DM N 4 - PSI* - Chimie - Électrostatique

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1 DM N 4 - PSI* - Chimie - Électrostatique À rendre le 30 novembre à 8 h année 2018/2019 1

2 1 Chimie Tous les composés seront assimilés à des gaz parfaits et leur mélange à un mélange idéal de gaz parfaits. Pression standard : p = 1 bar. Données thermodynamiques Composés H 2 O (g) CH 4(g) CO (g) H 2(g) CO 2(g) Enthalpie libre standard de formation à T = 1100 K (J.mol 1 ) Enthalpie standard de formation (J.mol 1 )(ind. de T ) 1.1 Vapo-réformage du méthane 1. Le vapo-réformage du méthane issu du gaz naturel est réalisé à T 1 = 1100 K sous une pression égale à 5 bar en faisant réagir le méthane avec de la vapeur d eau en présence d un catalyseur à base de nickel. L équation bilan de la réaction équilibrée mise en jeu est : CH 4(g) + H 2 O (g) = CO (g) + 3H 2(g) (1) Calculer l enthalpie libre standard de réaction r G 1 de la réaction (1) à T = 1100 K. 2. En déduire la constante d équilibre K1 pour la réaction (1) à T = 1100 K. 3. Exprimer le quotient de réaction Q 1 de la réaction (1), en fonction des pressions partielles des composés intervenant dans l équation bilan. À quoi doit-il être égal lorsque l équilibre est atteint? 4. Calculer l enthalpie standard de réaction r H1 de la réaction (1). Cette réaction est-elle exothermique ou endothermique? 5. Recenser les variables intensives pertinentes de description du système à l équilibre pour en déduire le nombre de degrés de liberté de celui-ci. 6. Préciser l influence, à pression constante, d une variation de la température sur l avancement à l équilibre de la réaction (1). 7. Préciser l influence, à température constante, d une variation de la pression totale sur l avancement à l équilibre de la réaction (1). 8. Calculer l entropie standard de réaction r S1 de la réaction (1). 9. Expliquer pourquoi le signe de cette entropie standard de réaction était prévisible. 2

3 1.2 Prise en compte de l oxydation du monoxyde de carbone Le monoxyde de carbone formé et l eau présente dans le réacteur réagissent pour donner du dioxyde de carbone et du dihydrogène selon l équation bilan ci-dessous : CO (g) + H 2 O (g) = CO 2(g) + H 2(g) (2) 10. Calculer la constante d équilibre K 2 pour la réaction (2) à T = 1100 K. On introduit dans un réacteur isotherme (T 1 = 1100 K) et isobare (p = 5 bar) 1 mole de méthane et 3 moles de vapeur d eau. 11. Exprimer les quantités de matière : n(ch 4 ), n(h 2 O), n(co), n(h 2 ) et n(co 2 ) et n total à la sortie du réacteur en fonction des avancements ξ 1 et ξ 2 des réactions 1 et Pour ξ 1 = 0, 965 mole et ξ 2 = 0, 300 mole, calculer les quotients réactionnels Q 1 et Q 2 des réactions 1 et Comparer les quotients réactionnels obtenus aux constantes d équilibre K 1 et K 2 et commenter les résultats obtenus. 3

4 2 Anneau de stockage pour molécules polaires Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de l espace de molécules CH 3 F qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l interaction avec un champ électrostatique inhomogène. De tels pièges permettent l étude des collisions moléculaires ainsi que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et pour la réalisation de dépôts de surface. 2.1 Hexapôle électrostatique On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un système électrostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles (C i, i = 1, 2,...6) disposées aux sommets d un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1). Figure 1 Hexapôle électrostatique Leur rayon a est très inférieur au côté R de l hexagone, a R. Elles portent des densités linéiques de charge égales alternativement à λ (λ > 0) pour les électrodes numérotées impaires et λ pour les paires ; on considérera que ces charges sont fixes et uniformément réparties à leur surface. On négligera les effets d extrémités, ce qui revient à considérer les électrodes comme infiniment longues. On utilisera un système de coordonnées cylindro-polaires (r, θ, z) avec comme repère orthonormé ( e r, e θ, e z ). On considère dans un premier temps une unique électrode de densité linéique de charge λ. 4

5 14. Analyser les symétries et les invariances de cette distribution et montrer que le champ électrostatique engendré à une distance D de l axe de cette électrode s écrit : E = E(D) e r 15. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer complètement le champ électrostatique créé par cette électrode dans le cas D > a. On s intéresse maintenant aux symétries et invariances de la distribution de charges correspondant à l ensemble des six électrodes. 16. Montrer que, si on néglige les effets d extrémité, le champ électrostatique n a pas de composante selon u z. 17. Montrer que le potentiel électrostatique V ne dépend pas de z. 18. Que peut-on dire de l un quelconque des trois plans Π i,i+3 (i = 1, 2, 3) passant par l axe central et les axes de deux électrodes C i et C i+3 opposées? 19. En déduire une conséquence pour E. 20. Que peut-on dire de l un quelconque des trois plans passant par l axe et à égale distance des électrodes? 21. En déduire que ces plans sont des surfaces équipotentielles. 22. Expliquez pourquoi on peut écrire le potentiel sous la forme d une série de la forme : V = f 0 (r) + f n (r) cos (3nθ + ϕ n (r)) n=1 avec θ mesuré à partir de l axe polaire Ox (figure 1). On cherche maintenant à préciser l expression du potentiel électrostatique engendré par les six électrodes. 23. Montrer que le potentiel électrostatique en un point P est donné par l expression : V (P) = λ ln D 2D 4 D 6 2πε 0 D 1 D 3 D 5 où D i désigne la distance de P à l axe de l électrode C i, à condition de choisir le potentiel nul en un point que l on précisera. 24. Compte tenu de l hypothèse a R, déterminer le potentiel V impair à la surface des électrodes impaires en fonction de R, a et λ. Ce potentiel sera appelé potentiel de l électrode et noté V Que vaut le potentiel V pair des électrodes paires? On s intéresse à la partie centrale r R. On peut établir (calcul non demandé) que le potentiel électrostatique y est donné par : V λ ( r ) 3 cos 3θ πε 0 R 5

6 avec θ mesuré à partir de l axe polaire Ox (figure 1). 26. Montrer que cette expression est cohérente avec les résultats obtenus aux questions (17), (21) et (22). 2.2 Mouvement de molécules polaires dans un hexapôle électrostatique Dans cette partie, on analyse le mouvement des molécules, possédant un moment dipolaire p 0 de module constant, dans la partie centrale du champ électrique de l hexapôle électrostatique étudié en partie 2.1. Dans le vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation ; l énergie et le moment cinétique correspondant sont quantifiés. 27. Doit-on prendre en compte le poids de la molécule dans cette étude? Seul compte, pour le couplage avec le champ électrique E, la projection p eff = p 0 E du moment dipolaire de la molécule sur la direction du champ électrique ; p eff est une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état quantique moléculaire. E 28. Exprimer l énergie potentielle E p de la molécule dans le champ E à l aide de p eff et E. 29. Déterminer l expression du champ électrostatique E créé par l hexapôle dans sa partie centrale, en coordonnées cylindro-polaires. En déduire celle de E. 30. Expliciter l expression de l énergie potentielle puis celle de la force exercée par l hexapôle électrostatique sur une molécule en fonction de son moment dipolaire effectif p eff et de sa position. Pour la suite, on se limite au cas d un mouvement purement radial de la molécule. La vitesse de celle-ci s écrira donc : v = ṙ e r 31. Montrer que l équation différentielle régissant la distance r de la molécule de masse m à l axe de l hexapôle peut s écrire : d 2 r dt 2 + ω2 0r = 0 à une condition sur le signe de p eff que l on précisera. 32. Quelle est alors la pulsation ω 0 correspondante? 6