Modélisation géométrique Introduction - Tronc Commun

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1 Modélsao géomérque Iroduco - Troc Commu Marc DANIEL Maser SIS Ecole Supéreure d Igéeurs de Lumy, Campus de Lumy, case 925, 3288 Marselle cedex 9 Marc.Dael@uvmed.fr Sepembre 29 Maser SIS, Modélsao Géomérque Pla Premère pare : Iroduco à la Modélsao Géomérque «Défo» U peu d hsore CAO (e a que cas parculer) La place e le rôle du modèle Qualé e complexé Deuxème pare : Rappels e Complémes de Géomére Eveloppe covexe Barycere, focos de pods Coordoées homogèes Trasformaos géomérques e varace : Roaos, Traslaos, Proecos Géomére des courbes Géomére des surfaces Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 Pla (sue) Trosème pare : Modélsao de Courbes e Surfaces Représeaos carésee - paramérque U peu d hsore Ouls de base Représeao paramérque Courbes de Bézer Surfaces sous forme produ esorel Modélsao de volumes Modèles mplces lmaos de la forme produ esorel Pla (sue) Quarème pare : Modélsao de soldes - Modélsao volumque Propréés opologques pour la modélsao de soldes Modélsao volumque B-Rep Modélsao volumque cosrucve ou CSG Cquème pare : Dfférees Approches de la Modélsao Géomérque Modélsao paramérque Modélsao varaoelle Modélsao par eés ou «feaures» Modélsao déclarave Marces d éumérao spaale Quadree Ocree Sxème pare : Surfaces de subdvso Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 Que dse les dcoares? hp:// Premère pare Iroduco à la Modélsao Géomérque modélser v. r.: Éablr le modèle ou la descrpo smplfée d'u phéomèe, d'u processus ou d'u sysème, e vue d'e éuder le focoeme par smulao modèle. m.: Représeao, physque ou graphque, mas plus gééraleme mahémaque, des relaos qu exse réelleme ou qu, par hypohèse, semble exser ere des phéomèes ou ere les dfféres élémes d'u sysème, e vue d'éudes aalyques ou expérmeales (smulaos).. Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Maser SIS, Modélsao Géomérque 6

2 Que dse les dcoares? Modélsao. f. : Descrpo das u lagage compréhesble par l'ordaeur de la forme, du mouveme e des caracérsques d'u obe ou d'u esemble d'obes qu crée u modèle. Noe(s): La modélsao perme la cosruco, ere aures, du modèle 2D e du modèle 3D. Ue modélsao compred ue pare appelée modélsao géomérque e ue pare appelée modélsao focoelle.il exse dfféres ypes de modélsao : modélsao par pos, modélsao par secos, modélsao par révoluo, modélsao par surfaces réglées, modélsao par balayage, modélsao par carroyage, modélsao par pôles. «Défo» La modélsao géomérque ous eoure au quode (/3) La CFAO (Cocepo e Fabrcao Asssée par Ordaeur) auomoble aéroauque cosruco avale spor hablleme Le mleu médcal modélsao d orgae smulao focoelle, opéraore chrurge asssée... Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 «Défo» La modélsao géomérque ous eoure au quode (2/3) «Défo» La modélsao géomérque ous eoure au quode (3/3) De la smulao à la réalé vruelle roboque les smulaeurs les modes vruels Le mode du eu acuelleme smplfé, mas exgeces crossaes qualé, performaces Le calcul e la vsualsao scefque Souve des approxmaos par des facees plaes L ere e ses applcaos graphques La élévso Le céma La modélsao géomérque a de ses qu avec ue ulsao formaque. Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 Maser SIS, Modélsao Géomérque «Défo» Les obecfs : Cocevor Fabrquer Calculer Smuler Vsualser Mapuler Avec comme coraes meux plus ve savor raer des problèmes de plus e plus complexes qualé - effcacé - reablé «Défo» Cela codu à Supprmer les formaos paper esqusses plas classques documes dvers Dmuer le rôle du modèle rédu (argle, bos, plâre) augmeer au maxmum la par de smulao vruelle mas pas supprmer le modèle réel : dspesable à ce our L'expérmeao es pas ecore more calbrage e corôle dspesable aspec psychologque Maser SIS, Modélsao Géomérque Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 2

3 «Défo» La modélsao géomérque es l esemble Des ouls mahémaques Des ouls umérques Des ouls formaques qu combés permee de cosrure u modèle vruel (ou modèle formaque) d u obe réel plus ou mos complexe plus ou mos schémasé L obe peu êre le fru de l magao, d ue edace,... ue soluo plus ou mos exace d u problème physque doé ue combaso des deux Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 «Défo» La modélsao géomérque mplque La cosruco de formes élémeares L assemblage de formes élémeares pour créer des obes de plus e plus complexes Des mapulaos géomérques pour représeer, modfer, aalyser processus «élémeares» (rasformaos géomérques, calcul,...) mapulaos «élémeares» mas délcaes e lourdes de coséqueces processus complexes (ersecos d obes) processus spécfques (obes décalés (fabrcao), raccordemes e cogés)... Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 «Défo» La modélsao géomérque mplque auss de savor recosrure des obes à parr de umérsao d obes «Aces» exsa sas modèle aou das ue base de doées pos de dépar de modélsao par reproduco cas parculer du domae médcal Modélsés e fabrqués corôle de l écar modèle vruel - modèle du produ fabrqué O parle d géere verse (reverse egeerg) de recosruco Nombre mpora de doées pas ouours srucurées U peu d hsore Evoluo smulaée e codoée par l évoluo de l formaque pussace smplcé e effcacé ouls de racé e de désgao dffuso («démocrasao») du graphque : modèle fl de fer, élmao des pares cachées, redu réalse, exure, ombrage des moyes de fabrcao : premère séquece auomasée pour ploer ue mache oul maches CN performaes usqu à 5 axes usage de pèces de pluseurs mères cellules flexbles, poses ou aelers robosés Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Maser SIS, Modélsao Géomérque 6 U peu d hsore D où Le DAO (2D, 2.5D, vore 3D) La modélsao surfacque la CAO du débu (opposé à ord au DAO pour la oo de 3D) (CAD e aglas) La FAO (CAM e aglas) La modélsao volumque La CFAO (CADCAM) La cocepo égrée - la modélsao produ U peu d hsore Les débus - les grads oms Modélsao surfacque (aées 6-7) De Caselau (Croë) Idée : corôler les formes à parr de Bézer (Reaul gradeurs géomérques smples Coos (Geeral Moors) (par opposo à ceraes équaos algébrques ou mplces) Ferguso (Boeg) Modélsao volumque (débu des aées 8) Réqucha Mäylä Hoffma Les grads sysèmes de CFAO (aées 8) Eucld Caa,... La «démocrasao» (aées 9-95) Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 3

4 La CAO La CAO Défo : Tou processus formasé permea de résoudre u problème echque : cocepo d ue soluo Défo 2 : Esemble des ades formaques depus l élaborao du caher des charges usqu à l éablsseme des documes écessares à la fabrcao Dffcle d e parler! Dalogue Homme-Mache Calculs umérques Base doées Modélsao géomérque Ifographe Iellgece Arfcelle Le savor-fare Calculs d géere Méer Méer Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 CAO : La Le CAO pose de raval U pose de CAO «acuel» CAO : La Le CAO pose de raval E so evroeme du «fuur» Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 Maser SIS, Modélsao Géomérque 22 CAO : Le pose de raval ordaeur e ue boe care graphque ou pluseurs pérphérques d erée Sours Tablee ou able à umérser (usqu à A) Poeomère(s), boes de bouos de séleco Trackball, ou pluseurs pérphérques de sore Imprmae Traceur (usqu à pluseurs mères) Place e rôle du modèle Queso fodameale sous-acee : Modèle X de Y pour Z Quel? Quo? Pourquo? Les pérphérques de la Réalé Vruelle dffculé maeure : Vsualser du 3D e 2D Sasr du 3D e 2D Maser SIS, Modélsao Géomérque 23 Maser SIS, Modélsao Géomérque 24 4

5 Place e rôle du modèle O peu avor u modèle fal obeu par u processus de cosruco ou u modèle hsorque qu garde le processus de cocepo? Fau-l garder le processus de cocepo? Pour des modfcaos Pour remere e cause Es-ce ouours possble? Pere d formao sur ceraes opéraos? Ex : les cogés de raccordeme Maser SIS, Modélsao Géomérque 25 Place e rôle du modèle U modèle - des modèles? Avec u modèle par po de vue Icohérece rapde au veau de la géomére Le modèle géomérque es-l u modèle d applcao? comme u modèle de calcul, comme u modèle d usage, comme u modèle de vsualsao. Ou ue srucure cerale? La géomére es fédérarce même s l e s ag pas ouours de la même géomére. La géomére apparaî quasme das ous les pos de vue. Maser SIS, Modélsao Géomérque 26 Place e rôle du modèle Le modèle géomérque es au cœur du modèle de l obe N es pas le modèle de l obe, Do permere des pos de vue adapés pour les dfféres aceurs agssa sur l obe e garda la cohérece Do pouvor égrer les acos des aceurs sur les dfférees vues Place e rôle du modèle U problème de chrurge plasque crâe Modèle de l obe Po de vue Traeme Po de vue Traeme Maser SIS, Modélsao Géomérque 27 Maser SIS, Modélsao Géomérque 28 Place e rôle du modèle Le pla «d aa» coea beaucoup d aures formaos que la géomére Épasseur des ras Coao Texe Carouche Tedace acuelle : Essayer de rerouver cee rchesse Irodure de la sémaque das le modèle Feaures ou eés Modélsao déclarave Appor esseel d XML Place e rôle du modèle Modèle écessareme complexe Le modèle do égrer des coceps de plus e plus hau veau pour sa créao pour sa mapulao des formaos o géomérques, mas maérelles des formaos mmaérelles savor-fare rasoeme coassace Beaucoup de ravaux à ver das ce domae!!! Maser SIS, Modélsao Géomérque 29 Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 5

6 La ormalsao Normalsao Iere, régoale, professoelle, eraoale La ormalsao Iérê d u forma eure pour les échages AFNOR ANSI ISO Ufcao des paramères Smplfcao Dmuo des coûs Valorsao par rappor aux cles Sécursao (ere e exere) Faclé des échages (cles, sous-raas) Capalsao du savor Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 32 La ormalsao U vra beso d échage ere sysèmes E 98 créao de la verso d IGES Ial Graphcs Exchage Specfcao Géomére, doées graphques, aoaos Norme ANSI e 98 IGES es u forma d échage de modèles 2 ou 3D (verso 6) Forma ASCII de plus e plus rche Ceras formas propréares s mpose de fa DFX avec Auocad Maser SIS, Modélsao Géomérque 33 La ormalsao STEP Sadard for he Exchage of Produc Model Daa, orme ISO (ISO 33) comme représeer e échager les formaos ere les modèles umérques. Do permere de couvrr ou le cycle de ve du produ Norme «mul-pares», exesble Proe excessveme ambeux (déà ue dzae d aées) Les pares de bases so ermées Nombreuses AP à fare (Applcao Pars) Lagage de descrpo permea de décrre mpore quelle formao d géere : EXPRESS Maser SIS, Modélsao Géomérque 34 Deuxème pare Rappels e Complémes de Géomére Deuxème pare : Eveloppe covexe, barycere, focos de pods Maser SIS, Modélsao Géomérque 35 Maser SIS, Modélsao Géomérque 36 6

7 Eveloppe covexe Polygoe covexe : U polygoe es covexe s oue droe le coupe e au plus deux pos (excepés les suppors des côés!) Eveloppe covexe U polygoe qu es pas covexe es o covexe : 4 pos O po po 2 pos Il peu e pas êre smple e éa crosé : Maser SIS, Modélsao Géomérque 37 Maser SIS, Modélsao Géomérque 38 Eveloppe covexe U cas éressa : le polygoe éolé par rappor à u po oue dem-droe ssue de ce po coupe ue seule fos le polygoe exsece d ue zoe d éoleme Eveloppe covexe Eveloppe covexe d u esemble de pos : C es le plus pe polygoe covexe clua ous les pos c es l'eveloppe de l esemble des segmes oga ous les pos deux à deux o! ou! Ulsé das les problèmes de ragulao Tou polygoe covexe es éolé par rappor à ou po de so éreur Maser SIS, Modélsao Géomérque 39 La froère e passe par écessareme par ous les pos Techques de cosruco e de mapulao : géomére algorhmque Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 Barycere So O ue orge, (+) pos P affecés des masses m Le barycere des pos P affecés des masses m es le po G déf par : ( m ) OG mop o a auss : m GP oo d «équvale» de pos Rem : abus d écrure ( m ) G mp somme des masses o ulle P 2 P G P 3 P P 4 Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 Barycere Propréé fodameale : S la masse es ulle le po e compe pas S la masse es posve, plus celle-c augmee, plus G es aré par ce po S la masse es égave, plus celle-c augmee (e valeur absolue), plus G es repoussé par ce po Propréé fodameale 2 : S m, (hypohèse sysémaque), le barycere des pos P affecés des masses m es das l eveloppe covexe des pos P Démosrao évdee par récurrece à parr de 2 pos (forme m P + m P ) P P G P 2 P 4 P 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 42 7

8 Focos de pods Des focos de pods permee d assocer u esemble de masse à u esemble de pos Focos d u même paramère (+) focos pour (+) pos focos posves même domae de défo (par défau [,]) u esemble de masse pour chaque valeur de O déf as ue courbe C ( ( ) C( ( P Focos de pods Propréé supplémeare Propréé de Cauchy ou de de paro de l ué ou ( Chaque po C( es le barycere des pos P affecés des masses ( Reve à êre écr pour C( ( P chaque coordoée C es la base de la modélsao de courbes e surfaces Maser SIS, Modélsao Géomérque 43 Maser SIS, Modélsao Géomérque 44 Coordoées homogèes Idée ravaller das u espace de dmeso (+) appelé espace proecf pour représeer u espace affe euclde de dmeso Deuxème pare : Coordoées homogèes La derère coordoée s appelle coordoée d homogéésao le pods 2 ou 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 45 coordoées carésees coordoées homogèes vx x vy Assocao A y o assoce avec v vz o uque z v Maser SIS, Modélsao Géomérque 46 Coordoées homogèes Coordoées homogèes coordoées homogèes coordoées carésees x y A z w x / w o assoce y / w / z w s w Assocao uque Tous les pos W wx wy wz w se proee x y z s w Pos équvales Correspod à la proeco perspecve de E + E de cere l orge e sur l hyperpla w O W O S w, o a u po à l f ou ue dreco premer érê des coordoées homogèes Proeco à la base des courbes e surfaces raoelles Maser SIS, Modélsao Géomérque 47 Maser SIS, Modélsao Géomérque 48 8

9 Coordoées homogèes Coordoées homogèes Deuxème érê des coordoées homogèes représeer les rasformaos géomérques affes par des marces ue rasformao affe es ue rasformao affe das l espace euclde x' ax + b,..., déformao possble de l obe. ex : le cercle de coordoées x 2 +y 2 es rasformé e ue ellpse par la rasformao de marce b b 2 ue rasformao proecve es ue rasformao léare das l espace proecf ' + x ax,..., + Maser SIS, Modélsao Géomérque 49 Traslao Roaos x y M T z cosa s a M Rx s a cosa M Ry cosb s b s b cosb cosc s c s c cosc M Rz z a y x z b y z x y c x Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Coordoées homogèes Coordoées homogèes Trasformao d échelle avec ou sas déformao ex ey M E s e x e y e z k : homohée de rappor k e z La sue des rasformaos géomérques se résume à u produ o commuaf de marces praque, mas vrame peu performa (beaucoup de calculs ules) parfos remplacé par des calculs spécfques opmsés la vso das l espace a re d évde. les rasformaos géomérques so dffcles à appréheder Roao quelcoque auour d ue droe : se ramèe à ue composo de roaos auour des 3 axes (aeo!) + raslaos éveuelles rameer la droe à l orge rameer la droe sur u des axes Aeo : l addo de deux marces a aucu ses c la mulplcao par u scalare o plus à cause de la coordoée d homogéésao qu do êre raée dfféremme Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Maser SIS, Modélsao Géomérque 52 Ivarace Deuxème pare : Trasformaos géomérques e varace : Roaos, Traslaos, Proecos U obe déf par des pos (coeffces) es vara par rasformao géomérque s pour ober l obe après rasformao l suff : d effecuer la rasformao géomérque sur les pos (coeffces) de défo de cosrure l obe à parr des pos rasformés Pour ober ) Trasformer les pos 2) Calculer l obe correspoda Maser SIS, Modélsao Géomérque 53 Maser SIS, Modélsao Géomérque 54 9

10 Ivarace Propréé fodameale e modélsao géomérque : Trasformao géomérque fable pour ou po de l obe Très rapdeme réalsée (sur les doées défssa l obe Obeo d u vra modèle de l obe rasformé Ivarace par roao So ue courbe défe par : C( ( P () x( ( Px y( ( Py z( Pz ( ) Déped évdemme : du modèle de l obe de la rasformao géomérque Maser SIS, Modélsao Géomérque 55 Ue roao s exprme par ue rasformao léare x' ax,..., 3 La léaré red l varace par roao évdee Elle s applque à ous les obes modélsés sur le prcpe () oues les courbes à pôles e CAO oues les surfaces à pôles e CAO 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 56 Ivarace par roao x( U exemple e 2D! y( ( Px ( Py x' cos x s y Ue roao : y' s x + cos y x' ( cos ( Px s ( Py y'( s Px + Py ( ) cos ( ) x' ( ( (cos Px s Py ) y'( x + y ( )(s P cos P ) x' ( y'( ( Px' ( Py' cqfd Ivarace par raslao So ue courbe défe par : C( ( P () x( ( Px y( ( Py z( Pz ( ) Ue raslao s exprme par ue rasformao affe x' x + r,..., 3 Il apparaî mmédaeme les ermes r e ( r,..., 3 L varace par raslao es obeue pour ous les obes modélsés sur le prcpe () s les focos de pods vérfe la paro de l ué Maser SIS, Modélsao Géomérque 57 Maser SIS, Modélsao Géomérque 58 Ivarace par rasformao affe So ue courbe défe par : C( ( P () Tous les obes modélsés sur le prcpe () oues les courbes à pôles e CAO oues les surfaces à pôles e CAO so varas par rasformao affe s les focos de pods cosdérées vérfe la propréé de paro de l ué Proecos Représeao das u espace de dmeso (-) d u obe d u espace de dmeso (e gééral 2 ou 3) Proeco de ype dess dusrel : parallèles ou cyldrques po de vue à l f (opque) ous les rayos so parallèles Proeco orhogoale au po de vue : proeco axoomérque Résula fodameal e modélsao géomérque Proeco clée par rappor au po de vue cas classque 45 Maser SIS, Modélsao Géomérque 59 Maser SIS, Modélsao Géomérque 6

11 Proecos Proeco «réalses» : perspecves ou coques cas gééral : u po de vue (cere de proeco) u pla de proeco C Orge X Q O(X) (- OX + OC e Q(X).N (X) Ue équao e à ue coue Maser SIS, Modélsao Géomérque 6 Proecos D u po de vue marcel : les proecos s exprme e coordoées homogèes e fasa erver la coordoée d homogéésao Il s ag de rasformaos proecves! Aeo les marces assocées e so pas versbles ue fos proeé, o e peu plus rever e arrère l fau plus d ue vue pour recosrure u obe proeé Récapulaf A(3,3) B(3,) C(,3) D(,) B : marque des raslaos C : marque des rasformaos perspecves Maser SIS, Modélsao Géomérque 62 Ivarace par proeco Proeco parallèle (raé sur ue courbe plae) ) Proeco axoomérque Ivarace par proeco So ue courbe défe par : C( ( P () Traslao e roaos éveuelles se ramèe à Tous les obes modélsés sur le prcpe () oues les courbes à pôles e CAO oues les surfaces à pôles e CAO 2) Proeco oblque x x + y/ g ( y/(x -x) g ) so varas par proeco parallèle y se ramèe à x x' Maser SIS, Modélsao Géomérque 63 Maser SIS, Modélsao Géomérque 64 Ivarace par proeco Ivarace par proeco Proeco perspecve (raé sur ue courbe plae) Traslao e roaos éveuelles (x,y) D (x',y') plus smpleme :so la proeco perspecve C se ramèe à d C (x,y) D (x',) So ue courbe défe par : C( ( P () Les obes modélsés sur le prcpe () les courbes à pôles e CAO (y comprs les courbes raoelles) les surfaces à pôles e CAO (y comprs les courbes raoelles) O (x,y) (x',) D après Thalès : (x,y) (x/y,) y C( ( P U po de la courbe es rasformé e : U po de la courbe défe par les pos proeés es : e so pas varas par proeco perspecve Les obes polyomaux so rasformés e des obes raoels O parle d varace proecve des courbes e surfaces raoelles : ce es pas du ou la même propréé ue courbe raoelle se proee suva ue courbe raoelle ue surface raoelle se proee suva ue surface raoelle Maser SIS, Modélsao Géomérque 65 Maser SIS, Modélsao Géomérque 66

12 Tagee, courbure,... Tagee : C( de classe C p Deuxème pare : Géomére des courbes Tagee à la courbe e C( : doée par le premer veceur C (k) ( ) C( ) e C (k) ( ) cou e (kp) sguler : C ( ) (ou saoare) Aeo dfférece carése - paramérque Abscsse curvlge so u po de dépar fxé s( C' ( u) du ds c' ( C saoare e d O chos ue oreao (fxe ) : logueur oreée de la courbe rsèque à la courbe peu servr de paramérsao (éressae) Maser SIS, Modélsao Géomérque 67 Maser SIS, Modélsao Géomérque 68 Trèdre de Free courbes plaes Veceur age dc dc d ds d ds dc C' ( T ds C' ( d ds Veceur courbure dt dt d d N k N ds d ds ds N veceur ormal (ormé) d courbure algébrque ds ds d c' ( ( ) T veceur age (veceur ormé de la agee) R courbe C 2 : à courbure coue courbe C : a pror pas à courbure coue (vor coué géomérque) y N T ( Ox, N ) + / 2 x rayo de courbure algébrque Maser SIS, Modélsao Géomérque 69 Trèdre de Free courbes gauches Trède (M, T, N, B) dc T : veceur ormé de la agee (ue oreao fxée) ds dt N : veceur courbure, N veceur ormal, R rayo de courbure ds R B T N : veceur ormé de la bormale db N ds T : orso Pla recfa algébrque, rayo de orso B Pla osculaeur Pla ormal N Pla osculaeur : pla du cercle osculaeur Torso : varao du pla osculaeur orso ulle? Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Trèdre de Free courbes gauches Deuxème formule de Free C' ( R C' ( C"( C' ( C"( (3) ( C' (, C"(, C ( ) 3 d ds T N R B R / 2 ( x' + y' + z' ) ( y' z" z' y" ) 2 + ( z' x" x' z" ) 2 + ( x' y" y' x" ) 2 (a,b,c)(a^b).c T N B Deuxème pare : Géomére des surfaces Courbure : dérvée secode, Torso : dérvée rosème courbe C 2 : courbure coue, orso a pror o coue Pour ue courbe plae, u profl de courbure déf ue courbe à ue rasformao rgde près Pour ue courbe gauche : courbure + orso (plus délca Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Maser SIS, Modélsao Géomérque 72 2

13 Pla age Exsece de dem-plas ages S(u,v) ue surface de classe C 2 S S M(u,v) po réguler (o saoare) : vec(, ) es u pla u v C courbe C racée sur la surface : u ( ), v ( ) e de classe C C ( ) S( ( ), ( )) dc( ) S S ' ( ) ( ( ), ( )) + '( ) ( ( ), ( )) d u v Défo : pour oue courbe de classe C passa par M réguler : S S la agee e M es das u pla fxe appelé pla age déf par ( M,, ) u v Remarques Idépeda du paramérage de S possblé de dem-pla age M réguler pour la surface, pas forcéme pour la courbe mas s la agee exse, elle es ouours das le pla age Maser SIS, Modélsao Géomérque 73 O parle de lges de bouchas (vfs) sur ue carèe Maser SIS, Modélsao Géomérque 74 U pc sur ue surface U problème délca de pla age Maser SIS, Modélsao Géomérque 75 Maser SIS, Modélsao Géomérque 76 Courbures de surface Courbure ormale de C e M : 2 2 u' L + 2u' v' M + v' N proeco du veceur K k C sur S k k C. S 2 2 u' E + 2u' v' F + v' G e déped que de la dreco défe par du e dv Courbure ormale de la surface das ue dreco d courbure des courbes elles que C S kk Courbures ormales prcpales, drecos prcpales S les deux valeurs exrêmes k e k 2 de la courbure ormale les drecos d e d 2 (orhogoales) assocées Pla age Pla osculaeur S C K k S S v G M k g G dv du T d S u C Care de courbure gaussee Orge de l mage : hp://wwwsop.ra.fr/safr/sam/izc/argallery/ borrell.hml Rese à aalyser la care obeue! Chox de l échelle de couleurs? Maser SIS, Modélsao Géomérque 77 Maser SIS, Modélsao Géomérque 78 3

14 Représeao carésee Ue courbe plae es défe par : yf(x) Ue courbe gauche es défe par : yf(x), zg(x) Trosème pare Modélsao de Courbes e Surfaces : Modélsao surfacque U bo oul : hp:// Avaages e gééral la smplcé l accès drec à y e z coassa x Icovées (maeurs) (c) (b) (a) Tagee vercale : l fau chager de référeel Ue roao alère la défo de la courbe : * modfcao du domae de varao (b) * (c) o représeable par le même ype d équao Maser SIS, Modélsao Géomérque 79 Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 Représeao paramérque Ue courbe plae es défe par x(, y( Ue courbe gauche par x(, y(, z( Avaages lberé sur les agees forme quelcoque possblé d varace par rasformao géomérque aure propréé à vor dura le cours Icovée calcul parfos plus lourds ou plus délcas Représeao paramérque Chox d u mode de représeao C( ( P chox des focos de pods (ou de base) chox des coeffces vecorels P (désormas des pos), doées locales «maîrsées» la courbe s exprme dreceme par podérao de ces coeffces éressa e a que possblé de corôle de la courbe formulao deque quelle que so la dmeso de l espace 2D, 3D, D formulao écre pour chaque coordoée Aeo à e pas rasoer comme pour ue représeao carésee (ex. : sgularés) Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 Maser SIS, Modélsao Géomérque 82 Représeao paramérque U exemple hsorque : les courbes de Ferguso (6) 3 C( ( ) A [,] avec ( la cubque do vérfer les codos d Herme : A P A + A + A2 + A3 P O a alors : dp A d dp A + A + A d o parle de sples de Ferguso par composo de courbes élémeares sablé «oore» due à l esmao des dérvées (drecos, ormes) peu explquer le succès des Bézer peu s exprmer sous ue forme «plus agréable» C() P C() P dp C' () d dp C' () d 2 Dess o coracuel Maser SIS, Modélsao Géomérque 83 Représeao paramérque Averssemes rès mporas : ) O fa de la modélsao de courbes e surfaces déales e o réelles car : la réalé es fracale (éa de surface à l échelle mcroscopque) alors que les modèles mahémaques so «lsses» la surface éveuelleme crée a écessareme ue erreur par rappor au modèle (oléraceme 2) Cadre du cours de modélsao géomérque e o d u cours d approxmao base de focos parculères (polyômes, expoeelles, rgoomérques, ) Maser SIS, Modélsao Géomérque 84 4

15 U peu d «hsore» Bézer, De Caselau aées 5 à 6 : la mse e place des méhodes 87 : Ramshaw (blossomg : érê héorque) 87 : Farouk (sablé) B-sples aées 6 7 : De Boor (développeme des sples e approxmao) 73 : hèse de Resefeld 8 : Boehm (algorhme de raffeme 8 : Cohe, Lyche, Resefeld (algorhmes de raffeme Oslo) 87 : Ramshaw (blossomg) 9 : B-sples sur ragle, X-sples Coos 6 Maser SIS, Modélsao Géomérque 85 U peu d «hsore» Courbes raoelles : aées 85-9 F du duel Bézer - B-sples : 9 vso globale - passage d ue approche à l aure complémearé Aées 9 : exploso de la modélsao géomérque das de ombreux domaes apparo du problème de recosruco Aées 95 : apparo des surfaces de subdvso rès ulsées das l mage e le flm de syhèse Le rese de l hsore es à cosrure Maser SIS, Modélsao Géomérque 86 Polyômes de Berse So [X] l espace vecorel des polyômes de degrés C es u espace vecorel de dmeso (+) la base la plus coue es la base caoque (power bass) :,, 2,, Courbes de Bézer Ue aure base célèbre es la base de Berse (formée de (+) élémes) le ème polyôme de Berse es déf par : degré exaceme l exemple le plus coura 3 3 3,( ( 2 3,( 3 ( 2 3,2( 3 ( 3 3,3(, ( C ( Maser SIS, Modélsao Géomérque 87 Maser SIS, Modélsao Géomérque 88 Polyômes de Berse Propréé de sablé Parm les bases de polyômes, la base de Berse es opmale pour effecuer les prcpaux calculs (ravaux de R. Farouk) calculs sables Les formules de chageme de bases Berse caoque so coues explceme das les deux ses (marce) : A éver à ou prs surou pour grad : sable umérqueme Propréé fodameale : valeurs des polyômes, ( C (,(), () de plus : U seul polyôme o ul e e, (), () Polyômes de Berse Propréé fodameale 2 : posvé [,], ( ],[, ( > Propréé fodameale 3 : de de symére [,] (, ( ), Propréé fodameale 4 : paro de l ué [,], ( (vra sur ) Maser SIS, Modélsao Géomérque 89 Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 5

16 Polyômes de Berse Propréé 5 : Le maxmum de, ( es e / Polyômes de Berse Quelques exemples ', ( exremum : coué, codos d exrémé e posvé maxmum Propréé fodameale 6 : relao de récurrece pour à -, ( (, ( +, ( e posa, ( pour < e > (6) peu s écrre pour,, Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 2 B,2 ( B,2 ( B2,2( 3 2 B,3( B,3 ( B2,3( B3,3( Maser SIS, Modélsao Géomérque 92 Polyômes de Berse Quelques exemples Courbes de Bézer So (+) pos P de 2 ou 3 La courbe de Bézer assocée à ces pos es la courbe obeue e prea comme focos de pods les polyômes de Berse de degré (+) pos (+) focos [,] B,4 ( B,4 ( B2,4( B3,4 ( B4,4( B,5( B,5 ( B2,5( B3,5( B4,5( B5,5( Maser SIS, Modélsao Géomérque 93 C(, ( P [,] Les pos P so appelés pos de corôle La lge polygoale P P P polygoe caracérsque de la courbe ou polygoe de corôle Maser SIS, Modélsao Géomérque 94 Courbes de Bézer Propréés des courbes de Bézer Les pos P corôle la forme de la courbe Po de corôle Polygoe caracérsque Barycere des pos de corôle forme de défo paro de l ué Le po C( es le barycere des pos P affecés des masses, ( La courbe La courbe es obeue par podérao des pos de corôle. Les pos so ordoés La courbe C es u polyôme de degré exaceme polyôme à coeffce vecorel u polyôme de degré par coordoée Aures focos de base aure méhode Propréé d eveloppe covexe forme de défo paro de l ué posvé La courbe C es das l eveloppe covexe des pos P P P P 2 P 3 P 4 Maser SIS, Modélsao Géomérque 95 Maser SIS, Modélsao Géomérque 96 6

17 Propréés des courbes de Bézer Passage par les pos exrêmes Propréé (valeurs des polyômes de Berse) C() P e C() P Propréés des courbes de Bézer Qu es-ce que le paramérage? le avec la cémaque le avec le emps Problème smplfé pour les Bézer Propréé de symére verso du paramérage u - reparamérsao P u P Pourquo es-ce mpora? Ue courbe de Bézer «be» paramérée P P La même courbe C mas parcourue das l aure ses Ue courbe de Bézer «mal» paramérée P P Maser SIS, Modélsao Géomérque 97 Maser SIS, Modélsao Géomérque 98 Propréés des courbes de Bézer Chageme de paramérage e posa u (-a)/(b-a) quad décr [a,b], u décr [,] e récproqueme O peu défr ue courbe de Bézer sur u ervalle [a,b] quelcoque sas dffculé sauf e cas d ue courbe composée de pluseurs courbes de Bézer successves problème du paramérage global! Propréés des courbes de Bézer Propréé de dmuo des varaos «varao dmshg» la courbe es plus «régulère que so polygoe caracérsque» plus «lsse», plus eshéque, «mos de varao» Le ombre d ersecos de oue droe avec le polygoe caracérsque es supéreur ou égal au ombre d ersecos de la droe avec la courbe 4 e 2 4 e 4 e Maser SIS, Modélsao Géomérque 99 Maser SIS, Modélsao Géomérque Propréés des courbes de Bézer Propréé de reproduco de la léaré s les (+) pos de corôle so algés démosrao par le calcul démosrao par l eveloppe covexe dem pour la plaéé Ivarace par rasformao affe Ifluece des pos de corôle corôle global corôle plus délca effe de lssage l fluece du po P es maxmale e / déplaceme d u po Dérvée d ue courbe de Bézer Dérvée d u polyôme de Berse : C - ', ( ( - ( - ) ( ', ( (, (, ( ) e posa, ( pour < e >. Aureme : ', (, ( C ', (, ( Dérvée d ue courbe de Bézer, C'( ((P + - P ) C(, ( C (, ( P [,] Maser SIS, Modélsao Géomérque Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 7

18 Dérvée d ue courbe de Bézer Dérvée d ue courbe de Bézer La dérvée d ue courbe de Bézer de degré es ue courbe de Bézer de degré - Coséquece fodameale C' () ( P - P ) ( P P ) C' () ( P - P ) ( P P ) C' (, ( ( P + - P ) P Dérvée d ue courbe de Bézer Dérvée d ordre supéreur d ue courbe de Bézer La dérvée k ème d ue courbe de Bézer de degré es ue courbe de Bézer de degré -k k (k)! C ( ( k)! k, k ( P k P dfférece laérale descedae d ordre k calculée à parr de P 2 (par récurrece) 3 P La courbe passe par les pos exrêmes e es agee aux deux segmes exrêmes du polygoe de corôle P P + P +2 P P P + - P P + P +2 - P + 2 P P + - P P +2-2P + + P 3 P 2 P P Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 Dérvée d ue courbe de Bézer Dfférece laérale d ordre k P P + P +2 P P + - P P + P +2 - P + La dérvée +p ème (p>) d ue courbe de Bézer de degré es ulle 2 2 P P +2-2P + + P Coséqueces fodameales La dérvée k ème à chaque exrémé déped des k+ pos de corôle exrêmes Ue courbe de Bézer de degré deux es écessareme plae k k k P k ( ) C P + k Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Calcul d u po d ue courbe de Bézer Méhodes à proscrre calcul drec des polyômes de Berse par subsuo de algorhme de Hörer das la base caoque Algorhme de De Caselau Débu Pour à P P FPour Pour à Pour à - P (- P - + P - + FPour FPour // C( P F P - P P 2... P - - P P - P - P 2 P - P - - Maser SIS, Modélsao Géomérque 6 P Calcul d u po d ue courbe de Bézer Algorhme de De Caselau : erpréao graphque Débu Pour à P P FPour Pour à Pour à - P (- P - + P - + FPour FPour // C( P F Eape Eape Eape 2 Eape C( - - Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Calcul d u po d ue courbe de Bézer Algorhme de De Caselau : démosrao relao de récurrece pour à -, ( (, ( +, ( C( P [(, ( +, ( ] C ( P [(, ( +, ( ] + P (,( + P, C( P, ( E réapplqua la formule récursveme C P ( (, Débu Pour à P P FPour Pour à Pour à - P (- P - + P - + FPour FPour // C( P F ( Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 8

19 Calcul d u po d ue courbe de Bézer Algorhme de De Caselau : sablé e évaluao ue formulao récursve à proscrre combasos léares covexes (- calculé ue fos pour chaque coordoée : addos ( ) x 2 mulplcaos pour ue courbe 2D : pour ue courbe 3D : Oéreux mas sable C( - Débu Pour à P P FPour Pour à Pour à - P (- P - + P - + FPour FPour // C( P F Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 Calcul d u po d ue courbe de Bézer Algorhme de De Caselau : subdvso l algorhme «crée» les pos P, P,, P l algorhme «crée» les pos P, P -,, P P P P 2... P P P - P - P 2 P - P - - Deux courbes de Bézer de même degré do la réuo es la courbe ale P P P P 3 C( P 2 P 2 P 2 P 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque Calcul d u po d ue courbe de Bézer Algorhme de De Caselau : subdvso (sue) Ue courbe C resrco de C à [,] P 2 Ue courbe C2 resrco de C à [,] P 2 C( P P Propréé de covergece l algorhme de De Caselau perme d augmeer le ombre de pos de corôle quad le ombre de pos de corôle augmee, la courbe e le polygoe ede à se cofodre (s pos «be répars») Plus «précséme» e coupa récursveme la courbe e /2 : «covergece uforme» ere le polygoe global e la courbe C P 2 P 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque Hodographe L hodographe d ue courbe de Bézer courbe de Bézer d ue de ses dérvées hodographe premer, hodographe p ème Pas u ouveau cocep, mas ue vso dfféree erpréao graphque codos d exrémés algorhme de De Caselau Traeme sur la dévrée : raeme comme sur la courbe u po sguler : l hodographe passe par l orge ue agee de dreco d : l hodographe coupe la droe de dreco d passa d par l orge Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 Fermeure d ue courbe de Bézer Courbe de Bézer de degré fermée C k la courbe es C sauf au po de raccord raccordeme C : raccordeme C : raccordeme C k : Exemple courbe de degré 5 C 2 raccordeme C : P P 5 raccordeme C : P -P P 5 -P 4 raccordeme C 2 : P 2-2P +P P 5-2P 4 +P 3 Fermeure d ue courbe de Bézer Courbe de Bézer de degré fermée G k la courbe es C sauf au po de raccord raccordeme G : raccordeme G : pere de l ucé raccordeme G k : plus complexe pere de l ucé Exemple courbe de degré 5 G raccordeme G : P P 5 raccordeme G : P -P a (P 5 -P 4 ) P P P 5 P 4 P P 4 P P 2 P 3 P 2 Maser SIS, Modélsao Géomérque 3 Maser SIS, Modélsao Géomérque 4 9

20 Raccordeme de courbes de Bézer Le cas de oues les courbes de Bézer complexes logcels de CAO s appuya sur les Bézer (exemple hsorque Usurf) C courbe de Bézer de degré défe sur [,], P,, P C2 courbe de Bézer de degré m défe sur [,], R,, R m ou sur [,2] Raccordeme de courbes de Bézer Exemple : raccordeme C 2 de deux courbes de degré raccordeme C : P R raccordeme C : P -P - R -R raccordeme C 2 : P - 2P - +P -2 R 2-2R +R La courbe CC2 es C sauf au po de raccord! C (k) () k (k) m! k P C2 () R k ( k)! ( m k)! raccordeme C k :! P ( )! m! R,..., k ( m )! P -2 P - P R R R 2 Raccordeme G k : pere de l ucé degrés dfféres : er compe des raos lés aux degrés Maser SIS, Modélsao Géomérque 5 Maser SIS, Modélsao Géomérque 6 Coclusos sur les Bézer Modèle hsorque smple expresso de ou polyôme à coeffces vecorels pas de chox du degré (mas élévao du degré possble) corôle global be cou (lssage mpora peu de paramères Les covées la complexé augmee avec le ombre de pos lmao oblgaore du degré (9 à e praque) corôle global pas adapé pour l erpolao drece d u uage de pos erpolao par morceaux sablé avec les degrés élevés Surfaces sous forme produ esorel Do êre vu comme u arc élémeare de sple Maser SIS, Modélsao Géomérque 7 Maser SIS, Modélsao Géomérque 8 Prcpes So P u,v [u,v] l espace des polyômes de la forme : P u,v [u,v] es le produ esorel des espaces P u [u] e P v [v] Produ esorel : oo mahémaques lée à la héore des eseurs Se radu par des echques de sommaos mulples de mapulao d dces de symére das les formules sur les dces u v P( u, v) a u v Prcpes Ue surface, ou plus gééraleme, u appe (paramérée) es ue varéé de dmeso 2 deux paramères So ue courbe C (ou C()) C (u) (u)p Déformos C pour l ameer das ue ouvelle poso C (C()) Supposos que la déformao so coue Chaque po de C (u) décr ue courbe pour arrver e C (u) Cee courbe es S u (v) S u (v) C Maser SIS, Modélsao Géomérque 9 C Maser SIS, Modélsao Géomérque 2 2