, pour n n 2 (n + 1) 2 4. On présume que c est vrai pour n = k et on commence une investigation du cas n = k + 1. i=1

Transcription

1 [3] 1 Combien de mots peut-on fome avec les lettes MISSISSIPPI? ( ) 11 = 11! 1 2 1!!! 2! = 3650 [3] 2 Touve le nombe de solutions en enties de y 1 +y 2 +y 3 = 20, sujet au conditions que y 1 0, y 2 > 0, y 3 > 2 On pose z 1 = y 1, z 2 = y 2 1, z 3 = y 3 3, et on cheche ( le nombe ) de ( solutions ) en enties non-négatifs de z 1 + z 2 + z 3 = 20 (1 + 3) = 16 C est = = Utilise l induction mathématique pou pouve que On obseve que pou n = 1 on obtient n i 3 = n2 (n + 1) 2, pou n 1 n i 3 = 1 3 = 1 donc c est valide pou le cas n = 1 n 2 (n + 1) 2 = (1)2 (2) 2 On pésume que c est vai pou n = k et on commence une investigation du cas n = k + 1 k+1 k i 3 = (k + 1) 3 + i 3 = (k + 1) 3 + k2 (k + 1) 2 = (k + 1)3 + k 2 (k + 1) 2 2 (k + 1) + k2 = (k + 1) = (k + 1) 2 k2 + k + = (k + 1)2 (k + 2) 2 (On a utilisé, à la deuxième ligne, l hypothèse d induction) C est exactement la fomule désiée pou le cas n = k + 1 Donc pa induction c est vai pou tout n 1 = 1 Un point intégal est un point dont les coodonnés sont tous des enties Supposons qu on choisit neuf points intégales dans l espace R 3 Monte que pami ces neuf points, il existe deux tel que leu mi-point est aussi un point intégal Pou chaque point intégal on a tois coodonnées Chaque coodonnée est soit pai ou impai, ce qui donne huit sotes de points (pai, pai, pai) (pai, pai, impai) (pai, impai, pai) (pai, impai, impai) (impai, pai, pai) (impai, pai, impai) (impai, impai, pai) (impai, impai, impai) On a neuf points au total donc il existe au moins deux points de la même sote, pa le pincipe des pigeons (les points sont les pigeons, les sotes sont les nids) Étant deux point du même 1

2 sote, leu somme est un point de la sote (pai, pai, pai) donc leu mi-point seait un point intégal 5 a) Combien des enties n avec 1 n 600 ne sont divisible pa aucun de 2, 3, 6? b) Combien des enties n avec 1 n 600 sont divisible pa exactement un de 2, 3, 6? a) On obseve que n n est pas divisible pa 6 si et seulement si n n est divisible pa ni 2 ni 3 Donc il suffit de compte le nombe de n qui ne sont divisible pa ni 2 ni 3 Ce qui donne deux conditions On cheche E 0 = N avec le pincipe d inclusion-exclusion Il y a alos deux conditions, disant ne pas divisible pa x où x est 2, 3 N = N S 1 + S 2 = 600 ( ) + ( ) = 600 ( ) + (100) = 200 b) Si n est divisible pa 6 alos n est divisible pa 2, 3 et 6, donc pas divisible pa exactement un de ces chiffes Il suffit alos de compte le nombe de n qui sont divisible pa exactement un de 2, 3 On cheche E 1 avec le pincipe d inclusion-exclusion Il y a alos deux conditions, disant ne pas divisible pa x où x est 2, 3 ( ) ( ) ( ) ( ) E 1 = S 1 S 2 = = 1( ) 2(100) = [] 6 Utilise une étape de la écusion (C; x) = (C e ; x) + x(c s ; x) pou l échiquie donné, commençant avec le caé indiqué Ce n est pas nécessaie de calcule le polynôme (C; x) explicitement, seulement de faie une application de la écusion = + x 7 Soit les conditions y 1 0, 2 y 2 10, y 3 > 0, y > 5, et y 3 un multiple de 2, y un multiple de 5 a) Soit a le nombe de solution non-négatives en enties de pou y 1 + y 2 + y 3 + y = sujet au conditions données Donne une fome compacte pou la fonction généatice F (x) = 0 a x 2

3 b) Soit b le nombe de solution non-négatives en enties de pou y 1 + y 2 + y 3 + y sujet au conditions données Donne une fome compacte pou la fonction généatice G(x) = 0 b x a) On a un facteu pou chaque vaiable F = (1 + x + x 2 + )(x 2 + x x 10 )(x 2 + x + x 6 + )(x 10 + x 15 + x 20 + ) = 1 1 x x2 x 11 1 x x2 1 x 2 x10 1 x 5 x 1 (1 x 9 ) = (1 x) 2 (1 x 2 )(1 x 5 ) b) On voit que b = a k, une somme patielle G = 1 1 x F = x 1 (1 x 9 ) (1 x) 3 (1 x 2 )(1 x 5 ) [] 8 Soit p n le nombe de patitions de n tel que chaque patie est de la fome 2 k, k 0 Donne une fome compacte pou la fonction généatice P = p n x n n 0 On pemet seulement les paties de la fome 2 k Pou chaque valeu de k on obtient la contibution suivante (1 + x 2k + x 2 2k + x 3 2k + ) = (1 + x 2k + (x 2 ) 2k + (x 3 ) 2k + ) = 1 1 x 2k On pend le poduit pou tout k 1 1 x 2k k 0 [] 9 Soit a n = n 2 + n, n 0, et A = n 0 a n x n Donne une fome compacte pou A On sait que x d x n = nx n dx n 0 n 0 x d x d dx dx n 0 x n = x d nx n = n 2 x n dx n 0 n 0 3

4 On pend la somme A = a n x n = (n 2 + n)x n = x d ( x d ) 1 + x d 1 dx dx 1 x dx 1 x n 0 n 0 = x d x dx (1 x) 2 + x (1 x) 2 = x + x2 (1 x) 3 + x (1 x) 2 2x = (1 x) 3 [] 10 On sait que (1 +x) m+n = (1 +x) m (1+x) n Utilise cette identité et la méthode des fonctions ( ) m + n ( )( ) m n généatices pou pouve =, pou m, n 0 k k On voit que (1 + x) m+n = (1 + x) m (1 + x) n On extait des coefficients de chaque côté, qui doivent ête égal ( ) m + n [x ] (1 + x) m+n = [x ] (1 + x) m (1 + x) n = ([x k ] (1 + x) m) ( [x k ] (1 + x) n) ( ) m + n Donc = ( m k )( n k = ) ( m )( ) n k k [6] 11 Touve la solution pou chacune des écuences suivantes a) a n+2 5a n+1 + 6a n = 0 avec a 0 = 3, a 1 = 7 b) a n+2 a n+1 + a n = 0 avec a 0 = 3, a 1 = 8 c) a n+2 3a n+1 + 2a n = 8 3 n avec a 0 = 5, a 1 = 8 a) On a le polynôme caactéistique y 2 5y + 6 = (y 2)(y 3) Donc la écuence est de la fome a n = α(2) n + β(3) n On calcul les coefficients à l aide des conditions initiales 3 = a 0 = α(2) 0 + β(3) 0 = α + β 7 = a 1 = α(2) 1 + β(3) 1 = 2α + 3β On ésout ce système pou donne α = 2 et β = 1 a n = 2(2) n + (3) n

5 b) On a le polynôme caactéistique y 2 y + = (y 2)(y 2) La acine est épétée, donc on a une écuence de la foma a n = α(2) n + βn(3) n 3 = a 0 = α(2) 0 + 0β(2) 0 = α 8 = a 1 = α(2) 1 + 1β(2) 1 = 2α + 2β On ésout ce système pou donne α = 3 et β = 1 a n = 3(2) n + n(2) n = (3 + n)(2) n c) C est une écuence non-homogène On identifie le polynôme caactéistique y 2 3y + 2 = (y 2)(y 1) Le second membe est exponentielle mais la base n est pas acine du polynôme On a donc une solution paticulièe de γ(3) n On calcul γ diectement, sans utilise les condition initiales a n+2 3a n+1 + 2a n = 8 3 n γ(3) n+2 3γ(3) n+1 + 2γ(3) n = 8(3) n (9γ 9γ + 2γ)3 n = 8(3) n 2γ = 8 γ = On a une solution généale de la fome a n = α(2) n + β(1) n + (3) n 5 = a 0 = α(2) 0 + β(1) 0 + (3) 0 = α + β + 8 = a 1 = α(2) 1 + β(1) 1 + (3) 1 = 2α + β + 12 On ésout ce système pou donne α = 5 et β = 6 a n = 5(2) n + 6(1) n + (3) n [3] 12 Soit a n = 2 n + 3 n + n Touve une écuence homogène satisfait pa a n ; donne aussi un nombe suffisant de conditions initiales pou détemine la écuence uniquement Évidemment le polynôme caactéistique est (y 2)(y 3)(y ) = y 3 9y y 2 Ceci donne la écuence a n+3 9a n a n+1 2a n = 0 Il faut tois conditions initiales, ca l ode est 3 a 0 = = 3 a 1 = = 9 a 2 = = 29 [3] 13 Soit d n le déteminant de la matice avec 3 su le diagonale et 1 au su-diagonale et sousdiagonale d n = det Touve une écuence satisfait pa d n et donne aussi les conditions initiales 5

6 On calcul le déteminant pa expansion de la pemièe angée, et ensuite dans la pemièe colonne d n = det = 3 det 1 det = 3d n 1 det = 3d n 1 det = 3d n 1 d n 2 Donc on a d n = 3d n 1 + d n 2 C est valide pou n 2, ca autement on n auait pas pu enleve deux angées et colonnes On a besoin de 2 conditions initiales, ca l ode est 2 d 0 = det [] = 1 d 1 = det [ 3 ] = 3 [6] 1 Soit G 1 et G 2 les deux gaphes suivants a) Donne les degés de chaque sommet de G 1 et de G 2 b) Touve tous les sous-gaphes de G 1 qui sont isomophiques à K 3, le gaphe complet su 3 sommets (un tiangle) Faie de même pou G 2 c) Est-ce que les deux gaphes sont isomophiques? Justifie! 6

7 a b s t c u d e v w f x g h y z G 1 G 2 a) Pami G 1, les sommets {a, d, e, h} sont de degé 3 et {b, c, f, g} sont de degé Pami G 2, les sommets {s, v, x, y} sont de degé 3 et {t, u, w, z} sont de degé b) Pami G 1 on a les tiangles {abc, bce, hgf, gfd} Pami G 2 on a les tiangles {stu, tuw, tzw, zwx} c) Non Dans G 1 tout sommet est contenu dans au moins un tiangle Dans G 2 les sommets v et y ne sont contenu dans aucun tiangle Altenativement, dans G 1 aucun pai de sommets de degé 2 sont adjacents, mais dans G 2 on a s y, chacun de degé 2 Altenativement 7