Feuille d exercices n o 9

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1 École Normale Supéreure Topologe, analyse et calcul dfférentel Feulle d exercces n o 9 Corrgé Exercce 1 1. S 1 < p < +, alors l p (N) est réflexf. En effet, sot q tel que 1 p + 1 q = 1. Notons γ p : l q (N) (l p (N)) Ç u v å u n v n n On défnt de même γ q. On sat que ces deux applcatons sont des somorphsmes. Sot J p : l p (N) (l p (N)) l applcaton telle que J p (u)(f) = f(u) pour toutes u l p (N), f (l p (N)). Remarquons que γ p J p = γ q. En effet, pour toutes u l p (N), v l q (N) : Ç ((γp J p )(u))(v) = (J p (u) γ p )(v) = J p (u) w l p (N) n å w n v n = u n v n = γ q (u)(v) n Pusque γ p est un somorphsme, γ p l est auss. L applcaton γ q étant auss un somorphsme, l applcaton J p = (γ p) 1 γ q est un somorphsme. L espace l 1 (N) n est pas réflexf. Défnssons, comme précédemment γ : l 1 (N) (l (N)) Ç u v å u n v n n On défnt γ 1 de manère smlare. On sat que γ 1 est un homéomorphsme mas pas γ. Sot J 1 : l 1 (N) (l 1 (N)) l applcaton telle que, pour toute u l 1 (N), J 1 (u)(f) = f(u). De même que précédemment, γ 1 J 1 = γ. Comme γ 1 est un homéomorphsme mas pas γ, J 1 ne peut pas l être. On sat qu un espace de Banach est réflexf s et seulement s son dual l est. On vent de vor que l 1 (N) n état pas réflexf. Son dual ne l est donc pas non plus. Comme son dual est somorphe à l (N) en tant qu espace de Banach, l (N) ne l est pas non plus. 2. a) On note Y l orthogonal de Y dans E. On sat que Vect (Y ) = Y. Pour toute U E, U = J E (U ). En effet, J E (U ) U : s x U, alors, pour toute f U, f(x) = 0 donc J E (x)(f) = 0, ce qu mplque J E (x) U. Récproquement, s φ U, l exste x E tel que φ = J E (x), car J E est surjectve. Alors x U car, pour toute f U, f(x) = J E (x)(f) = φ(f) = 0. Donc φ J E (U ). 1

2 On a auss que, pour toute V E, J E (V ) = V : f(x) = 0, x V est équvalent à J E (x)(f) = 0, x V, sot g(f) = 0, g J E (V ). Donc Y = J E (Y ) = Y = Vect (Y ). b) Prenons E = l 1. Sot φ : l (l 1 ) l somorphsme φ(u)(v) = n u nv n. Posons Y = φ(l 0 ) (où l0 désgne l ensemble des sutes de l qu tendent vers 0 en + ). C est un sous-espace vectorel fermé de (l 1 ) pusque l0 est un sous-espace vectorel fermé de l. Il n est pas égal à (l 1 ) tout enter. Y = {u l 1 tq φ(v)(u) = 0, v l0 } = {0}. En effet, s u Y, alors φ(e )(u) = 0 pour tout (où e est la sute dont toutes les coordonnées valent 0 sauf la -ème, qu vaut 1) dont u = 0 pour tout. On a donc Y = {0} = (l 1 ) Vect (Y ) = Y. c) Sot E un espace de Banach non-réflexf. Sot φ E J E (E). Prenons Y = Ker (φ) = {f E tq φ(f) = 0}. C est un sous-espace vectorel fermé de E, dstnct de E car φ n est pas nulle. Supposons par l absurde que Y = Vect (Y ) = Y. Alors, en posant V = Y, on a Y = V. L ensemble V ne peut pas contenr deux éléments x, y lnéarement ndépendants. En effet, snon, d après le théorème d Hahn-Banach, l exste e x et e y deux formes lnéares contnues telles que e x (x) = 1, e x (y) = 0, e y (x) = 0, e y (1) = 1. Pour tout (s, t) R 2 tel que (s, t) (0, 0), se x + te y / V car (se x + te y )(x) = s 0 ou (se x + te y )(y) = t 0. Pourtant, l exste s, t non tous deux nuls tels que φ(se x +te y ) = 0, c est-à-dre tels que se x +te y Y = V. L ensemble V est donc de dmenson 1 : V = Rx pour un certan x E. Donc Y = {f E tq f(x) = 0} = {f E tq J E (x)(f) = 0} = Ker (J E (x)). Les formes lnéares J E (x) et φ ont donc le même noyau. Cela mplque qu elles sont colnéares. Donc φ J E (E). C est absurde. 3. Notons C F l adhérence pour la topologe forte et C f celle pour la topologe fable. Pusque la topologe fable est mons fne que la topologe forte, un fermé pour la topologe fable est un fermé pour la topologe forte. Donc C f est un fermé contenant C au sens de la topologe forte. Par défnton de l adhérence, on dot donc avor C F C f. Montrons que l ncluson est une égalté. Supposons par l absurde qu l exste x 0 C f C F. Pusque C F est fermé pour la topologe forte (c est-à-dre celle ndute par la norme de E), d(x 0, C F ) > 0. D après le théorème d Hahn- Banach, l exste φ E et a R tels que : z C F, φ(z) a > φ(x 0 ) L ensemble S = {z E tq φ(z) a} est fermé pour la topologe fable (par défnton de la topologe fable). Comme l content C (pusqu l content C F ), l content l adhérence fable de C, c est-à-dre C f. Il dot donc contenr x 0. C est absurde. Exercce 2 1. a) La topologe fable est, par défnton, la topologe la mons fne rendant contnue toutes les formes lnéares contnues sur E. Pour la topologe forte, ces applcatons sont toutes contnues donc la topologe fable est mons fne que la topologe forte. 2

3 Une sute qu converge pour une certane topologe converge auss (vers la même lmte) pour toutes les topologes mons fnes. b) Posons, pour tout n N, e n la sute dont toutes les composantes sont nulles sauf la n-ème qu vaut 1. Cette sute ne converge pas pour la topologe forte ( e n+1 e n 2 = 2 0). Montrons qu elle converge vers 0 pour la topologe fable. Sot φ une forme lnéare contnue. Comme (l 2 (N)) l 2 (N), on sat qu l exste u l 2 (N) telle que, pour toute v l 2 (N) : φ(v) = n u n v n Pour tout n, φ(e n ) = u n. Comme n u2 n < +, u n 0 quand n + donc φ(e n ) 0 = φ(0). Pour toute forme lnéare contnue φ, on a donc φ(e n ) φ(0). Cela mplque (par une proprété des topologes engendrées par des applcatons) que e n 0 au sens de la topologe fable. 2. a) Pour tout k, s on note φ k l applcaton lnéare contnue telle que φ k (v) = v k pour toute v l 1 (N), on a u (n) k = φ k (u (n) ) φ(0) = 0. b) On va construre la sute par récurrence. Supposons les sutes construtes jusqu à k 1 (avec k 0, cela permet de fare l ntalsaton en même temps que la récurrence) et construsons-les au rang k. Posons T = S 1... S k 1. Pour tout t T, u (n) t 0 quand n +, d après la queston précédente. Pour n assez grand, on a donc, pusque T est fn : u (n) t ɛ/2 t T On chost n k de sorte que u (n k) satsfat cette condton et n k > n 1,..., n k 1. Alors : t/ T t Il exste donc S k N T fne telle que : = u (nk) 1 t t T 1 ɛ/2 u (nk) t u (nk) 1 ɛ t S k c) Fxons ɛ > 0 et défnssons les sutes (n k ) k N, (S k ) k N comme à la queston précédente. Sot v l (N) la sute défne de la façon suvante : v s = 0 s s N k S k = sgne(u (n k) s ) s s S k Sot φ : w l 1 (N) n v nw n. C est une forme lnéare contnue. 3

4 Pour tout k N : φ(u (n k) ) = s s S k s s S k = 2 s s S k = 2 s S k + v s u s (nk) s/ S k u s (nk) s/ S k s N s s 1 1 2ɛ η 2ɛ C est absurde car η 2ɛ > 0 et, pourtant, on devrat avor φ(u (n k) ) 0, à cause de la convergence fable vers 0. Exercce 3 1. Ae 2 = Ç å Ae, f j 2 = e, A f j 2 = A f j 2 I I j J I,j J j J S (e ), (e ) sont deux bases hlbertennes et (f j ) une trosème base, quelconque, on a : Ae 2 = A f 2 = Ae 2 j donc la quantté voulue est ben ndépendante de la base. 2. L négalté trangulare est vérfée car. 2 la vérfe. L applcaton est homogène. S on montre que. HS A, on aura auss qu elle est séparante. Sot (e ) une base hlbertenne. Sot x quelconque. On a x = x, e e. On a A(x) Å ã 1/2 Å ã 1/2 x, e. A(e ) x, e 2. Ae 2 = x. A HS. Comme c est vra pour tout x, A A HS. 3. S B est de Hlbert-Schmdt, A B HS A. B HS < + donc A B est de Hlbert- Schmdt. D après la premère queston, un opérateur est de Hlbert-Schmdt s et seulement s son adjont l est. Donc s A est de Hlbert-Schmdt, A auss et (A B) = B A auss, d après ce qu on vent de vor. Donc A B est de Hlbert-Schmdt. 4. Sot (e ) I une base hlbertenne fxée. L applcaton blnéare A, B = Ae, Be est un produt scalare dont la norme assocée est. HS. Donc HS(H) est préhlberten. Montrons qu l est complet. S (A n ) n N est une sute de Cauchy pour. HS, c est auss une sute de Cauchy pour. d après la queston 2. Elle converge donc au sens de la norme opérateur, vers une lmte A. Montrons qu elle converge vers A pour. HS. 4

5 Pour tout, A n e A e. De plus, pour tout n et tout N : (A n A )e 2 = lm (A n A m )e 2 m + N N sup A n A m 2 HS m n Donc (A n A )e 2 A n A m 2 HS < +. Cela mplque que A HS(H) et A n A HS Sot A de rang fn. Alors (Ker A) est de dmenson fne (de même dmenson que l mage). Notons d la dmenson. On peut chosr (e ) N une base hlbertenne telle que e 1,..., e d forment une base de (Ker A) et e k Ker A pour tout k > d. Alors A HS = Ae 2 = Ae 2 < +. d Montrons mantenant la densté des opérateurs de rang fn. Sot A HS(H) et sot ɛ > 0. Montrons qu l exste B de rang fn tel que A B HS ɛ. Sot N tel que Ae 2 ɛ 2. >N Posons B l opérateur qu est égal à A sur Vect {e 1,..., e N } et égal à 0 sur Vect {e 1,..., e N }. L opérateur B est de rang fn : son mage est engendrée par B(e 1 ),..., B(e N ). De plus : A B HS = >N Ae 2 ɛ Pusque les opérateurs de rang fn sont denses, tout opérateur de Hlbert-Schmdt est lmte (pour la norme. HS mas donc auss pour la norme. ) d opérateurs de rang fn. Or une lmte d opérateurs de rang fn est un opérateur compact. En effet, supposons que les opérateurs de rang fn (B n ) n N convergent vers un opérateur A pour la norme.. Montrons que A est compact. Il sufft de montrer que A(B H (0, 1)) est précompact. Sot ɛ > 0. Sot n suffsamment grand pour que A B n ɛ/2. Pusque B n est de rang fn, B n (B E (0, 1)) est un compact (fermé borné d un espace de dmenson fne). Il exste donc x 1,..., x s dans ce compact tels que : B n (B E (0, 1)) t sb(x t, ɛ/2) Pour tout z B E (0, 1), A(z) B n (z) ɛ/2. Comme l exste t tel que B n (z) x t ɛ/2, l exste t tel que A(z) x t ɛ. Donc A(B H (0, 1)) B(x t, ɛ). t s 6. Pour presque tout x X, K(x,.) L 2 (X, µ) donc, par l négalté de Hölder, A K (f)(x) est ben défne pour presque tout x. Nous allons vor dans la sute qu l s agt de plus d une foncton de L 2 (X, µ). A K est lnéare. De plus, pour tout x et toute f, A K (f)(x) K(x,.) 2 f 2, par l négalté de Hölder. 5

6 Donc, pour toute f, A K (f) 2 = x X A K(f)(x) 2 x,y X K(x, y) 2 f 2 2dµ(x)dµ(y) = K 2 2 f 2 2. L opérateur A K est donc contnu, de norme nféreure ou égale à K 2. Pour toute g : X A K (f)(x)g(x)dµ(x) = = x,y X y X K(x, y)f(y)g(x)dµ(x)dµ(y) Å ã f(y) K(y, x)g(x)dµ(x) dµ(y) On en dédut que l adjont de A K est l opérateur g (x X K(y, x)g(y)dµ(y)). Les deux opérateurs sont égaux s et seulement s K est symétrque. 7. Le calcul des ntégrales montre que cette famlle est orthonormée : e,j, e k,l = e, e k e j, e l. Il faut montrer que c est une base. Pour cela, l sufft de montrer que son orthogonal est rédut à {0}. Sot f L 2 (X X, µ µ) tel que f, e,j = 0 pour tous, j. On va montrer que f = 0. Les fonctons f(., y) et f(x,.) sont dans L 2 pour presque tous x, y. Qutte à modfer f sur un ensemble de mesure nulle, on peut supposer qu elles sont dans L 2 pour tous x, y. Pour tout j, la foncton f j : x X f(x, y)e j(y)dµ(y) est dans L 2. De plus, f j, e = f, e,j = 0 pour tous, j. Donc, pour tout j, f j = 0 presque partout (car (e ) est une base). Donc, pour presque tout x, f(x,.), e j, = f j (x) = 0 pour tout j. Pusque (e j ) j est une base, cela mplque que f(x,.) = 0 presque partout pour presque tout x. Donc f = 0 presque partout. 8. x X A K 2 HS = A K (e ) 2 = A K (e ), e j,j = K, e,j 2,j = K 2 L 2 9. Sot A un opérateur de Hlbert-Schmdt. Pour (, j) I 2, notons k,j := Ae, e j. On a alors k,j 2 = Ae, e j 2 = Ae 2 = A 2 HS < +. (,j) I 2 (,j) I 2 I Pusque la famlle (e,j ) (,j) I 2 est orthonormée dans L 2 (X X, µ µ), cec entraîne que la foncton K = k,j e,j (,j) I 2 est dans L 2 (X X, µ µ). Pour tous, j I 2, A K (e ), e j = k,j = Ae, e j. Pusque (e ) I est une base hlbertenne de L 2 (X, µ), cela mplque que A K et A sont égaux. 6

7 Exercce 4 1. a) Sot, pour tout n N, e n la sute dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la n-ème qu vaut 1. La sute (e n ) n N est une base de Schauder de l p (N). En effet, s x l p (N), x n e n x lorsque N +, ce qu prouve l exstence de la sute (α n (x)) n N. Cette sute est unque car, s l y en a deux, (α n (x)) et (β n (x)), on dot avor : Or : n (x)e n α β n (x)e n 0 quand N + p n (x)e n α p β n (x)e n = α n (x) β n (x) p p On dot donc avor α n (x) = β n (x) pour tout n N. b) Supposons que E admet une base de Schauder (e n ). Posons A = {q 1 e q N e N tq q 1,..., q N Q, N N}. C est un ensemble dénombrable. Montrons que A est dense dans E. Sot x E quelconque. Sot ɛ > 0. Ilfaut montrer que A B(x, ɛ). Sot N N tel que x ɛ/2. Soent q 1,..., q N Q tels que : Alors x q n e n < ɛ. Donc A est dense et E est séparable. n e n q < ɛ/2 L ensemble l (N) n est pas séparable. Il n admet donc pas de base de Schauder. 2. a) Pour tout x, x. On dot donc avor : x = lm N + sup N + = M(x) Avant de montrer que M est une norme, démontrons que les applcatons α n sont lnéares. Soent x, y E, λ, µ R. Pusque x et α n (y)e n y, on a auss : (λα n (x) + µα n (y))e n λx + µy Pusque la sute (α n (λx+µy)) n N est unquement défne, on dot avor α n (λx+µy) = λα n (x)+ µα n (y) pour tout n N. 7

8 Pusque α n (tx) = tα n (x), on a M(tx) = t M(x) pour tous x E, t R. Pusque M(x) x, l applcaton M est séparante. Enfn : M(x + y) = sup α n (x + y)e n = sup + α n (y)e n sup Ñ + α n (y)e n é sup + sup α n (y)e n = M(x) + M(y) Donc M est une norme b) Supposons que (x s ) s N est de Cauchy pour M. Pusque M., c est auss une sute de Cauchy pour.. Notons x sa lmte au sens de la norme. et montrons que c est auss la lmte pour la norme M. Pour tous s, t, N N : α n (x s )e n α n (x t )e n M(x s x t ) Pour tout N, la sute ( α n (x s )e n ) s N est donc de Cauchy. Elle converge alors dans E vers une lmte qu on note y N. Cela mplque que, pour tout N, α N (x s )e N y N y N 1 lorsque s + et donc que α N (x s ) converge vers une lmte a N. Montrons que a n e n x lorsque N +. Sot ɛ > 0. Montrons que, pour tout N assez grand x a n e n ɛ. Pour tous s, N N : α n (x s )e n a n e n = lm t + α n (x s )e n α n (x t )e n lm t + M(x s x t ) Sot s tel que, pour tout t s, M(x s x t ) ɛ/3. Un tel s exste car (x s ) s N est de Cauchy. De plus, pusque x s x 0, on peut supposer, qutte à chosr s plus grand, que x s x ɛ/3. Pour tout N assez grand, x s ɛ/3. Pour tout N assez grand, on a donc : x a n e n x x s + x s α n (x s )e n + α n (x s )e n a n e n 2ɛ/3 + lm t + M(x s x t ) ɛ 8

9 Donc a n e n x quand N +. On a donc, pour tout n, a n = α n (x ). Pour tout N : n (x s )e n α α n (x )e n = lm t + n (x s )e n α α n (x t )e n sup M(x s x t ) t s Donc M(x s x ) sup M(x s x t ) 0 quand s +. La sute (x s ) s N est donc convergente t s pour M. c) L applcaton Id : (E, M) (E,. ) est une bjecton lnéare entre deux espaces de Banach. Cette applcaton est 1-lpschtzenne (donc contnue) d après la queston a). Elle est donc de récproque contnue d après le théorème de l somorphsme. S K est la norme de la récproque, on dot avor, pour tout x E, M(x) K x. 3. Commençons par supposer que (e n ) n N est une base de Schauder. Pusque, pour tout x, l exste une sute d éléments de Vect {e n } n N qu tend vers x, la proprété (1) est vérfée. Sot K comme à la queston 2.c). Pour tous N < N et tous réels a 1,..., a N, s on pose x = a n e n : a n e n = M(x) K x = K a n e n Donc (2) est vérfée. Supposons mantenant (1) et (2) et montrons que (e n ) n N est de Schauder. Sot x E quelconque. D après la proprété (1), l exste, pour tout N N, un (N + 1)-uplet de réels, (a N 0,..., a N N), tel que : a N n e n x quand N + Notons, pour tout N N, y N = a N n e n. La sute (y N ) converge donc vers x. Ç å Pour tout L N, la sute a N n e n est de Cauchy. En effet, par (2), pour tous N, N L : n L n La N n e n n L a N n e n K y N y N On en dédut (comme à la queston 2.b)) que, pour tout n N, (a N n ) converge, vers une lmte qu on note a n. Montrons que a n e n x quand N +. Pour tout N N : a n e n a N n e n = lm L + Pusque a N n e n x lorsque N +, a L ne n a N n e n K lm y L y N 0 quand N + L + a n e n tend également vers x. 9

10 On a donc montré l exstence d une sute (α n (x)) n N telle que x lorsque N +. Montrons son uncté. Soent (α n (x)) n N et (β n (x)) deux sutes telles que : x et β n (x)e n x quand N + Pour tout N, d après la proprété (2) : (α n (x) β n (x))e n K nf (α n (x) β n (x))e n N >N K lm β n (x)e n = 0 N + Pour tout N, on a donc (α n (x) β n (x))e n = 0. Par récurrence, pusque les e n sont tous non-nuls, cela mplque que, pour tout n N, α n (x) = β n (x). 4. a) On a vu à la queston 2.a) que les α n étaent lnéares. Pour tous N N, x E, α n (x)e n M(x) K x pour une certane constante K, d après la queston 2. L applcaton x est donc contnue. Cela mplque que, pour tout n, l applcaton x est contnue, donc α n auss. b) Supposons que (α n ) n N est une base de Schauder de E. Sot f E quelconque. Pusque (α n ) n N est une base de Schauder, l exste une unque sute (a n ) n N telle que a n α n f lorsque N +. Ç å Sot x E L, pour un certan L. Alors f(x) = lm a n α n (x) = lm a n α n (x) N + N + L lm sup a N n α n. x, c est-à-dre que f EL lm sup a L N n α n. L Or a n α n = a L n α n Ç å a n α n 0 quand N, L +, pusque a n α n, 0 n L étant convergente, est une sute de Cauchy. Donc f EL 0. c) Sot f E. Posons a n = f(e n ) pour tout n N. Montrons que a n α n f lorsque N +. Sot K comme dans la queston 2.c). Montrons que, pour tout x E et tout N N, Ç f å a n α n (x) (1 + K) f E N. x. Cela mplquera que f a n α n (1 + K) f EN 0 lorsque N +. Soent x E, N N quelconques. On a x = lm α n (x). On a donc : L + n L Ñ é Ñ é f(x) = lm f = lm a n α n (x) L + L + n L n L 10

11 Donc : Ñ f a n α n é (x) = lm L + N<n L a n α n (x) = lm L + f Ñ N<n L é lm L + f E N. N<n L = f EN x f EN. x (1 + K) L uncté de la sute (a n ) n N telle que a n α n f lorsque N + est une conséquence du fat que, pour tout k N, dès que N k, a k = Ç a n α n å (e k ). Pusque cette dernère expresson tend vers f(e k ) lorsque N +, on a nécessarement a k = f(e k ). 11