7. Filtrage optimal. 3 grandes méthodes de filtrage optimal : (filtrage sous contrainte d un signal altéré par un bruit)

Transcription

1 3 graes méhoes e flrage opmal : flrage sous corae u sgal aléré par u ru Flrage par mores carrés msao e l éerge e l erreur ere le sgal mesuré e l esmao par u moèle u sgal o rué. oèle aopé pour le sgal o aléré moèle léare. Il a lssage u ru plus que sa réjeco. e flrage es mores carrés se place e éermse. Il a corae e saoaré. Flrage e Weer éhoe es mores carrés e sochasque. Il a corae e saoaré. Flrage e Kalma oursue u moèle Ea moèle e Gauss-arko écessare e relaeme précs u sgal o rué. as e corae e saoaré. S moèle correc réjeco u ru e o pas lssage. S moèle o réalse les résulas peue êre rès mauas. T 7.

2 I. OINDES CAES ores carrés rec Algorhme S eas Squares U ssème léare e équaos à coues : où : ésge ue marce carrée e meso h ésge u eceur e meso ésge u eceur e meso possèe ue soluo uque : h h s ersle. Erreur ε h ulle : ε E raeme u sgal, e omreu sgau peue se moélser sous la forme h où : e h ésge ue marce coue ésge u eceur cou. Eemple : Flre IF e I h coue : : marce oeue à parr e aleurs e l erée h : sgal e sore prou scalare cooluo. E l asece e ru, l oserao e aleurs u sgal e sore suff oc à esmer h : h écooluo T 7.

3 E praque, l e es jamas as ru e mesure : O se oe plus oseraos k que coues : k a méhoe es mores carrés four alors le eceur h à esmer e meso opmal au ses quaraque à parr es k oseraos. Noaos : : eceur oserao w ru af : marce e meso k h eceur e meso eceur e meso k h w k ssème suréermé O a plus équaos k que coues. Coséquece : Il ese pas e gééral e eceur h el que parfaeme égal à l oserao. h so T 7. 3

4 rolème : Trouer h el que msao e l erreur quaraque ε J h so le plus proche possle e h h h Soluo : Théorème e projeco : Déermao e h el que ε h h ε éerge e l erreur ε : ε h prou scalare ul ε h h { } h es el que l écar ε h es à ε h : ε h h Img Théorème e projeco ε à h h S la marce carrée ersle : h T 7. 4

5 ores carrés récursf Algorhme S ores carrés rec : h Algorhme o emps réel erso e marce. ores carrés récursf : se à jour e h au fur e à mesure que les oées arre. A l éape : h aec : Noao : ème lge e la marce [ ] Ieé pour ue marce e u eceur u : u u uu u u T 7. 5

6 T 7. 6 Applcao à : [ ] h h K h h aec : K marce m. k Algorhme es mores carrés récursfs : Valeurs ales : : δ I h aec : I : eé e δ coeffce réel : > δ e << δ our,, k épéer : K aec : [ ] h K h h

7 A coo aor k gra, l es ule e parr es CIs eaces fasa erer le calcul e e h à parr e la relao : h. ores carrés moes S eas ea Squares Algorhme es ores carrés moes algorhme S Grae sochasque erso récurse u flre e Weer or Flrage e Weer. T 7. 7

8 II. FITAGE DE WIENE 7 ANNEE. Flrage opmal e so processus aléaores, réels, cerés, SS. Déermao u flre léare e I Fe A N pos : { h } { h h, h },, N melleure appromao u ssème S crère quaraque : echerche e { } h qu mmse l éerge e l erreur S h - N ˆ h * hk k h h hn N k Théorème e projeco : pour ou {,,, N } E ŷ ε ε k : ε : E [ ε ] [ ] E [ h h h ] ˆ k N N k [ ] E[ ] E h h hn N k Sous forme marcelle équao e Weer-Hopf : ˆ k h aec : [ ] N h [ h ] hn r T 7. 8

9 T 7. 9 [ ] E N N [ ] Y N Y E r

10 Flre e Weer, soluo e l équao e Weer-Hopf : h r Algorhme u grae erso récurree u flre e Weer Equao récurree : h h µ [ r h ] où : h h à l érao. Coeff. réel µ pas u grae. S : < µ < ma λ λ aleurs propres e o more que h coerge ers le flre e Weer. ores carrés moes S eas ea Squares S e r cous algorhme u grae Weer OK. alheureuseme, e r so gééraleme cous e oe êre esmés à parr es oées oserées. Algorhme es mores carrés moes grae sochasque ou ecore S - eas ea Squares, algorhme aapaf magé par Wrow 985, ée le calcul e ces esmaos. e e h osos [ ] N O peu écrre : r h E [ ] E [ ] h E [ e ] T 7.

11 équao récurree h h µ [ r h ] [ ] ee : h h µ E e Wrow remplace E [ e ] par sa aleur «saaée» e Algorhme S h. Valeur ale :. épéer : e h h µ h e T 7.

12 T 7. III. FITAGE DE KAAN Kalma s affrach e l hpohèse e saoaré es sgau. Il me à prof la epréseao Ea. Eemple : Véhcule se éplaça sur ue roe aec ue esse cosae. oso ale. oso à l sa : Equaos scre CIs: E fa, le moèle : esse cosae es mprécs :, As ru e moèle e u oso oserée u A ru e mesure, oserao [ ] u

13 A Ecrure marcelle : C u équao ' Ea équao ' oserao aec :. Ea :. Oserao : A [ ] C u u e flre e Kalma four la melleure esmao e moee quaraque e à parr e l oserao. ˆ mmsao e l erreur quaraque E [ ]. Forme la plus smple : hpohèses e rus e moèle e oserao les pres rus lacs T 7. 3

14 Flre e Kalma récursf Calcul rec : qua croî, la meso es marces croî e faço «eplose». Algorhme u flre récursf e Kalma Valeurs ales :. ˆ E[ ] épéer pour : aec : u. K E[ ]. G K C [ CK C ] u. ˆ A ˆ G [ CAˆ ]. K A[ K G CK A ] τ E τ E e τ so scres σ σ [ τ ] δ τ σ u σ [ τ ] u u u δ τ σ σ u p T 7. 4