[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Topologie Ouverts et fermés Exercice 6 [ 118 ] [correction] On muni le R-espce vectoriel des suites réelles bornées de l norme u = sup u n n N Exercice 1 [ 113 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s écrire comme intersection d une suite décroissnte d ouverts. Exercice [ 114 ] [correction] On désigne pr p 1 et p les pplictions coordonnées de R définies pr p i (x 1, x ) = x i. ) Soit O un ouvert de R, montrer que p 1 (O) et p (O) sont des ouverts de R. b) Soit H = { (x, y) R xy = 1 }. Montrer que H est un fermé de R et que p 1 (H) et p (H) ne sont ps des fermés de R. c) Montrer que si F est fermé et que p (F ) est borné, lors p 1 (F ) est fermé. Déterminer si les sous-ensembles suivnts sont fermés ou non : A = {suites croissntes}, B = {suites convergent vers }, C = {suites convergentes}, D = { suites dmettnt pour vleur d dhérence } et E = {suites périodiques}. Exercice 7 [ 111 ] [correction] On note R (N) l ensemble des suites réelles nulles à prtir d un certin rng. ) Montrer que R (N) est un sous-espce vectoriel de l espce B(N, R) des suites réelles bornées. b) B(N, R) étnt normé pr.. Le sous-espce vectoriel R (N) est-il une prtie ouverte? une prtie fermée? Exercice 3 [ 115 ] [correction] Montrer que si un sous-espce vectoriel F d un espce vectoriel normé E est ouvert lors F = E. Exercice 4 [ 116 ] [correction] Soient A, B deux prties non vides d un espce vectoriel normé E telles que d(a, B) = inf d(x, y) > x A,y B Montrer qu il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A U et B V. Exercice 5 [ 117 ] [correction] Soit E une espce vectoriel normé. ) Soient F une prtie fermée non vide de E et x E. Montrer d(x, F ) = x F b) Soient F et G deux fermés non vides et disjoints de E. Montrer qu il existe deux ouverts U et V tels que F U, G V et U V = Exercice 8 [ 111 ] [correction] Soient E 1 et E deux prties fermés d un espce vectoriel normé E telles que E = E 1 E Montrer qu une ppliction f : E F est continue si, et seulement si, ses restrictions f 1 et f u déprt de E 1 et de E le sont. Exercice 9 [ 637 ] [correction] On note (..) le produit sclire cnonique sur R n et. l norme ssociée. On rppelle l inéglité de Cuchy-Schwrz : si x, y R n, (x y) x y vec églité si, et seulement si, x et y sont colinéires et de même sens. ) Soit x,, b R n tel que b et x = x b. Montrer que x + b < x b) Soit F un fermé non vide de R n et x R n. Montrer qu il existe F tel que x = inf x y y F On supposer d bord que F est borné vnt d étudier le cs générl.

2 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés c) Soit A un convexe fermé non vide de R n. Montrer qu il existe un unique A tel que x = inf x y y A On note = P (x) ce qui définit une ppliction P : R n A ppelée projection sur le convexe A. d) Montrer que s il existe A tel que (x y ) pour tout y A, on = P (x). e) On suppose qu il existe un y A tel que (x P (x) y P (x)) > En considérnt les vecteurs de l forme ty + (1 t)p (x) vec t [, 1], obtenir une contrdiction. f) Déduire de d) et e) que = P (x) si, et seulement si, A et (x y ) pour tout y A. g) Etblir que pour tout x, y R n, En déduire que P est continue. (x y P (x) P (y)) P (x) P (y) Exercice 1 [ 415 ] [correction] Soit A une prtie non vide de R telle que pour tout x réel il existe un et un seul y A tel que x y = d(x, A). Montrer que A est un intervlle fermé. Exercice 11 [ 77 ] [correction] On munit l espce des suites bornées réelles B(N, R) de l norme u = sup n ( u n ). ) Montrer que l ensemble des suites convergentes est un fermé de B(N, R). b) Montrer que l ensemble des suites ( n ) qui sont terme générl d une série bsolument convergente n est ps un fermé de B(N, R). Exercice 1 [ 771 ] [correction] Soit E l ensemble des suites ( n ) n de C telles que l série n converge. Si = ( n ) n pprtient à E, on pose = + n= n ) Montrer que. est une norme sur E. b) Soit { F = E/ L ensemble F est-il ouvert? fermé? borné? + n= n = 1 Exercice 13 [ 31 ] [correction] Soient E un espce vectoriel normé, F un sous-espce fermé de E et G un sous-espce vectoriel de dimension finie de E. Montrer que F + G est fermé Exercice 14 [ 337 ] [correction] Crctériser dns M n (C) les mtrices dont l clsse de similitude est fermée. Même question vec R u lieu de C Exercice 15 [ 57 ] [correction] Soient E = C ([, 1], R) normé pr. et l prtie A = { f E/f() = et ) Montrer que A est une prtie fermée. b) Vérifier que f A, f > 1 Exercice 16 [ 366 ] [correction] Soient E = C ([, 1], R) normé pr. et l prtie A = { f E/f() = et ) Montrer que A est une prtie fermée. b) Vérifier que f A, f > 1 } } f(t) dt 1 } f(t) dt 1 c) Clculer l distnce de l fonction nulle à l prtie A.

3 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 3 Exercice 17 [ 389 ] [correction] ) Montrer que les prties A = { (x, y) R /xy = 1 } et B = {} R sont fermées. b) Observer que A + B n est ps fermée. Exercice 18 [ 39 ] [correction] Montrer que Z est une prtie fermée de R : ) en observnt que son complémentire est ouvert ; b) pr l crctéristion séquentielle des prties fermées ; c) en tnt qu imge réciproque d un fermé pr une ppliction continue. Exercice [ 1115 ] [correction] Montrer que si F est un sous-espce vectoriel de E lors son dhérence F est ussi un sous-espce vectoriel de E. Exercice 3 [ 379 ] [correction] Soit A une prtie d un espce vectoriel normé E. Etblir Vect(Ā) VectA Exercice 4 [ 1116 ] [correction] Soit A une prtie d un espce vectoriel normé E. Etblir que s frontière Fr(A) est une prtie fermée. Exercice 19 [ 336 ] [correction] Dns E = R [X], on considère les normes L ensemble N 1 (P ) = sup P (t) et N (P ) = sup P (t) t [,1] t [1,] Ω = {P E/P () } est-il ouvert pour l norme N 1? pour l norme N? Intérieur et dhérence Exercice [ 1113 ] [correction] Soient E un espce vectoriel normé et F un sous-espce vectoriel de E. Montrer que si F lors F = E. Exercice 5 [ 1117 ] [correction] Soit F une prtie fermée d un espce vectoriel normé E. Etblir Fr(Fr(F )) = Fr(F ) Exercice 6 [ 1118 ] [correction] Soient A un ouvert et B une prtie d un espce vectoriel normé E. ) Montrer que A B A B b) Montrer que A B = A B =. Exercice 7 [ 1119 ] [correction] On suppose que A est une prtie convexe d un espce vectoriel normé E. ) Montrer que Ā est convexe. b) L prtie A est-elle convexe? Exercice 1 [ 1114 ] [correction] Soient A et B deux prties d un espce vectoriel normé (E, N). ) On suppose A B. Etblir A B et Ā B. b) Comprer (A B) et A B d une prt puis (A B) et A B d utre prt. c) Comprer A B et Ā B d une prt puis A B et Ā B d utre prt. Exercice 8 [ 11 ] [correction] Soient A et B deux prties non vides d un espce vectoriel normé E. Etblir d(ā, B) = d(a, B) (en notnt d(a, B) = inf d(x, y)) x A,y B

4 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 4 Exercice 9 [ 111 ] [correction] Soient A 1,..., A n des prties d un espce vectoriel normé E. ) Etblir n A i = n A i. i=1 i=1 b) Comprer n A i et n A i. i=1 i=1 Exercice 35 [ 114 ] [correction] Montrer que GL n (R) est une prtie ouverte de M n (R). Exercice 36 [ 115 ] [correction] Soit E un espce vectoriel euclidien. Montrer que l ensemble { (x, y) E /(x, y) libre } est un ouvert de E. Exercice 3 [ 11 ] [correction] Soient f : E F continue bornée et A E, A non vide. Montrer f,a = f, Ā Exercice 31 [ 943 ] [correction] Déterminer l dhérence et l intérieur de l ensemble D n (C) des mtrices digonlisbles de M n (C). Exercice 3 [ 36 ] [correction] Soit A une prtie d un espce normé E. ) Montrer que l prtie A est fermée si, et seulement si, FrA A. b) Montrer que l prtie A est ouverte si, et seulement si, A FrA = Exercice 33 [ 347 ] [correction] Dns M (C), on introduit U = {M M (C)/SpM U} et R = {M M (C)/ n N, M n = I } ) Comprer les ensembles R et U. b) Montrer que U est une prtie fermée de M (C). c) Montrer que U est inclus dns l dhérence de R. d) Qu en déduire? Continuité et topologie Exercice 34 [ 113 ] [correction] Justifier que U = { (x, y) R /x + y < x 3 + y 3} est une prtie ouverte de R. Exercice 37 [ 116 ] [correction] Pour p {, 1,..., n}, on note R p l ensemble des mtrices de M n (K) de rng supérieur à p. Montrer que R p est un ouvert de M n (K). Exercice 38 [ 117 ] [correction] Soient E et F deux espces vectoriels normés et f : E F. Montrer qu il y équivlence entre les ssertions suivntes : (i) f est continue ; (ii) A P(E), f(ā) f(a) ; (iii) B P(F ), f 1 (B) f 1 ( B) ; (iv) B P(F ), f 1 (B ) ( f 1 (B) ). Exercice 39 [ 118 ] [correction] Montrer qu un endomorphisme u d un espce vectoriel normé E est continu si, et seulement si, l prtie {x E/ u(x) = 1} est fermée. Exercice 4 [ 119 ] [correction] Montrer qu une forme linéire est continue si, et seulement si, son noyu est fermé. Exercice 41 [ 3393 ] [correction] Soit f : [, 1] [, 1] une ppliction continue vérifint ) Montrer que l ensemble f f = f {x [, 1] /f(x) = x} est un intervlle fermé et non vide. b) Donner l llure d une fonction f non trivile vérifint les conditions précédentes. c) On suppose de plus que f est dérivble. Montrer que f est constnte ou égle à l identité.

5 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 5 Exercice 4 [ 774 ] [correction] ) Chercher les fonctions f : [, 1] [, 1] continues vérifint f f = f b) Même question vec les fonctions dérivbles. Exercice 46 [ 376 ] [correction] Soit f : R R vérifint 1) [, b] R, f ([, b]) est un segment ; ) y R, f 1 ({y}) est une prtie fermée. Montrer que f est continue. Exercice 43 [ 385 ] [correction] Soient E un espce normé de dimension quelconque et u un endomorphisme de E vérifint x E, u(x) x Pour tout n N, on pose v n = 1 n + 1 n k= ) Simplifier v n (u Id). b) Montrer que Im(u Id) ker(u Id) = {} c) On suppose E de dimension finie, étblir u k Im(u Id) ker(u Id) = E d) On suppose de nouveu E de dimension quelconque. Montrer que si Im(u Id) ker(u Id) = E lors l suite (v n ) converge simplement et l espce Im(u Id) est une prtie fermée de E. e) Etudier l réciproque. Exercice 44 [ 1111 ] [correction] Montrer que l ensemble des polynômes réels de degré n scindés à rcines simples est une prtie ouverte de R n [X]. Exercice 45 [ 773 ] [correction] Pour n N, O n désigne l ensemble des polynômes réels de degré n scindés à rcines simples et F n l ensemble des polynômes de R n [X] scindés à rcines simples. Ces ensemble sont-ils ouverts dns R n [X]? Exercice 47 [ 3859 ] [correction] Soit E un R-espce vectoriel normé de dimension finie. Montrer que l ensemble P des projecteurs de E est une prtie fermée de L(E). Connexité pr rcs Exercice 48 [ 1147 ] [correction] Montrer qu un pln privé d un nombre fini de points est connexe pr rcs. Exercice 49 [ 1148 ] [correction] Montrer que l union de deux connexes pr rcs non disjoints est connexe pr rcs. Exercice 5 [ 1149 ] [correction] Montrer que l imge d un connexe pr rcs pr une ppliction continue est connexe pr rcs. Exercice 51 [ 115 ] [correction] Soit f : I R une fonction dérivble. On suppose que f prend des vleurs strictement positives et des vleurs strictement négtives et l on souhite étblir que f s nnule. ) Etblir que A = { (x, y) I, x < y } est une prtie connexe pr rcs de I. b) On note δ : A R l ppliction définie pr δ(x, y) = f(y) f(x). Etblir que δ(a). c) Conclure en exploitnt le théorème de Rolle Exercice 5 [ 1151 ] [correction] Soit f : I R injective et continue. Montrer que f est strictement monotone. Indice : on peut considérer ϕ(x, y) = f(x) f(y) défini sur X = { (x, y) I, x < y }.

6 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 6 Exercice 53 [ 115 ] [correction] Soient A et B deux prties connexes pr rcs d un K-espce vectoriel E de dimension finie. ) Montrer que A B est connexe pr rcs. b) En déduire que A + B = { + b/ A, b B} est connexe pr rcs. Exercice 54 [ 1153 ] [correction] Soient A et B deux prties fermées d un espce vectoriel normé E de dimension finie. On suppose A B et A B connexes pr rcs, montrer que A et B sont connexes pr rcs. Exercice 55 [ 1154 ] [correction] Soit E un espce vectoriel normé de dimension finie n Montrer que l sphère unité S = {x E/ x = 1} est connexe pr rcs. Exercice 56 [ 1155 ] [correction] Soit E un espce vectoriel normé réel de dimension n. ) Soit H un hyperpln de E. L ensemble E\H est-il connexe pr rcs? b) Soit F un sous-espce vectoriel de dimension p n. L ensemble E\F est-il connexe pr rcs? Exercice 57 [ 1156 ] [correction] Montrer que le sous-ensemble de M n (R) formé des mtrices digonlisbles est connexe pr rcs. Exercice 58 [ 1157 ] [correction] Montrer que GL n (R) n est ps connexe pr rcs. Exercice 59 [ 1158 ] [correction] Montrer que GL n (C) est connexe pr rcs. Exercice 6 [ 3737 ] [correction] [Théorème de Drboux] Soit f : I R une fonction dérivble définie sur un intervlle I de R. ) Montrer que U = { (x, y) I /x < y } est une prtie connexe pr rcs de R. b) On note τ : U R l ppliction définie pr Justifier τ(x, y) = f(y) f(x) y x τ(u) f (I) τ(u) c) En déduire que f (I) est un intervlle de R. Exercice 61 [ 3867 ] [correction] Montrer que SO (R) est une prtie connexe pr rcs. Densité Exercice 6 [ 113 ] [correction] Montrer que GL n (R) est dense dns M n (R). On pourr considérer, pour A M n (R), les mtrices de l forme A λi n. Exercice 63 [ 1131 ] [correction] Soient E un espce vectoriel normé et F un sous-espce vectoriel de E. ) Montrer que F est un sous-espce vectoriel de E. b) Montrer qu un hyperpln est soit fermé, soit dense. Exercice 64 [ 113 ] [correction] Soient U et V deux ouverts denses d un espce vectoriel normé E. ) Etblir que U V est encore un ouvert dense de E. b) En déduire que l réunion de deux fermés d intérieurs vides est ussi d intérieur vide. Exercice 65 [ 358 ] [correction] Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles telles que u n +, v n + et u n+1 u n ) Soient ε > et n N tel que pour tout n n, u n+1 u n ε. Montrer que pour tout u n, il existe n n tel que u n ε. b) En déduire que {u n v p /n, p N} est dense dns R. c) Montrer que l ensemble {cos(ln n)/n N } est dense dns [ 1, 1].

7 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 7 Exercice 66 [ 317 ] [correction] Montrer que {m ln n/(m, n) Z N } est dense dns R. Exercice 67 [ 1133 ] [correction] Soit H un sous-groupe de (R, +) non réduit à {}. ) Justifier l existence de = inf {x H/x > } b) On suppose >. Etblir H puis H = Z. c) On suppose =. Etblir que H est dense dns R. Exercice 68 [ 3 ] [correction] ) Montrer que {cos(n)/n N} est dense dns [ 1, 1]. b) Montrer que {cos(ln n)/n N } est dense dns [ 1, 1]. Exercice 69 [ 1134 ] [correction] On note R (N) l ensemble des suites réelles nulles à prtir d un certin rng. ) Montrer que R (N) est une prtie dense de l espce des suites sommbles normé pr u 1 = + n= u n b) R (N) est-il une prtie dense de l espce des suites bornées normé pr u = sup u n? n N Exercice 7 [ 78 ] [correction] On note E l ensemble des fonctions réelles définies et continues sur [, + [ et dont le crré est intégrble. On dmet que E est un espce vectoriel réel. On le munit de l norme +. : f f (t) dt On note E l ensemble des f E telles que f est nulle hors d un certin segment. On note F l ensemble des fonctions de E du type x P (e x )e x / où P prcourt R [X]. Montrer que E est dense dns E puis que F est dense dns E. Exercice 73 [ 944 ] [correction] Soit A une prtie convexe et prtout dense d un espce euclidien E. Montrer que A = E. Exercice 74 [ 318 ] [correction] Soit A une prtie non vide de R vérifint, b A, + b A Montrer que A est dense dns l intervlle ]inf A, sup A[. Exercice 75 [ 3 ] [correction] Soit A une prtie non vide de R + vérifint (, b) A, b A Montrer que A (R\Q) est dense dns ]inf A, sup A[. Exercice 7 [ 1135 ] [correction] Montrer que l ensemble des mtrices digonlisbles de M n (C) est dense dns M n (C). Exercice 76 [ 359 ] [correction] Soient E = C ([, 1], R) et ϕ E. On note N ϕ : E R l ppliction définie pr Exercice 71 [ 779 ] [correction] Montrer qu un hyperpln d un espce vectoriel normé (E, ) est dense ou fermé dns E. N ϕ (f) = fϕ Montrer que N ϕ est une norme sur E si, et seulement si, ϕ 1 (R ) est dense dns [, 1].

8 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 8 Exercice 77 [ 34 ] [correction] Soit (u n ) une suite de réels strictement positifs. On suppose Montrer que l ensemble (u n ) strictement croissnte, u n + et u n+1 u n 1 A = { } um /m > n u n est une prtie dense dns l intervlle [1, + [ Exercice 78 [ 3649 ] [correction] Soient A et B deux prties denses d un espce normé E. On suppose l prtie A ouverte, montrer que A B est une prtie dense. Exercice 8 [ 1137 ] [correction] Montrer que pour tout A, B M n (C), χ AB = χ BA. Exercice 83 [ 1138 ] [correction] Soit n. Clculer det(coma) pour A M n (C). Exercice 84 [ 318 ] [correction] Soient n N vec n. ) Soient A M n (C) et P GL n (C). Exprimer l comtrice de P 1 AP en fonction de P, P 1 et de l comtrice de A. b) En déduire que les comtrices de deux mtrices semblbles sont elle-même semblbles. Exercice 79 [ 1 ] [correction] Etblir que S n ++ (R) est dense dns S n + (R). Continuité et densité Exercice 8 [ 1136 ] [correction] Soit f : R R continue vérifint Déterminer f. x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y) Exercice 81 [ 1139 ] [correction] Soit f : R R une fonction continue telle que ( ) x + y x, y R, f = 1 (f(x) + f(y)) ) Montrer que D = {p/ n /p Z, n N} est dense dns R. b) Montrer que si f s nnule en et en 1 lors f =. c) Conclure que f est une fonction ffine. Exercice 85 [ 75 ] [correction] Pour A M n (K), on note à l trnsposée de l comtrice de A. ) Clculer det Ã. b) Etudier le rng de Ã. c) Montrer que si A et B sont semblbles lors à et B le sont ussi. d) Clculer Ã. Exercice 86 [ 375 ] [correction] Montrer A, B M n (R), com(ab) = com(a)com(b) Théorème de Weierstrss Exercice 87 [ 114 ] [correction] Soit f : [, b] C continue. Montrer b f(t)e int dt n + On pourr commencer pr étudier le cs où f est une fonction de clsse C 1.

9 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 9 Exercice 88 [ 1141 ] [correction] Soit f : [, 1] R continue. Montrer que si pour tout n N, lors f est l fonction nulle. t n f(t) dt = Exercice 89 [ 114 ] [correction] Soit f : [, b] R continue telle que b f(t) dt =. Montrer qu il existe une suite (P n ) de polynômes telle que b P n (t) dt = et sup f(t) P n (t) t [,b] n + Exercice 9 [ 1143 ] [correction] Soit f : [, b] R continue telle que f. Montrer qu il existe une suite (P n ) de polynômes telle que P n sur [, b] et sup f(t) P n (t). t [,b] n + Exercice 91 [ 1144 ] [correction] Soit f : [, b] R de clsse C 1. Montrer qu il existe une suite (P n ) de polynômes telle que N (f P n ) et N (f P n) Exercice 9 [ 1145 ] [correction] [Théorème de Weierstrss : pr les polynômes de Bernstein] Pour n N et k {,..., n}, on pose ( ) n B n,k (x) = x k (1 x) n k k ) Clculer n B n,k (x), k= n kb n,k (x) et k= b) Soient α > et x [, 1]. On forme n k B n,k (x) A = {k [[, n]] / k/n x α} et B = {k [[, n]] / k/n x < α} k= Montrer que k A c) Soit f : [, 1] R continue. On pose f n (x) = B n,k (x) 1 4nα n f k= ( ) k B n,k (x) n Montrer que (f n ) converge uniformément vers f sur [, 1]. Exercice 93 [ 1146 ] [correction] [Théorème de Weierstrss : pr convolution] n désigne un entier nturel. On pose n = 1 (1 t ) n dt et on considère l fonction ϕ n : [ 1, 1] R définie pr ϕ n (x) = 1 n (1 x ) n ) Clculer t(1 t ) n dt. En déduire que n = 1 (1 t ) n dt 1 n + 1 b) Soit α ], 1]. Montrer que (ϕ n ) converge uniformément vers l fonction nulle sur [α, 1]. c) Soit f une fonction continue de R vers R nulle en dehors de [ 1/, 1/]. Montrer que f est uniformément continue. On pose f n (x) = 1 f(x t)ϕ n (t) dt pour tout x R. d) Montrer que f n est une fonction polynomile sur [ 1/, 1/] e) Montrer que f(x) f n (x) = 1 (f(x) f(x t))ϕ n (t) dt

10 [ édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 f) En déduire que f n converge uniformément vers f sur R. g) Soit f une fonction réelle continue nulle en dehors de [, ]. Montrer que f est limite uniforme d une suite de polynômes. h) Soit f une fonction réelle continue sur [, b]. Montrer que f est limite uniforme d une suite de polynômes. Exercice 94 [ 88 ] [correction] Soit f C([, b], R). On suppose que pour tout n N, b ) Montrer que l fonction f est nulle. b) Clculer I n = x n f(x) dx = + x n e (1 i)x dx c) En déduire qu il existe f dns C([, + [, R) non nulle, telle que, pour tout n dns N, on it Lemme de Bire + x n f(x) dx = Exercice 95 [ 315 ] [correction] Soit f : [1, + [ R une fonction continue vérifint Montrer que f converge vers en +. x [1, + [, f(nx) n +

11 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 11 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Soient F un fermé et pour tout n N, O n = B(, 1/n) F O n est un ouvert (cr réunion d ouverts) contennt F. Le fermé F est donc inclus dns l intersection des O n pour n N. Inversement si x pprtient à cette intersection, lors, pour tout n N, il existe n F tel que x B( n, 1/n). L suite ( n ) converge lors vers x et donc x F cr F est fermé. Finlement F est l intersection des O n pour n N. Exercice : [énoncé] ) Soit x p 1 (O), il existe y R tel que = (x, y) O. Comme O est ouvert, il existe ε > tel que B (, ε) O et lors ]x ε, x + ε[ p 1 (O). Ainsi p 1 (O) et de même p (O) est ouvert. b) Soit ((x n, y n )) n N H N telle que (x n, y n ) (x, y). Comme x n y n = 1, à l limite xy = 1. Pr l crctéristion séquentielle des fermés, H est fermé. p 1 (H) = R, p (H) = R ne sont ps fermés dns R. c) Soit (x n ) n N (p 1 (F )) N telle que x n x. Pour n N, il existe y n tel que (x n, y n ) F. L suite ((x n, y n )) est lors une suite bornée dont on peut extrire une suite convergente : ((x ϕ(n), y ϕ(n) )). Notons y = lim y ϕ(n). Comme F est fermé, (x, y) = lim(x ϕ(n), y ϕ(n) ) F puis x = p 1 ((x, y)) p 1 (F ). Exercice 4 : [énoncé] Les ensembles U = A B(, d/) et V = B(b, d/) vec d = d(a, B) sont solutions. En effet U et V sont des ouverts (pr réunion d ouverts) contennt A et B. U et V sont disjoints cr U V (, b) A B, B(, d/) B(b, d/) d(a, B) < d Exercice 5 : [énoncé] ) ( ) ok ( ) Si d(x, F ) = lors il existe (u n ) F N tel que u n x, or F est fermé, donc x F. b) Soient U = x F b B B (x, 1 ) d(x, G) et V = x G B (x, 1 ) d(x, F ) Les prties U et V sont ouvertes cr réunion de boules ouvertes et il est clir que U et V contiennent respectivement F et G. S il existe y U V lors il existe F et b G tels que Puisque on donc C est bsurde et on peut conclure d(, y) < 1 d(, G) et d(b, y) < 1 d(b, F ) d(, G), d(b, F ) d(, b) d(, b) d(, y) + d(y, b) < d(, b) U V = Exercice 3 : [énoncé] E F donc il existe α > tel que B( E, α) F. Pour tout x E, on peut écrire x = λy vec y B( E, α) et λ bien choisis On lors y F puis x F cr F est un sous-espce vectoriel. Ainsi F = E. Exercice 6 : [énoncé] A est fermé cr si u p = (u p n) est une suite d éléments de A convergent vers une suite u = (u n ) pour l norme. lors pour tout n N et tout p N, u p n u p n+1 qui donne à l limite u n u n+1 et donc u A. B est fermé cr si u p = (u p n) est une suite d éléments de B convergent vers une suite u = (u n ) pour l norme. lors pour tout ε > il existe p N tel que u u p ε/ et puisque u p n, il existe N N tel que n n N, u p n ε/

12 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 1 et donc u n u n u p n + u p n ε Ainsi u et donc u B. C est fermé. En effet si u p = (u p n) est une suite d éléments de C convergent vers une suite u = (u n ) pour l norme. lors en notnt l p l limite de u p, l suite (l p ) est une suite de Cuchy puisque l p l q u p u q. Posons l l limite de l suite (l p ) et considérons v p = u p l p. v p B et v p u l donc u l B et u C. D est fermé cr si u p = (u p n) est une suite d éléments de D convergent vers une suite u = (u n ) pour l norme. lors pour tout ε > il existe p N tel que u u p ε/ et puisque est vleur d dhérence de u p, il existe une infinité de n tels que u p n ε/ et donc tels que u n u n u p n + u p n ε Ainsi est vleur d dhérence de u et donc u D. E n est ps fermé. Notons δ p, l suite déterminée pr δn p = 1 si p n et sinon. L suite δ p est périodique et toute combinison linéire de suites δ p l est encore. Posons lors p u p 1 = k δk k=1 qui est élément de E. L suite u p converge cr u p+q u p p+q k=p+1 et l limite u de cette suite n est ps périodique cr u = lim p p + k=1 1 k 1 p 1 k = 1 et que u n < 1 pour tout n puisque pour que u n = 1 il fut k n pour tout k N. Exercice 7 : [énoncé] ) Les éléments de R (N) sont bornés donc R (N) B(N, R). L pprtennce de l élément nul et l stbilité pr combinison linéire sont immédites. b) Si R (N) est ouvert lors puisque R (N) il existe α > tel que B (, α) R (N). Or l suite constnte égle à α/ pprtient à B (, α) et n est ps nulle à prtir d un certin rng donc B (, α) R (N) et donc R (N) n est ps ouvert. c) Pour N N, posons u N définie pr u N n = 1 n+1 si n N et un n = sinon. (u N ) R (N) et u N u vec u donné pr u n = 1 n+1. En effet Mis u / R (N) donc R (N) n est ps fermé. u N u = 1 N + Exercice 8 : [énoncé] L impliction directe est immédite. Inversement, supposons f 1 et f continue. Soit E. Si E 1 E lors l continuité de f 1 et de f donne et donc f(x) x,x E 1 f(x) x,x E f(x) x,x E f() f() f() Si E 1 \E lors il existe α > tel que B(, α) C E E et donc B(, α) E 1. Puisque f coïncide vec l fonction continue f 1 sur un voisinge de, on peut conclure que f est continue en. Le risonnement est semblble si E \E 1 et tous les cs ont été trités cr E = E 1 E. Exercice 9 : [énoncé] ) x + b = 1 4 x x b + 1 (x x b) x De plus s il y églité, x et x b sont colinéires et ont même sens, or ces vecteurs ont même norme, ils sont dès lors égux ce qui est exclu puisque b. b) Cs F borné (donc compct). Il existe (y n ) F N tel que x y n n + inf x y y F

13 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 13 Pour vleur d dhérence de (y n ), on pr pssge à l limite x = inf x y y F Cs générl. Posons d = inf y F x y et F = F B(x, d + 1). F est fermé et borné donc il existe F tel que x = inf y F Or pr double inéglité inf y F x y = inf y F x y. x y et F donc il existe F tel que voulu. c) L existence est ssuré pr b. Pour l unicité, supposons pr l bsurde l existence de b solutions. Pr ), on x + b < x vec +b A cr A convexe. Cel contredit l définition de. d) x y = x + (x y) + y x vec A donc = P (x). e) x (ty + (1 t)p (x)) = x P (x) t(y P (x)) or = x P (x) t(x P (x) y P (x)) + t y P (x) t(x P (x) y P (x)) + t y P (x) t(x P (x) y P (x)) t est strictement négtif u voisinge de zéro. Pour t suffismment petit, ty + (1 t)p (x) est un vecteur du convexe A contredisnt l définition de. f) Pr d), on. Pr e., on vi contrposée. g) (x y P (x) P (y)) = (x P (x) P (x) P (y)) vec et donc + P (x) P (y) + (P (y) y P (x) P (y)) (x P (x) P (x) P (y)) = (x P (x) P (y) P (x)) (P (y) y P (x) P (y)) = (y P (y) P (x) P (y)) (x y P (x) P (y)) P (x) P (y) Pr Cuchy-Schwrz P (x) P (y) x y P (x) P (y) Pour P (x) P (y), P (x) P (y) x y et pour P (x) = P (y) ussi. P est donc continue cr lipschitzienne. Exercice 1 : [énoncé] Soit (x n ) A N convergent vers x R. Il existe un unique y A tel que x y = d(x, A). Or d(x, A) = donc x = y A. Ainsi A est fermé. Pr l bsurde supposons que A ne soit ps un intervlle. Il existe < c < b tel que, b A et c / A. Posons α = sup {x A/x c} et β = inf {x A/x c}. On α, β A, α < c < β et ]α, β[ C R A. Posons lors γ = α+β β α. On d(γ, A) = = γ α = γ β ce qui contredit l hypothèse d unicité. Absurde. Exercice 11 : [énoncé] ) Notons C l espce des suites convergentes de B(N, R). Soit (u n ) une suite convergente d éléments de C de limite u. Pour chque n, posons l n = lim u n = lim p + un p. Pr le théorème de l double limite ppliquée à l suite des fonctions u n, on peut ffirmer que l suite (l n ) converge et que l suite u converge vers l limite de (l n ). En prticulier u C. b) Notons A l espce des suites dont le terme générl est terme générl d une série bsolument convergente. Soit (u n ) l suite définie pr n N, p N, u n p = 1 (p + 1) 1+1/n L suite (u n ) est une suite d éléments de A et une étude en norme permet d étblir que u n u vec u p = 1 p+1. L suite u n étnt ps élément de A, l prtie A n est ps fermée. Exercice 1 : [énoncé] ) Pr définition de l ensemble E, l ppliction. : E R + est bien définie. Soient ( n ) n, (b n ) n éléments de E et λ R. + b = + n= n + b n + n= ( n + b n ) = + b

14 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 14 vec convergence des séries écrites, et λ. = Enfin, si = lors + n= λ n = donne ( n ) n = () n b) Considérons l forme linéire On vérifie + n= + λ n = λ n = λ n N, n = ϕ : ( n ) n = ( n ) n E, ϕ() = + n + n= n= n n= + n= n = L forme linéire ϕ est donc continue. Puisque F = ϕ 1 ({1}) vec {1}, l prtie F est fermée en tnt qu imge réciproque d une prtie fermée pr une ppliction continue.. Posons e = (1,,,...) et un élément de F et α >, e + αe / F et e (e + αe) = α On en déduit que F n est ps un voisinge de son élément e et pr conséquent l prtie F n est ps ouverte. Posons α p = e + p.(1, 1,,,...). L prtie F n est donc ps bornée. p N, α p F et α p p + + Exercice 13 : [énoncé] Pour obtenir ce résultt, il suffit de svoir montrer F + Vect(u) fermé pour tout u / F. Soit (x n ) une suite convergente d éléments de F + Vect(u) de limite x. Pour tout n N, on peut écrire x n = y n + λ n u vec y n F et λ n K. Montrons en risonnnt pr l bsurde que l suite (λ n ) est bornée. Si l suite (λ n ) n est ps bornée, quitte à considérer une suite extrite, on peut supposer λ n +. Posons lors z n = 1 λ n x n = 1 λ n y n + u. Puisque x n x et λ n +, on z n et donc 1 λ n y n u. 1 Or l suite de terme générl λ n y n est une suite d éléments de l espce fermé F, donc u F ce qui exclu. Ainsi l suite (λ n ) est bornée et on peut en extrire une suite convergente (λ ϕ(n) ) de limite λ K. Pr opértions, l suite (y ϕ(n) ) est lors convergente. En notnt y s limite, on y F cr l espce F est fermé. En pssnt l reltion x n = y n + λ n u à l limite on obtient x = y + λu F + Vect(u). Ainsi l espce F + Vect(u) est fermé. Exercice 14 : [énoncé] Cs A M n (C) est digonlisble. Soit (A p ) une suite convergente de mtrices semblbles à A. Notons A l limite de (A p ). Si P est un polynôme nnulteur de A, P est nnulteur des A p et donc P nnule A. Puisque A est supposée digonlisble, il existe un polynôme scindé simple nnulnt A et donc A et pr suite A est digonlisble. De plus χ A = χ Ap donc à l limite χ A = χ A. On en déduit que A et A ont les mêmes vleurs propres et que celles-ci ont mêmes multiplicités. On en conclut que A et A sont semblbles. Ainsi l clsse de similitude de A est fermée. Cs A M n (C) non digonlisble. A titre d exemple, considérons l mtrice ( ) λ 1 A = λ Pour P p = ( p 1 ), on obtient ( Pp 1 λ 1/p AP p = λ ) λi qui n est ps semblble à A. De fçon plus générle, si l mtrice A n est ps digonlisble, il existe une vleur propre λ pour lquelle ker(a λi ) ker(a λi ) Pour X ker(a λi ) \ ker(a λi ) et X 1 = (A λi )X, l fmille (X 1, X ) vérifie AX 1 = λx 1 et AX = λx + X 1. En complétnt l fmille libre (X 1, X )

15 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 15 en une bse, on obtient que l mtrice A est semblble à λ 1 ( ) T = λ ( ) () () B Pour P p = dig(p, 1,..., 1), on obtient λ 1/p ( /p) Pp 1 T P p = λ ( ) () () B λ () λ ( ) () () B = A Or cette mtrice n est ps semblble à T ni à A cr rg(a λi n ) rg(t λi n ). Ainsi, il existe une suite de mtrices semblbles à A qui converge vers une mtrice qui n est ps semblble à A, l clsse de similitude de A n est ps fermée. Cs A M n (R) Si A est digonlisble dns C lors toute limite A d une suite de l clsse de similitude de A est semblble à A dns M n (C). Soit P GL n (C) telle que P 1 AP = A. On lors AP = P A. En introduisnt les prties réelles et imginires de P, on peut écrire P = Q + ir vec Q, R M n (R). L identité AP = P A vec A et A réelles entrîne AQ = QA et AR = RA. Puisque l fonction polynôme t det(q + tr) n est ps nulle (cr non nulle en i), il existe t R tel que P = Q + tr GL n (R) et pour cette mtrice AP = P A. Ainsi les mtrices A et A sont semblbles dns M n (R). Si A n est ps digonlisble dns C. Il existe une vleur propre complexe λ pour lquelle ker(a λi ) ker(a λi ). Pour X ker(a λi ) \ ker(a λi ) et X 1 = (A λi )X, l fmille (X 1, X ) vérifie AX 1 = λx 1 et AX = λx + X 1. Si λ R, il suffit de reprendre l démonstrtion qui précède. Si λ C\R, on peut écrire λ = + ib vec b R. Posons X 3 = X 1 et X 4 = X. L fmille (X 1, X, X 3, X 4 ) est libre cr λ λ. Introduisons ensuite Y 1 = Re(X 1 ), Y = Re(X ), Y 3 = Im(X 1 ) et Y 4 = Im(X ). Puisque Vect C (Y 1,..., Y 4 ) = Vect C (X 1,..., X 4 ), l fmille (Y 1,..., Y 4 ) est libre et peut donc être complétée en une bse. On vérifie pr le clcul AY 1 = Y 1 by 3, AY = Y by 4 + Y 1 AY 3 = Y 3 + by 1 et AY 4 = by + Y 4 + Y 3. et ( on obtient ) que l mtrice A est semblble dns M n (R) à l mtrice T vec O B T = 1 b b b 1 b Pour P p = dig(p, 1, p, 1,... 1), on obtient ( ) Pp 1 T T P p = A O B vec T = b b b b Or dns M n (C), l mtrice A est semblble est à dig(λ, λ, λ, λ, B) qui n est ps semblble à A pour des risons de dimensions nlogues à ce qui déjà été vu. Les mtrices réelles A et A ne sont ps semblbles dns M n (C) ni fortiori dns M n (R). On en déduit que l clsse de similitude de A n est ps fermée Exercice 15 : [énoncé] ) Soient (f n ) une suite convergente d éléments de A et f E s limite. Puisque l convergence de l suite (f n ) lieu pour l norme., cette convergence correspond à l convergence uniforme. En prticulier, il y convergence simple et f n () f () On en déduit f () =. Puisqu il y convergence uniforme de cette suite de fonctions continues, on ussi f n (t) dt et donc f (t) dt 1 f (t) dt Ainsi f A et l prtie A est donc fermée en vertu de l crctéristion séquentielle des prties fermées. b) Pr l bsurde, supposons qu il existe f A vérifint f 1. Puisque on peut ffirmer que f(t) dt f(t) dt f(t) dt = 1 f dt 1

16 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 16 et donc (1 f(t)) dt = Or l fonction t 1 f(t) est continue et positive, c est donc l fonction nulle. Pr suite f est l fonction constnte égle à 1, or f() =, c est bsurde. Exercice 16 : [énoncé] ) Soient (f n ) une suite convergente d éléments de A et f E s limite. Puisque l convergence de l suite (f n ) lieu pour l norme., il s git d une convergence uniforme. Puisqu il y convergence uniforme, il y convergence simple et en prticulier f n () f () On en déduit f () =. Puisqu il y convergence uniforme de cette suite de fonctions continues, on ussi f n (t) dt f (t) dt et donc f (t) dt 1. Ainsi f A et l prtie A est donc fermée en vertu de l crctéristion séquentielle des prties fermées. b) Pr l bsurde, supposons qu il existe f A vérifint f 1. Puisque on peut ffirmer que et donc f(t) dt f(t) dt f(t) dt = 1 (1 f(t)) dt = f dt 1 Or l fonction t 1 f(t) est continue et positive, c est donc l fonction nulle. Pr suite f est l fonction constnte égle à 1, or f() =, c est bsurde. c) d(, A) = inf f A f et pr ce qui précède on déjà d(, A) 1. Considérons mintennt l fonction f n définie pour n N pr le schém. L fonction f n L fonction f n est continue, f n () = et pr clcul d ires f n (t) dt = 1 ( n ) n + 1 (n 1)(n + 1) = n n n n n = n + n 1 n 1 Ainsi l fonction f n est élément de A. Or donc f n = n + 1 n d(, A) = 1 1 Exercice 17 : [énoncé] ) Soit (u n ) une suite convergente d élément de A de limite u = (x, y ). Pour tout n N, on peut écrire u n = (x n, y n ) vec x n y n = 1. A l limite on obtient x y = 1 et donc u = 1. En vertu de l crctéristion séquentielle des prties fermées, on peut ffirmer que A est fermée. L prtie B, qunt à elle, est fermée cr produit crtésien de deux fermées. b) Posons u n = (1/n, ) = (1/n, n) + (, n) A + B Qund n +, u n (, ). Or (, ) / A + B cr le premier élément d un couple pprtennt à A + B ne peut ps être nul.

17 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 17 Exercice 18 : [énoncé] ) On R\Z = n Z ]n, n + 1[ Puisque R\Z est une réunion d ouverts, c est un ouvert. b) Soit (x n ) une suite convergente d entiers de limite l. Pour ε = 1/, il existe un rng N N tel que et lors n N, x n l < 1/ m, n N, x m x n < 1 Puisque les termes de l suite (x n ) sont entiers, on en déduit m, n N, x m = x n L suite (x n ) est lors constnte à prtir du rng N et s limite est donc un nombre entier. c) Considérons f : R R définie pr f(x) = sin(πx). L fonction f est continue et Z = f 1 ({}) vec {} prtie fermée de R. Exercice 19 : [énoncé] Posons ϕ : E R l ppliction définie pr ϕ(p ) = P (). L ppliction ϕ est linéire et puisque ϕ(p ) N 1 (P ), cette ppliction est continue. On en déduit que Ω = ϕ 1 ({}) est un ouvert reltif à E i.e. un ouvert de E pour l norme N 1. Pour l norme N, montrons que l prtie Ω n est ps ouverte en observnt qu elle n est ps voisinge de son point P = 1. Pour cel considérons l fonction continue f : [, ] R donnée pr le grphe suivnt : Pr le théorème d pproximtion de Weierstrss, il existe une suite (P n ) de polynômes vérifint sup P n (t) f(t) t [,] et en prticulier P n () et N (P n P ) Considérons lors l suite de polynômes (Q n ) vec Q n = P n P n () Pour tout n N, Q n () = donc Q n / Ω et donc N (Q n ) N (P n P ) + P n () N Q n P Puisque l prtie Ω n est ps voisinge de chcun de ses points, elle n est ps ouverte pour l norme N. Exercice : [énoncé] Supposons F et introduisons x F, il existe ε > tel que B(x, ε) F. Pour tout u E tel que u E, considérons y = x + ε u u on y B(x, ε) donc y F, or x F donc u F. Ainsi E F puis E = F. Exercice 1 : [énoncé] ) Si est intérieur à A lors A est voisinge de et donc B ussi. Pr suite B. Si est dhérent à A lors est limite d une suite convergente d éléments de A. Celle-ci est ussi une suite convergente d éléments de B donc B. On peut ussi déduire ce résultt du précédent pr un pssge u complémentire. b) A B A, B donc (A B) est inclus dns A B. Inversement si un élément de A B, lors A est voisinge de et B ussi donc A B est voisinge de et donc est intérieur à A B. Ainsi (A B) et A B sont égux. A A B et B A B donc A B est inclus dns (A B). L églité n est ps toujours vrie. Un contre-exemple est obtenu pour A = ], 1] et B = [1, [ où A B = ], 1[ ]1, [ lors que (A B) = ], [.

18 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 18 c) Pr pssge u complémentire des résultts précédents : A B et Ā B sont égux lors que Ā B est inclus A B sns pouvoir dire mieux. On peut ussi mener une résolution directe en exploitnt ) et l crctéristion séquentielle des points dhérents pour l inclusion de A B dns Ā B. Exercice : [énoncé] F E et E F cr E F. Soient λ, µ K et x, y F. Il existe deux suites (x n ) et (y n ) d éléments de F vérifint On lors x n x et y n y λx n + µy n λx + µy vec λx n + µy n F pour tout n N. On en déduit λx + µy F. Exercice 3 : [énoncé] Puisque A VectA, on Ā VectA. Puisque VectA est un sous-espce vectoriel, on montrer isément que VectA l est ussi. Puisqu il contient Ā, on obtient Vect(Ā) VectA Exercice 4 : [énoncé] On Fr(A) = Ā\ A = Ā C E A = A C E A On en déduit que Fr(A) est fermée pr intersection de prties fermées Exercice 5 : [énoncé] On sit donc Fr(F ) = F C E F Fr(Fr(F )) = Fr(F ) C E Fr(F ) Or Fr(F ) F = F donc C E F C E Fr(F ) puis C E F C E FrF. De plus FrF C E F donc FrF C E FrF puis Fr(Fr(F )) = Fr(F ) Exercice 6 : [énoncé] ) Soit x A B. Il existe une suite (b n ) B N telle que b n x. Or x A et A est ouvert donc à prtir d un certin rng b n A. Ainsi pour n ssez grnd b n A B et puisque b n x, x A B. b) Si A B = lors A B A B = =. Exercice 7 : [énoncé] ) Soient, b Ā. Il existe ( n) A N et (b n ) A N telles que n et b n b. Pour tout λ [, 1], λ + (1 λ)b = lim (λ n + (1 λ)b n ) n + vec λ n + (1 λ)b n [ n, b n ] A donc λ + (1 λ)b Ā. b) Soient, b A. Il existe α, α b > tel que B(, α ), B(b, α b ) A. Posons α = min(α, α b ) >. Pour tout λ [, 1] et tout x B(λ + (1 λ)b, α) on x = (λ + (1 λ)b) + αu vec u B(, 1). = + αu B(, α) A et b = b + αu B(b, α) A donc [, b ] A puisque A est convexe donc λ + (1 λ)b = x A. Ainsi B(λ + (1 λ)b, α) A et donc λ + (1 λ)b A. Finlement A est convexe. Exercice 8 : [énoncé] A Ā, B B donc d(ā, B) d(a, B). Pour tout x Ā et y B, il existe ( n ) A N et (b n ) B N telles que n x et b n y. On lors d(x, y) = lim d( n, b n ) or d( n, b n ) d(a, B) donc à l limite n + d(x, y) d(a, B) puis d(ā, B) d(a, B) et finlement l églité. Exercice 9 : [énoncé] ) n A i est un fermé qui contient n A i donc n A i n A i. i=1 i=1 Pour tout j {1,..., n}, A j n A i et n A i est fermé donc A j n A i puis n A i n A i. i=1 i=1 b) n A i est un fermé qui contient n A i donc n A i n A i. i=1 i=1 i=1 Il ne peut y voir églité : pour A 1 = Q, A = R\Q on A 1 A = et A 1 A = R. i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

19 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 19 Exercice 3 : [énoncé] Pour tout x A, x Ā et donc f(x) f,ā. Ainsi f,a f, Ā Soit x Ā, il existe (u n) A N tel que u n x et lors f(u n ) f(x) pr continuité de f. Or f(u n ) f,a donc à l limite f(x) f,a puis A p λ ϕ(p) I n A λi n. Or les vleurs propres de A étnt simples, on dim ker(a λi n ) 1 et donc rg(a λi n ) n 1. L mtrice A λi n possède donc un déterminnt extrit non nul d ordre n 1. Pr continuité du déterminnt, on peut ffirmer que pour p ssez grnd rg(a ϕ(p) λ ϕ(p) I n ) n 1 et donc dim ker(a ϕ(p) λ ϕ(p) I n ) 1 ce qui contredit l multiplicité de l vleur propre λ ϕ(p). C est bsurde et on conclut que l mtrice A est intérieure à D n (C). f, Ā f,a Exercice 31 : [énoncé] Commençons pr montrer que D n (C) est dense dns M n (C). Soit A M n (C). L mtrice A est trigonlisble, on peut donc écrire A = P T P 1 vec P GL n (C) et T T n + (C). Posons lors pour p N, on pose A p = P (T + D p )P 1 vec D p = dig(1/p, /p,..., n/p). Pr opértions, A p A et pour p ssez grnd les coefficients digonux de p + l mtrice tringulire T + D p sont deux à deux distincts, ce qui ssure A p D n (C). Ainsi A D n (C) et donc D n (C) = M n (C). Montrons mintennt que l intérieur de D n (C) est formée des mtrices possédnt exctement n vleurs propres distinctes. Soit A D n (C). Cs SpA < n. On peut écrire A = P DP 1 vec P GL n (C) et D = dig(λ, λ, λ,..., λ n ). 1/p () Posons lors D p = D +... et A p = P D p P 1. () L mtrice D p n est ps digonlisble cr dim E λ (D p ) < m λ (D p ) donc A p non plus et puisquea p A, on peut ffirmer que l mtrice A n est ps intérieure à D n (C). Cs SpA = n. Supposons pr l bsurde que A n est ps intérieur à D n (C). Il existe donc une suite (A p ) de mtrices non digonlisbles convergent vers A. Puisque les mtrices A p ne sont ps digonlisbles, leurs vleurs propres ne peuvent être deux à deux distinctes. Notons λ p une vleur propre u moins double de A p. Puisque A p A, pr continuité du déterminnt χ Ap χ A. Les coefficients du polynôme crctéristique χ Ap sont donc bornés ce qui permet d ffirmer que les rcines de χ Ap le sont ussi (cr si ξ est rcine de P = X n + n 1 X n X +, on ξ mx (1, n 1 )). L suite complexe (λ p ) étnt bornée, on peut en extrire une suite convergente (λ ϕ(p) ) de limite λ. On lors Exercice 3 : [énoncé] ) Si A est fermée lors Ā = A donc FrA = A\A A. Inversement, si Fr(A) = Ā\A A lors puisque A A on Ā A. En effet, pour x Ā, si x A lors x A et sinon x FrA et donc x A. Puisque de plus A Ā, on en déduit A = Ā et donc Ā est fermé. b) A est un ouvert si, et seulement si, C E A est un fermé i.e. si, et seulement si, Fr(C E A) C E A. Or Fr(C E A) = FrA donc A est un ouvert si, et seulement si, FrA A =. Exercice 33 : [énoncé] ) Une mtrice de R est nnulée pr un polynôme de l forme X n 1 dont les rcines sont de module 1. Puisque les vleurs propres figurent prmi les rcines des polynômes nnulteurs R U b) Une mtrice M M (C) dmet deux vleurs propres comptées vec multiplicité λ, µ. Celles-ci sont déterminées comme les solutions du système { λ + µ = trm λµ = det M Pour lléger les nottions, posons p = (trm)/ et q = det M. Les vleurs propres λ et µ sont les deux rcines du polynôme X px + q et en posnt δ C tel que δ = p q, ces rcines sont de sorte que λ = p + δ et µ = p δ λ = p + δ + Re( pδ) et µ = p + δ Re( pδ)

20 [ édité le 1 juillet 14 Corrections On en déduit que l fonction f qui à M M (C) ssocie le réel ( ) ( λ 1 µ 1) s exprime comme somme, produit et conjuguée des trm et det M et c est donc une fonction continue. Puisque U = f 1 ({}) vec {} fermé, U est une prtie fermée de M (C). c) Soit M U. L mtrice M est trigonlisble et donc il existe P GL (C) et T T + (C) telle que ( ) M = P T P 1 λ ν vec T =, λ = µ = 1 µ On peut écrire λ = e iα et µ = e iβ vec α, β R. Pour n N, posons et considérons l mtrice Pr construction, α n = π [nα/π] n M n = P T n P 1 vec T n = e iαn et β n = π [nβ/π] + 1 n e iβn ( e iα n ν e iβn u moins pour n ssez grnd et ce même lorsque α = β. On en déduit que pour ces vleurs de n l mtrice T n est digonlisble. De plus, puisque ( e iα n ) n = ( e iβ n ) n = 1 on lors T n n = I et donc M n R. Enfin, on évidemment M n M. d) U est un fermé contennt R donc R U et pr double inclusion R = U. Exercice 34 : [énoncé] L fonction f : (x, y) x 3 + y 3 x y est continue sur R et U = f 1 (], + [) est un ouvert reltif de R cr imge réciproque d un ouvert pr une fonction continue. Or un ouvert reltif à R n est utre qu un ouvert de R. Exercice 35 : [énoncé] L ppliction det : M n (R) R est polynomile en les coefficients mtriciels, elle est donc continue. Puisque GL n (R) est l imge réciproque de l ouvert R pr cette ppliction continue, GL n (R) est un ouvert reltif à M n (R), c est donc un ouvert de M n (R). ) Exercice 36 : [énoncé] Pr le cs d églité dns l inéglité de Cuchy-Schwrz (x, y) est libre (x y) < x y Considérons l ppliction f : E R définie pr f(x, y) = x y (x y) L ensemble { (x, y) E /(x, y) libre } = f 1 (], + [) est un ouvert cr imge réciproque d un ouvert pr une fonction continue. Exercice 37 : [énoncé] Soit A R p. L mtrice A possède un déterminnt extrit non nul d ordre p. Pr continuité du déterminnt, u voisinge de A, toute mtrice à ce même déterminnt extrit non nul et est donc de rng supérieur à p. Ainsi l mtrice A est intérieure à R p. Exercice 38 : [énoncé] (i) (ii) Supposons f continue et introduisons A E. Tout élément y de f(ā) est l imge pr f de l limite x d une suite convergente (x n ) d éléments de A. Or f étnt continue, f(x n ) y et donc y est limite d une suite d élément de f(a). Ainsi f(ā) f(a). (ii) (iii) Supposons (ii) et introduisons B F. Pour A = f 1 (B), on f(ā) f(a) B donc Ā f 1 ( B) c est à dire f 1 (B) f 1 ( B) (iii) (iv) Supposons (iii) et introduisons B F. On remrque l propriété f 1 (C F B) = C E f 1 (B) et donc f 1 (B ) = f 1 (C F (C F B)) = C E f 1 (C F B) C E f 1 (C F B) = ( C E f 1 (C F B) ) = ( f 1 (B (iv) (i) Supposons (iv). Pour tout A et tout ε >, B(f(), ε) est un ouvert de F dont f 1 (B(f(), ε)) ( f 1 (B(f(), ε)) ) Or f 1 (B(f(), ε)) donc ( f 1 (B(f(), ε)) ). Pr conséquent, il existe α > tel que B(, α) f 1 (B(f(), ε)) Ainsi nous obtenons E, ε >, α >, x E, x B(, α) f(x) B(f(), ε) ce qui correspond à l continuité de f.

21 [ édité le 1 juillet 14 Corrections 1 Exercice 39 : [énoncé] Si u est continue lors A = {x E/ u(x) = 1} = f 1 ({1}) est l imge réciproque du fermé {1} pr l ppliction continue f =. u. L prtie A est donc un fermé reltif à E, c est donc une prtie fermée. Inversement, si u n est ps continu lors l ppliction u n est pr bornée sur {x E/ x = 1}. Cel permet de construire une suite (x n ) E N vérifint En posnt x n = 1 et u(x n ) > n y n = 1 u(x n ) x n on obtient une suite (y n ) A N vérifint y n. Or / A donc l prtie A n est ps fermée. Exercice 41 : [énoncé] ) Notons A = {x [, 1] /f(x) = x} On évidemment A Imf, mis inversement, pour x Imf, on peut écrire x = f() et lors f(x) = f(f()) = f() = x Ainsi Imf A, puis, pr double inclusion, A = Imf. On en déduit que A est un segment de R de l forme [α, β] cr imge d un compct pr une fonction réelle continue. b) Une fonction f d llure suivnte convient Exercice 4 : [énoncé] Si l forme linéire est continue ssurément son noyu est fermé cr imge réciproque du fermé {}. Inversement, supposons que ϕ est une forme linéire discontinue. Pour tout k R +, il existe lors x E tel que ϕ(x) > k x En prennt k = n N, on définit insi une suite (x n ) d éléments de E vérifint pour tout n N ϕ(x n ) > n x n Posons lors y n = 1 ϕ(x n ) x n On pr construction ϕ(y n ) = 1 et y n 1/n donc y n E. Considérons enfin z n = y y n On ϕ(z n ) = et donc z n ker ϕ. Or z n y vec y / ker ϕ. Ainsi ker ϕ n est ps fermé cr ne contient ps toutes les limites de ses suites convergentes. c) Soit f solution dérivble. Si α = β lors f est constnte égle à cette vleur commune. Si α < β lors f (α) = f d (α) = 1 cr f(x) = x sur [α, β]. Pr suite, si α >, f prend des vleurs strictement inférieur à α ce qui est contrdictoire vec l étude qui précède. On en déduit α =. De même on obtient β = 1 et on conclut f : x [, 1] x. Exercice 4 : [énoncé] ) Soit f solution. Formons A = {x [, 1] /f(x) = x} On évidemment A Imf, mis inversement, pour x Imf, on peut écrire x = f() et lors f(x) = f(f()) = f() = x Ainsi Imf A, puis, pr double inclusion, A = Imf. On en déduit que A est un segment de R de l forme [α, β] cr imge d un compct pr une fonction réelle continue.

22 [ édité le 1 juillet 14 Corrections Pour tout x [α, β], f(x) = x et pour tout x [, α[ ]β, 1], f(x) [α, β]. Inversement, une fonction continue vérifint les deux conditions précédente est solution. Cel peut pprître sous l forme d une fonction ynt l llure suivnte b) Soit f solution dérivble. Si α = β lors f est constnte égle à cette vleur commune. Si α < β lors f (α) = f d (α) = 1 cr f(x) = x sur [α, β]. Pr suite, si α >, f prend des vleurs strictement inférieur à α ce qui est contrdictoire vec l étude qui précède. On en déduit α =. De même on obtient β = 1 et on conclut f : x [, 1] x. Exercice 43 : [énoncé] ) Pr télescopge ( n ) u k (u Id) = u n+1 Id donc k= v n (u Id) = 1 ( u n+1 Id ) (n + 1) b) Soit x Im(u Id) ker(u Id). On peut écrire x = u() et on u(x) = x. On en déduit v n (u Id)() = x Or cr On en déduit x =. v n (u Id)() = 1 ( u n+1 () ) n + 1 u n+1 () u n+1 () + c) Pr l formule du rng dim Im(u Id) + dim ker(u Id) = dim E et puisque les deux espces sont en somme directe, ils sont supplémentires. d) Soit z E. On peut écrire z = x + y vec x Im(u Id) et y ker(u Id). On lors v n (z) = v n (x) + y vec, comme dns l étude du b), v n (x). On en déduit v n (z) y. Ainsi l suite de fonctions (v n ) converge simplement vers l projection p sur ker(u Id) prllèlement à Im(u Id). Puisque pour tout x E, on v n (x) 1 n + 1 n u k (x) 1 n x = x n + 1 k= on obtient à l limite p(x) x. On en déduit que l projection p est continue puis que Im(u Id) = ker p est une prtie fermée. e) Supposons l convergence simple de l suite de fonctions (v n ) et l fermeture de Im(u Id). Soit z E. Posons y = D une prt, puisque u(v n (z)) = 1 n + 1 on obtient à l limite lim v n(z) et x = z y. n + n k= k= u k+1 (z) = v n (z) + 1 ( u n+1 (z) z ) n + 1 u(y) = y cr l ppliction linéire u est continue et u n+1 (z) z. On en déduit y ker(u Id). D utre prt ( z v n (z) = 1 n ) (Id u k )(z) n + 1 k= et ( ) k 1 Im(Id u k ) = Im (Id u) u l 1 Im(Id u) = Im(u Id) l= donc z v n (z) Im(u Id). On en déduit x = lim(z v n (z)) Im(u Id) cr Im(u Id) est fermé. Finlement, on écrit z = x + y vec x Im(u Id) et y ker(u Id)