( et A est semblable à T ; de même B est semblable. n. x

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1 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP I) Soit f de clsse C sur [, + [, à vleurs dns R, vérifint f() = et f (t) = (f(t)) + t Montrer que f dmet une limite l + π en + 4 II) Soient A et B non nulles dns M 3 (C) telles que A = B = Montrer que A et B sont semblbles Est-ce ussi le cs dns M 4 (C)? Mines-MP O9-3 I) L expression de f prouve que f est croissnte, donc t, f(t) f() d où t du t, f(t) + + u = + rctn t π 4 = π 4 + f est croissnte et mjorée donc dmet une limite finie l en + et l π 4 + II) Soit u A L (C 3 ) A = Im(u A) ker(u A) donc rgu A 3 rgu A et rgu A On en déduit rgu A 3/ donc rgu A = et dim ker u A = Soit x / ker u A (u A(x)) est une fmille libre de ker u A qu on peut compléter en une bse (u A(x), y) de ker u A et B = (u A(x), y, x) est une bse de C 3 L mtrice de u A dns B est T = ( ) et A est semblble à T ; de même B est semblble à T donc A et B sont semblbles En dimension 4, on peut voir ker u A = Imu A (et A est de rng ) et Imu B est une droite de ker u B (et B est de rng 3) donc A et B ne sont ps toujours semblbles I) Soit f défini sur R [X] pr f(p )(X) = (X + )P (X) + ( X )P (X) Déterminer les vleurs et vecteurs propres de f II) Ensemble de définition de f(x) = du domine de définition + n= Est-elle continue? En donner des équivlents ux bords nx III) Soit A une mtrice complexe telle que l suite (A p ) soit bornée Montrer que p lim A k = B où p + p B est un projecteur sur ker(a I) prllèlement à Im(A I) Mines-MP O9-3 I) On remrque que f(r [X]) R [X] (le coefficient de X 3 est nul) et que f est linéire L solution générle de (E) : (x + )u + ( x )y = λy sur un intervlle de R \ {, } est x K exp( 3 λ ln x + λ + ln + x ) et si λ est une vleur propre de f et P un vecteur propre ssocié, lors l restriction de l fonction polynômile P à ], [ pr exemple est une solution non nulle de (E) sur cet intervlle ; il est donc nécessire que 3 λ N et λ + N donc λ + = p vec p N et 3 λ = p donc p =, ou et λ =, ou 3 Réciproquement P = ( X) vérifie f(p ) = P, P = ( X)( + X) vérifie f(p ) = P et P = ( + X) vérifie f(p ) = 3P donc f dmet 3 vleurs propres distinctes,, 3 et on trouvé une bse de chque sous-espce propre II) Soit u n = x n x f(x) n existe ps si x f est définie et continue sur ], + [ En effet : Pour tout n, u n est continue sur ], + [ Soit [, b] un segment de ], + [ u n [,b] = est le terme générl d une série convergente, n donc u n converge normlement sur [, b] (CVN locle) Etude en + ; on encdre le terme générl pr des intégrles : Soit x > n n+ dt n, u n(x) t et n, un(x) dt et t n x tx t n x L ([, + [) donc dt t f(x) + dt x t ie x x f(x) + d où f(x) x x + x Etude en + ; on utilise le thm de l double limite : lim u = et n, lim u n =, + + k= Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

2 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP u n converge normlement sur un voisinge de + En effet, u n [,+ [ = n, d où lim f = + III) Prouvons d bord que E = ker(a I) et E = Im(A I) sont supplémentires : Soit x E E Ax = x et y, x = Ay y Ay = y+x, A y = y+x et pr récurrence immédite p, A p y = y+px ou p, x = p (Ap y y) On peut choisir sur M n(c) et M n,(c) des normes N, N telles que N (Mz) N(M)N (z) pour tout (M, z) M n(c) M n,(c) Alors p, N (x) p (K + )N (y) donc N (x) = et x = Soit u p = p A k Il suffit d étudier lim u p(x) pour x E et pour x E p p + k= Soit x E p, u p(x) = x donc lim up(x) = x p + Soit x = Ay y E ; k, A k x = A k+ y A k y donc p, N (u p(x)) = p N (A p y y) p (K+)N (y) donc lim u p(x) = p + 3 I) Déterminer les solutions développbles en série entière de l éqution x y + xy + (x )y = II) Trouver f, endomorphisme non nul de E, euclidien de dimension 4, vérifint : f 4 +f =, trf =, f = f Mines-MP O9-33 I) Soit y = x + nx n et R le ryon de convergence n= { = () :(y est solution sur ] R, R[) = p, p(p ) p + p p + p p = ( ) k donc () k N, k = et k+ = 4 k (k!) (k + ) k+ x k+ = o( (x ) k ) pour tout x R donc R = + et on trouvé une infinité de solutions sur k! + ( ) k x k+ R de l forme x 4 k (k!) (k + ) k= II) X 4 X est un polynôme nnulteur de f donc sp(f) {,, j, j }, ie,, j, j sont vleurs propres de f d ordre k, k, k j, k j où k λ [[, 4 ] et k j = k j puisque l espce est réel et k + k + k j = 4 De plus trf = = k + ( j j )k j = k + k j donc k + 3k = 4 et k j = k er cs : k = k = et f 4 vleurs propres distinctes et pour mtrice D = dig(,, j, j ) dns une bse convenble, or D D donc ce cs est à exclure ème cs : k = 4 et f dmet pour unique vleur propre Alors χ f = X 4 donc f 4 = (thm de Cyley-Hmilton) et f = donc ce cs est à exclure Le problème n donc ucune solution 4 I) Soit ( n ) une suite décroissnte de réels positifs Pour x [, ] et n, on pose u n (x) = n x n ( x) Montrer l convergence simple de u n sur [, ] Montrer que u n converge normlement sur [, ] si et seulement si n n converge Montrer que u n converge uniformément sur [, ] si et seulement si ( n ) converge vers II) Montrer que si n est impir, M M n (R) telle que t M = M n est ps inversible Etudier le cs n pir Mines-MP O9-34 I) Si x [, [, lors u n(x) x n et u n() = donc ( ) u n [,] n = u n = n( + /n) n n + n + n + u n converge simplement sur [, ] n ne donc u n converge normlement sur n [, ] ssi est une série numérique convergente n ( n) est décroissnte minorée pr donc dmet une limite l (x, n), R n(x) = u k (x) lx k ( x) (l minore les k, k n+) donc R n(x) xn+ ( x) = lxn+ x k>n k>n Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

3 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP II) donc R n [,] l : pour que u n converge uniformément sur [, ], il est nécessire que l = De même, (x, n), R n(x) = u k (x) n+x k ( x) ( n+ mjore les k, k n + ) donc k>n u n converge unifor- R n [,] n+ : lim n+ = l = est une condition suffisnte pour que mément sur [, ] k>n Si n est impir, lors det M = det( t M) = det M donc M n est ps inversible ( ) Si n est pir, M peut être non inversible (ex : M = ) ou inversible (ex : M = ) 5 I) Pour (, θ) R, on pose Q(, θ) = ln( + cos θ) Etudier l existence de I() = π Q(, θ) dθ pour R On suppose que ; trouver une reltion entre I() et I( ) On suppose que < ; clculer I() On suppose que > ; trouver une reltion entre I() et I(/) et en déduire l vleur de I() II) Soient E un espce vectoriel de dimension n, (f,, f p ) des endomorphismes de E non nuls tels que f i f j = δ ij f i Montrer que p n n Dns le cs où p = n, montrer que f i = Id Mines-MP O9-35 I) + cos θ = ( e iθ )( e iθ ) donc si, lors Q(, ) est continue sur [, π] donc I() existe Q(, θ) = ln(4 θ sin ) = ln + ln sin θ et g : θ ln sin θ est une fonction à vleurs dns R+ continue sur ], π[ ; g(θ) ln θ et g(θ) ln(π θ) donc I() existe θ θ π Pour =, Q(, π) n existe ps donc Q(, ) n est ps définie sur ], π[ et I( ) n existe ps Soit ], [ Q(, θ) = π ln( cos θ/)donc I( ) = A+B où A = ln( ++ cos θ/) dθ et B = π ln( + cos θ/) dθ Q(, ) est pire et π périodique donc I() = A = B = π π π Q(, ) ln( + + cos α) dα = I() (θ = π α) ln( + + cos α) dα = I() (θ = α) On donc I( ) = 4I() Pr récurrence immédite, k N, I() = 4 k I( k ) et k, k ; prouvons que I est bornée sur [, ] ; on pourr en déduire que I() = Soit b [, ] ; θ, b + b cos θ [( b ), ( + b ) ] [( ), ( + ) ] et ln( ) = ln ln( + ) donc I(b) π ln( ), d où le résultt Soit > Q(/, θ) = ln( + cos θ ) = Q(, θ) ln donc I() = I(/) + π ln = π ln II) Les f i sont des projecteurs Prouvons que + p Imfi est une somme directe : p Soit = x = x i vec i, x i = f i(y i) Imf i j [[, p ]], f j(x) = = p f j f i(y i) = f j f j(y j) = x j, d où le résultt p p Imfi est donc un sous-espce de E de dimension Si p = n, lors rgf i p donc p n n (rgf i ) = donc les Imf i sont n droites supplémentires et les f i sont les Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

4 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP projecteurs ssociés à cette décomposition, donc n f i = Id 6 I) Soit u un endomorphisme d un espce vectoriel E de dimension finie On note D(k) l dimension du noyu de u k Enoncer tous les résultts connus sur l suite (D(k)) Montrer qu elle est concve u sens discret Mines-MP O9-36 I) (D(k)) est une suite croissnte Soit k = D(k + ) D(k) Prouvons que ( k ) est décroissnte : Im(u k ) est stble pr u ; soit v l endomorphisme de Im(u k ) induit pr u D près le thm du rng, dim Im(u k ) = rgv+dim ker v ; rgv = dim E D(k+), dim Im(u k ) = dim E D(k) et ker v = ker u Im(u k ) donc k = dim ker v et (Im(u k ))) est décroissnte pour l inclusion, donc ( k ) est une suite décroissnte d entiers En prticulier, si p = (ie ker u p = ker u p+ ), lors k p, k = (ie k p, ker u k = ker u p ) 7 I) Soit f croissnte de [, ] dns [, ] Montrer que, s il existe x [, ] et k N tels que f k (x) = x, lors x est un point fixe pour f Montrer que f dmet un point fixe II) Soit A GL n (R) telle que t A = A Montrer que A 3 = I n et que A est orthogonle Soit f l endomorphisme cnoniquement ssocié à A Montrer que le noyu de f + f + I n est de dimension pire et en déduire l forme de f Mines-MP O9-37 I) Soit x un point fixe de f k et y = f(x) Supposons y > x : x < f(x) et f est croissnte donc f(x) f (x), f (x) f 3 (x),, f k (x) f k (x) donc x < f k (x) ce qui est bsurde Supposons y < x : de même, f k (x) > x ce qui est bsurde Conclusion : y = x = f(x), x est point fixe de f Prouvons mintennt que f dmet un point fixe : Soit A = {x [, ]/f(x) x} A est une prtie de R non vide ( A) et mjorée (pr ) donc elle dmet une borne supérieure M Prouvons que M est un point fixe de f Supposons que f(m) < M : Il existe t A tel que f(m) < t M et f(t) f(m) (cr f est croissnte) et f(t) t (cr t A) ce qui est bsurde Supposons que f(m) > M : f(f(m)) f(m) (cr f est croissnte) donc f(m) A ce qui est bsurde On donc bien f(m) = M II) A = ( t A) donc A = A 4 soit A(A 3 Id) = ; de plus A est inversible, donc A 3 = Id A 3 = Id prouve que A = A (= t A) donc A est orthogonle sp C (A) {, j, j } et A est réelle donc les sous-espces propres (dns C n ) ssociés à j, j sont de même dimension p et conjugués, et ker(a + A + I) (dns C n ) est de dimension p ; mis si (e,, e p) est une bse (dns C n ) de ker(a ji), et donc (e,, e p) une bse (dns C n ) de e + e e e ker(a j I), lors (,,, ) est une fmille libre réelle de ker(a + A + I) donc le i sous-espce réel ker(f + f + Id) est de dimension p 8 I) Dns le pln ffine euclidien usuel, on donne les points A(, ), B(, ), C( 3, 3) et D( 4, 4) Donner, dns l bse cnonique, l mtrice de l rottion vectorielle qui trnsforme AB en CD En déduire l ngle et le centrede l rottion qui trnsforme A en C et B en D II) Etudier les convergences simple et uniforme de l suite de fonctions définies pr f n (x) = (cos x) n sin x Même question pour l série de fonctions f n Mines-MP O9-38 I) AB = (, ) et CD = (, ) donc CD est l imge de ( ) AB pr l rottion de mtrice R = (rottion d ngle π/) L méditrice de (A, C) est l droite d éqution 4(x + ) + (y ) = et l méditrice de (B, D) est l droite d éqution 6(x + ) + (y 3) = donc leur point d intersection Ω = (, ) est le centre de l rottion cherchée II) Etude de l suite (f n) : (f n) converge simplement sur R vers Pour tout n, f n est π périodique et f n = x (cos n x)((n + ) cos x n) donc Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

5 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP f n R = f n(rccos n n + ) = ( + n ) n/ n + n + en, d où l convergence uniforme de (f n) sur R Etude de l série f n : f n converge simplement sur R de somme S = x sin x = cotn(x/) si x / πz, x cos x sinon S n est ps continue sur R et n, f n C(R) donc l convergence n est ps uniforme sur R L convergence est uniforme cr normle sur tout segment de R\πZ ; en effet, si [, π ] ], π[, n lors, pour tout n tel que rccos n + (ie n cotn ), f n [,π ] = f n() qui est le terme générl d une série (géométrique) convergente n 9 I) Soient f définie sur [, b], σ = (x,, x n ) une subdivision de [, b] et V (f, σ) = f(x k+ f(x k ) On dit que f est à vrition bornée si V (f, σ) est mjoré indépendmment de σ On note lors V [,b] (f) = sup V (f, σ) Montrer, à l ide de g(x) = x cos π, qu une fonction continue n est ps générlement à vrition x bornée Montrer que si f est de clsse C, elle est à vrition bornée et que V [,b] (f) = k= f (x) dx Montrer qu une fonction monotone est à vrition bornée et en déduire que l différence de deux fonctions croissntes est à vrition bornée Montrer que l ppliction qui à x ssocie V [,x] (f) est croissnte II) Donner une CNS pour qu une mtrice réelle orthogonle soit digonlisble Mines-MP O9-39 I) g peut être prolongée en une fonction continue sur [, ] pr g() = g désigne désormis cette fonction Soit σ = (x, x = p, xp = ) l subdivision de [, ] définie pr x = et xi = p + i pour i = p V (g, σ) = g() g(x ) ++ g(x p ) g(x p) = V (g, σ) = p p + ( i + i + ) = p (AVB) bien que continue sur [, ] Soit f C ([, b]) n Pour toute subdivision σ, V (f, σ) = et () : V [,b] (f) k= p + p p + p p ++ p + + donc g n est ps à vrition bornée i xk+ x k f n k= xk+ x k f = f Il reste à prouver que () est une églité f donc f est AVB Soit ε > f est continue sur le compct [, b] donc uniformément continue, ie : η >, (t, t ) [, b], t t η f (t ) f (t ) ε Soit un tel η et σ ue subdivision de ps η Pour tout k = n, f(x k+ f(x k ) = (x k+ x k ) f (c k ) où c k ]x k, x k+ [ d près l églité des ccroissements finis pour l fonction f C ([x k, x k+ ]) donc xk+ xk+ xk+ xk+ f(x k+ f(x k ) f = f (c k ) f f (c k ) f (t) dt ε(x k+ x k ) x k x k x k x k b En sommnt : V (f, σ) f ε(b ) On donc prouvé que ε >, σ, V (f, σ) f ε d où V [,b] (f) = Soit f une fonction monotone croissnte Pour tout σ, V (f, σ) = f(b) f() donc f est AVB (et V [,b] (f) = f(b) f()) L ensemble des fonctions AVB sur [, b] est un K espce vectoriel : en effet, si f et g sont AVB et λ K, lors pour tout σ, on V (λf + g, σ) λ V (f, σ) + V (g, σ) λ V [,b] (f) + V [,b] (g) donc λf + g est AVB On en déduit que toute fonction monotone décroissnte est AVB insi que f Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

6 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP II) toute différence de deux fonctions croissntes On suppose que f est AVB sur [, b] et soit x [, b] Pour toute permuttion σ = ( = x,, x = x n) de [, x], σ = ( = x,, x n = x, x n+ = b) est une subdivision de [, b] donc () : V (f, σ) V [,b] (f) ce qui prouve que f est AVB sur [, x] Il existe donc une fonction g = x V [,x] (f) définie sur [, b] En reprennt ce qui précède en remplçnt b pr un y > x, le résultt () devient V (f, σ) V [,y] (f) pour toute permuttion σ = ( = x,, x = x n) de [, x], donc V [,x] (f) V [,y] (f) ce qui prouve que g est croissnte Soit h = g f Prouvons que h est croissnte Soit x < y b h(y) h(x) = (g(y) g(x)) (f(y) f(x)) Soit ε > et σ une subdivision de [, x] telle que V (f, σ) g(x) ε Soit σ l subdivision de [, y] obtenue en complétnt σ pr le point y V (f, σ ) = V (f, σ) + f(y) f(x) g(x) + f(y) f(x) ε donc g(y) g(x) + f(y) f(x) ε h(y) h(x) f(y) f(x) (f(y) f(x)) ε ε, et ceci pour tout ε >, donc h(y) h(x) On donc prouvé que toute fonction AVB est l différence de deux fonctions croissntes Prouvons que A est orthogonle et digonlisble ssi c est l mtrice d une symétrie orthogonle Soit A orthogonle et digonlisble Son spectre complexe est inclus dns {z/ z = } donc il fut que ses seules vleurs propres soient dns {, } et que son polynôme miniml soit scindé à rcines simples, donc que (X + )(X ) soit un multiple de son polynôme miniml On lors A = I donc A est une mtrice de symétrie Soit x tel que Ax = x et y tel que Ay = y t xy = t (Ax)( Ay) = t x( t AA)y = t xy donc x y et il s git d une symétrie orthogonle Soit A une mtrice de symétrie orthogonle Elle est digonlisble (X est nnulteur) et orthogonle ( x = x + x, y = y + y, t (Ax)(Ay) = t (x x )(y y ) = t x y + t x y = t xy en utilisnt l décomposition E = ker(a I) ker(a + I)) I) On donne A = X n X, B = X n ; montrer que l ppliction qui à tout P C n [X] ssocie le reste de l division euclidienne de AP pr B est un endomorphisme dont on déterminer le noyu, l imge et les éléments propres II) Soit f une fonction continue, décroissnte et intégrble sur R + Montrer l existence d une fonction g continue telle que g(x + ) g(x) = f(x) Mines-MP O9-4 I) Soit f cette ppliction et E = C n [X] degb = n donc f est bien une ppliction de E dns E Soit (P, P, λ) E C AP = BQ P +f(p ) et AP = BQ P +f(p ) donc A(λP +P ) = B(λQ P +Q P )+(λf(p )+f(p )) et deg(λf(p ) + f(p )) < degb donc λf(p ) + f(p ) = f(λp + P ) et f est linéire Recherche des vleurs propres de f : (() : λ C est vleur propre de f) P, B (AP λp ) B est scindé à rcines simples exp(ikπ/n), k = n donc () P, k [[, n ], ((A λ)p )(exp(ikπ/n)) = Si P E s nnule en n points distincts, lors P =, donc () k [[, n ], (A λ)(exp(ikπ/n)) = exp(ikπ/n) λ =, et le polynôme P k = (X exp(ijπ/n)) est une solution non nulle dns E de f(p ) = λ k P j k et j n f donc n vleurs propres simples λ k = exp(ikπ/n) et les espces propres ssociés sont les droites engendrées pr les P k En prticulier, pour k =, λ =, on trouve le noyu, engendré pr P = Xn X = Xn + + X + n k= E λ k Imf et Imf est un sous-espce de dimension n donc Imf = n k= E λ k k, P k () = donc n k= E λ k est un sous-espce de (X )C n [X], qui est ussi un sousespce de dimension n Conclusion : Imf = (X )C n [X] II) f est décroissnte donc dmet une limite l en + dns R { } De plus f L (R +) donc l est impossible Anlyse : Soit g une fonction continue telle que x R +, g(x + ) g(x) = f(x) p p (x, p) R + N, (g(x + + n) g(x + n) = g(x + + p) g(x) = f(x + n) n= n= t f(x + t) est intégrble décroissnte sur R + donc l série f(x + n) est convergente ; soit Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

7 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP S(x) s somme Nécessirement, l suite (g(x + q)) q N doit voir une limite L(x) et il fut que g(x) = L(x) S(x) Synthèse : Soit g = S (ie choisissons L = ) Prouvons que g (ou S) est continue sur R + : Soit u n(x) = f(x + n) n N, u n C(R +), et u n [,+ [ de S Prouvons que x R +, g(x + ) g(x) = f(x) : Soit x R + g(x + ) g(x) = S(x) S(x + ) = = f(n) est le TG d une série convergente, d où l continuité lim (f(x) f(x + p + ) = f(x) p + g est donc une solution du problème Elle n est ps unique, puisque toute fonction g + cste est solution I) Soient >, b > Etudier l suite (U n ) définie pr U = et U n+ = U n + b II) Soit A une mtrice inversible de M n (C) Montrer que A est tringulire inférieure si et seulement si, pour tout k, A k est tringulire inférieure Donner un exemple de mtrice qui ne soit ni inversible ni tringulire inférieure, mis dont toutes les puissnces supérieures à soit tringulires inférieures Mines-MP O9-4 I) Soit f = t t + b f est croissnte sur R + et t R +, f(t) t t t b t [, l] où l = + + 4b f([, l]) [, l] donc, si [, l], lors n, U n [, l] et n, U n+ U n : (U n) est une suite croissnte mjorée (pr l) donc elle est convergente et s limite est un point fixe de f (f est continue sur R +) donc cette limite est l De même, f([l, + [) [l, + [ donc, si [l, + [, lors (U n) est décroissnte minorée pr l, donc convergente et s limite est l II) Lemme : Si M et N sont deux mtrices crrées tringulires supérieures, lors MN est tringulire supérieure En pssnt ux trnsposées, le même énoncé est vri pour les mtrices tringulires inférieures En effet, si M et N sont tringulires supérieures, lors p [[, n ]], E p est stble pr M et N, en notnt E p = V ect(e,, e p), e i étnt le i ème vecteur de l bse usuelle de M n,(c) Pour tout p [[, n ]], E p est donc stble pr MN donc MN est tringulire supérieure D où le lemme Supposons A tringulire inférieure Alors toutes les mtrices A k, k ( ou ) sont tringulires inférieures Supposons que pour tout k, A k soit tringulire inférieure et que A soit inversible n Soit χ A(X) = k X k le polynôme crctéristique de A k= χ A(A) = (thm de Cyley-Hmilton) donc Aχ A(A) = A + (cr A est inversible) donc A = A = ( ) n k A k+ = k= n k A k+ est tringulire inférieure k= n est ps tringulire inférieure bien que k, A k = soit tringulire inférieure I) On définit sur [, ] l suite de fonctions (P n ) pr : P =, P n+ (x) = P n (x) + ( x (Pn (x)) ) Etudier les convergences simple et uniforme de (P n ) II) Soit A et B réelles, crrées d ordre n, telles que AB BA = B Montrer que B est nilpotente Mines-MP O9-4 I) Soit x [, ] fixé et f = t t + (x t ) f est croissnte sur [, x], f([, x]) [, x] et t [, x], f(t) t donc (P n(x) est une suite croissnte, mjorée pr x, donc convergente, et s limite est l unique point fixe de f dns [, x], ie x Prouvons que (P n) converge uniformément sur [, ] de limite l = x x On sit déjà que (x, n), l(x) P n(x) On cherche, b dépendnt (éventuellement) de x, mis ps de n, tels que n N, (Π n) : x [, ], l(x) P n(x) n + b Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

8 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP (Π ) si et seulement si x [, ], x b (Π n) est héréditire ssi n, (Π n) x, l(x) P n+(x) Supposons (Π n) et x [, ] n + + b l(x) P n+(x) = (l(x) P n(x)( (Pn(x) + l(x))) (l(x) Pn(x)( l(x)) ( l(x)) n + b Pour que (Π n) soit héréditire, il suffit donc que (x, n), ( l(x)) n + b n + + b soit (x, n), l(x) b n et b > Pour b = l(x) = et = b x = x, on donc n N, (Π n) De plus x, b x et donc n, l P n [,] ce qui prouve l convergence uniforme de (Pn) vers l n sur [, ] NB : On peut en déduire que l suite de terme générl Q n(x) = P n(x ) converge uniformément sur [, ] vers x x ; pr chngement de vrible ffine et combinison linéire de fonctions, que toute fonction ffine pr morceux et continue est limite uniforme d une suite de polynômes, puis le thm de Weierstrss II) Soit (Π k ) : AB k B k A = kb k (Π ) et (Π k ) est héréditire ; en effet, si (Π k ) pour un k, lors AB k+ B k+ A = (B k A + kb k )B B k+ A = B k (AB + kb BA) d où (Π k+ ) φ : M AM MA définit un endomorphisme de l espce M n,n(r) Supposons que k N, B k ; lors B k est, pour tout k N un vecteur propre de φ ssocié à l vleur propre k, ce qui est bsurde puisque M n,n(r) est de dimension finie B est donc nilpotente Rppel : B étnt nilpotente, B dmet pour unique vleur propre, donc χ B = ( X) n, et B n = (thm de Cyley-Hmilton) : l ordre de nilpotence est u plus n 3 I) Soit A M n (R) de coefficient ij défini pr ij = si j i, et ij = sinon Clculer A k pour k N II) Soit f continue et de crré intégrble sur R + On pose g(x) = x Montrer que g(x) = o( ) u voisinge de x Montrer que g est intégrble sur R + Montrer que fg l est ussi et que g (t) dt = x f(t)g(t) dt f(t) dt Mines-MP O9-43 I) Soit B M n(r) de coefficient b ij défini pr b i+,i = pour i = n et sinon b ij = A = I n + B + B + + B n et B n = donc (I n B)A = I n ie A = (I B) et on cherche (I n B) k pour tout k N On sit que (I n B) k R[B] Pour t R, ( t) k (H k (t) + o t (t n )) = si H k (t) est l prtie régulière du DL en à l ordre n de ( t) k : n n ( ) k + i H k (t) = + ( k)( k )( k i + i! n t i = + ( ) i (k + i )! t i = i!(k )! i= i ( ) i t i Pour t R, on donc ( t) k H k (t) = o t (t n ) or t ( t) k H k (t) est une fonction polynôme, donc le polynôme ( X) k H k (X) doit être multiple de X n, et en pssnt dns R[B], (I n B) k H k (B) I n est dns B n R[B] donc c est l mtrice nulle n ( ) On donc A k k + i = H k (B) = ( ) i B i i i= II) On suppose que f est à vleurs dns R Soit x > f et sont dns L (], x]) donc Schwrz) f est L (], ]) donc lim x x f = et x x f est continue sur R + donc g est C sur R + et h : x intégrer g pr prtie : ( x f x f = o x ( x) et g(x) = o x (/ x) x f ) / (inéglité de Cuchy- f est une primitive de f, donc on peut Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

9 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP Soit [, b] R + ; g = [ x h (x) ] b x h(x)f(x) dx = g () bg (b)+ g(x)f(x) dx Soit A = g A, A g () + A f d près l inéglité de Cuchy-Schwrz sur un segment, donc A g () + A f Notons B = ie A B + B + g () lim f On lors A A où A est l rcine positive de X XB g () g () = donc, pour tout b fixé, sur ], b] et b g (B + B + ) = 4B g est donc ussi bornée, donc g est L (], + [) (et g est une fonction bornée, donc g est intégrble g 4B = 4 f et g sont L (R +) donc fg est intégrble sur R + et dns l intégrtion pr prtie, pr pssge à l limite qund, on obtient : g = bg (b) + g(x)f(x) dx Les deux intégrles ont des limites qund b + donc bg (b) une limite l R + qund b + Si l, lors g l (t) et g / L ([, + [), ce qui est bsurde, donc l = et pr pssge à t + t l limite qund b +, on obtient g = 4 I) Soient R, c [, ] et f dérivble sur R On considère l éqution f (x) = f(cx) vec f() = Résoudre l éqution dns les cs c = et c = On suppose < c < ; trouver les solutions f c en développnt f en série entière En déduire l solution pour c II) Soit A une mtrice symétrique réelle et U une mtrice orthogonle de même tille Comprer tr(au) et tr(ua) à tra III) Cours : Quelles sont les vleurs propres d une mtrice orthogonle Mines-MP O9-44 I) Notons (E c) : (f (x) = f(cx) et f() = ) Cs c = : Anlyse : f = f pour solution générle f = x Ke x Synthèse : f = x Ke x est solution de (E ) ssi K = L solution (unique) de (E ) est x e x Cs c = : Anlyse : f (x) = f ( x) = f(x) et l solution générle de y = y est x K cos x+k sin x Synthèse : x K cos x+k sin x est solution de (E ) ssi x, K sin x+k cos x = K cos x K sin x et K = donc x (cos x + sin x) est l solution (unique) de (E ) Cs < c < : Prouvons que f est nécessirement développble en série entière Pr récurrence immédite, n N, f C n (R) et t, f n (t) = c n f(c n t) Soit x > f est continue donc bornée sur le segment [ x, x] ; notons M un mjornt de f sur [ x, x] c < donc n, [ c n x, c n x] [ x, x] et pour tout n, f n est bornée sur [ x, x] et c n M mjore f n sur [ x, x] Le reste de Tylor R n(x) = f(x) donc lim n + n f k ()x k = k! k= x fg f n+ (x t)n (t) n! f ) dt vérifie donc R n(x) c n Mx n+ Rn(x) = et f est développble en série entière sur R+ De même vec x < donc f dmet un développement en série entière sur R On ussi trouvé que n, f n () = c n f() donc le dévelopement de f est : (n + )! Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

10 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP x R, f(x) = f() + + n= c n f()x n = ( + + n! c ( n= (cx) n n! )) = ( + c (ecx )) si c II) tr(au) = tr(ua) A est digonlisble pr une mtrice orthogonle ; soit P O n et D = dig(d,, d n) telles que A = P D t P n tr(au) = tr(p D t P U) = tr(d t P UP ) = tr(dv ) = d iv ii V est orthogonle donc i, v ii et k= (d,, d n) est le spectre de A, donc si A est positive, tr(au) tr(a) 5 I) Soit l éqution différentielle f x + b f x y + f c y =, où, b, c sont non tous nuls et f de clsse C sur R à vleurs dns R On effectue le chngement de vrible u = x + αy, v = x + βy vec α β Ecrire l éqution différentielle vérifiée pr u et v Montrer que, suivnt les vleurs de, b et c, on peut se rmener à f x + f y = ou f x y = ou f x = II) On dit que A M n (R), de coefficient ij est à dmiers si, pour i + j impir ij = Si A est à dmiers et inversible, A est-elle à dmiers? Mines-MP O9-45 I) Soit θ = (x, y) (u, v) = (x + αy, x + βy) Puisque on suppose α β, ce chngement de vrible est linéire et bijectif, donc c est un C difféomorphisme de R Soit g = f θ f x = g u + g u v + g v, f y = α g u +αβ g u v β + g v, f x y = α g u +(α+β) g u v +β g v L éqution donnée équivut à (E) : (+bα+cα ) g u +(+b(α+β)+cαβ) g u v +(+bβ+cβ ) g v er cs : b 4c > On choisit pour α, β les rcines (réelles distinctes) de cx + bx + (E) devient : (+b( b/c)+c(/c)) g 4c b g = = donc l solution générle est g = (u, v) A(u)+B(v) u v c u v où (A, B) (C (R)) (et f = g θ pour l éqution donnée) ème cs : b 4c = On choisit pour α l rcine double de cx + bx +, ie α = b (E) devient : c ( + b( b c + β) bβ) g u v + ( + bβ + cβ ) g v = ( + bβ + cβ ) g v = On choisit pour β un réelle quelconque distinct de α L solution générle est g = (u, v) va(u)+b(u) où (A, B) (C (R)) (et f = g θ pour l éqution donnée) 3ème cs : b 4c < α β On cherche α, β pour que (Σ) : + bα + cα = + bβ + cβ + b(α + β) + cαβ = (Σ) Son discriminnt est α β α + β = b/c αβ = b c c α, β sont les rcines distinctes du trinôme Z + b c Z+ b c c 4c b c > d où l existence de α, β (E) devient : g u + g = donc l solution générle est g hrmonique v II) Soit (e,, e n) l bse usuelle de M n,(r) et E = V ect((e k ) k n ), E = V ect((e k+ ) k+ n ) A est à dmiers ssi AE E et AE E Si A est inversible, il est nécessire que dim AE = dim E donc que dim E = dim E ie que n soit pir On suppose désormis que n = p, p N Alors, si A est inversible, AE E E A E et AE E E A E et les inclusions sont des églités puisque E, E, A E, A E sont tous de dimension p, donc si A est à dmiers, lors A est à dmiers Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

11 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP 6 I) Soit A un sous-ensemble de R A quelle condition, nécessire et suffisnte, N A (P ) = sup P (x) estelle x A une norme sur R[X]? On suppose que c est le cs et on note λ l ppliction qui, à P R[X] ssocie λ(p ) = P () Donner une CNS pour que λ soit continue II) Soit f un endomorphisme de E euclidien tel que ker f = Imf Montrer que f + f est un utomorphisme Mines-MP O9-46 I) Prouvons que N A est une norme ssi A est borné et infini : Supposons que A ne soit ps borné ; lors N A(P ) n existe ps si P = X Supposons que A = {,, n} est fini ; lors N A(P ) = bien que P si P = n (X k ) L condition est donc nécessire Supposons A borné et infini Tout P R[X] est borné sur tout segment donc sur A et N A(P ) existe (P, Q, α) (R[X]) R, N A(αP ) = α N A(P ) et N A(P + Q) N A(P ) + N A(Q) P, N A(P ) et N A(P ) = P dmet une infinité de rcines P =, donc N A est une norme : l condition est suffisnte Prouvons que λ est continue ssi est dhérent à A : Supposons que A ; il existe une suite (u n) à termes dns A telle que = lim u n Soit P B(, ) ; n, P (u n) < et λ(p ) = lim P (u n) (continuité de P en ) donc λ(p ) λ est linéire et bornée sur l boule unité donc continue Supposons que / A ; il existe > tel que A ], [= et donc b > tel que A [ b, ] [, b] Soit h n ffine pr morceux et continue de [ b, b] dns R telle que h n() = n et h n(t) = / si t [ b, ] [, b] ; d près le thm de Stone-Weierstrss, il existe P n R[X] tel que h n P n [ b,b] / t A, P n(t) [, ] donc P n B(, ) ; n, λ(p n) = P n() h n() / = n / : λ n est ps bornée sur l boule unité (fermée) donc n est ps continue II) Soit x tel que f(x) + f (x) = Prouvons que x = y = f(x) = f ( x) Im(f) Imf or Imf = (ker f) = (Imf) donc y = f(x) = f ( x) = donc x ker f ker f or ker f = (Imf) = (ker f) donc x = 7 I) Déterminer les extrem de f(x, y) = x 4 + y 4 (x y) sur R et donner leur nture II) Soit A M n (R) telle que A 3 A I n = Montrer que det A III) Soit A M n (R) ntisymétrique Montrer que les vleurs propres de A sont imginires pures IV) Soit (A, B) (M n (R)) telles que AB = Montrer que A et B ont un vecteur propre commun Mines-MP O9-47 I) f est de ( clsse C sur R ; l) jcobienne en M = (x, y) est 4(x 3 x + y, y 3 + x y) et l hessienne 3x H M = 4 3y Les points critiques sont les solutions de x y = x 3 = y 3 d où : A = (, ), B = (, ), C = (, ) H B = H C est de trce 4 et de déterminnt 384 donc elle est définie positive et f dmet en B et C des minim locux H A n est ps inversible ; f(a) =, x, f(x, x) et f( x, x) = x (x 4) si x donc f n dmet en A ni un mximum ni un minimum Voyons si f(b) = f(c) = 8 est un minimum globl En polires, f(x, y) = ρ 4 ( sin θ) ρ ( sin θ) ρ 4 / ρ + qund ρ + donc il existe R > tel que M / B(, R), f(m) > f est continue sur R donc bornée sur le compct K = B(, R) et l restriction de f à K tteint son minimum m = f(d) 8 en un point D K Mis M / K, f(m) m donc m est ussi le minimum de f sur R, et f est de clsse C donc ce minimum est tteint en un point critique, donc en B et en C II) P = X 3 X est nnulteur de A et h : t t 3 t est strictement croissnte sur ], 3/3], strictement décroissnte sur [ 3/3, 3/3], strictement croissnte sur [ 3/3, + [ et h( 3/3) < donc P dmet une rcine réelle α [ 3/3, + [ et rcines complexes conjuguées β, β sp(a) {α, β, β} ie α, β, β sont les vleurs propres de A d ordre n, n, n 3 vec (n, n, n 3) N 3 et n = n 3 puisque A est réelle det A = α n (ββ) n donc det A > k= Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

12 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP III) Soit λ C une vleur propre de A et V M n,(c) un vecteur propre ssocié AV = λv donc AV = λv puisque A est réelle, donc λ t V V = t V t AV = t V ( AV ) = λ t V V, or n t V V = v k > donc λ = λ k= IV) er cs : B = Alors tout vecteur propre de A est vecteur propre de B ème cs : B Alors ImB est un sous-espce de dimension u moins stble pr B donc il contient u moins un vecteur propre v de B ; mis v B ker A donc v est ussi vecteur propre de A (ssocié à ) n ( 8 I) Donner l limite de l suite de terme générl A n = + n) k /n Même question pour l suite de terme générl B n = k= n k= ( + kn ) II) Quel est le rng de l forme qudrtique q définie sur R n pr q(x) = x i x j? i j n Soit E = {X R n, x i = et i [[, n ], x i } Déterminer sup q(x) X E Mines-MP O9-48 I) ln A n = n ln(+k/n) : on reconnît une somme de Riemnn sur le segment [, ] de l fonction n k= continue t ln( + t), d où l convergence de l suite (ln A n) vers l convergence de (A n) vers 4/e k= ln( + t) dt = ln et h : t ln( + t) est C sur ], + [ donc pour t, ln( + t) = t + R t où R t t M, M! étnt un mjornt de h sur [, t] (inéglité de Tylor) n k On peut choisir M = et il vient : ln B n = n + R k/n = n(n + ) + n Tn vec n k= n k n(n + )(n + )/6 T n = n4 n 4 n + 6n donc lim ln Bn = / et lim Bn = e II) L mtrice de q dns l bse usuelle est Q de terme générl q i,j = si i j, q i,i = (Q + I n) = n(q + I n) donc Q (n )Q = (n )I n donc si n, lors Q est inversible (donc de rng n) : son inverse est (Q (n )In) n Si X E, lors q(x) = (x + + x n) (x + + x n) = N(X), N désignnt l norme euclidienne usuelle On cherche donc M = sup ( N (X)) = inf (N (X)) = d (, E), ce X E X E qui ssure l existence de M E est inclus dns l hyperpln ffine pssnt pr A = (/n,, /n) de vecteur norml u = (,,, ) et X E, X = A + v vec v u donc v A et N (X) = N (A) + N (v) N (A) d où d(, E) = N(A) = n/n et M = /n = n n 9 I) Soit des entiers n et k tels que k n ; décomposer en cycles l permuttion de Z/nZ qui à m ssocie m + k II) Déterminer l ensemble des (p, q) Z Z tels que p + 3q soit multiple de 7 Mines-MP O9-49 I) Soit p l permuttion étudiée Supposons que k n = x [[, n ]], (, b) N, x = k + bn = k mod(n) donc x [[, n ], N, x = p () : p est un cycle Plus générlement, soit d = k n y est dns l orbite de x sous p ssi N, y = x + k mod(n) ie (, b) N, y x = k + bn kz + nz = dz donc y est dns l orbite de x sous p y x = mod(d) : p est donc l composée de d cycles de longueur n/d de l forme (x, p(x),, p n/d (x)) pour x = d II) 3 = donc Z + 3Z = Z et l éqution donnée toujours des solutions Soit n Z (4n, n) est une solution de p + 3q = 7n (p, q) est une utre solution (p 4n) = 3(n q) n q ie q = n + m, m Z et p 4n = 3m (thm de Guss) donc l solution générle de p+3q = mod(7) est (4n 3m, n+m), (n, m) Z Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

13 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP I) Soit E un espce vectoriel normé, U et V deux prties de E A-t-on toujours U V = U V? Et si, de plus, U est ouvert? Montrer que si U est ouvert et que U et V sont denses dns E, lors U V est dense dns E II) Dns R euclidien, on considère l conique C m d éqution crtésienne X +Y +(mx+)(y X) = Déterminer l vleur du ryon de courbure de C m à l origine, lorsque cel un sens ; discuter le genre de C m ; pr quels points du pln psse-t-il une infinité de coniques de l fmille? III) Soient deux entiers nturels p et q et H une mtrice réelle de tille (p, q) et de rng q ; si p > q, comment construire une mtrice J M q (R) telle que t JJ = t HH? Montrer que toutes les mtrices J stisfisnt cel sont inversibles Mines-MP O9-5 I) Soit U =], [ et V =], [ dns R U V = et U V = {} donc l églité proposée n est ps toujours vrie, même si U et V sont ouverts Supposons U ouvert et dense, V dense, et soit x E, ε > Prouvons que B(x, ε) (notée B) coupe U V U est dense donc il existe U tel que B, et U est ouvert, donc il existe ρ > tel que B(, ρ) U Soit r = min(ρ, ε N( x)) B(, r) U et B(, r) B V est dense donc il existe (z n) V N de limite Pour n n, N( z n) < r Alors z n V B(, r) donc z n (U V ) B II) Soit f = (X, Y ) X + Y + (mx + )(Y X) f(, ) = et grd f(, ) = (, ) donc l origine O est un point de l conique et l tngente en ce point est l droite de direction (, ) L mtrice P = / ( ) définit le pssge vers le repère orthonormé (O, T, N) où (T, N) est un repère de Frenet en O Le développement de Tylor donne lors M(s) = st + (Rs /)N + o(s ) donc R = lim y s x L éqution de C m dns ce nouveu repère est : x +y = (m(x y )+ )(y )/ = ie +( m)y y en pssnt à l limite donc R = L mtrice ssociée à l prtie qudrtique de f est Q = x +mx y x + y x ( ) m m/ m/ R = donc + = det Q = m m /4 = m = (± ) donc si m = m = ( ) ou m = m = ( ), lors C m est une prbole, éventuellement dégénérée en deux droites prllèles Si m ]m, m [, Q deux vleurs propres non nulles de signes différents, donc C m est une hyperbole Si m / [m, m ], Q deux vleurs propres de même signe, et C m n est ps vide (O est sur C m) donc C m est une ellipse { X + Y + Y X = Les points communs à toutes les C m sont les solutions du système ie X(Y X) = les points O et A = (, ) ; O est "point double" : toutes les C m ont en O l même tngente () L mtrice H est congruente à H = ( ) = Iq M p,q(r) : il existe P GL p(r) p q,q () et Q GL q(r) tels que H = P H Q t HH = t Q t HP t P H Q et B = t HP t P H est une mtrice crrée symétrique réelle positive de tille (q, q) En effet, t XBX = P H X, désignnt l norme euclidienne usuelle sur M p,(r) Il existe donc une mtrice crrée symétrique réelle positive de tille (q, q), C, telle que C = B et lors t HH = t QC Q = t (CQ)(CQ) donc J = CQ est une solution du problème Si M est une mtrice quelconque de tille (i, j), rgm = rg( t MM) ; en effet : Soit N = t MM ker M ker N De plus X M i,(r), NX = t XNX = t (MX)(MX) = MX = MX = donc ker N ker M On en déduit : rgj = rg( t JJ) = rg( t HH) = rgh donc toutes les solutions J sont de rng q ie inversibles Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

14 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP I) M = (m ij ), mtrice complexe dont les seuls coefficients non nuls sont les m n i+,i, est-elle digonlisble? Même question lorsque le corps de bse est R u n+ II) Soit (u n ) une suite strictement positive telle que u n + u n+ étudier l nture de l série u n dmette une limite distincte de ; III) Soit f une ppliction de clsse C de R n dns R n telle que f(y) f(x) y x pour tout (x, y) Montrer que f est un difféomorphisme de R sur un ouvert Ω Montrer que Ω est ussi fermé ; que peut-on en conclure? Mines-MP O9-5 I) Si n = p, p N est pir, lors M = N = dig(m,nm n,,, m p,p+m p+,p, m p+,pm p,p+,, m n,m,n) ; N = dig(m k,p+ k m p+ k,k, k = p) Si n = p, p N est impir, lors M = N = dig(m,nm n,,, m p,p+m p+,p, m p,p, m p+,p m p,p+,, m n,m,n) ; N = dig(m k,p k m p k,k, k = p ) n Dns les cs, N est digonl(isbl)e et det N = m n+ i,i donc M est inversible Prouvons que toute mtrice M complexe inversible de crré N digonlisble(dns C) est digonlisble (dns C) : d d N dmet un polynôme nnulteur scindé à rcines simples P (X) = (X α i) ; A = (M α ii n) = et M est régulière donc s il existe i [[, d ]] tel que α i =, lors AM = donc on se rmène u cs où i [[, d ]], α i Dns C, chque α i dmet rcines β i, β i distinctes et β i = ±β j α i = α j i = j donc d d A = (M β ii n)(m +β ii n) = prouve que M dmet un polynôme nnulteur (X β i)(x+β i) qui est scindé à rcines simples, donc M est digonlisble Sur R, M n est ps toujours digonlisble : pr ex, pour n =, m, =, m, =, sp C (M) = { i, i} un+ u n + u n+ Cs l > / : Soit α ]/, l[ et n tel que n n, II) Soit l = lim u n+ u n + u n+ α On n n, u n+ α(u n + u n+) Soit l suite (v n) définie pr : n n +, v n = u n, n n, v n+ = α(v n + v n+) Pr récurrence immédite, () : n N, u n v n On peut clculer le terme générl de (v n) : P (r) = r αr α dmet rcines réelles distinctes r < < r et P () = α < donc r > et P ( ) = donc r ], [ Il existe (A, B) R tel que n, v n = Ar n + Br n (v n) est à termes dns R + pr récurrence immédite, et si B =, lors v n Ar n qui est le terme générl d une série lternée, donc nécessirement B et v n Br n (et B > ) série géométrique divergente, donc v n est divergente et d près (), r n u n est divergente est une Cs l < / : De même, on peut définir une suite (v n) telle que n, u n v n et v n = Ar n + Br n où r, r sont les rcines de P (r) = r αr α vec l < α < / Ici, P () > donc < r < < r < donc r n et r n sont convergentes et v n, u n sont elles ussi convergentes III) (x, y) R n, f(x) = f(y) x = y : () : f est injectif Prouvons que () : x R n, df x GL(R n ) : Soit x R n et h R n \ {} f(x + h) = f(x) + df x(h) + o(h) donc N( df x(h)) = N(f(x + h) f(x) o(h)) N(f(x + h) f(x)) N(o(h)) N( dfx(h)) h, N(o(h)) N(o(h)) et lim = donc sup N(h) N(h) h N(h) h de df x subordonnée à une norme N sur R n vérifie N ( df x) donc df x est inversible D près () et (), f induit un difféomorphisme de R n sur un ouvert Ω de R n N( df x(h)) : l norme N N(h) Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

15 Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP Prouvons que U = R n \ Ω est ouvert : Soit U et g = x R n N(f(x) ) g est continue sur R n et minorée (pr ) donc dmet une borne inférieure m Prouvons que m est un minimum x R n, g(x) = N(f(x) f() + f() ) N(f(x) f()) N(f() ) N(x) g() Soit R = m + g() et K = B(, R) m minore g sur K Soit ε > x R n, g(x) < m + ε x / K g(x) > R g() = m > m + ε dès que ε < donc m = inf K g = min g puisque g est K continue sur K compct On donc m = g(b) (vec b K) et f(b) Ω donc m = g(b) x R n, N(f(x) ) m > donc B(, m/) Ω = ie B(, m/) U "Ω est un ouvert-fermé non vide de R n qui est connexe donc Ω = R n " Preuve sns connexité : Supposons que Ω R n et soit b R n \ Ω Ω : soit Ω et c : t [, ] ( t) + tb (un chemin de à b : connexité pr rc) c() = ω donc F = {t [, ]/c(t) Ω} est mjoré non vide donc dmet une borne supérieure τ F = c (Ω) est fermé dns [, ](c est continue et Ω est fermé) donc τ F [, ] \ F = c (R n \ Ω) est fermé dns [, ](c est continue et R n \ Ω est fermé) et pour tout n, τ + n > τ donc τ + n [, ] \ F donc τ = lim(τ + n ) [, ] \ F ce qui est bsurde, d où Ω = Rn Orl de Mthémtiques Mines-Ponts - Mthilde PETIT - 3

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