Annexe A. Herbier de fonctions réelles. Les fonctions continues

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1 Annee A Herbier de fonctions réelles Rappelons que lorsque les domaines de définition et d arrivée d une fonction f sont des sous-ensembles de R, on parle de fonctions réelles. Les mathématiciens ont classé les fonctions réelles en différentes catégories décrites cidessous. Les fonctions continues Les fonctions polnomiales. Les fonctions affines (ou fonctions polnomiales de degré ). (a) Les fonctions constantes. (b) Les fonctions linéaires.. Les fonctions quadratiques (ou fonctions polnomiales de degré ).. Les fonctions cubiques (ou fonctions polnomiales de degré ).. Les fonctions polnomiales de degré. Les fonctions algébriques. Les fonctions polnomiales.. Les homographies.. Les fonctions rationnelles.. Les racines carrées de fonctions rationnelles (racine carrée, valeur absolue,... ). 5. Les mélanges entre fonctions rationnelles et racines n-ièmes. Les fonctions transcendantes. Les fonctions trigonométriques et leur réciproque.. Les fonctions eponentielles et les logarithmes.. Les fonctions hperboliques

2 Lcée cantonal de Porrentru Herbier de fonctions réelles Rappelons que lorsque les domaines de définition et d arrivée d une fonction f sont des sous-ensembles de R, on parle de fonctions réelles. Les mathématiciens ont classé les fonctions réelles en différentes catégories décrites cidessous. Les fonctions continues Intuitivement, une fonction est continue lorsque son graphe au-dessus du domaine de définition se dessine sans lever le craon. Voici tpes de fonctions continues. Premier tpe de fonctions : les fonctions polnomiales. Les fonctions affines (ou fonctions polnomiales de degré ) Les fonctions affines ont l epression fonctionnelle suivante f() = a + a 0 avec a 0, a R Parmi les fonctions affines, on trouve : (a) Les fonctions constantes d epression fonctionnelle f() = a 0 avec a 0 R (b) Les fonctions linéaires d epression fonctionnelle f() = a avec a R Le graphe des fonctions affines est une droite. Le nombre a représente la pente de la droite (quand on avance de sur l ae horizontal, la fonction monte ou descend de a ) et le nombre a 0 représente la hauteur de la droite (l image de = 0). Ainsi (a) La droite est horizontale lorsque la fonction est constante. (b) La droite passe par l origine lorsque la fonction est linéaire. Voici des eemples de graphes de fonctions affines. f() = + (affine) f() = (linéaire) f() = (constante) page 99

3 Lcée cantonal de Porrentru. Les fonctions quadratiques (ou fonctions polnomiales de degré ) Les fonctions quadratiques ou fonctions polnomiales du deuième degré ont l epression fonctionnelle suivante f() = a + a + a 0 avec a, a, a 0 R, a 0 Le graphe des fonctions quadratiques est une parabole. Voici des eemples de graphes de fonctions quadratiques. f() = + + f() = f() = + + = ( + ) + = ( 0) + 0 = ( ) On voit sur ces graphes que les fonctions quadratiques peuvent avoir 0, ou zéros!. Les fonctions cubiques (ou fonctions polnomiales de degré ) Les fonctions cubiques ou fonctions polnomiales du troisième degré. Les fonctions cubiques ont l epression fonctionnelle suivante. f() = a + a + a + a 0 avec a, a, a, a 0 R, a 0 Voici des eemples de graphes de fonctions cubiques. f() = f() = + + f() = + Les fonctions cubiques ont toujours au moins zéro et au plus zéros.. Les fonctions polnomiales de degré Par eemple : f() = + + g() = 6 + h() = 5 page 00

4 Lcée cantonal de Porrentru Voici des eemples de graphes de fonctions polnomiales de degré. Voici trois graphes de fonctions polnomiales de degré. f() = f() = f() = + + Voici trois graphes de fonctions polnomiales de degré 5. Deuième tpe de fonctions : les fonctions algébriques Une fonction algébrique est une fonction qui peut être eprimée par un nombre fini de sommes, de différences, de multiplications, de quotients ou de racines de fonctions polnomiales. Par eemple :. Les fonctions polnomiales (voir ci-dessus).. Les homographies ou fonctions dont le graphe est une hperbole ou une droite (non horizontale) ont l epression fonctionnelle suivante. f() = a + b c + d avec ad bc 0 Le domaine de définition d une telle fonction est D = R \ { d } si c 0 (cas où le c graphe est une hperbole) et D = R si c = 0 (cas où le graphe est une droite). La condition ad bc 0 est présente afin que cette fonction soit injective. Si on avait ad bc = 0, le graphe de f serait une droite horizontale, car la fraction pourrait se simplifier et le disparaîtrait. Par eemple, si a =, b =, c = 6 et d =, la fraction est simplifiable car f() = a + b c + d = = + ( + ) = si page 0

5 Lcée cantonal de Porrentru Voici des eemples de graphes d homographies. f() = / f() = f() = +. Les fonctions rationnelles, qui sont des quotients de fonctions polnomiales. Par eemple f() = g() = + + Voici des eemple de graphes de fonctions rationnelles. Voici trois graphes de fonctions rationnelles. h() = La racine carrée et la valeur absolue sont des racines de fonctions rationnelles. f() = g() = = h() = Voici les graphes des fonctions ci-dessus. f() = g() = h() = 5. Un mélange de fonctions rationnelles et de racines n-ièmes. Par eemple + f() = ( + ) page 0

6 Lcée cantonal de Porrentru Troisième tpe de fonctions : les fonctions transcendantes Les fonctions qui ne sont pas algébriques sont transcendantes. Voici quelques tpes de fonctions transcendantes importantes.. Les fonctions trigonométriques et leur réciproque. cos : R R arccos = cos : [, ] [0, ] sin : R R arcsin = sin : [, ] [, ] tan : R \ { R : = + k, k Z} R arctan = tan : R ], [ cot : R \ { R : = k, k Z} R arccot = cot : R ]0, [ page 0

7 Lcée cantonal de Porrentru. Les fonctions eponentielles et logarithmes. Les fonctions eponentielles ont l epression fonctionnelle suivante. f() = ep a () = a avec a R, a > 0 Les fonctions logarithmes ont l epression fonctionnelle suivante. f() = log a () avec a R, a > 0, a Voici des eemples de graphes de fonctions eponentielles et logarithmes. ep : R R 0 ; ep = log : R 0 R ep e : R R 0 ; e ep e = log e = ln : R 0 R Il eiste un nombre irrationnel pour lequel les fonctions eponentielles et logarithmes ont de bonnes propriétés. Ce nombre est le nombre d Euler e = Ce nombre est présenté dans le courant de la deuième année. Lorsque l on travaille dans cette base, le logarithme change de nom : il devient le logarithme népérien ou logarithme naturel et il s écrit log e () = ln() page 0

8 b c d f h g Lcée cantonal de Porrentru. Les fonctions hperboliques. (à ne pas confondre avec les homographies dont le graphe est une hperbole.) Tandis que les fonctions trigonométriques parcourent le cercle trigonométrique d équation + =, les fonctions hperboliques parcourent l hperbole d équation = avec. On peut les eprimer grâce à la fonction eponentielle. cosh() = e + e et sinh() = e e cosh : R R ; cosh() t = (cos α, sin α) α t = (cosh(t), sinh(t)) t = 0 e sinh : R R; sinh() t = t = t = i. Deu fonctions intéressantes. Voici deu fonctions que les mathématiciens aiment bien! f : R R 0 ; e g : R \ {0} R 0 ; e La deuième fonction, surnommée la casserole, peut-être prolongée par continuité en 0 par g(0) = 0 (cela se voit sur le dessin : on a envie de dire g(0) = 0). 5. Et bien d autres... page 05