Fiabilité. F(t) est la probabilité qu un dispositif prélevé au hasard dans la population considérée ait une défaillance avant l instant t.

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1 I Fiabilité d un matéril Fiabilité. Introduction La fiabilité st l étud d la duré d vi d un matéril. C chapitr étudi la variabl aléatoir qui à chaqu matéril, associ son tmps d bon fonctionnmnt. Son spéranc mathématiqu t la moynn ds tmps d bon fonctionnmnt ou MTBF. L analys d un échantillon prmt d justifir qu ctt variabl aléatoir suit un loi xponntill ou un loi d Wibull. T désign la variabl aléatoir qui, à tout dispositif tiré au hasard, associ son tmps d bon fonctionnmnt (Tim Btwn Failurs) ou sa duré d vi avant un défaillanc. Pour simplifir, nous choisissons comm origin ds tmps l'instant t = où l dispositif choisi st mis n march, soit pour la prmièr fois, soit après un réparation qui l a rmis à nuf. Alors T msur ainsi l'instant où apparaît la prmièr défaillanc d'un dispositif pris au hasard dans la population considéré, à partir d l'instant t =. 2. Fonction défaillanc. Fonction d Fiabilité. T st un variabl aléatoir continu à valurs positivs t possédant un dnsité d probabilité f. Définition : La fonction défaillanc st défini par : t F( t) = P( T t) = f ( t) dt pour t. F(t) st la probabilité qu un dispositif prélvé au hasard dans la population considéré ait un défaillanc avant l instant t. Définition 2 : La fonction d fiabilité st défini par : R( t) = P( T > t) = F( t) pour t. R(t) st la probabilité qu un dispositif prélvé au hasard dans la population considéré n ait pas d défaillanc avant l instant t. F st la fonction d répartition d la variabl aléatoir T. En anglais fiabilité st traduit par rliability. Estimation d F(t) t d R(t) : ni 2. Méthod ds rangs bruts F( ti ) = n ni 2.2 Méthod ds rangs moyns F( ti ) = n + ni,3 2.3 Méthod ds rangs médians F( t) = n i +,4 EXERCICE : Un usin produit ds machins. On étudi la fiabilité d d cs machins dès lur mis n srvic. Pour cla on rlèv lur tmps d bon fonctionnmnt (TBF) n l absnc d tout réparation. TBF n jours Nombr d défaillancs TBF n jours Nombr d défaillancs [;] ],2] ]2,3] ]3,4] ]4,5] ]5,6] ]6,7] ]7,8] ]8,9] ]9,] Notons N i l nombr d machins non défaillants jusqu à l instant ti ; N i R i = (avc la méthod du rang brut) st la proportion d machins non défaillants jusqu à l instant ti ; Fi = R i st la proportion d machins défaillants à l instant ti. On obtint l tablau suivant : Fiabilité N. Makni

2 i ti (n jours) Ni Ri Fi Définition 3 : MTBF : Soit T la variabl aléatoir qui, à chaqu matéril, associ son tmps d bon fonctionnmnt. La MTBF ( Moynn ds Tmps d Bon Fonctionnmnt) st l spéranc mathématiqu d T : E(T) = MTBF Taux d avari ( ou taux d défaillanc ) Dans l xmpl précédnt, l taux d avari d l intrvall [2,3] st la proportion d machins qui tombnt n pann dans ct intrvall d tmps, par rapport à clls qui étaint n état d bon fonctionnmnt au début d la périod. C st à dir : N2 N3 3 8 =.38. N 3 2 L unité du tmps st l jour, on trouv l taux d avari moyn dans l intrvall [2,3] :, 38. On dit qu,38% ds machins tombnt n pann par jour. 2 Définition 4 Taux d avari moyn ntr ls instants t t t+h st égal à : ,38 = 3 2 nombr d'élémnts tombés n pann ntr ls instants t t t + h nombr d'élémnts n état d march à l'instant t C st la probabilité pour qu un dispositif n état d march à l instant t, tomb n pann ntr ls instants t t t+h. Donc P( t < T < t + h) F( t + h) F( t) ( R( t + h)) ( R( t)) R( t) R( t + h) = = =. P( T > t) R( t) R( t) R( t) Définition 5 Taux d avari moyn par unité d tmps : On divis par h : Taux d avari instantané (t) lim h h R( t) R( t + h) R( t) h à l instants t : On calcul la limit lorsqu h tnd vrs R( t) R( t + h) R( t + h) R( t) R '( t) = R( t) h lim =, d où : h R( t) R( t) R '( t) Définition 6 L taux d avari instantané à l instant t d un matéril st la fonction éfini par : ( t) = R( t) où R st la fonction fiabilité d c matéril. Conséquncs : Si la fonction st connu, la résolution d l équation différntill linéair du prmir ordr sur un intrvall convnabl : R' ( t) + R( t) = donn la fonction d fiabilité R du matéril. On put alors n déduir la fonction d défaillanc F, puisqu F(t) = - R(t), qui st la fonction d répartition d la variabl aléatoir T ; puis la dnsité d probabilité f d la variabl aléatoir T : F (t) = f(t). Rmarqu: Expérimntalmnt (t) st un courb n baignoir. Panns précocs Vi util panns d'usur Fiabilité 2 N. Makni

3 4. MTBF : Moynn ds tmps d bon fonctionnmnt C'st l spéranc mathématiqu d la variabl aléatoir T défini au départ + x MTBF = E( t) = tf ( t) dt = lim tf ( t) dt. x + Ell rprésnt l'spéranc d vi du dispositif. II Loi xponntill La loi xponntill st la loi suivi par la variabl aléatoir T lorsqu l taux d'avari st constant. Pour tout t on a (t) = constant strictmnt positiv. Pour tout t : Fonction d fiabilité: R( t) = t t Fonction d défaillanc: F( t) = Dnsité d probabilité: f ( t) = t y = R(t) y = f(t) F(t) t R(t) MTBF : E(T) = Ecart typ : σ ( T ) = t L égalité R( t) = t st équivalnt à ln R ( t) = ln( ) ; lnr(t) = -t. Posons Y = lnr(t), on obtint Y = t. Donc ls points d coordonnés (t ; Y) tracés dans l mêm rpèr orthogonal sont alignés sur un droit passant par O( ;). On stim qu T suit un lois xponntill si, pour un grand échantillon, ls points connus d coordonnés (t i ; lnr i ) construit dans un rpèr orthogonal sont approximativmnt alignés avc l origin. L'utilisation d papir smi-logarithmiqu pour rprésntr R(t) prmt d déduir si un loi st xponntill ou non. S'il s'agit d'un loi xponntill, la MTBF = st l'antécédnt d,368 Utilisation du papir smi-logarithmiqu Rprnons l'échantillon ds machins obsrvés au prmir paragraph, pour savoir si T suit un loi xponntill. : Ls la coupls (t i ; R i ) obtnus sont ls suivants. t i R i,76,52,32,2,2,6,8,4,4 Pour savoir si ls points d coordonnés (t i ; ln R i ) construits dans un rpèr, orthogonal sont alignés, on utilis du papir smi-logarithmiqu. Sur un tl papir, ls ordonnés marqués y ont n réalité pour valur Y = lny. L papir smi-logarithmiqu st constitué d bands ou moduls idntiqus d hautur ln (d ln = à ln ). p p Soit a t p un ntir qulconqu. Puisqu ln(a. ) = lna + p ln, on pass du point d coordonnés (t; ln(a. )) au point d coordonnés (t ; lna) par un translation d p moduls. Fiabilité 3 N. Makni

4 D sort qu chaqu modul contint ls points dont ls ordonnés varint d ln(. L tablau précédnt s écrit : p ) à ln(. p ) t i R i Portons ls points d coordonnés marqués (t i ; R i ) sur l papir smi-logarithmiqu; dux moduls suffisnt, car la plus grand valur pris par a st. L nuag d points obtnu st prsqu rctilign, c qui autoris à stimr qu T suit un loi xponntill. La droit D à tracr a pour équation Y = - t. Ell pass donc par l'origin du rpèr. Notons qu ls coordonnés d O sont t =, Y =. C'st donc l point marqué (;. - 2 ), car ln(. - 2 ) = ln()=. Construisons un droit passant au plus près ds points du nuag d points t par O. Pour marqué t =, on obtint.. Donc la MTBF = ,8. 2, car ln(. ) =., d où, 36. On obtint 28 st l absciss du point D dont l ordonné st. Utilisation d la calculatric On put égalmnt calculr un équation d la droit d ajustmnt ds points d coordonnés (t i ; lnr i ) t du point ( ; ), par la méthod ds moindrs carrés. On vérifi qu l cofficint d corrélation st r = -,99. C qui confirm qu ls points sont prsqu alignés. Fiabilité 4 N. Makni

5 On trouv : ln R =,37t +,56 R =,37t +,56 R,37t,56 =,56 or Donc R,37t =, donc =, 37 t = = 27 MTBF jours. III Loi d Wibull (mathématicin suédois ) Wibull a choisi un loi sous form d puissanc avc 3 paramètrs qui prmttnt d'obtnir ls divrss situations : décroissant, constant t croissant. Définition : On dit qu la variabl aléatoir T suit la loi d Wibull lorsqu son taux d avari st : β β t γ ( t ) = pour t > γ ; β, γ, η sont ds constants avc β > ; η > ; η η γ st l paramètr d rpérag qui fix l instant à partir duqul on étudi la fiabilité. Si γ = : on étudi la fiabilité dès la prmièr utilisation d la machin. Si γ > : on étudi la fiabilité un crtain tmps après la prmièr utilisation d l apparil. Conséquncs : On rtrouv, pour tout t > γ β t γ Fonction d fiabilité: R( t) = xp η β t γ Fonction d défaillanc: F( t) = xp η β t γ t γ Dnsité d probabilité: f ( t) = xp η η η β β On rtrouv la MTBF t l'écart typ à l'aid d tabls (voir formulair) MTBF : Aη + γ t σ = Bη car F (t) = f(t). L'utilisation du papir imaginé par Wibull pour rprésntr F(t) prmt d déclr un loi d Wibull. Ls points d coordonnés (t i ; F(t i ) ) sont alignés lorsqu γ =. on rtrouv alors graphiqumnt ls valurs d β t d η Exrcic ( BTS maintnanc) On étudi la duré d vi d un crtain typ d composants élctriqus fabriqués par un usin. On désign par T la variabl aléatoir qui, à chaqu composant, prélvé au hasard dans la population, associ sa duré d vi xprimé n mois. Après un étud statistiqu, on admt qu T suit la loi d Wibull d paramètrs : γ =, β = 2,4 η = 5 (T Détrminr MTBF = E(t) t σ ). Fiabilité 5 N. Makni

6 Détrminr graphiqumnt ls paramètr d la loi d Wibull : Fiabilité 6 N. Makni

7 IV) Fiabilité d'un systèm n fonction d ss composants IV. Constituants n séri Tous ls constituants sont nécssairs au bon fonctionnmnt du systèm. Pour qu l systèm fonctionn il faut qu tous ls constituants fonctionnnt. La duré d vi T du systèm st donc défini par la rlation : R(t) = Prob( T > t ) = Prob { T > t t T 2 > t t... t T n > t } = Prob { ( T >t ) ( T 2 > t )... (T n > t) } Si ls systèms sont indépndants alors : R(t) = Prob ( T >t ). Prob ( T 2 > t )..... Prob (T n > t) IV.2 Constituants n parallèls L systèm n sra défaillant qu si tous ls constituants sont défaillants. La duré d vi T du systèm st donc défini par la rlation : F(t) = Prob( T t ) = Prob { T t t T 2 t t... t T n t } = Prob { ( T t ) ( T 2 t )... (T n t) } Exrcic (corrigé) EXERCICES Taux d défaillanc (ou taux d'avari) t i nombr d'élémnts n fonctionnmnt Entr t 3 t t 4, l nombr d'avaris st N 3 N 4 = 2. L taux d'avari ntr t 3 t t 4 st N 3 N 4 2 = = N3 6 3 Entr t 4 t t 5, l nombr d'avaris st N 4 N 5 = 2. L taux d'avari ntr t 4 t t 5 st N 4 N 5 = N4 2 Taux moyn d'avaris par unité d tmps: t 4 t 3 = 5 : 33, 3% L taux d'avari étant d 33,3%, l taux moyn sra, 7% 5 t 5 t 4 = 5 : L taux moyn sra 5% =, % 5 Exrcic 2 ( BTS maintnanc) L équip maintnanc a rlvé durant un anné ls tmps d fonctionnmnt, n hurs, ntr dux réglags consécutifs d un ds machins d conditionnmnt, ds boutills t a obtnu ls tmps d bon fonctionnmnt, rangés par ordr croissant :3 ; 5 ; 9 ; 3 ; 7 ; 23 ; 3 ; 4 ; 58. ) A l aid d la méthod ds rangs moyns, complétr l tablau suivant : TBF t i F(t i ) R(t i ) Yi=lnR(t i ) 2) Détrminr l taux d avari moyn ntr 3 ièm t la 4 ièm hur. Fiabilité 7 N. Makni

8 Exrcic 3 ( BTS maintnanc) Ds piècs métalliqus d form parallélépipédiqu sont fabriqués par ds machins pour lsqulls l étud ds tmps d bon fonctionnmnt, xprimés n mois, conduit à la fonction d fiabilité R tll qu :.t R( t) = (,5t + ). ) Calculr R (t). Etablir l tablau d variation d R sur l intrvall [ ;+ [ 2) Calculr à -2 près : a) La probabilité qu un machin fonctionn plus d mois. b) La probabilité qu un machin tomb n pann au cours d la èr anné. 3) Sachant qu la MTBF st donné par la formul : MTBF Calculr à l aid d un intégration par partis = + R( t) dt = lim R( t) dt α α α + I = R( t) dt. α,α lim = En déduir la MTBF. ( On rappll qu α + α ) Exrcic 4 ( BTS maintnanc) L usin «Mécanix» st spécialisé dans la fabrication d piècs métalliqus. Ls durés d vi, n jours, d 9 piècs utilisés dans ds conditions smblabls ont donné ls résultats suivants : 53 ; 2 ; 78 ; 5 ; 347 ; 458 ; 6 ; 85 ; 5 jours. ) A l aid d la méthod ds rangs moyns, complétr l tablau suivant : TBF t i F(t i ) R(t i ) Yi=lnR(t i ) 2) a) Tracr l nuag d points M( ti ; R(ti) ) sur du papir smi-logarithmiqu. En déduir qu la variabl aléatoir msurant la duré d vi ds piècs suit un loi xponntill. Détrminr graphiqumnt la MTBF. b) En déduir ls paramètrs d ctt loi, ainsi qu l xprssion d R(t). 3) a) A l aid d la calculatric, détrminr l cofficint d corrélation ntr y t t puis un équation y = at + b ; d la droit d ajustmnt. b) En déduir l xprssion d R(t) n rmplaçant a t b par lurs valurs rspctivs arrondis à -3 près. 4) Détrminr graphiqumnt t par l calcul l instant t où la fiabilité d un pièc st 75 %. Exrcic 5 ( BTS maintnanc) Un usin fabriqu ds ngrnags. L srvic d maintnanc a rlvé lurs durés d vi n usur accéléré. Ls résultats sont consignés dans l tablau ci-dssous : Duré d vi n hurs F(t i ) n pourcntag F(t i ) st l pourcntag d ngrnags hors srvic à la dat t i. ) A l aid du papir d Wibull justifir qu la variabl aléatoir qui prnd pour valurs la duré d vi ds ngrnags put êtr ajusté par un loi d Wibull. Détrminr ls paramètr d ctt loi. 2) Calculr la MTBF t l écart typ d ctt loi d Wibull. 3) Détrminr graphiqumnt, puis par ls calculs, l tmps au bout duqul 3% ds ngrnags sont défaillants. 4) Un transmission mécaniqu comport un séri d trois ngrnags idntiqus dont ls durés d vi suivnt la loi précédnt t fonctionnnt d façons idntiqus. Qull st la probabilité qu la duré d vi d un tl systèm soit au moins d 3 hurs? Fiabilité 8 N. Makni

9 Exrcic 6 ( BTS) Sur 24 apparils obsrvés pndant un anné, on rlèv ls nombrs d jours d bon fonctionnmnt suivants : ; 44 ; 79 ; 29 ; 236 ;262 ; 287 ; 3 ; 334 ; 357. Ls autrs apparils continuant à fonctionnr normalmnt à l issu d ctt anné : ) En utilisant la méthod ds rangs moyns, complétr l tablau suivant : TBF t i F(t i ) 2) Détrminr à l aid du papir d Wibull ls paramètrs d la loi d Wibull ajustant ctt distribution. 3) Calculr la duré moynn ds tmps d bon fonctionnmnt pour un défaillanc admis d 8%. 4) Détrminr graphiqumnt t par ls calculs la probabilité qu un apparil fonctionn plus d 3 jours sans défaillanc. Exrcic 7 ( BTS) On a rlvé durant un périod d 5 hurs la duré d vi d 9 élémnts idntiqus t on a l tablau suivant : Duré d vi [;] ],2] ]2,3] ]3,4] ]4,5] Nombr d élémnts défaillant Ls autrs élémnts continuant à fonctionnr au bout d cs 5 hurs. ) A l aid d la méthod ds rangs moyns, complétr l tablau suivant : TBF t i F(t i ) R(t i ) Yi=lnR(t i ) 2) a) Tracr l nuag d points M( ti ; R(ti) ) sur du papir smi-logarithmiqu. En déduir qu la variabl aléatoir msurant la duré d vi ds élémnts suit un loi xponntill. Détrminr graphiqumnt la MTBF. b) En déduir ls paramètr d ctt loi, ainsi qu l xprssion d R(t). 3)a) A l aid d la calculatric, détrminr l cofficint d corrélation ntr y t t puis un équation y = at + b ; d la droit d ajustmnt. b) En déduir l xprssion d R(t) n rmplaçant a par sa valur arrondi à -4 près t n rmplaçant b par sa valur approché à, près par xcès. 4) Détrminr graphiqumnt t par l calcul l instant t où la fiabilité d un pièc st 5 %. Fiabilité 9 N. Makni

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