Géométrie- Analytique- Cercles :

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1 Géométre- Analytque- Cercles : Exercce 1 :, est un RON on donne les ponts A(1,0) ; B(5,) ; C(-1,4) 1/ Montrer que le trangle ABC est rectangle / Ecrre l équaton du cercle C crconscrt au trangle ABC 3/ Ecrre l équaton de la tangente à C en A 4/ On donne C 1 : X +y +6y- 1=0 a/ Montrer que C 1 est un cercle dont on précse le centre et le rayon b/ Vérfer que A C1 c/ Compléter par vra ou faux : C 1 =S (C) ; C 1 =S (C) ; C 1 = h (A,-1) (C) Exercce : Dans un repère orthonormé B(4,7), C(,3) et le cercle C défn par : x +y +6x- 4y +3=0 1) a- Montrer que le trangle ABC est rectangle en A.,, sot le cercle C crconscrt au trangle A(4,3), b) Chercher le centre et le rayon du cercle C, dédusez-en une équaton de ce cercle. / Trouver le centre et le rayon du cercle C. 1 + a - Sot D la drote d équaton : y = x 1. Montrer que la drote D est la tangente à C en A. b- Trouver l ntersecton de la drote D et du cercle C. Exercce 3:, étant un repère orthonormé du plan 1/ Placer les ponts A(,3) ; B(-1,) et C(4,-3) / Montrer que le trangle ABC est rectangle en A 3/ Détermner une équaton du cercle ζ crconscrt au trangle ABC. 4/ Donner une équaton cartésenne de la drote (BC) 5/ La perpendculare à la drote (BC), passant par le pont A, coupe (BC) en H et recoupe le cercle ζ en A. a/ Ecrre une équaton cartésenne de la drote b/ Détermner les coordonnées du pont H c/ Détermner les coordonnées du pont A

2 d/ Montrer que les trangles ACH et BHA sont semblables. Exercce 4 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé B(3,0) 1/ a/ Détermner une équaton cartésenne de la drote (OA) , on consdère les ponts A(1,) et ' b/ Sot B,, montrer que les ponts B et B sont symétrques par rapport à la drote (OA). / a/ sot le pont I(-1 ;-) prouver que I est un pont de la drote (OA) et que I est équdstant des ponts A et B b/ en dédure l équaton cartésenne du cercle C crconscrt au trangle ABB 3/ on désgne par C l ensemble des ponts M(x,y)tel que : x + y + 6x + 4 = 0 montrer que C est un cercle dont on précsera le centre I et le rayon 4/ D est une drote passant par le pont B et de coeffcent drecteur un réel m donnée a/ détermner l équaton rédute de la drote D b/ montrer que les abscsses des ponts de C D lorsqu ls exstent sont les solutons de l équaton suvante : ( m +1)x 6(1-m )x +9m +4 = 0 c/ en dédure l ensemble des valeurs de m pour lesquelles D C 0 Exercce5 : Dans un repère orthonormé a 1 a vérfant : x + y ( a+ 1) x+ y+ + 1 = 0 avec a un réel non nul, on donne l ensemble ξ des ponts M(x,y) 1/ Sot a = ; montrer que ξ est un cercle ζ de centre I et de rayon R à détermner. / Vérfer que l orgne O est à l extéreur de ζ. 3/ S ;0 [ ] a montrer que ξ est un cercle de centre I a et de rayon Ra = a + a 4/ Donner les coordonnées de I a et montrer que les centres I a varent sur une hyperbole quand a vare sur R \ [- ;0]. Exercce 6

3 , est un repère orthonormé. On consdère l ensemble ζ des ponts M(x, y) tels que x + y + x 6y = 0 1/ Montrer que ζ est un cercle dont on précsera les coordonnées de son centre I et son rayon r. / Sot la drote d équaton : x y 1 = 0 Montrer que coupe le cercle ζ en deux ponts B et C. Désgner par B le pont d ordonnée postve. 3/ Ecrre l équaton de la drote D tangente au cercle ζ au pont B. 4/ a/ Vérfer que le pont A(-5,4) appartent au cercle ζ. b/ Quelle est la nature du trangle ABC? c/ En dédure la dstance de A à. 5/ On donne les ponts E ( 1, 7 ) et F ( 0, 1) a/ Ecrre l équaton du cercle ζ ' de damètre [EF]. b/ Vérfer que ζ ' est l mage de ζ par l homothéte de centre O et de rapport 1. Exercce 7 Dans un plan rapporté à un RON,, on donne les ponts A (1, 3) et B (-3, 1). 1) a) Ecrre une équaton cartésenne du cercle (ϕ )de damètre [AB] de I centre I. b) Vérfer que (ϕ ) passe par O, pus calculer l are du trangle OAB. ) Montrer que la drote ( ) d équaton x+y-5 = 0 est tangente à (ϕ ) en A. 3) Trouver une équaton cartésenne de la drote ( ) passant par A et parallèle à la drote (OB). 4) ( ) recoupe (ϕ ) en E. trouver les coordonnées de E. 5) sot (ϕ ) l ensemble des ponts M (x, y) du plan tel que x²+y²-4x+8y = 0. a ) Montrer que (ϕ ) est un cercle. Précser les coordonnées de son centre I et calculer son rayon r. b ) En dédure que (ϕ ) est l mage de (ϕ ) par h, ) ( σ

4 Exercce 8, étant un repère orthonormé du plan. Exercce 9 1) Placer les ponts A (, 3), B (-1, ) et C (4, -3). ) Montrer que le trangle ABC est rectangle en A. 3) Détermner une équaton du cercle ϕ crconscrt au trangle ABC. 4) Donner une équaton cartésenne de la drote (BC). 5) La perpendculare à la drote (BC) passant par le pont A, coupe (BC) en H et recoupe le cercle ϕ en A. a) Ecrre une équaton cartésenne de la drote. b) Détermner les coordonnées du pont H. c) Détermner les coordonnées du pont A. 6) Montrer que les trangles ACH et BHA sont semblables. Dans le repère orthonormé que : x²+y²-cost x Snt y = 0 ; t [ 0, π ].,, on consdère l ensemble ξ t des ponts M (x, y) tels 1) Construre ξ π 3 (pour t = 3 π ). ) Montrer que pour tout t [ 0, π ]. ξ t est un cercle dont on précsera le centre I et le t rayon R. 3) On consdère le cercle ϕ d équaton x²+y² -1 = 0. Vérfer que pour tout t [ 0, π ] ; I est un pont de ϕ. t Exercce 10 Sot, un repère orthonormé et ϕ = {M (x, y) / x²+y²-8x-4y-5 = 0}. 1) Montrer que ϕ est un cercle dont on précsera le centre I et le rayon R. ) Sot la drote d équaton : y = -3. Montrer que est tangente à ϕ au pont A (4, -3). 3) Sot B (0, -1) a) Vérfer que B ϕ.

5 b) Détermner une équaton de D la médatrce de [AB]. c) Détermner ϕ D. d) Détermner les équatons des tangentes au cercle ϕ et parallèles à (AB). 4) Sot M (x, y) un pont du plan, on désgne par H le proeté orthogonal de M sur. Exercce 11 Dans un repère orthonormé vérfant : x² + y² - (a + 1)x + a y +, on donne l ensemble ξ des ponts M (x, y) 1 a ² + 1 = 0. avec a un réel non nul. 1) Sot a = ; montrer que ξ est un cercle ϕ de centre I et de rayon R à détermner. ) Vérfer que l orgne O est à l extéreure de ϕ. 3) S a [- ; 0] montrer que ξ est un cercle de centre I et de rayon = a²+ a. a Ra 4) Donner les coordonnées de I et montrer que les centres a I varent sur une a Exercce 1 hyperbole quand a vare sur IR \ [-, 0]., est un repère orthonormé. On consdère l ensemble ϕ des ponts M (x, y) tels que x²+y²+x-6y-7 = 0. 1) Montrer que ϕ est un cercle dont on précsera les coordonnées de son centre I et son rayon r. ) Sot la drote d équaton : x-y-1 = 0. Montrer que coupe le cercle ϕ en deux ponts B et C. Désgner par B le pont d ordonnée postve. 3) Ecrre l équaton de la drote D tangente au cercle ϕ au pont B. 4) a) Vérfer que le pont A (-5, 4) appartent au cercle ϕ. b) Quelle est la nature du trangle ABC? c) En dédure la dstance de A de. 5) On donne les ponts E (-1, 7 ) et F (0, - 1 ). a) Ecrre l équaton du cercle ϕ de damètre [EF].

6 b) Vérfer que ϕ est l mage de ϕ par l homothéte de centre O et de rapport 1. Exercce 13 Sot dans un RON, les ponts A (4, ) et B (4, -). 1) Détermner une équaton cartésenne du cercle ϕ de damètre [AB]. ) Ecrre une équaton cartésenne de la tangente à ϕ en A. 3) Donner le centre I et le rayon r du cercle ϕ d équaton x²+y²-x-6y+6 = 0 4) Détermner ϕ. 5) Montrer que ϕ est l mage de ϕ par une translaton dont on précsera le vecteur. Exercce 14, est un repère orthonormé de P. sot (H) l hyperbole d équaton y = x 6 et les ponts A, B et C de cette hyperbole d abscsses respectves 1, - et 3. 1) a) Calculer les ordonnées des ponts A, B et C. b) Etablr les équatons cartésennes de la drote (BC) et de la drote passant par A et perpendculare à (BC). ) La drote recoupe (H) au pont D. calculer les coordonnées de D. comparer les drectons des drotes (AB) et (CD). 3) La drote (AB) coupe la drote (CD) en E. Détermner une équaton du cercle ϕ passant par B, C et E. 4) Détermner les coordonnées des ponts d ntersecton de ϕ avec les axes du repère. Exercce 15 Le plan est rapporté à un repère orthonormé,. On consdère les ponts A(1, ) et B(3, 0). 1) a) Détermner une équaton cartésenne de la drote (OA). b) Sot B (- 9, 1 ), montrer que les ponts B et B sont symétrques par rapport à la 5 5 drote (OA). ) Sot le pont I (-1, -).

7 a) Prouver que I est un pont de la drote (OA) et que I est équdstant des ponts A et B. b) En dédure l équaton cartésenne du cercle ϕ crconscrt au trangle ABB. 3) On désgne par ϕ l ensemble des ponts M (x, y) tels que : x²+y²+6x+4 = 0. Montrer que ϕ est un cercle dont on précsera le centre I et le rayon. 4) D est une drote passant par le pont B et de coeffcent drecteur un réel m donné. a) Détermner l équaton rédute de la drote D. b) Montrer que les abscsses des ponts D ϕ lorsqu ls exstent sont les solutons de l équaton suvante : (m²+1)x²+6(1-m²)x+9m²+4 = 0 c) En dédure l ensemble des valeurs de m pour lesquelles D ϕ est non vde. Exercce 16 Dans un repère orthonormé, on donne les ponts A (-, ), B (, 0) et C (-4, -). 1) a) Montrer que ABC est un trangle rectangle en A. b) Ecrre une équaton cartésenne du cercle ϕ crconscrt au trangle ABC. ) Donner une équaton cartésenne de la tangente à ϕ en B. 3) a) ϕ coupe (y y ) en E et F. Calculer les coordonnées de E et F. b) Montrer que (AF) est un damètre de ϕ. 4) Sot ϕ m : x²+y²-4x+my+5m = 0. a) Pour quelles valeurs de m, ϕ m est un cercle?. b) Exste t l des valeurs de m pour que A ϕ R = Exercce 17 Le plan est mun d un repère orthonormé ( o,,. 1) On consdère les ponts A (1, -), B (, 1) et C (5, 0). a) Donner une équaton de la drote (AB). b) Donner une équaton de ( ) la perpendculare à (AB) passant par C.

8 c) Vérfer que ( ) passe par B. ) a) Calculer les dstances AB et CB. En dédure la nature de ABC. b) On note I le centre du cercle (ϕ ) crconscrt à ABC. Donner les coordonnées de I ans que l équaton cartésenne de (ϕ ). 3) Sot D le pont tel que ABDC sot un parallélogramme.. a) Calculer les coordonnées de D. b) Montrer que (BD) est tangente à (ϕ ). Exercce 18 Le plan est mun d un repère orthonormé ( o,,. 1) On consdère les ponts A (1, -), B (, 1) et C (5, 0). a. Donner une équaton de la drote (AB). b. Donner une équaton de ( ) la perpendculare à (AB) passant par C. c. Vérfer que ( ) passe par B. ) a) Calculer les dstances AB et CB. En dédure la nature de ABC. b) On note I le centre du cercle (ϕ ) crconscrt à ABC. Donner les coordonnées de I ans que l équaton cartésenne de (ϕ ). 3) Sot D le pont tel que ABDC sot un parallélogramme.. a. Calculer les coordonnées de D. b. Montrer que (BD) est tangente à (ϕ ). Exercce 19 Dans un plan rapporté à un RON,, on donne les ponts A (1, 3) et B (-3, 1). 1) a) Ecrre une équaton cartésenne du cercle (ϕ )de damètre [AB] (on appellera I son centre). b) Vérfer que (ϕ ) passe par O, pus calculer l are du trangle OAB. ) Montrer que la drote ( ) d équaton x+y-5 = 0 est tangente à (ϕ ) en A. 3) Trouver une équaton cartésenne de la drote ( ) passant par A et parallèle à la drote (OB). 4) ( ) recoupe (ϕ ) en E. trouver les coordonnées de E. 5) sot (ϕ ) l ensemble des ponts M (x, y) du plan tel que x²+y²-4x+8y = 0.

9 a. Montrer que (ϕ ) est un cercle. Précser les coordonnées de son centre I et calculer son rayon r. b. En dédure que (ϕ ) est l mage de (ϕ ) par h (, ) σ. Exercce 0 Le plan P est mun d un RON,, on consdère les ponts A(, 1) ; B(3, 3) ; C(0, ) et E (5, - 1 ). 1) Quelle est la nature du trangle ABC? Justfer. ) Ecrre l équaton du cercle ϕ du damètre [BC]. 3) Ecrre l équaton du cercle ϕ de centre E et passant par A. 4) Montrer que ϕ est l mage de ϕ par une translaton dont on détermne le vecteur. 5) Montrer que ϕ coupe (x x) en deux ponts M et N et calculer les coordonnées de M et N. Exercce 1 Le plan P est mun d un RON et E (5, - 1 ).,, on consdère les ponts A(, 1) ; B(3, 3) ; C(0, ) 1) Quelle est la nature du trangle ABC? Justfer. ) Ecrre l équaton du cercle ϕ du damètre [BC]. 3) Ecrre l équaton du cercle ϕ de centre E et passant par A. 4) Montrer que ϕ est l mage de ϕ par une translaton dont on détermne le vecteur. 5) Montrer que ϕ coupe (x x) en deux ponts M et N et calculer les coordonnées de M et N. Exercce, étant un repère orthonormé du plan. 1) Placer les ponts A (, 3), B (-1, ) et C (4, -3). ) Montrer que le trangle ABC est rectangle en A. 3) Détermner une équaton du cercle ϕ crconscrt au trangle ABC. 4) Donner une équaton cartésenne de la drote (BC).

10 5) La perpendculare à la drote (BC) passant par le pont A, coupe (BC) en H et recoupe le cercle ϕ en A. a) Ecrre une équaton cartésenne de la drote. b) Détermner les coordonnées du pont H. c) Détermner les coordonnées du pont A. 6) Montrer que les trangles ACH et BHA sont semblables. Exercce 3 Dans le repère orthonormé, on consdère l ensemble ξ t des ponts M (x, y) tels que : x²+y²-cost x Snt y = 0 ; t [ 0, π ]. 1) Construre ξ π 3 (pour t = 3 π ). ) Montrer que pour tout t [ 0, π ]. ξ t est un cercle dont on précsera le centre I et le t rayon R. 3) On consdère le cercle ϕ d équaton x²+y² -1 = 0. Vérfer que pour tout t [ 0, π ] ; I est un pont de ϕ. t Exercce 4 Sot, un repère orthonormé et ϕ = {M (x, y) / x²+y²-8x-4y-5 = 0}. 1) Montrer que ϕ est un cercle dont on précsera le centre I et le rayon R. ) Sot la drote : y = -3.Montrer que est tangente à ϕ au pont A (4, -3). 3) Sot B (0, -1) a. Vérfer que B ϕ. b. Détermner une équaton de D la médatrce de [AB]. c. Détermner ϕ D. d. Détermner les équatons des tangentes au cercle ϕ et parallèles à (AB). 4) Sot M (x, y) un pont du plan, on désgne par H le proeté orthogonal de M sur. Exercce 5 Dans un repère orthonormé, on donne l ensemble ξ des ponts M (x, y) vérfant : x² + y² - (a + 1)x + a y + 1 a ² + 1 = 0. avec a un réel non nul.

11 1) Sot a = ; montrer que ξ est un cercle ϕ de centre I et de rayon R à détermner. ) Vérfer que l orgne O est à l extéreure de ϕ. 3) S a [- ; 0] montrer que ξ est un cercle de centre I et de rayon = a²+ a. a Ra 4) Donner les coordonnées de I et montrer que les centres a I varent sur une a Exercce 6 hyperbole quand a vare sur IR \ [-, 0]. Sot dans un RON, les ponts A (4, ) et B (4, -). 1) Détermner une équaton cartésenne du cercle ϕ de damètre [AB]. ) Ecrre une équaton cartésenne de la tangente à ϕ en A. 3) Donner le centre I et le rayon r du cercle ϕ d équaton x²+y²-x-6y+6 = 0 4) Détermner ϕ. 5) Montrer que ϕ est l mage de ϕ par une translaton dont on précsera le vecteur. Exercce 7 Sot, un repère orthonormé du plan P et les ponts (,0) B( 1, 3) C( 1, 3) et H ( 4.0) A 1/ a / Montrer que O est le centre du cercle crconscrt au trangle ABC b/ Que représente H pour le trangle ABC - Sot J le mleu de [AB] ; détermner une équaton cartésenne de la drote passant par H et perpendculare à la drote (CJ) 3/ Sot M (x,y) un pont de plan P a/ Exprmer AM, BM et CM en foncton de x et y { } b/ En dédure l ensemble ζ = M( x, y) P tel que CM AM BM = 8 est la drote. 4/ Sot ζ le cercle au centre O de rayon 1 Détermner l équaton du cercle ζ b/ La drote coupe ζ en deux ponts E et F tels que HOE est un angle obtus. Détermner les coordonnées des ponts E et F. On pose HOE= α ( en rad) ; trouver cos α et dédure α Exercce 8, étant un repère orthonormé du plan

12 1/ Placer les ponts A(,3) ; B(-1,) et C(4,-3) / Montrer que le trangle ABC est rectangle en A 3/ Détermner une équaton du cercle ζ crconscrt au trangle ABC. 4/ Donner une équaton cartésenne de la drote (BC) 5/ La perpendculare à la drote (BC), passant par le pont A, coupe (BC) en H et recoupe le cercle ζ en A. a/ Ecrre une équaton cartésenne de la drote b/ Détermner les coordonnées du pont H c/ Détermner les coordonnées du pont A d/ Montrer que les trangles ACH et BHA sont semblables. Exercce 9 Le plan est rapporté à un repère orthonormé B(3,0) 1/ a/ Détermner une équaton cartésenne de la drote (OA) , on consdère les ponts A(1,) et ' b/ Sot B,, montrer que les ponts B et B sont symétrques par rapport à la drote (OA). / a/ sot le pont I(-1 ;-) prouver que I est un pont de la drote (OA) et que I est équdstant des ponts A et B b/ en dédure l équaton cartésenne du cercle C crconscrt au trangle ABB 3/ on désgne par C l ensemble des ponts M(x,y)tel que : x + y + 6x + 4 = 0 Montrer que C est un cercle dont on précsera le centre I et le rayon 4/ D est une drote passant par le pont B et de coeffcent drecteur un réel m donnée a/ détermner l équaton rédute de la drote D b/ montrer que les abscsses des ponts de C D lorsqu ls exstent sont les solutons de l équaton suvante : ( m +1)x 6(1-m )x +9m +4 = 0 c/ en dédure l ensemble des valeurs de m pour lesquelles D C 0 Exercce 30 Dans un repère orthonormé on consdère l ensemble ζ des ponts M ( x, y) / x + y 6x+ y+ 9= 0 1/ Montrez que ζ est un cercle dont vous précserez le centre I et le rayon R.

13 /Vérfez que A( 3; ) ζ et donnez une équaton de la tangente à ζ au pont A. 3/Donnez les coordonnées des ponts d ntersecton du cercle ζ avec les axes du repère. 4/Sot ( 1;) B. Détermnez ξ = { M P; MA MB= 5} Exercce 31 Dans un repère orthonormé, on donne l ensemble ξ des ponts M(x,y) a 1 a vérfant : x + y ( a+ 1) x+ y+ + 1 = 0 avec a un réel non nul 1/ Sot a = ; montrer que ξ est un cercle ζ de centre I et de rayon R à détermner. / Vérfer que l orgne O est à l extéreur de ζ. 3/ S ;0 [ ] a montrer que ξ est un cercle de centre I a et de rayon Ra = a + a 4/ Donner les coordonnées de I a et montrer que les centres I a varent sur une hyperbole quand a vare sur R \ [- ;0]. Exercce 3, est un repère orthonormé. On consdère l ensemble ζ des ponts M(x, y) tels que x + y + x 6y = 0 1/ Montrer que ζ est un cercle dont on précsera les coordonnées de son centre I et son rayon r. / Sot la drote d équaton : x y 1 = 0 Montrer que coupe le cercle ζ en deux ponts B et C. Désgner par B le pont d ordonnée postve. 3/ Ecrre l équaton de la drote D tangente au cercle ζ au pont B. 4/ a/ Vérfer que le pont A(-5,4) appartent au cercle ζ. b/ Quelle est la nature du trangle ABC? c/ En dédure la dstance de A à. 5/ On donne les ponts E ( 1, 7 ) et F ( 0, 1) a/ Ecrre l équaton du cercle ζ ' de damètre [EF]. b/ Vérfer que ζ ' est l mage de ζ par l homothéte de centre O et de rapport 1.