension u c augmente afin d avoir une erreur en fréquence nulle. On a donc f = f E. Puis on arrive au oint (u c, f R ) = (u c max, f R max ). Si f E augmente encore, le comarateur de hase, qui est linéaire, va fournir une tension u c > u c max. Le VCO n est alors lus en régime linéaire, mais en régime de saturation : f R reste constante égale à f R max. Une erreur statique de fréquence aarait : f E f R. La boucle décroche (ie se déverrouille). Sur cet exemle simle, on voit donc que la lage de verrouillage est due à la non-linéarité du VCO, et lus récisemment à l existence de bornes de sa zone linéaire. Un autre exemle est le multilieur : lorsque le déhase atteind les oints 0 ou π, la boucle décroche, uisque la ente change de signe (et que l on se raroche alors du oint instable). En outre, ce comarateur fait intervenir une caractéristique en cosinus, donc non-linéaire... que l on ne eut donc as traiter avec les outils classiques de l asservissement. En ratique, il faudrait tenir comte de toutes les non-linéarités (comarateur de hase, filtres, VCO). Ces non-linéarités euvent ne as être aussi simle qu une simle saturation (cf caractéristique réelle du comarateur à multilieur, figure 2.7), ce qui rend cette étude difficile d un oint de vue analytique dans le cas général. 33

16 2.4.2 Plage de cature Le hénomène de cature a également our origine les non-linéarités résentes dans la boucle. L étude mathématique de ce hénomène fait également ael à des asservissements non-linéaires et ne sera donc as traité dans ce olycoié. L idée consiste ar exemle, à étudier les trajectoires du système dans le lan de hase (ε, ε), ces trajectoires devant ainsi converger vers un oint attracteur afin que le système accroche. 2.5 Quelques alications Les alications des boucles à verrouillage de hase sont nombreuses, dont nous détaillerons certaines dans les chaitres ultérieurs. Parmi toutes les utilisations ossibles, nous évoquerons la synthèse de fréquence et l utilisation dans les télécommunications Alication à la synthèse de fréquence. L intérêt d une PLL dans la synthèse de fréquence est de ouvoir générer lusieurs fréquences à artir d une seule fréquence de référence générée ar exemle ar un quartz. De tels synthétiseurs sont résents dans les modules de récetion de radio FM, de TV ou encore dans les téléhones ortables. Ce tye d alication est exclusivement réservé aux signaux numériques 8. Nous ne donnerons dans ce aragrahe que le rincie de base : de nombreuses architectures lus sohistiquées existent, mais ne seront as décrites ici. Considérons la figure 2.13(a). L élément situé dans la boucle de retour est un diviseur de fréquence ar N (entier) : il eut être réalisé ar exemle à l aide d un comteur (succession de bascules). Cela signifie que si f R est la fréquence du signal u R, la fréquence du signal u R sera f R/N. Si la boucle est bien réalisée, le verrouillage imose l égalité des fréquences en entrée du comarateur de hase 9, lorsque la boucle est bien entendu verrouillée : f R = f R. On a alors : f R = N f E. Le signal de sortie du VCO, a donc une fréquence N fois suérieure à la fréquence du signal d entrée : on a bien réalisé un nouveau signal avec une nouvelle fréquence à artir de f E. L idée consiste donc dans de tels synthétiseurs à utiliser lusieurs quartz, très stables en fréquences, et à générer autant de fréquences multiles que l on souhaite à l aide de différents diviseurs de fréquences. Pour avoir lus de ossibilités dans la réalisation des fréquences, on eut lacer également un diviseur de fréquence ar M avant le comarateur de hase et arès le signal de référence (figure 2.13(b)). On obtient alors la relation : f R = N M f E, ce qui augmente les combinaisons ossibles. 8 Il existe un grand nombre de uces électroniques, comortant en interne un comarateur de hase, des comteurs et qui ermettent de réaliser facilement des synthétiseurs de fréquence en connectant un quartz, un filtre et un VCO. De tels synthétiseurs euvent également être réalisés à l aide de microcontrôleurs en tout numérique. 9 il faut bien sûr que le tems de réonse de la boucle le ermette : on ne eut as multilier indéfiniment la fréquence d entrée. Il faut alors tenir comte de la bande assante de la PLL, liée aux tems de réonse des différents éléments. 34

17 u E (t) CP u d (t)=u c (t) VCO u R (t) u R ' (t) % N (a) u E (t) % M u E '(t) CP u d (t)=u c (t) VCO u R (t) u R ' (t) % N (b) Fig Synthèse de fréquence à l aide d une PLL. (a) : multilication ar un entier; (b) : multilication ar une fraction Utilisation dans les télécommunications Les télécommunications constituent un vaste domaine d alication des PLL : outre l utilisation en tant que synthétiseur de fréquence our générer une orteuse, on retrouve les PLLs dans la récuération de fréquence orteuse (que nous allons brièvement décrire), et dans les oérations de modulation/démodulation (non décrites dans ce chaitre). Une PLL eut en effet être vue comme un filtre asse-bande très sélectif. Ce filtre sélectif va nous ermettre de récuérer une fréquence, afin de ouvoir ar exemle utiliser cette fréquence our démoduler le signal. Considérons alors le sectre de la figure La remière idée consiste à utiliser un filtre asse-bande classique. Pour que le signal obtenu soit sinusoïdal, il faut que le filtre soit très étroit (très sélectif), c est à dire que l ordre doit être élevé (our ne as avoir les sectres voisins, rerésentés sur la figure ar des carrés). Un tel filtre est souvent difficile à concevoir et le résultat est généralement eu satisfaisant. Une autre idée consiste à utiliser une PLL dont la fréquence f 0 est contenue dans la lage de cature et dont la lage de verrouillage est inférieure à l esace séarant les deux sectres carrés. Une telle PLL se verrouillera sur f 0, et roduira ainsi un signal ériodique à la fréquence f 0. En outre, si la fréquence initiale f 0 subit de etites variations, celles-ci seront reroduites arfaitement ar la PLL, ce qui eut être intéressant our une utilisation en démodulation. Enfin, le signal obtenu aura les mêmes caractéristiques en terme de stabilité que le signal initial à la fréquence 35

18 f 0. f 0 f Fig Exemle de sectre dans lequel il faut récuérer la fréquence à f 0. 36