VII- Applications, bijections, bijection réciproque

Transcription

1 ) Définitions VII- Appliations, bijetions, bijetion réiproque des un Une appliation d un ensemble (de départ) E dans un ensemble (d arrivée) F fait orrespondre à haque élément de E un élément unique (appelé image) dans l ensemble F. Notamment toutes les fontions f que nous avons étudiées sont des appliations de l ensemble de définition Df sur l axe x dans R sur l axe des y puisque haque élément de D f admet orrespondant unique y=f(x) dans R. Cela peut d ailleurs s érire f : D f R x f(x) Une bijetion est une appliation telle que haque élément de l ensemble d arrivée F admet un antéédent unique dans l ensemble de départ E. ()Bijetion de [ab] ()Appliation de (3)Appliation de sur [f(a), f(b)] [a b] dans R, mais [a b] dans [f(a), ], mais e n est pas une bijetion e n est pas une bijetion En effet, dans le premier exemple, tous les éléments de [f(a), f(b)] admettent un antéédent unique dans [a b], dans le deuxième exemple, ertains éléments de R n ont pas d antéédent, et dans le troisième exemple, ertains éléments de [f(a), ] ont deux antéédents. ) Théorème de la bijetion Une fontion ontinue et stritement roissante sur un intervalle [a b] réalise une bijetion de [a b] sur [f(a) f(b)]. (Cela vaut aussi pour un intervalle ouvert [a b] ou ]a b[ ) Nous admettons e théorème

2 Exemple On onsidère la fontion f k telle que f k (x) = x k ln x, définie sur R*+, ave k entier. Grâe à l étude des variations de ette fontion, montrer que l équation f k (x) = admet une solution unique a k, ave < a k. Commençons par étudier la fontion. Puisque x>0, ln x existe bien, et la fontion k x k aussi sur R*+. Elle est dérivable : fk '( x) = kx ln x + = x ( k ln x + ). La dérivée x est du signe de (k ln x +) qui est roissante, et s annule pour ln x = -/k, soit x = e /k. D autre part, lorsque x tend vers 0, f k (x) est de la forme indéterminée 0., mais dans e as on sait que la puissane de x l emporte sur le logarithme d où une limite 0 en 0. D autre part, lorsque x tend vers +, f k (x) est de la forme +.+ et tend vers. D où le tableau de variations : Venons-en à la résolution de l équation f k (x)=. Dans l intervalle ]0 e /k ], la fontion déroît à partir de 0-, et ne peut jamais valoir. Plaçonsnous maintenant dans l intervalle [e /k, + [, où la fontion est stritement roissante et ontinue. Elle réalise une bijetion de [e /k, + [ sur [-/ek, + [. Comme se trouve dans et ensemble d arrivée, il admet un antéédent unique a k dans l ensemble de départ. De même, 0 a pour antéédent unique, et ave 0< et la fontion roissante, on en déduit que < a k. 3) Produit (ou omposée) de deux appliations Cette opération est notée par un o. Par définition la fontion gof est telle que : gof (x) = g(f(x)). Autrement dit, en partant de x, on ommene par faire f(x), puis on applique g à f(x) d où g(f(x). Les deux fontions s appliquant l une après l autre, f en premier puis g. Rappelons que lorsqu il s agit de fontions d une variable réelle x, la dérivée d une fontion omposée est telle que (g(f(x)) = g (f(x). f (x). Exemple Montrer que la omposée de deux fontions du premier degré (aussi appelées fontions affines) est une fontion du premier degré Prenons f et g telles que f(x) = a x + b et g(x) = a x + b. Puis faisons gof : f g ' x y = ax + b y = a y + b' = a '( ax + b) + b ' = aa ' x + a ' b + b' d où gof (x) = aa x + a b + b. Il s agit aussi d une fontion affine. Remarquons que l opération o n est pas ommutative, puisque fog (x) = aa x + ab + b. n

3 4) Bijetion et sa bijetion réiproque Soit f une bijetion définie sur I. Ainsi tout élément y de l intervalle image J = f(i) admet un antéédent unique x dans I. Cela permet de définir la bijetion réiproque de f, notée f, qui à haque y de f(i) fait orrespondre un x unique dans I, et et x admet à son tour un antéédent unique y. Ainsi y = f(x) x = f (y) x I y J La ourbe de f est la même que elle de f, sauf que l axe de départ où se trouve y est maintenant vertial, et l axe d arrivée est horizontal. Pour revenir à la situation lassique où est l axe de départ qui est horizontal, on fait une symétrie par rapport à la première bissetrie du repère (elui-i étant orthonormé), l axe de départ qui est l axe des y devient maintenant horizontal. On peut ensuite revenir aux notations lassiques en posant X=y, et Y=x, de façon que l axe horizontal soit l axe des X. Propriétés de la bijetion réiproque Comme f, f - est ontinue sur J. Si f est roissante, f est aussi roissante. De même pour la déroissane. Si f est dérivable sur I, f - est aussi dérivable sur J, sauf aux points où la dérivée de f est nulle (tangente horizontale), la symétrie rendant alors la tangente vertiale pour la ourbe de f -, f n est pas dérivable en es points où f (x)=0. La dérivée de f, quand elle existe, peut se aluler ainsi de façon formelle : dx f '( y) = = = = ( pour f, la variable est y) dy dy f '( x) f '( f ( y)) dx 5) Exemples lassiques Exemple On onsidère la fontion f telle que f(x) = x, définie sur R+. Montrer qu elle admet une bijetion réiproque f que l on préisera La ourbe de f est une demi-parabole. La fontion étant ontinue et stritement roissante sur R+, elle réalise une bijetion de R+=[0, + [ sur [f(0), f(+ )[=[0, + [=R+ aussi. Elle admet une bijetion réiproque f - telle que : y = f(x) sur R+ x = f - (y) sur R+. Plus préisément : y = x donne, puisque x 0 et y 0, x = y. Proédons à un hangement de variables X=y et Y=x pour que l axe horizontal ne soit plus l axe des y mais l axe des X : Y = X. Par symétrie autour de la première bissetrie du repère, la fontion raine arrée est représentée par une demi-parabole d axe horizontal. Elle est ontinue, stritement roissante sur R+. 3

4 La dérivée de f étant f (x) = x qui s annule en 0, la fontion raine arrée est seulement dérivable sur R *+. La dérivée de x = f - (y) est ( f )'( y) =, ela donne dans le as présent f '( f ( y) ( f )'( y) = =, d où ave Y = X, Y ' =. x y X On onstate que la formule de dérivation (x n ) = n x n- s étend aux puissanes frationnaires, puisque x s érit x et que l on a bien ( x ) ' = x =. x Exemple Prendre la fontion f telle que f(x) = tan x, définie sur ]-π/, π/[. Montrer qu elle admet une bijetion réiproque tan dont on préisera les aratéristiques. Rappel sur tan x : Sur le erle trigonométrique (repère orthonormé d origine O, le rayon du erle est, et le erle est orienté dans le sens ontraire des aiguilles d une montre), on prend un ar x = AM à partir de A, et ar est par définition égal à l angle x en radians. Par définition aussi : tan x = AT (positif quand T est au-dessus de A, et négatif audessous). On a aussi tan x = sin x / os x. Lorsque x va de -π/ à π/, y=tan x va de - à +. Cette fontion est stritement roissante et ontinue sur ]-π/, π/[. Elle réalise une bijetion de ]-π/, π/[ sur ]f(-π/), f(π/)[ = ]-, + [= R. Elle admet une bijetion réiproque f telle que : y = tan x sur ]-π/, π/[ x = tan - y sur R La bijetion réiproque tan - est souvent notée Artan pour exprimer très onrètement que x = Artan y est l ar (l angle) dont la tangente est y. Dans les langages informatiques, Artan s érit atan. 4

5 La dérivée de tan x est (tan x) = + tan x, 3 d où pour x = tan y, la dérivée est : (tan y) ' = = =. + (tan x) + (tan(artan y)) + y Finalement la dérivée de Y = Artan X est. Ou enore une primitive de + X est Artan X. + X Exemple 3 On prend la fontion sin x ave x dans [-π/, π/]. Montrer qu elle admet une bijetion réiproque notée Arsin dont on préisera les aratéristiques Lorsque x va de -π/ à π/, y = sin x va de - à. Sur [-π/, π/], la fontion sin est ontinue et roissante. Elle réalise une bijetion de [-π/, π/] sur [-, ]. Elle admet une bijetion réiproque sin notée Arsin telle que : y = sin x sur [-π/, π/] x = Arsin y sur [-, ] où x est l ar (l angle) dont le sinus est y. Tout omme la fontion sinus, la fontion Arsin est impaire et roissante. Sa dérivée est telle que ( Ar sin y)' = os x = os( Ar sin y). Mais il existe un lien entre le sinus et le osinus, soit : os x + sin x =, d où Finalement (Arsin X )' = (Arsin y)' = X y. os x = sin x = y. ou enore, après hangement de notations : 3 On sait que tan x = sin x / os x. D où (tan x) =(os x + sin x) / os x = + tan x en assant la fration, ou enore / os x puisque sin x + os x =. 5

6 6) Exeries : Suites et fontions omposées Exerie On se donne les deux fontions f et g telles que f(x) = / x et g(x) = / x +, et on onsidère la suite (u n ) démarrant en u 0 donné quelonque et telle que u = f(u 0 ), u = g(u ), u 3 = f(u ), et., où l on fait jouer en alternane f et g. Déterminer le omportement à l infini d une telle suite. Pour ela étudier la suite (u n ) à indies pairs et la suite (u n+ ) à indies impairs. Commençons par étudier la suite extraite (u n ) : u 0, u, u 4, On a : f g un un+ = un un+ = un+ + = un + 4 Puisque u n+ = /4 u n +, il s agit d une suite arithmétio-géométrique ayant pour point fixe L tel que L = /4 L+, soit L=4/3. Ave u n+ = /4 u n + et L = /4 L +, il reste après soustration u n+ - L = /4 (u n - L ). La suite v n = u n L est une suite géométrique de raison /4. On en déduit qu elle tend vers 0 pour n infini. Ainsi la suite (u n ) tend vers L = 4/3. Prenons maintenant la suite extraite (u n+ ) : u, u 3, u 5, g f un+ un+ = un+ + un+ = un+ = un + 4 On tombe enore sur une suite arithmétio-géométrique de point fixe L = /3 ette fois. Pour les mêmes raisons que préédemment, la suite w n = u n+ L est une suite géométrique de raison /4. On en déduit qu elle tend vers 0 pour n infini. Ainsi la suite (u n+ ) tend vers L = /3. La suite (u n ) finit par osiller sur les deux nombres 4/3 et /3. 4 Exerie On onsidère la fontion telle que f(x) = x (-x), définie sur [0 ], étant un nombre donné ompris entre et 4. ) Déterminer les points fixes de f. Il s agit des x tels que f(x) = x, soit x(-x) = x. On distingue deux as : x=0 qui est un point fixe si x 0, on peut diviser par x : (-x)=, d où x = /, deuxième point fixe. ) Vérifier que f([0 ] [0 ] 4 La suite diverge, puisqu elle ne onverge pas vers un point. Mais on peut se permettre de dire qu elle onverge vers un yle de deux points, 4/3 et /3. 6

7 La ourbe de f est une partie de parabole ave f(0)= f()=0, située du ôté des y positifs et admettant un maximum pour x=/, soit f(/)= /4 4 puisque est entre et 4. On a toujours f(x) dans [0 ], e qui signifie que f([0 ] [0 ] 3) Déterminer fof Ave x dans [0 ] : x y = f(x) = x (-x) y = f(y ) = x ( x)( x (-x)) Remarquons que y est dans [0 ], don fof existe bien. On trouve y = fof (x) = x ( - x)( x + x ). 4) Pourquoi les points fixes de f sont-il aussi des points fixes de fof? En déduire les points fixes de fof, et notamment l existene de deux nouveaux points fixes, que l on notera x et x, dès que dépasse une valeur que l on préisera. Les points fixes de f vérifient f(x) = x, d où aussi f(f(x) = f(x) = x. Ils sont aussi points fixes pour fof. On retrouve pour fof les deux points fixes préédemment trouvés, soit x = 0 et x = ( )/. Mais il y en a éventuellement d autres. Les points fixes de fof vérifient : x ( - x)( x + x ) = x. Divisons par x ar on onnaît déjà le point fixe 0 : x ( - x)( x + x ) =, puis développons et ordonnons, e qui va donner une équation du troisième degré : x 3 x + ( + )x + ( )/ = 0, ou enore 3 + x x + x + = 0 3 On sait que ( )/ est solution, on fatorise don (x ( )/) dans le polynôme du troisième degré. Cela donne : + + ( x )( x x + ) = 0. Pour trouver les nouveaux points fixes éventuels, il suffit de résoudre l équation du + + seond degré x x + = 0. Son disriminant est : 3 = ( + ) 4 + = ( + ). Dès que est supérieur à 3, le disriminant est positif et il existe deux nouveaux points fixes x et x. 5) Pourquoi a-t-on f(x ) = x et f(x ) = x? Puis, en posant g = fof, montrer que g (x ) = g (x ). Notons que x est un point fixe pour fof et pas pour f, d où f(x ) x. En faisant agir la fontion f à répétition à partir de x, on a : x y = f(x ) x y = f(x ). On en déduit que y =f(f(y ), d où y est un point fixe pour fof et pas pour f, et e n est pas x. Ce ne peut être que x. Finalement f(x ) = x et par suite f(x ) = x. Maintenant dérivons : g (x) = f (f(x). f (x). En partiulier g (x ) = f (f(x ). f (x ) = f (x ). f (x ). Et de même pour g (x ). 7

8 6) Traer par programme la ourbe de g pour = 3,. (On retrouvera e problème lassique dans le hapitre 9 sur les suites ) 8