Théorème de Rolle et formules de Taylor
|
|
- Matthieu Raoul Durand
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer que si f est continue lors f est bornée et tteint ses bornes. C est-à-dire qu il existe x 1 et x dns K tels que : f (x 1 ) = inf x K f (x), f (x ) = sup f (x). x K. On note E = C 0 ([, b], R) l espce vectoriel des pplictions continues sur l intervlle [, b] ( < b) et à vleurs dns R et on munit cet espce de l norme : f f = sup f (x). x [,b] Soient f une fonction pprtennt à E {0} et B (0, f ) l boule fermée de centre 0 et de ryon f. () Montrer que B n,f = R n [x] B (0, f ) est compcte dns R n [x]. (b) Montrer qu il existe un polynôme P dns B n,f tel que : (c) Montrer que : f P = f P = inf Q B n,f f Q. inf f Q. Q R n[x] 3. Soient O un ouvert non vide d un espce vectoriel normé (E, ), f : O R une fonction différentible en un point O. Montrer que si f dmet un extremum locl en lors df () = 0 (considérer, pour tout vecteur h E, l fonction d une vrible réelle ϕ définie u voisinge de 0 pr ϕ (t) = f ( + th)). Le théorème de Rolle 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) d intérieur non vide, f une fonction continue de K dns R différentible sur l intérieur de K et constnte sur l frontière de K, Fr (K) = K \ K. Montrer qu il existe lors un élément c K tel que df (c) = 0.. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle fermé [, + [, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], + [ vec f (x) = f (), lors il existe un point c ], + [ tel que f (c) = 0. lim x + 3. Montrer que si f : R R est dérivble vec lim f (x) = lim f (x), lors il existe c dns R x x + tel que f (c) = Monter que si f est une fonction à vleurs réelles de clsse C m sur un intervlle réel I, où m est un entier nturel, qui s nnule en m + 1 points de I distincts, lors il existe un point c dns I tel que f (m) (c) = 0. 1
2 5. On peut donner une utre démonstrtion du théorème de Rolle pour les fonctions d une vrible réelle bsée sur un principe de dichotomie. L idée repose sur les trois résultts suivnts, où f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et telle que f () = f (b). () Montrer qu il existe un intervlle [α, β] [, b] tel que β α = b et f (α) = f (β) [ (utiliser l fonction g définie sur J =, + b ] ( pr g (x) = f x + b ) f (x)). (b) Montrer qu il existe un intervlle [α, β] ], b[ tel que β α b et f (α) = f (β). (c) Montrer qu il existe une suite ([ n, b n ]) n 1 d intervlles strictement emboîtés (i. e. [ n+1, b n+1 ] ] n, b n [) dns ], b[ telle que pour tout n 1 on it : b n+1 n+1 b n n, f ( n ) = f (b n ). (d) En déduire le théorème de Rolle pour les fonctions d une vrible réelle (utiliser le théorème des segments emboîtés). 3 Le théorème des ccroissements finis 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que f (b) f () = f (c) (b ).. Soit f est une fonction à vleurs réelles définie et différentible sur un ouvert O de R n. Montrer que si, b sont deux points distincts de O tels que le segment [, b] soit contenu dns O, lors il existe un point c ], b[ tel que : f (b) f () = df (c) (b ) = n k=1 f x k (c) (b k k ). 3. Montrer que si f est une fonction à vleurs dns R n (ou plus générlement dns un espce préhilbertien) définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continue sur cet intervlle et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que f (b) f () f (c) (b ) où désigne l norme euclidienne usuelle sur R n (utiliser l fonction g définie sur [, b] pr g (x) = f (x) f (b) f (), où désigne le produit sclire euclidien usuel sur R n et l inéglité de Cuchy-Schwrz). 4. Montrer que si f, g sont deux fonctions à vleurs réelles définies sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, continues sur cet intervlle et dérivbles sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que (f (b) f ()) g (c) = (g (b) g ()) f (c) (introduire g (x) = λg (x) µf (x) vec λ, µ bien choisis). 5. Soient f une fonction définie sur [, b] à vleurs dns R p (ou plus générlement dns un espce vectoriel normé E) et g une fonction définie sur [, b] à vleurs dns R, continues sur [, b] et dérivbles sur ], b[. () On suppose dns un premier temps que f (x) < g (x) pour tout x ], b[. On se fixe un réel α ], b[ et on note : E = {x [α, b] f (x) f (α) > g (x) g (α)}. i. Montrer que E est ouvert dns [α, b].
3 ii. En supposnt E non vide, on note γ s borne inférieure. Montrer que γ ]α, b[, γ / E et en déduire une contrdiction. iii. Montrer que f (b) f () g (b) g ().. (b) Montrer que si f (x) g (x) pour tout x ], b[ lors f (b) f () g (b) g () (remplcer g pr l fonction g ε : x g (x) + εx vec ε > 0 quelconque). 4 L formule de Tylor-Lgrnge 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, de clsse C n sur cet intervlle et n + 1 fois dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que : f (b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + f (n+1) (c) (n + 1)! (b )n+1.. Montrer que si f est une fonction à vleurs dns R p (ou plus générlement dns un espce vectoriel normé E) définie sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, de clsse C n sur cet intervlle et n + 1 fois dérivble sur l intervlle ouvert ], b[ vec f (n+1) mjoré sur ], b[ pr une constnte M, lors : n f (b) k=0 f (k) () k! (b ) k M (b )n+1 (n + 1)! (utiliser les fonctions g, h définies sur [, b] respectivement pr g (x) = f (b) et h (x) = M (n + 1)! (b x)n+1 ). 5 Formule de Tylor vec reste intégrl n k=0 f (k) (x) k! (b x) k 1. Soit n N. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles (ou dns un espce de Bnch) définie et de clsse C n+1 sur un intervlle compct [, b] non réduit à un point, lors : f (b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + f (n+1) (t) n! (b t) n dt. 6 Théorème de Drboux 1. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie et dérivble sur un intervlle I, lors s fonction dérivée f vérifie l propriété des vleurs intermédiires (si f () < f (b) et λ ]f (), f (b)[, considérer l fonction ϕ (x) = f (x) λx).. Montrer qu il existe des fonctions qui vérifient l propriété des vleurs intermédiires sns être continue. 3. Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles définie sur un intervlle I vérifint l propriété des vleurs intermédiires (i. e. pour tout intervlle J contenu dns I, f (J) est un intervlle) lors f est continue si et seulement si pour tout réel y, l ensemble f 1 {y} est fermé dns I. 3
4 7 Applictions du théorème de Rolle 1. Rcines de polynômes. Monter que si P est un polynôme réel de degré n scindé sur R lors il en est de même de son polynôme dérivé. Précisément si λ 1 < λ < < λ p sont les rcines réelles distinctes de P vec p, l rcine λ j étnt de multiplicité m j 1 ( p m j = n), lors le polynôme dérivé P dmet les réels λ j pour rcines de multiplicités respectives m j 1, pour1 j p (une multiplicité nulle signifie que λ j n est ps rcine de P ) et des rcines simples µ j ]λ j, λ j+1 [ pour 1 j p 1.. Rcines de polynômes. Soit n,, b réels et P (x) = x n + x + b. Montrer que si n est pir lors P u plus rcines réelles et si n est impir lors P u plus 3 rcines réelles. 3. Montrer que pour tout entier n, on : ( ) (n) 1 = P n (x) 1 + x (1 + x ) n+1, où P n est un polynôme de degré n vec n rcines réelles. 4. Rcines des polynômes de Legendre. Pour tout n N, on note π n (x) = (x 1) n et L n = π (n) n. Les polynômes L n sont les polynômes de Legendre sur [ 1, 1]. () Montrer que, pour n 1 et k {0,, n 1}, le polynôme π (k) n k points distincts de ] 1, 1[. j=1 s nnule en 1, 1 et en (b) Monter que pour n 1, le polynôme L n dmet n rcines réelles simples dns l intervlle ] 1, 1[. 5. Rcines des polynômes de Lguerre. Soit α > 1. Pour tout n N, on définit le polynôme L α,n pr (x n+α e x ) (n) = L α,n (x) x α e x. Les polynômes L α,n sont les polynômes de Lguerre sur ]0, + [. Montrer que pour tout réel α > 1 et tout entier n 1, le polynôme L α,n dmet n rcines réelles distinctes dns ]0, + [. ( ) (n) 6. Rcines des polynômes d Hermite. Pour tout n N, on définit le polynôme H n pr e x = H n (x) e x. Les polynômes H n sont les polynômes d Hermite sur R. Montrer que pour tout n 1, le polynôme H n dmet n rcines réelles distinctes. 7. Mjortion de l erreur dns l interpoltion de Lgrnge. Soient I = [, b] un intervlle réel fermé borné vec < b, n un entier nturel non nul et (x i ) 0 i n une suite de réels deux à deux distincts dns I. À toute fonction f définie sur I et à vleurs réels on ssocie le polynôme d interpoltion de Lgrnge L n (f) défini pr : { Ln (f) R n [x], L n (f) (x i ) = f (x i ) (0 i n). Pour n 1, on note π n+1 l fonction polynomile définie pr : n π n+1 (x) = (x x i ). i=0 Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1 sur l intervlle I, lors pour tout x dns I il existe un point c x pprtennt à I tel que : f (x) L n (f) (x) = 1 (n + 1)! π n+1 (x) f (n+1) (c x ). 8. Un critère de convexité. Soit I un intervlle réel non réduit à un point. Montrer que si f : I R est une fonction deux fois dérivble telle que f (x) 0 pour tout x I, lors f est convexe. 4
5 8 Applictions du théorème des ccroissements finis 1. Sens de vrition d une fonction. () Montrer que si f est une fonction à vleurs réelles dérivble sur un intervlle réel I, lors f est croissnte sur I si et seulement si f (x) 0 pour tout x dns I. (b) Soient f, g deux fonctions dérivbles sur un intervlle réel I. i. Montrer que l fonction f est décroissnte sur I si et seulement si f (x) 0 pour tout x dns I. ii. Montrer que l fonction f est constnte sur I si et seulement si f (x) = 0 pour tout x dns I. iii. Montrer que si f (x) > 0 [resp. f (x) < 0] pour tout x dns I, lors l fonction f est strictement croissnte [resp. strictement décroissnte] sur I. iv. Montrer que si f (x) g (x) pour tout x dns I = [, b], lors : x [, b], f (x) f () g (x) g (). v. Montrer que si m f (x) M pour tout x dns I = [, b], lors : x [, b], m (x ) f (x) f () M (x ).. Les résultts précédents peuvent ussi se démontrer en utilisnt le principe de dichotomie sns utiliser le théorème des ccroissements finis. Pour ce fire on introduit l nottion suivnte, où I est un intervlle réel d intérieur non vide, f une fonction à vleurs réelles définie sur I et x, y deux points distincts de I : f (y) f (x) τ (x, y) =. y x () Soient < b dns I. Montrer que pour tout c ], b[, τ (, b) est entre τ (, c) et τ (c, b). (b) En déduire, en utilisnt le principe de dichotomie, que si f est dérivble sur I vec f (x) 0 pour tout x dns I, lors l fonction f est croissnte. 3. Limites et dérivtion. () Soit f une fonction à vleurs réelles continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ \ {c} où c est un point de ], b[. Montrer que si l fonction dérivée f une limite l en c, lors f est dérivble en c vec f (c) = l. (b) Montrer que l fonction f définie pr f (0) = 0 et f (x) = e 1 x pour x 0 est indéfiniment dérivble sur R vec f (n) (0) = 0 pour tout entier nturel n. On dispose insi d une fonction de clsse C qui n est ps développble en série entière u voisinge de 0. (c) Soient f, g deux fonctions à vleurs réelles continues sur un intervlle ouvert I, dérivbles sur I \ {c} vec g f (x) (x) 0 pour tout x I \ {c} où c I. Montrer que si lim x c g (x) = l lors lim x c f (x) f (c) g (x) g (c) = l. (d) Montrer que l réciproque du résultt précédent est fusse. (e) Soit f une fonction dérivble de ]0, + [ dns R telle que f (x) lim x + x = l. lim f (x) = l. Montrer que x + (f) Soit f une fonction dérivble de ]0, 1[ dns R de dérivée bornée. Montrer que f se prolonge pr continuité en 0 et 1. 5
6 4. Intégrtion et dérivtion. () En utilisnt l fonction f : x x ( ) [ 1 ln ( x ) cos sur I = 1 x, 1 ] prolongée pr continuité en 0 vec f (0) = 0, montrer que si f est une fonction dérivble sur [, b] le résultt f (x) dx = f (b) f () n est ps toujours ssuré. (b) Montrer que si f est une fonction dérivble sur [, b] vec f Riemnn-intégrble sur [, b] lors : f (x) dx = f (b) f (). (c) Montrer que si f, g sont deux fonctions dérivbles sur [, b] vec f, g Riemnn-intégrbles sur [, b] lors : f (x) g (x) dx = f (b) g (b) f () g () f (x) g (x) dx. 5. Longueur d un rc géométrique. Soit γ un rc géométrique compct prmétré pr une ppliction continue γ : [, b] R n. À toute subdivision de [, b] : σ = { (t 0, t 1,..., t p ) R p+1 = t 0 < t 1 <... < t p = b } on ssocie l ligne polygonle γ σ de sommets M i = γ (t i ) (0 i p). Une telle ligne polygonle peut être définie pr l prmétristion γ σ : [, b] R n, vec : i {0,, p 1}, t [t i, t i+1 ], γ σ (t i ) = (1 t) M i + tm i+1. L longueur de γ σ est lors nturellement définie pr : p 1 p 1 L (γ σ ) = M i M i+1 = γ (t i+1 ) γ (t i ). i=0 On dit que l rc prmétré continu γ : [, b] R n est rectifible si : i=0 sup {L (γ σ ) ; σ subdivision de [, b]} est fini. Dns ce cs cette borne supérieure est l longueur de l rc prmétré (γ, [, b]) et on l note L (γ, [, b]). Si f = γ ϕ est une utre prmétristion de γ sur l intervlle [α, β], lors l homéomorphisme ϕ permet de réliser une bijection de l ensemble des subdivisions de [α, β] sur l ensemble des subdivisions de [, b] (si ϕ est décroissnte lors cette bijection inverse l ordre des points des subdivisions) et on L (γ, [, b]) = L (f, [α, β]). C est-à-dire que l longueur d un rc géométrique (qund elle est définie) ne dépend ps du choix d une prmétristion. De mnière précise, on peut donner l définition suivnte. Soit γ un rc géométrique compct et continu. On dit qu il est rectifible si pour toute prmétristion γ : [, b] R n, (γ, [, b]) est rectifible. L longueur de γ est lors l longueur de (γ, [, b]) et on l note L (γ). () Montrer que si γ est un rc géométrique compct de clsse C 1 prmétré pr γ : [, b] R n, lors il est rectifible et s longueur est donnée pr : L (γ) = 6 γ (t) dt.
7 (b) En utilisnt l rc géométrique prmétré pr : où : γ : [0, 1] R t γ (t) = (t, y (t)) y (t) = { ( π ) t sin t 0 si t = 0 si t 0 montrer qu une courbe continue non dérivble n est ps nécessirement rectifible 6. Points fixes ttrctifs et répulsifs. Pour cet exercice, I désigne un intervlle fermé de R (non nécessirement borné) et f une fonction définie sur I à vleurs réelles telle que f (I) I. On dit que l intervlle I est stble pr f. On dit que α I est un point fixe de f si f (α) = α. L idée de l méthode des pproximtions successives pour obtenir une vleur pprochée d un point fixe de l fonction f est de construire l suite (x n ) n N de points de I pr l reltion de récurrence : { x0 I, n N, x n+1 = f (x n ). Si cette suite converge vers α I et si l fonction f est continue on lors nécessirement α = f (α), c est-à-dire que α est un point fixe de f dns I. Avec les nottions qui précèdent on dit que l suite (x n ) n N est une suite d pproximtions successives du point fixe α de premier terme (ou de vleur initile) x 0. On dit que l fonction f est strictement contrctnte s il existe un réel λ [0, 1[ tel que : (x, y) I I, f (x) f (y) λ x y. On dit que λ est une constnte de contrction pour f. () Soit f : I I strictement contrctnte de constnte de contrction λ [0, 1[. Montrer que l fonction f dmet lors un unique point fixe α I. De plus pour tout x 0 I l suite (x n ) n N définie pr : n N, x n+1 = f (x n ) converge vers α et une mjortion de l erreur est donnée pr : n N, x n α x 1 x 0 1 λ λn. (b) Montrer que si f : I I est dérivble sur I vec sup f (x) = λ < 1 lors f dmet un unique point fixe α I et ce point fixe est limite de toute suite d pproximtions successives de vleur initile x 0 I. (c) Soit f C 1 (I) dmettnt un unique point fixe α I. i. Montrer que si f (α) < 1 lors il existe un réel η > 0 tel que l intervlle [α η, α + η] soit stble pr f et pour tout x 0 [α η, α + η] l suite (x n ) n N définie pr x n+1 = f (x n ) converge vers α (point fixe ttrctif). ii. Montrer que si f (α) > 1 et f (I) I lors pour tout x 0 I l suite (x n ) n N définie pr x n+1 = f (x n ) est soit sttionnire (sur α) à prtir d un certin rng soit divergente (point fixe répulsif). iii. Que peut-on dire dns le cs où f (α) = 1. 7 x I
8 7. Mjortion de l erreur dns l méthode de Simpson. () Soit g une fonction à vleurs réelles de clsse C 4 sur [ 1, 1]. On désigne pr ϕ l fonction définie sur [0, 1] pr : x [0, 1], ϕ (x) = x (erreur dns l méthode de Simpson sur [ x, x]). x g (t) dt x (g ( x) + 4g (0) + g (x)) 3 i. Montrer que pour tout x [0, 1] on ϕ (x) x 3 L 4, où : L 4 = sup g (4) (x). x [ 1,1] ii. En déduire que pour tout x [0, 1] on ϕ (x) x5 90 L 4. (b) Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C 4 sur un intervlle [, b]. Montrer que : où M 4 = sup x [,b] f (x) dx b 6 f (4) (x). ( f () + 4f ( ) + b ) + f (b) M (b )5, Cette méthode est encore vlble pour l méthode du point milieu ou l méthode du trpèze, mis elle ne s pplique ux méthodes de Newton-Cotes plus générles. 8. Convergence uniforme de suites de fonctions. () Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues de [, b] dns R, dérivbles sur ], b[, qui converge simplement vers une fonction f. Montrer que s il existe une constnte M > 0 telle que f n (x) M pour tout n et tout x dns ], b[, lors l suite (f n ) n N converge uniformément et f est continue. (b) Soit (f n ) n N une suite de fonctions dérivbles de [, b] dns R telle que l suite (f n) n N converge uniformément sur [, b] vers une fonction g et qu il existe x 0 [, b] tel que l suite (f n (x 0 )) n N soit convergente. i. Montrer, en utilisnt le critère de Cuchy uniforme, que l suite (f n ) n N converge uniformément vers une fonction f. ii. Montrer que pour x y dns [, b] et n N on : f (x) f (y) g (x) x y g f n + f n (x) f n (y) f n (x) x y. iii. En déduire que l fonction f est dérivble et que f = g. 9. Existence de primitives. () Montrer que toute fonction continue sur un intervlle compct est limite uniforme d une suite de fonctions ffines pr morceux et continues. (b) En utilisnt l exercice qui précède (donc sns utiliser de théorie de l intégrtion) montrer que toute fonction continue sur un intervlle compct dmet des primitives. 10. Dérivées prtielles. 8
9 () Soient O un ouvert de R n et f une fonction définie sur O à vleurs réelles (ou dns un espce normé) dmettnt des dérivées prtielles pr rpport à toutes les vribles en tout point de O. Montrer que si ces dérivées prtielles sont continues en un point de O lors f est différentible en. (b) Soient O un ouvert de R et f une fonction définie sur O à vleurs réelles dmettnt sur O des dérivées prtielles f x y et f continues en un point (, b) de O. Montrer que : y x f x y (, b) = f (, b). y x (c) En utilisnt l exemple de l fonction f définie sur R pr f (0, 0) = 0 et f (x, y) = xy (x y ) pour (x, y) (0, 0) montrer que le résultt précédent est fux si on en x + y enlève l hypothèse de continuité des dérivées prtielles d ordre. 11. Théorème de Drboux. Donner une démonstrtion du théorème de Drboux qui utilise le théorème des ccroissements finis. 1. Nombres de Liouville. On dit qu un réel α est lgébrique s il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers reltifs tel que P (α) = 0. Prmi tous ces polynômes il en existe un de degré miniml et en le divisnt pr son coefficient dominnt on dispose d un polynôme P α unitire à coefficients rtionnels de degré miniml qui nnule α. Ce polynôme est unique, on dit que c est le polynôme miniml de α et le degré de P α est le degré du nombre lgébrique α. On vérifie fcilement que P α est irréductible dns Q [X]. Soit α un nombre lgébrique de degré d 1. () Montrer que si d = 1 lors α est rtionnel et il existe une constnte C α > 0 telle que pour tout nombre rtionnel r = p q (p Z, q N ) distinct de α on α p q C α q. (b) Montrer que si d lors α est irrtionnel et il existe une constnte C α > 0 telle que pour tout nombre rtionnel r = p q on α p q C α q. d 9 Applictions de l formule de Tylor-Lgrnge 1. Mjortion de l erreur dns l méthode de Newton. Soit f C ([, b], R) telle que : f () f (b) < 0; x [, b], f (x) 0, f (x) 0. () Montrer que pour tout x 0 dns [, b] tel que f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, on peut définir l suite (x n ) n N de points de [, b] pr : n 0, x n+1 = x n f (x n) f (x n ) et cette suite converge vers l unique solution α ], b[ de f (x) = 0. (b) Montrer qu une mjortion de l erreur est donnée pr : où : m 1 = x n α x 0 α n ( M m 1 inf f (x), x [,b] ) n 1 M = sup f (x) x [,b] 9
10 . Mjortions de dérivées. Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1, vec n 1, de R dns R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, lors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n sont églement bornées sur R. 3. Inéglités de Kolmogorov. () Montrer que si f est une fonction de clsse C de R dns R telle que f et f soient bornées sur R, lors f est bornée sur R et : f f f. (b) Montrer que si f est une fonction de clsse C n+1, vec n 1, de R dns R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, lors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n, sont bornées sur R vec : f (k) k(n+1 k) f 1 k n+1 f (n+1) k n+1 4. Estimtion de l erreur dns l méthode des rectngles. () À toute fonction f C0 ([0, 1], R) on ssocie l suite de ses sommes de Riemnn définie pr : n 1, S n (f) = 1 n 1 ( ) k f. n n Montrer que pour toute fonction f C 3 ([0, 1], R) on le développement symptotique : 1 S n (f) = f (t) dt 1 ( ) 1 1 (f (1) f (0)) + n 1n (f (1) f (0)) + O. n 3 (b) Appliction à f (t) = t Applictions de l formule de Tylor vec reste intégrl 1. Un théorème de Bernstein. () Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C sur ], [ vec > 0. Montrer que si f est pire et f (k) (x) 0 pour tout entier nturel k et tout x ], [ lors f est développble en série entière sur ], [. (b) Soit f une fonction à vleurs réelles de clsse C sur ], [ vec > 0. Montrer que si f (k) (x) 0 pour tout entier nturel k et tout x ], [ lors f est développble en série entière sur ], [. 11 Applictions du théorème de Drboux 1. Du théorème de Drboux, on déduit qu il existe des fonctions définies sur un intervlle réel qui n dmettent ps de primitive. Vérifier directement qu une fonction en esclier n dmet ps de primitives. k=0.. Soit f une fonction à vleurs réelles définie et dérivble sur un intervlle I. () On suppose que f () = f (b) = 0 et on désigne pr ϕ l fonction définie sur [, b] pr : f (x) f () si x ], b], ϕ (x) = x 0 si x =. 10
11 i. Montrer qu il existe c ], b[ tel que : f (b) f () = (b ) c ( f (c) ii. En déduire qu il existe d ], b[ tel que f (d) = ) f (c) f (). c f (d) f (). d (b) Montrer que s il existe deux réels < b dns I tels que f () = f (b), lors il existe c ], b[ tel que f f (c) f () (c) =. c f (x) 3. Soit f une fonction deux fois dérivble de R dns R telle que lim x + x existe un réel c tel que f (c) = Soit f une fonction dérivble de R dns R, non identiquement nulle et telle que : = 0. Montrer qu il x R, f (x) = f (x). (1) () On suppose que f ne s nnule jmis sur R. Montrer lors que f grde un signe constnt sur R et conclure. (b) On se donne un réel tel que f () 0 et pour fixer les idées on suppose que f () > 0. On note : E = {x [, + [ f (x) = 0} et on suppose cet ensemble non vide. i. Montrer qu il existe b > tel que f (x) > 0 pour tout x [, b[ et f (b) = 0. ii. On suppose que f () = f (). Montrer lors que f (x) = f (x) pour tout x [, b[ et conclure. (c) Résoudre (1). 11
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailSynthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique
LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion
Plus en détailNotes de révision : Automates et langages
Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailAUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)
Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,
Plus en détail/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV
/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailPartie 4 : La monnaie et l'inflation
Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailStatuts ASF Association Suisse Feldenkrais
Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailrf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse
page 8 AGREGATIN de MATHEMATIQUES: 1991 1/5 externeanalyse concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse NTATINS ET DGFINITINS Dans tout le problème, R+ désigne l intervalle
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailSommaire. 6. Tableau récapitulatif... 10. Sophos NAC intégré Vs. NAC Advanced - 17 Février 2009 2
Sommire 1. A propos de Sophos... 3 2. Comprtif des solutions Sophos NAC... 4 3. Sophos NAC pour Endpoint Security nd Control 8.0... 4 3.1. Administrtion et déploiement... 4 3.2. Gestion des politiques
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailRégression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006
Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent
Plus en détailGuide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2
Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive
Plus en détailInfluence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation
Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailL'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.
ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailAlgorithmes sur les mots (séquences)
Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détail