2A sin(2x) + 2B cos(2x) + 6(A cos(2x) + B sin(2x)) = cos(2x). A = 3B B = 1 A = 3

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1 IUT de Brest Année GMP 1 Corrigé du DS du 5/03/011 Calcul intégral (F11) (durée : 1h30) Eercice 1 ( points) Résolution sur R de l équation différentielle (E) : y + 6y = cos() + 3 Avec les notations du cours, on a a() = 6 dont une primitive est donnée par A() = 6 Solutions de l équation homogène : y H = λ e A() = λ e 6 Solution particulière y P de (E)? On utilise le principe de superposition des solutions L équation (E 1 ) : y + 6y = 3 admet une solution évidente y 1 = 1 Cherchons une solution particulière y de l équation (E ) : y + 6y = cos() On utilise la 3ème ligne du tableau donné dans l énoncé On va donc chercher y sous la forme y = A cos() + B sin() avec A, B R En particulier on a y = A sin() + B cos() On veut que y + 6y = cos(), c est-à-dire A sin() + B cos() + 6(A cos() + B sin()) = cos() Donc (B + 6A) cos() + (6B A) sin() = cos(), ce qui donne les équations : D où { B + 6A = 1 6B A = 0 { B + 6A = 1 A = 3B B = 1 0 A = 3 0 { 0B = 1 A = 3B et finalement y = 3 0 cos() sin() Une solution particulière y P de (E) : y + 6y = cos() + 3 est donc donnée par : y P = y 1 + y = cos() sin() Conclusion : les solutions de (E) sont toutes les fonctions qui s écrivent y = y H + y P = λ e cos() sin(),

2 Eercice ( points) Résolution sur ]0; + [ de l équation différentielle y y = ln Après avoir divisé par cette équation s écrit encore y y = ln Solutions de l équation homogène : avec les notations du cours, a() = 1 dont une primitive est donnée par A() = ln Par conséquent y H = λ e A() = λ e + ln = λ Solution particulière y P de (E)? On utilise la méthode de variation de la constante et on va chercher y P sous la forme y P = λ() avec λ() une fonction à déterminer On doit donc avoir y P y P = ln, c est-à-dire λ () + λ() λ() = ln Autrement dit, λ () = ln ce qui donne λ () = ln ln Pour déterminer une primitive de ln, on va calculer uv = [uv] d à l aide de la formule d IPP : Ici on pose u() = ln et v () = 1 Alors u () = 1 et on prend v() = 1 D où [ ln d = ln 1 ] d = ln + d = ln 1 + constante Finalement λ() = ln 1 convient D où y P = λ() = ln Conclusion : les solutions de (E) sont toutes les fonctions qui s écrivent u v y = y H + y P = λ ln

3 Eercice 3 ( points) (E) : (1 )y y = 1 3 à résoudre sur ] 1; 1[ Après avoir divisé par 1 cette équation s écrit encore y 1 y = Solutions de l équation homogène : avec les notations du cours, a() = 1 = u (), avec u() = u() 1, dont une primitive est donnée par A() = ln u() = ln 1 = ln(1 ) puisque 1 > 0 pour tout tel que 1 < < 1 Par conséquent y H = λ e A() = λ e ln(1 ) = λ 1 e = λ 1 ln(1 ) 1 = λ 1 Solution particulière y P de (E)? On la cherche sous la forme y P = α + β + γ y P vérifie (E) (1 )y P y P = 1 3 (1 )(α + β) (α + β + γ) = 1 3 α + β α 3 β α 3 β γ = 1 3 α 3 3β + (α γ) + β = 1 3 Par identification des coefficients des polynômes, on a D où y P = 3 1 y P vérifie (E) α = 1 (termes en 3 ) 3β = 0 (termes en ) α γ = (termes en ) β = 0 (termes constants) α = 3 β = 0 γ = α + = 1 3 Avec les deu questions précédentes, on déduit qu une solution de (E) s écrit y = y H + y P = λ Si l on veut en plus que y(0) = 6, cela impose que λ = 6, c est-à-dire que λ = = 7 Par conséquent l unique solution y de l équation 1 0 différentielle (E), définie sur ] 1; 1[ et telle que y(0) = 6, est la fonction donnée par y =

4 ] Eercice ( points) Résolution sur π ; π [ de l équation différentielle : (E) : (cos )y + (sin )y = (sin ) (cos ) ] L équation s écrit aussi y + (tan )y = (sin ) (cos ) 3 sur I = π ; π [ Solutions de l équation homogène : avec les notations du cours a() = tan dont une primitive est donnée par A() = ln cos = ln(cos ) car le cosinus est positif sur l intervalle I considéré Donc y H = λ e ln(cos ) = λ cos où λ R Utilisons la méthode de variation de la constante et cherchons une solution particulière y P de (E) sous la forme y P = λ() cos Dans ce cas on a alors y P = λ () cos λ() sin Ainsi : y P est solution de (E) y P + tan y P = (sin ) (cos ) 3 (pour tout réel I) λ () cos λ() sin + tan λ() cos = (sin ) (cos ) 3 (pour tout réel I) λ () cos = (sin ) (cos ) 3 (pour tout réel I) λ () = (sin ) (cos ) (pour tout réel I) Nous savons que sin() = sin cos Donc ( ) sin() sin cos = (sin cos ) = = 1 sin () Mais nous savons aussi que cos(θ) = 1 sin θ, et donc sin θ = 1 1 cos(θ) ; en faisant θ = nous obtenons sin () = 1 1 cos() D où sin cos = 1 ( 1 1 cos() ) = cos() Par conséquent on peut prendre λ() = sin() = 1 ( 8 sin() ) Ainsi est une solution particulière de (E) y P = λ() cos = 1 ( 8 sin() ) cos Les solutions de (E) sur l intervalle I sont les fonctions y définies par y = λ cos + 1 ( 8 sin() ) cos où λ est une constante réelle quelconque

5 Eercice 5 ( points) On considère l équation différentielle (E) : y 6y + 13y = e 3 1 L équation caractéristique associée est r 6r +13 = 0 Son discriminant est égal à = = (9 13) = 16 = = (i) Les solutions de l équation caractéristique sont 6 ± i, c est-à-dire 3 ± i Les solutions de (H) sont donc données par où λ et µ sont des constantes réelles quelconques y H = (λ cos () + µ sin ()) e 3, y P à chercher sous la forme y P = A e 3 (car 3 n est pas solution de l équation caractéristique) Alors y P = 3A e3 et y P = 9A e3 D où y P = 6 e 3 y P vérifie (E) 9A 6 3A + 13A = A = A = 6 3 Les solutions de (E) sont données par où λ et µ sont des constantes réelles quelconques y = y H + y P = (λ cos () + µ sin ()) e 3 +6 e 3 La condition y(0) = 7 force λ + 6 = 7, d où λ = 1 Par ailleurs y = ( λ sin () + µ cos ()) e 3 +3 (λ cos () + µ sin ()) e e 3 Ainsi la condition y (0) = 11 force µ + 3λ + 18 = 11, d où µ = 5 car λ = 1 Finalement l unique solution de l équation y 6y + 13y = e 3 vérifiant y(0) = 7 et y (0) = 11 est donnée par y = (cos () 5 sin ()) e 3 +6 e 3 = (6 + cos () 5 sin ()) e 3 Fin du corrigé

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