Une base complète dans l espace de Hilbert H(a, b) est une base hilbertienne.

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1 COURS Bases hilbertiennes. Polynômes orthogonaux Exemples des bases hilbertiennes Rappelons que dans le cours 14 nous avons défini l espace de Hilbert comme un espace de fonctions L 2 (a, b), possédant un produit scalaire (f g), pour f(x), g(x) L 2 (a, b), et une norme f = (f f). Nous le noterons dans la suite H(a, b). Dans le cours 15 nous avons considéré des bases dans L 2 (a, b), donc effectivement dans H(a, b), et nous avons donné la définition d une base complete, comme la base pour laquelle la série de Fourier de toute fonction f(x) H(a, b) est égale à la fonction elle-même. Ensuite, par Définition: Une base complète dans l espace de Hilbert H(a, b) est une base hilbertienne. Toujours dans le cours précédent nous avons vu deux exemples des bases hilbertiennes, pour l espace H(0, 1): {ψ 0 (x) = 1, ψ n (x) = 2 cos 2πnx, χ n (x) = 2 sin 2πnx n = 1, 2, 3,...} (1) {ϕ n (x) = e ipnx, p n = 2πn, n = 0, ±1, ±2,...} (2) Deux autres exemples des base hilbertienne pour H(0, 1) sont donnés par des suites: { 2 sin πnx, n = 1, 2, 3,...} (3) {1, 2 cos πnx, n = 1, 2, 3,...} (4) En effet, en peut s assurer que la base (3) par exemple est complète, pour des fonctions sur l intervalle 0 < x < 1, en observant que pour toute f(x) H(0, 1) on peut l étendre sur l intervalle ( 1, 0) d une manière impaire: 1 < x < 0, f(x) = f( x) (5) 1

2 voir Fig.1. Ensuite on peut développer f(x), défini sur l intervalle ( 1, +1), de lonqueur L = 2, dans la base: {ϕ n (x) = 1 L e ipnx, p n = 2πn L = πn, } n = 0, ±1 ± 2,... (6) qui est complète. Comme f(x) est impaire, le mode n = 0 s annule et les autres termes de la série se regroupent dans sin πnx, n = 1, 2,... Donc, comme résultat, on trouve la série pour f(x) dans la base (3). Ce développement est toujours valable si on considère maintenant f(x) pour 0 < x < 1 seulement. De la même manière, mais avec un prolongement pair de f(x), de 0 < x < 1 vers 1 < x < 0: 1 < x < 0, f(x) = f( x) (7) Fig.2, on obtient la série en 1 et cos πnx, n = 1, 2, 3,..., donc la série dans la base (4). On peut donner des exemples au contraire des suites infinies des fonctions orthonormées, qui ne forment pas des bases hilbertiennes. Exemple 1. Pour l espace H(0, 1), une suite 2 sin(2πnx), n = 1, 2, 3,... (8) ne constitue pas une base hilbertienne. Par exemple, la projection d une fonction constante sur 0 < x < 1 sera égale à zéro dans la base (8). Exemple 2. L espace H(0, 1), la suite: 1, 2 cos(2πnx), n = 1, 2, 3,... (9) On prend f(x) sin 2πx pour 0 < x < 1 et on observe que sa projection sur la base (9) est zéro. Donc il manque un vecteur qui va dans la direction de sin 2πx, dans l espace de Hilbert H(0, 1). On vérifie facilement que des contre-exemples similaires ne seront pas valables pour les bases (3) et (4), qui sont effectivement complètes. 2

3 3.2. Polynômes orthogonaux. On peut construire d autres exemples de bases hilbertienne à partir des polynômes. En général, pour rendre une base orthonormée on peut utiliser un procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt. Il s agit de la construction suivante: soit {v n } un système des vecteurs (des fonctions, des polynômes) linéairement indépendants; on défini un autre système des vecteurs {u n }, qui est orthonormé et qui engendre le même espace vectoriel V que la systeme {v n }. On procède de la manière suivante: u 1 = v 1 v 1 (10) u k+1 = u 2 = u 3 = ũ2 ũ 2, ũ 2 = v 2 P u1 (v 2 ) (11) ũ3 ũ 3, ũ 3 = v 3 P V2 (v 3 ) (12) ũk+1 ũ k+1, ũ k+1 = v k+1 P Vk (v k+1 ) (13) etc..... V k est un sous-espace engendré par {u 1, u 2,..., u k }, P Vk (v k+1 ) est la projection orthogonale de v k+1 sur V k. Dans la suite nous donnons des examples d application de cette procédure pour définir des polynômes orthogonaux classiques. Exemple 1. Polynômes de Legendre. On considère l espace H( 1, 1) avec On prend pour {v n } le système des monômes: 1 dxf(x)g(x) (14) {v n = x n, n = 0, 1, 2,...} (15) Par orthonormalisation on obtient les polynômes de Legendre: P 0 (x) = 1, P 1 (x) x, P 2 (x) 3x 2 1, etc. (16) 3

4 On peut s assurer que la forme générale de ces polynômes pourrait être présenter par l équation: Exemple 2. Polynômes de Laguerre. On considère l espace H(0, + ) avec On prend pour {v n } le système: P n (x) dn dx n (x2 1) n (17) 0 dxf(x)g(x) (18) v n = e x 2 x n, n = 0, 1, 2,... (19) Une autre façon de faire la même chose est de se dire que on change la définition du produit scalaire: 0 dxe x f(x)g(x) (20) et on considère un système de monômes: {v n = x n, n = 0, 1, 2,...} (21) Par le procédé d orthonormalisation on trouve les polynômes de Laguerre {L n (x)} : L 0 (x) = 1, L 1 (x) x 1, L 2 (x) x 2 4x + 2, etc... (22) La forme générale: L n (x) ( 1) n e x dn dx n (e x x n ) (23) Exemple 3. Polynômes d Hermite. H = H(, + ); {v n = e x2 2 x n, n = 0, 1, 2,...} (24) + On change la définition du produit scalaire: + dxf(x)g(x) (25) dxe x2 f(x)g(x) (26) 4

5 Alors, avec la procédure d orthonormalisation pour des monômes: {u n = x n, n = 0, 1, 2,...} (27) on obtient les polynômes d Hemite: H 0 (x) 1, H 1 (x) 2x, H 2 (x) 4x 2 2, etc.... (28) La forme générale: H n (x) ( 1) n e x2 dn dx n (e x2 ) (29) Exercice 1. On utilisant les produits scalaires correspondants et en faisant l intégration par parties: 1) démontrer l orthogonalité des polynômes présentés par des formes générales, éqs. (17),(23),(29) 2) calculer leurs facteurs de normalisation, toujours en utilisant l intégration par parties. Exercice 2. Plus généralement, on peut définir des polynômes orthogonaux liés au potentiel U(x). Par exemple, pour l espace H(, + ), on définit le produit scalaire par l expression: + dxe U(x) f(x)g(x) (30) et on trouve des polynômes orthogonaux correspondants. Comme exercice, on se propose à définir le système de polynômes orthogonaux pour un potentiel: U(x) = x 2 + 2x (31) En particulier, on se pose un probléme de trouver la forme explicite les trois premiers polynômes: u 0 (x), u 1 (x), u 2 (x). Exercice 3. Dans l espace H( 1, +1) un produit scalaire dx x 2 f(x)gx (32) calculer les trois premiers polynômes correspondats: u 0 (x), u 1 (x), u 2 (x). 5

6 Calculer ensuite la projection P V3 (f)(x) de la fonction f(x) = x sur un sous-espace V 3 engendré par u 0 (x), u 1 (x), u 3 (x). 6