Cours de physique générale

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1 5 décembe 008 cous de la semaine # 1 Bienvenue au Cous de physique généale Physique I pou étudiants de pemièe année en section de mathématiques Pof. Geoges Meylan Laboatoie d astophysique Site web du laboatoie et du cous : EPFL - GM 1

2 Les tois angles d Eule Les mathématiques offent plusieus façons de décie des otations en 3 dimensions. En physique, on utilise souvent les angles d'eule. Toute otation est alos décomposée en otations successives autou des tois axes de coodonnées catésiennes EPFL - GM

3 Position d un solide et angles d Eule Repèe lié au éféentiel Oe 1 e e 3 Repèe lié au solide Ay 1 y y 3 La position d un point P du solide est donnée pa : Repèe Ax 1 x x 3 tel que x i // e i OP = OA + AP = " ai (t) e ˆ i + " y i y ˆ i (t) x 1 plan x 1 x e 1 y 3 O x 3 θ A ψ e 3 ϕ e éféentiel y plan y 1 y y 1 u (= axe nodal) x ψ [0,π] θ [0, π] ϕ [0,π] c est-à-die pa les tois coodonnées du point A dans le epèe Oe 1 e e 3 et pa l oientation du epèe Ay 1 y y 3 pa appot au epèe Ax 1 x x 3. Cette oientation peut ête caactéisée pa les tois angles d Eule (ψ,θ,ϕ) ; on passe de Ax 1 x x 3 à Ay 1 y y 3 pa les tois otations successives suivantes : EPFL - GM 3 i Rotation d angle ψ autou de l axe x 3 amenant x 1 su u (=axe nodal) Rotation d angle θ autou de l axe u amenant x 3 su y 3 Rotation d angle ϕ autou de l axe y 3 amenant u su y 1 i

4 ω en fonction des angles d Eule Démos : Gyoscope à ai # 770 Roue suspendue à un fil # 50 x 1 ϕ e 1 y 3 O x 3 θ A ψ e 3 ψ ϕ e éféentiel y θ u P y y 1 x Un point P du solide est fixe pa appot au epèe Ay 1 y y 3 lié au solide : AP " y ˆ i = constante Vitesse de P pa appot à Oe 1 e e 3 : v P = v A + dt d AP= v A + " # AP Vitesse de P pa appot à Ax 1 x x 3 : d dt { AP = d y dt = " y # + " y "# y 1 v 3 "$ { $ + " y % "% { # v $ v % " vitesse de P si # vaie seul: v # = # x ˆ 3 $ AP " vitesse de P si % vaie seul: v % = % u ˆ $ AP " vitesse de P si & vaie seul: v & = & y ˆ 3 $ AP Donc : " = # x ˆ 3 + $ u ˆ + % y ˆ 3 = # + $ + % " = vitesse angulaie de pécession # = vitesse angulaie de nutation $ = vitesse angulaie de otation pope EPFL - GM 4

5 Pécession des équinoxes Hippaque ( av J-C) : obsevations (169 ans d achives) pécession des équinoxes EPFL - GM 5

6 ves étoile polaie ϕ N Pécession des équinoxes ψ " = vitesse angulaie de pécession # = vitesse angulaie de nutation $ = vitesse angulaie de otation pope nomale au plan de l écliptique N ves Vega 3.5 S obite teeste (dans le plan de l écliptique) aujoud hui en l an Mise en évidence déjà pa Hippaque (~ 135 av. J-C) : La position du Soleil à l équinoxe de pintemps se déplace pa appot aux étoiles fixes de 1.5 pa siècle Pécession de l axe de otation de la Tee autou de la nomale au plan de l écliptique : péiode ~ ans (5 75 ans) Egalement petite nutation de 9, d ac : péiode ~19 ans (18.6 ans) Cause : moment des foces execées pa la Lune et le Soleil su la Tee, pa appot au cente de masse de la Tee, pas sphéique mais ellipsoïdale EPFL - GM 6 S

7 Au tableau Moment cinétique d un solide Pa appot à un point A quelconque du solide : L A = $ AP" # m" v " = $ AP" # ( m" v A + % # ) AP" " " = $ m"ap" # v A + $ m"ap" # (% # ) AP" " " L A = AG # M v A + $ " ( m" AP" )* Pa appot à un point O quelconque : = 0 si A = G (cente de masse) ou si v A = 0 (point fixe) (théoème du tansfet) ( ) AP" % & AP" ' % +,- Rappel double poduit vectoiel: a " ( b " c ) = a # c b $ a # b c ( ) ( ) L O = L A + OA " Mv G Rappel : si le solide est «continu», il faut emplace la somme su les points matéiels pa une intégale su le volume du solide AP" = OP" # OA $ # OA m" $ dm( ) = %( ) d 3 & $ " ' volume du solide EPFL - GM 7

8 Au tableau Moment d inetie pa appot à un axe de otation fixe axe de otation Δ Moment cinétique pa appot à n impote quel point C su l axe de otation fixe Δ (point fixe) : L C =, " & m" CP" '( # $ CP" % # Pojection su l axe de otation Δ : Moment d inetie du solide pa appot à l axe Δ : ( ) CP" L " = L C # $ ˆ $ { = $ - ' m% CP% & ( CP% # $ ˆ ) * () +, = $ -m% d% /$ % % Remaques : I Δ ne dépend pas du mouvement (ni du choix d un epèe), mais seulement de la distibution de masse pa appot à l axe Δ Si Δ est un axe de symétie du solide, alos L C est paallèle à ω En généal, L C n est pas paallèle à ω ) * + I " = $ m # d # L " = I " # # C ω solide d α m α P α ne dépend plus de C! EPFL - GM 8

9 Tanslation et otation Note : compaaison ente dynamique de tanslation et de otation : $ dp dt = F & ext avec p = M v G % dl & G = M ext dt G avec L G = ' I G " # «le moment d inetie est à la otation ce que la masse est à la tanslation» Le moment d inetie ne dépend pas seulement de la masse de l objet mais également de la façon dont cette masse est distibuée. EPFL - GM 9

10 Moment d inetie de deux masses su une bae Deux objets de masses 5,0 kg et 7.0 kg sont distants de 4,0 m, eliés pa une bae de masse négligeable. a) Calcule le moment d inetie avec l axe de otation au milieu des deux masses. I = m i R i = (5,0 kg)(,0m) + (7,0 kg)(,0m) = 0 kg m + 8 kg m = 48 kg m b) Calcule le moment d inetie avec l axe de otation 50 cm à gauche de la petite masse. I = m i R i = (5,0 kg)(0,5m) +(7,0 kg)(4,5m) = 1,3 kg m + 14 kg m = 143 kg m Le moment d inetie dépend de la épatition de la masse et de la position de l axe de otation EPFL - GM 10

11 Moments d inetie de quelques objets de composition unifome EPFL - GM 11

12 Moments d inetie de quelques objets de composition unifome EPFL - GM 1

13 Moments d inetie de quelques objets de composition unifome EPFL - GM 13

14 Moment d inetie Pou tous les objets considéés comme des distibutions continues de masse, la définition du moment d inetie : I = m i R i devient I = R dm où dm epésente la masse d une paticule infinitésimale du cops considéé et R est la distance de cette paticule à l axe de otation. L intégale est calculée su le cops (objet) en entie, ce qui n est facile que dans les cas de cops aux fomes géométiques simples. EPFL - GM 14

15 Exemple : Calcul du moment d inetie d un cylinde ceux Monte que le moment d inetie d un cylinde ceux de ayon intéieu R1, de ayon extéieu R et de masse M est égal à : I = 1 M (R 1 + R ) losque l axe de otation passe pa l axe de symétie. EPFL - GM 15

16 Calcul du moment d inetie d un cylinde ceux (suite) On sait que le moment d inetie d un anneau fin de ayon R est donné pa : I = m R. On divise donc le cylinde en anneaux cylindiques concentiques d épaisseu dr. Si la densité (masse pa unité de volume) est égale à ρ, alos : dm = ρ dv où dv est le volume de l anneau fin, d épaisseu dr, de ayon R et de hauteu h. Comme dv = π R dr h, on a : dm = π ρ h R dr. Le moment d inetie est obtenu en intégant su tous les anneaux en utilisant l hypothèse ρ = cte : I = " R dm = R & = " # $ h R 3 dr = # $ h R 4 4 % R 1 ) R 1 ( + ' 4 * EPFL - GM 16

17 Calcul du moment d inetie d un cylinde ceux (suite) Le volume V du cylinde ceux est égal à : V = ( π R - π R 1 ) h donc sa masse vaut : M = ρ V = ρ π (R - R 1 ) h. Comme (R 4 - R 1 4 ) = (R - R 1 ) (R + R 1 ), on obtient : I = " # h R ( $ R 1 ) R ( + R 1 ) = 1 #" R ( $ R 1 )h R + R 1 ( ) I = 1 M R ( 1 + R ) On peut contôle que pou un cylinde plein, avec R 1 = 0, on a R = R 0 : I = 1 M R 0 EPFL - GM 17

18 Etoiles à neutons et pulsas I " = m # d # L " = I " # une belle application de la consevation du moment cinétique Les étoiles à neutons se foment los de l effondement, sous sa pope gavitation, de l intéieu d une étoile massive, pou atteinde un tès petit ayon et donc une tès gande densité. Supposons le noyau d une telle étoile ayant le ayon du Soleil R = km avant l effondement, mais d une masse double de celle du Soleil, effectuant une otation en 10 jous. Si ce noyau s effonde en une étoile à neutons de 10 km de ayon, qu elle est sa nouvelle vitesse de otation? L étoile est supposée unifome pou tout temps t. L étoile isolée (pas de foces extenes) pemet d utilise la consevation du moment angulaie : I i " i = I f " f $ # " f = I i I f " i = # % % % $ 5 M R i i 5 M R f f & ( (" i = R i ( R " i f ' ca il n y a pas de pete de masse m = cte. La féquence f = ω/(π) # f f = 7 "105 km& % ( $ 10 km ' 1 ev 10 j(4h / j)3600(s/h) = 6 "103 ev /s EPFL - GM 18