Théorème de Rolle et formules de Taylor

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1 Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer que si f est continue lors f est bornée et tteint ses bornes. C est-à-dire qu il existe x 1 et x dns K tels que : f (x 1 ) = inf x K f (x), f (x ) = sup f (x). x K. On note E = C 0 ([, b], R) l espce vectoriel des pplictions continues sur l intervlle [, b] ( < b) et à vleurs dns R et on munit cet espce de l norme : f f = sup f (x). x [,b] Soient f une fonction pprtennt à E {0} et B (0, f ) l boule fermée de centre 0 et de ryon f. () Montrer que B n,f = R n [x] B (0, f ) est compcte dns R n [x]. (b) Montrer qu il existe un polynôme P dns B n,f tel que : (c) Montrer que : f P = f P = inf Q B n,f f Q. inf f Q. Q R n[x] 3. Soient O un ouvert non vide d un espce vectoriel normé (E, ), f : O R une fonction différentible en un point O. Montrer que si f dmet un extremum locl en lors df () = 0 (considérer, pour tout vecteur h E, l fonction d une vrible réelle ϕ définie u voisinge de 0 pr ϕ (t) = f ( + th)). Le théorème de Rolle 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) d intérieur non vide, f une fonction continue de K dns R différentible sur l intérieur de K et constnte sur l frontière de K, Fr (K) = K \ K. Montrer qu il existe lors un élément c K tel que df (c) = 0.. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle fermé [, + [, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], + [ vec f (x) = f (), lors il existe un point c ], + [ tel que f (c) = 0. lim x + 3. Montrer que si f : R R est dérivble vec lim f (x) = lim f (x), lors il existe c dns R x x + tel que f (c) = Monter que si f est une fonction à vleurs réelles de clsse C m sur un intervlle réel I, où m est un entier nturel, qui s nnule en m + 1 points de I distincts, lors il existe un point c dns I tel que f (m) (c) = 0. 1

2 5. On peut donner une utre démonstrtion du théorème de Rolle pour les fonctions d une vrible réelle bsée sur un principe de dichotomie. L idée repose sur les trois résultts suivnts, où f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et telle que f () = f (b). () Montrer qu il existe un intervlle [α, β] [, b] tel que β α = b et f (α) = f (β) [ (utiliser l fonction g définie sur J =, + b ] ( pr g (x) = f x + b ) f (x)). (b) Montrer qu il existe un intervlle [α, β] ], b[ tel que β α b et f (α) = f (β). (c) Montrer qu il existe une suite ([ n, b n ]) n 1 d intervlles strictement emboîtés (i. e. [ n+1, b n+1 ] ] n, b n [) dns ], b[ telle que pour tout n 1 on it : b n+1 n+1 b n n, f ( n ) = f (b n ). (d) En déduire le théorème de Rolle pour les fonctions d une vrible réelle (utiliser le théorème des segments emboîtés). 3 Le théorème des ccroissements finis 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que f (b) f () = f (c) (b ).. Soit f est une fonction à vleurs réelles définie et différentible sur un ouvert O de R n. Montrer que si, b sont deux points distincts de O tels que le segment [, b] soit contenu dns O, lors il existe un point c ], b[ tel que : f (b) f () = df (c) (b ) = n k=1 f x k (c) (b k k ). 3. Montrer que si f est une fonction à vleurs dns R n (ou plus générlement dns un espce préhilbertien) définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que f (b) f () f (c) (b ) où désigne l norme euclidienne usuelle sur R n (utiliser l fonction g définie sur [, b] pr g (x) = f (x) f (b) f (), où désigne le produit sclire euclidien usuel sur R n et l inéglité de Cuchy-Schwrz). 4. Montrer que si f, g sont deux fonctions à vleurs réelles définies sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continues sur cet intervlle et dérivbles sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que (f (b) f ()) g (c) = (g (b) g ()) f (c) (introduire g (x) = λg (x) µf (x) vec λ, µ bien choisis). 5. Soient f une fonction définie sur [, b] à vleurs dns R p (ou plus générlement dns un espce vectoriel normé E) et g une fonction définie sur [, b] à vleurs dns R, continues sur [, b] et dérivbles sur ], b[. () On suppose dns un premier temps que f (x) < g (x) pour tout x ], b[. On se fixe un réel α ], b[ et on note : E = {x [α, b] f (x) f (α) > g (x) g (α)}. i. Montrer que E est ouvert dns [α, b].

3 ii. En supposnt E non vide, on note γ s borne inférieure. Montrer que γ ]α, b[, γ / E et en déduire une contrdiction. iii. Montrer que f (b) f () g (b) g ().. (b) Montrer que si f (x) g (x) pour tout x ], b[ lors f (b) f () g (b) g () (remplcer g pr l fonction g ε : x g (x) + εx vec ε > 0 quelconque). 4 L formule de Tylor-Lgrnge 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, de clsse C n sur cet intervlle et n + 1 fois dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que : f (b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + f (n+1) (c) (n + 1)! (b )n+1.. Montrer que si f est une fonction à vleurs dns R p (ou plus générlement dns un espce vectoriel normé E) définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, de clsse C n sur cet intervlle et n + 1 fois dérivble sur l intervlle ouvert ], b[ vec f (n+1) mjoré sur ], b[ pr une constnte M, lors : n f (b) k=0 f (k) () k! (b ) k M (b )n+1 (n + 1)! (utiliser les fonctions g, h définies sur [, b] respectivement pr g (x) = f (b) et h (x) = M (n + 1)! (b x)n+1 ). 5 Formule de Tylor vec reste intégrl n k=0 f (k) (x) k! (b x) k 1. Soit n N. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles (ou dns un espce de Bnch) définie et de clsse C n+1 sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, lors : f (b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + f (n+1) (t) n! (b t) n dt. 6 Théorème de Drboux 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie et dérivble sur un intervlle I, lors s fonction dérivée f vérifie l propriété des vleurs intermédiires (si f () < f (b) et λ ]f (), f (b)[, considérer l fonction ϕ (x) = f (x) λx).. Montrer qu il existe des fonctions qui vérifient l propriété des vleurs intermédiires sns être continue. 3. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle I vérifint l propriété des vleurs intermédiires (i. e. pour tout intervlle J contenu dns I, f (J) est un intervlle) lors f est continue si et seulement si pour tout réel y, l ensemble f 1 {y} est fermé dns I. 3

4 7 Applictions du théorème de Rolle 1. Rcines de polynômes. Monter que si P est un polynôme réel de degré n scindé sur R lors il en est de même de son polynôme dérivé. Précisément si λ 1 < λ < < λ p sont les rcines réelles distinctes de P vec p, l rcine λ j étnt de multiplicité m j 1 ( p m j = n), lors le polynôme dérivé P dmet les réels λ j pour rcines de multiplicités respectives m j 1, pour1 j p (une multiplicité nulle signifie que λ j n est ps rcine de P ) et des rcines simples µ j ]λ j, λ j+1 [ pour 1 j p 1.. Rcines de polynômes. Soit n,, b réels et P (x) = x n + x + b. Montrer que si n est pir lors P u plus rcines réelles et si n est impir lors P u plus 3 rcines réelles. 3. Montrer que pour tout entier n, on : ( ) (n) 1 = P n (x) 1 + x (1 + x ) n+1, où P n est un polynôme de degré n vec n rcines réelles. 4. Rcines des polynômes de Legendre. Pour tout n N, on note π n (x) = (x 1) n et L n = π (n) n. Les polynômes L n sont les polynômes de Legendre sur [ 1, 1]. () Montrer que, pour n 1 et k {0,, n 1}, le polynôme π (k) n k points distincts de ] 1, 1[. j=1 s nnule en 1, 1 et en (b) Monter que pour n 1, le polynôme L n dmet n rcines réelles simples dns l intervlle ] 1, 1[. 5. Rcines des polynômes de Lguerre. Soit α > 1. Pour tout n N, on définit le polynôme L α,n pr (x n+α e x ) (n) = L α,n (x) x α e x. Les polynômes L α,n sont les polynômes de Lguerre sur ]0, + [. Montrer que pour tout réel α > 1 et tout entier n 1, le polynôme L α,n dmet n rcines réelles distinctes dns ]0, + [. ( ) (n) 6. Rcines des polynômes d Hermite. Pour tout n N, on définit le polynôme H n pr e x = H n (x) e x. Les polynômes H n sont les polynômes d Hermite sur R. Montrer que pour tout n 1, le polynôme H n dmet n rcines réelles distinctes. 7. Mjortion de l erreur dns l interpoltion de Lgrnge. Soient I = [, b] un intervlle réel fermé borné vec < b, n un entier nturel non nul et (x i ) 0 i n une suite de réels deux à deux distincts dns I. À toute fonction f définie sur I et à vleurs réels on ssocie le polynôme d interpoltion de Lgrnge L n (f) défini pr : { Ln (f) R n [x], L n (f) (x i ) = f (x i ) (0 i n). Pour n 1, on note π n+1 l fonction polynomile définie pr : n π n+1 (x) = (x x i ). i=0 Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1 sur l intervlle I, lors pour tout x dns I il existe un point c x pprtennt à I tel que : f (x) L n (f) (x) = 1 (n + 1)! π n+1 (x) f (n+1) (c x ). 8. Un critère de convexité. Soit I un intervlle réel non réduit à un point. Montrer que si f : I R est une fonction deux fois dérivble telle que f (x) 0 pour tout x I, lors f est convexe. 4

5 8 Applictions du théorème des ccroissements finis 1. Sens de vrition d une fonction. () Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles dérivble sur un intervlle réel I, lors f est croissnte sur I si et seulement si f (x) 0 pour tout x dns I. (b) Soient f, g deux fonctions dérivbles sur un intervlle réel I. i. Montrer que l fonction f est décroissnte sur I si et seulement si f (x) 0 pour tout x dns I. ii. Montrer que l fonction f est constnte sur I si et seulement si f (x) = 0 pour tout x dns I. iii. Montrer que si f (x) > 0 [resp. f (x) < 0] pour tout x dns I, lors l fonction f est strictement croissnte [resp. strictement décroissnte] sur I. iv. Montrer que si f (x) g (x) pour tout x dns I = [, b], lors : x [, b], f (x) f () g (x) g (). v. Montrer que si m f (x) M pour tout x dns I = [, b], lors : x [, b], m (x ) f (x) f () M (x ).. Les résultts précédents peuvent ussi se démontrer en utilisnt le principe de dichotomie sns utiliser le théorème des ccroissements finis. Pour ce fire on introduit l nottion suivnte, où I est un intervlle réel d intérieur non vide, f une fonction à vleurs réelles définie sur I et x, y deux points distincts de I : f (y) f (x) τ (x, y) =. y x () Soient < b dns I. Montrer que pour tout c ], b[, τ (, b) est entre τ (, c) et τ (c, b). (b) En déduire, en utilisnt le principe de dichotomie, que si f est dérivble sur I vec f (x) 0 pour tout x dns I, lors l fonction f est croissnte. 3. Limites et dérivtion. () Soit f une fonction à vleurs réelles continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ \ {c} où c est un point de ], b[. Montrer que si l fonction dérivée f une limite l en c, lors f est dérivble en c vec f (c) = l. (b) Montrer que l fonction f définie pr f (0) = 0 et f (x) = e 1 x pour x 0 est indéfiniment dérivble sur R vec f (n) (0) = 0 pour tout entier nturel n. On dispose insi d une fonction de clsse C qui n est ps développble en série entière u voisinge de 0. (c) Soient f, g deux fonctions à vleurs réelles continues sur un intervlle ouvert I, dérivbles sur I \ {c} vec g f (x) (x) 0 pour tout x I \ {c} où c I. Montrer que si lim x c g (x) = l lors lim x c f (x) f (c) g (x) g (c) = l. (d) Montrer que l réciproque du résultt précédent est fusse. (e) Soit f une fonction dérivble de ]0, + [ dns R telle que f (x) lim x + x = l. lim f (x) = l. Montrer que x + (f) Soit f une fonction dérivble de ]0, 1[ dns R de dérivée bornée. Montrer que f se prolonge pr continuité en 0 et 1. 5

6 4. Intégrtion et dérivtion. () En utilisnt l fonction f : x x ( ) [ 1 ln ( x ) cos sur I = 1 x, 1 ] prolongée pr continuité en 0 vec f (0) = 0, montrer que si f est une fonction dérivble sur [, b] le résultt f (x) dx = f (b) f () n est ps toujours ssuré. (b) Montrer que si f est une fonction dérivble sur [, b] vec f Riemnn-intégrble sur [, b] lors : f (x) dx = f (b) f (). (c) Montrer que si f, g sont deux fonctions dérivbles sur [, b] vec f, g Riemnn-intégrbles sur [, b] lors : f (x) g (x) dx = f (b) g (b) f () g () f (x) g (x) dx. 5. Longueur d un rc géométrique. Soit γ un rc géométrique compct prmétré pr une ppliction continue γ : [, b] R n. À toute subdivision de [, b] : σ = { (t 0, t 1,..., t p ) R p+1 = t 0 < t 1 <... < t p = b } on ssocie l ligne polygonle γ σ de sommets M i = γ (t i ) (0 i p). Une telle ligne polygonle peut être définie pr l prmétristion γ σ : [, b] R n, vec : i {0,, p 1}, t [t i, t i+1 ], γ σ (t i ) = (1 t) M i + tm i+1. L longueur de γ σ est lors nturellement définie pr : p 1 p 1 L (γ σ ) = M i M i+1 = γ (t i+1 ) γ (t i ). i=0 On dit que l rc prmétré continu γ : [, b] R n est rectifible si : i=0 sup {L (γ σ ) ; σ subdivision de [, b]} est fini. Dns ce cs cette borne supérieure est l longueur de l rc prmétré (γ, [, b]) et on l note L (γ, [, b]). Si f = γ ϕ est une utre prmétristion de γ sur l intervlle [α, β], lors l homéomorphisme ϕ permet de réliser une bijection de l ensemble des subdivisions de [α, β] sur l ensemble des subdivisions de [, b] (si ϕ est décroissnte lors cette bijection inverse l ordre des points des subdivisions) et on L (γ, [, b]) = L (f, [α, β]). C est-à-dire que l longueur d un rc géométrique (qund elle est définie) ne dépend ps du choix d une prmétristion. De mnière précise, on peut donner l définition suivnte. Soit γ un rc géométrique compct et continu. On dit qu il est rectifible si pour toute prmétristion γ : [, b] R n, (γ, [, b]) est rectifible. L longueur de γ est lors l longueur de (γ, [, b]) et on l note L (γ). () Montrer que si γ est un rc géométrique compct de clsse C 1 prmétré pr γ : [, b] R n, lors il est rectifible et s longueur est donnée pr : L (γ) = 6 γ (t) dt.

7 (b) En utilisnt l rc géométrique prmétré pr : où : γ : [0, 1] R t γ (t) = (t, y (t)) y (t) = { ( π ) t sin t 0 si t = 0 si t 0 montrer qu une courbe continue non dérivble n est ps nécessirement rectifible 6. Points fixes ttrctifs et répulsifs. Pour cet exercice, I désigne un intervlle fermé de R (non nécessirement borné) et f une fonction définie sur I à vleurs réelles telle que f (I) I. On dit que l intervlle I est stble pr f. On dit que α I est un point fixe de f si f (α) = α. L idée de l méthode des pproximtions successives pour obtenir une vleur pprochée d un point fixe de l fonction f est de construire l suite (x n ) n N de points de I pr l reltion de récurrence : { x0 I, n N, x n+1 = f (x n ). Si cette suite converge vers α I et si l fonction f est continue on lors nécessirement α = f (α), c est-à-dire que α est un point fixe de f dns I. Avec les nottions qui précèdent on dit que l suite (x n ) n N est une suite d pproximtions successives du point fixe α de premier terme (ou de vleur initile) x 0. On dit que l fonction f est strictement contrctnte s il existe un réel λ [0, 1[ tel que : (x, y) I I, f (x) f (y) λ x y. On dit que λ est une constnte de contrction pour f. () Soit f : I I strictement contrctnte de constnte de contrction λ [0, 1[. Montrer que l fonction f dmet lors un unique point fixe α I. De plus pour tout x 0 I l suite (x n ) n N définie pr : n N, x n+1 = f (x n ) converge vers α et une mjortion de l erreur est donnée pr : n N, x n α x 1 x 0 1 λ λn. (b) Montrer que si f : I I est dérivble sur I vec sup f (x) = λ < 1 lors f dmet un unique point fixe α I et ce point fixe est limite de toute suite d pproximtions successives de vleur initile x 0 I. (c) Soit f C 1 (I) dmettnt un unique point fixe α I. i. Montrer que si f (α) < 1 lors il existe un réel η > 0 tel que l intervlle [α η, α + η] soit stble pr f et pour tout x 0 [α η, α + η] l suite (x n ) n N définie pr x n+1 = f (x n ) converge vers α (point fixe ttrctif). ii. Montrer que si f (α) > 1 et f (I) I lors pour tout x 0 I l suite (x n ) n N définie pr x n+1 = f (x n ) est soit sttionnire (sur α) à prtir d un certin rng soit divergente (point fixe répulsif). iii. Que peut-on dire dns le cs où f (α) = 1. 7 x I

8 7. Mjortion de l erreur dns l méthode de Simpson. () Soit g une fonction à vleurs réelles de clsse C 4 sur [ 1, 1]. On désigne pr ϕ l fonction définie sur [0, 1] pr : x [0, 1], ϕ (x) = x (erreur dns l méthode de Simpson sur [ x, x]). x g (t) dt x (g ( x) + 4g (0) + g (x)) 3 i. Montrer que pour tout x [0, 1] on ϕ (x) x 3 L 4, où : L 4 = sup g (4) (x). x [ 1,1] ii. En déduire que pour tout x [0, 1] on ϕ (x) x5 90 L 4. (b) Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C 4 sur un intervlle [, b]. Montrer que : où M 4 = sup x [,b] f (x) dx b 6 f (4) (x). ( f () + 4f ( ) + b ) + f (b) M (b )5, Cette méthode est encore vlble pour l méthode du point milieu ou l méthode du trpèze, mis elle ne s pplique ux méthodes de Newton-Cotes plus générles. 8. Convergence uniforme de suites de fonctions. () Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues de [, b] dns R, dérivbles sur ], b[, qui converge simplement vers une fonction f. Montrer que s il existe une constnte M > 0 telle que f n (x) M pour tout n et tout x dns ], b[, lors l suite (f n ) n N converge uniformément et f est continue. (b) Soit (f n ) n N une suite de fonctions dérivbles de [, b] dns R telle que l suite (f n) n N converge uniformément sur [, b] vers une fonction g et qu il existe x 0 [, b] tel que l suite (f n (x 0 )) n N soit convergente. i. Montrer, en utilisnt le critère de Cuchy uniforme, que l suite (f n ) n N converge uniformément vers une fonction f. ii. Montrer que pour x y dns [, b] et n N on : f (x) f (y) g (x) x y g f n + f n (x) f n (y) f n (x) x y. iii. En déduire que l fonction f est dérivble et que f = g. 9. Existence de primitives. () Montrer que toute fonction continue sur un intervlle compct est limite uniforme d une suite de fonctions ffines pr morceux et continues. (b) En utilisnt l exercice qui précède (donc sns utiliser de théorie de l intégrtion) montrer que toute fonction continue sur un intervlle compct dmet des primitives. 10. Dérivées prtielles. 8

9 () Soient O un ouvert de R n et f une fonction définie sur O à vleurs réelles (ou dns un espce normé) dmettnt des dérivées prtielles pr rpport à toutes les vribles en tout point de O. Montrer que si ces dérivées prtielles sont continues en un point de O lors f est différentible en. (b) Soient O un ouvert de R et f une fonction définie sur O à vleurs réelles dmettnt sur O des dérivées prtielles f x y et f continues en un point (, b) de O. Montrer que : y x f x y (, b) = f (, b). y x (c) En utilisnt l exemple de l fonction f définie sur R pr f (0, 0) = 0 et f (x, y) = xy (x y ) pour (x, y) (0, 0) montrer que le résultt précédent est fux si on en x + y enlève l hypothèse de continuité des dérivées prtielles d ordre. 11. Théorème de Drboux. Donner une démonstrtion du théorème de Drboux qui utilise le théorème des ccroissements finis. 1. Nombres de Liouville. On dit qu un réel α est lgébrique s il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers reltifs tel que P (α) = 0. Prmi tous ces polynômes il en existe un de degré miniml et en le divisnt pr son coefficient dominnt on dispose d un polynôme P α unitire à coefficients rtionnels de degré miniml qui nnule α. Ce polynôme est unique, on dit que c est le polynôme miniml de α et le degré de P α est le degré du nombre lgébrique α. On vérifie fcilement que P α est irréductible dns Q [X]. Soit α un nombre lgébrique de degré d 1. () Montrer que si d = 1 lors α est rtionnel et il existe une constnte C α > 0 telle que pour tout nombre rtionnel r = p q (p Z, q N ) distinct de α on α p q C α q. (b) Montrer que si d lors α est irrtionnel et il existe une constnte C α > 0 telle que pour tout nombre rtionnel r = p q on α p q C α q. d 9 Applictions de l formule de Tylor-Lgrnge 1. Mjortion de l erreur dns l méthode de Newton. Soit f C ([, b], R) telle que : f () f (b) < 0; x [, b], f (x) 0, f (x) 0. () Montrer que pour tout x 0 dns [, b] tel que f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, on peut définir l suite (x n ) n N de points de [, b] pr : n 0, x n+1 = x n f (x n) f (x n ) et cette suite converge vers l unique solution α ], b[ de f (x) = 0. (b) Montrer qu une mjortion de l erreur est donnée pr : où : m 1 = x n α x 0 α n ( M m 1 inf f (x), x [,b] ) n 1 M = sup f (x) x [,b] 9

10 . Mjortions de dérivées. Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1, vec n 1, de R dns R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, lors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n sont églement bornées sur R. 3. Inéglités de Kolmogorov. () Montrer que si f est une fonction de clsse C de R dns R telle que f et f soient bornées sur R, lors f est bornée sur R et : f f f. (b) Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1, vec n 1, de R dns R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, lors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n, sont bornées sur R vec : f (k) k(n+1 k) f 1 k n+1 f (n+1) k n+1 4. Estimtion de l erreur dns l méthode des rectngles. () À toute fonction f C0 ([0, 1], R) on ssocie l suite de ses sommes de Riemnn définie pr : n 1, S n (f) = 1 n 1 ( ) k f. n n Montrer que pour toute fonction f C 3 ([0, 1], R) on le développement symptotique : 1 S n (f) = f (t) dt 1 ( ) 1 1 (f (1) f (0)) + n 1n (f (1) f (0)) + O. n 3 (b) Appliction à f (t) = t Applictions de l formule de Tylor vec reste intégrl 1. Un théorème de Bernstein. () Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C sur ], [ vec > 0. Montrer que si f est pire et f (k) (x) 0 pour tout entier nturel k et tout x ], [ lors f est développble en série entière sur ], [. (b) Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C sur ], [ vec > 0. Montrer que si f (k) (x) 0 pour tout entier nturel k et tout x ], [ lors f est développble en série entière sur ], [. 11 Applictions du théorème de Drboux 1. Du théorème de Drboux, on déduit qu il existe des fonctions définies sur un intervlle réel qui n dmettent ps de primitive. Vérifier directement qu une fonction en esclier n dmet ps de primitives. k=0.. Soit f une fonction à vleurs réelles définie et dérivble sur un intervlle I. () On suppose que f () = f (b) = 0 et on désigne pr ϕ l fonction définie sur [, b] pr : f (x) f () si x ], b], ϕ (x) = x 0 si x =. 10

11 i. Montrer qu il existe c ], b[ tel que : f (b) f () = (b ) c ( f (c) ii. En déduire qu il existe d ], b[ tel que f (d) = ) f (c) f (). c f (d) f (). d (b) Montrer que s il existe deux réels < b dns I tels que f () = f (b), lors il existe c ], b[ tel que f f (c) f () (c) =. c f (x) 3. Soit f une fonction deux fois dérivble de R dns R telle que lim x + x existe un réel c tel que f (c) = Soit f une fonction dérivble de R dns R, non identiquement nulle et telle que : = 0. Montrer qu il x R, f (x) = f (x). (1) () On suppose que f ne s nnule jmis sur R. Montrer lors que f grde un signe constnt sur R et conclure. (b) On se donne un réel tel que f () 0 et pour fixer les idées on suppose que f () > 0. On note : E = {x [, + [ f (x) = 0} et on suppose cet ensemble non vide. i. Montrer qu il existe b > tel que f (x) > 0 pour tout x [, b[ et f (b) = 0. ii. On suppose que f () = f (). Montrer lors que f (x) = f (x) pour tout x [, b[ et conclure. (c) Résoudre (1). 11

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