Les transformations du plan

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1 Les transformations du plan 6. Nombres complexes et transformations du plan Equations analytiques Les translations Les homothéties Les rotations Similitudes Symétrie orthogonale par rapport à l axe des réels Image d un ensemble de points par une transformation Compléments sur les similitudes... 9 Point fixe Exercices d entrainement sur les transformations du plan Solutions des exercices d entrainement sur les transformations du plan... 0

2 6. Nombres complexes et transformations du plan On se donne une application f : z f (z) Cette application est définie sur l ensemble C des nombres complexes (ou sur une partie de C). A partir de cette application on définit une transformation F du plan complexe. Soit M le point d affixe z, il lui correspond le point F (M) d affixe f (z). y y' M F (M) O x x' Si z x + yi alors f (z) z' x' + y' i. Le point M a pour coordonnées (x, y) dans le repère d origine O. Le point M F (M) a pour coordonnées (x, y ) dans le repère d origine O. Exemples ) Si z C, f (z) z. Soit M(x ; y), alors : F (M)(x y ; xy). ) Si z C, f (z) (+i) z + +i. Soit M (a ; b), alors : F (M)(a b+ ; a+b+). ) Si z C et z 0, f (z) z. Soit M (a ; b), alors : a b F (M) ; a + b a + b Exercice 5 Soit P ( ; ), donner les coordonnées de F (P) pour les exemples précédents,,. Réponses: (, 4), (0, 5), (/5, /5).

3 6. Equations analytiques On se donne une application f : za f (z) à valeurs dans l ensemble des nombres complexes définie sur tout ou une partie de l ensemble des nombres complexes. Si z x + yi alors f (z) z' x' + y' i. Le nombre réel x dépend des choix de x et y : x' ϕ(x, y). Le nombre réel y dépend des choix de x et y : y' γ(x, y). Si on note (x, y) les coordonnées du point M d affixe z et (x, y ) les coordonnées du point M F (M) d affixe f (z) : ϕ(x, y) γ(x, y) Ces équations sont les équations analytiques de la transformation F Exemples Fonction f Equations analytiques de la transformation F x' x y f (z) z y' xy f (z) (+i) z + +i x y + x + y + x z 0,f (z) z x' x + y y y' x + y Exercice 5 Donner les équations analytiques de la transformation du plan définie par f (z) si z 0 (le conjugué de z est au dénominateur). z Réponse x x' x + y y' x y + y

4 6. Les translations Si z 0 est un nombre complexe l application f : z f (z) z + z0 définit une translation du plan dont le "vecteur translation" admet le couple (a, b) pour coordonnées avec : Re( z0) a, Im(z0) b Equations analytiques x + a y + b F (M) M F (N) N b u r O a Exercice 54 f : z f (z) z + z0 g : z g(z) z + z. Vérifier que f o g go f est la translation définie par z 0 + z.

5 64. Les homothéties Soit k un réel (on supposera k>0). Une homothétie de rapport k est définie par la fonction f qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe z ' kz : f (z) kz. kb b M M O a ka Si l affixe de M est z a + bi l affixe de F (M) est f (z) kz (ka) + (kb) i Si ( a,b) est le couple de coordonnées de M alors ( ka,kb) est le couple de coordonnées de F (M). La transformation M M est l homothétie de centre O et de rapport k. Equations analytiques kx ky Exercice 55 Si F est l homothétie de centre O est de rapport k, donner la raison pour laquelle un vecteur est transformé en un vecteur parallèle de norme multipliée par k. 4

6 65. Les rotations Soit a est un nombre complexe différent de mais de module. Soit α est un argument de a. La rotation de centre O et d angle α est définie par la fonction f qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe f (z)a z : f : z az. M θ' F(M) M' O α Si z est un nombre complexe et z ' az alors : ) z a z, comme a on a : z z. ) si θ est un argument de z, θ α+θ est un argument de z. Donc : ) OM OM' )α est une mesure de l angle ( OM,OM'). La transformation M M F (M) est une rotation de centre O et d angle α. Equations analytiques a p + qi a Re(a) p, Im(a) q, p + q px qy qx + py Rappel ( p + qi) (x + yi) px qy + (py + qx)i θ M OM OM' Exercice 56 Ecrire les équations analytiques de la rotation définie parz z' iz. Réponse x ' y y' x 5

7 66. Similitudes Soit a un nombre complexe non nul différent de de module a ; soit α l argument de a. La similitude de centre O de rapport a et d angle α est définie par la fonction f qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe f (z)a z : f : z f (z) az. M M θ' O α θ M F (M) M Le module de a n est pas Donc ) z ' a z ) Si θ est un argument de z, θ α+θ est un argument de z. OM a OM et α est une mesure de l angle ( OM,OM') La similitude définie par la fonction f : z f (z) az est la composition de la rotation de centre O d angle α avec l homothétie de centre O de rapport a M Rotation de centre O et d angle α M M Homothétie de centre O et de rapport a OM a OM Equations analytiques a p + qi px qy qx + py Exercice 57 Ecrire les équations analytiques de la similitude définie parz z' ( + i) iz. Réponse x ' x y y' x + y 6

8 67. Symétrie orthogonale par rapport à l axe des réels La symétrie orthogonale par rapport à l axe des réels est définie par la fonction f qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe: f (z) z. M M Equations analytiques x y 7

9 68. Image d un ensemble de points par une transformation Si (E) est un ensemble de points du plan complexe et si F est une transformation de ce plan, l image de (E) par F est l ensemble des points (E ) du plan complexe qui vérifient la propriété suivante :M (E ) si et seulement si on peut trouver M (E) qui vérifie M F (M) («c est l ensemble de tous les points F (M), M étant choisi dans (E)» ). Exemples classiques F est une translation. (E) (E ) : image de (E) par F. la droite (d) La droite (d ) parallèle à (d) passant par F (A) et F (B) si A et B sont des points de (d). Le cercle de centre Ω et de rayon r Le cercle de centre Ω F(Ω) et de rayon r F est une homothétie de centre O et de rapport k. (E) (E ) : image de (E) par F. la droite (d) (d) lorsque (d) passe par O, sinon la droite parallèle à (d) passant par F (A) et F (B) si A et B sont des points de (d). Le cercle de centre Ω et de rayon r Le cercle de centre F ( Ω) et de rayon k r. F est une rotation de centre O. (E) (E ) : image de (E) par F. la droite (d) la droite (d ) passant par F (A) et F (B) si A et B sont des points de (d). Le cercle de centre Ω et de rayon r Le cercle de centre F ( Ω) et de rayon r ; le même cercle de centre O et de rayon r si ΩO. F est une similitude de point fixe O et de rapport a. (E) (E ) : image de (E) par F. la droite (d) la droite (d ) passant par F (A) et F (B) si A et B sont des points de (d). Le cercle de centre Ω et de rayon r Le cercle de centre F ( Ω) et de rayon a r F est la symétrie orthogonale par rapport à une droite (δ). (E) (E ) : image de (E) par F. la droite (d) la droite (d ) passant par F (A) et F (B) si A et B sont des points de (d). Le cercle de centre Ω et de rayon r Le cercle de centre F ( Ω) et de rayon k r ; si le diamètre du cercle est contenu dans la droite (δ) : on obtient le même cercle de centre Ω et de rayon r. 8

10 69. Compléments sur les similitudes Une similitude F est définie par l application f : z z a z + b avec la condition : a est un nombre complexe tel que a 0 et a et b est un nombre complexe quelconque. Si a nous sommes en présence d une translation, si a 0 nous sommes en présence d une transformation constante (qui transforme chaque point en un point unique d affixe b). Point fixe Soit F la transformation du plan complexe définie par l application f, un point Ω est fixe pour cette transformation lorsque son affixe z 0 vérifie : z 0 f (z0) az0 + b. b Comme a, on obtient : z 0 a F admet un et un seul point fixe (on dit aussi «invariant par F»). En regroupant z ' az + b et z0 az0 + b on obtient par différence : z' az + b z0 az0 + b z' z0 a(z z0 ) Soit M F (M), z étant l affixe de M et z l affixe de M. Dans le plan muni du repère orthonormé (O, i, j), on considère le nouveau r r repère ( Ω, i, j). Dans ce nouveau repère l affixe de M est Z' z' z0 L affixe de M est Z z z0 avec Z ' az. La transformation F est la similitude de centre Ω de rapport a et d angle α (un argument de a). r r 9

11 70. Exercices d entrainement sur les transformations du plan Voici quelques exercices à faire pour vous entraîner seul, les réponses sont données dans les pages suivantes. Exercice 58 Soit F une transformation du plan complexe. Si M(x ; y) est un point du plan complexe le point F (M) est désigné par M (x ; y ). Exprimer x et y en fonction de x et y lorsque F est définie par f : z z f (z) dans chacun des cas suivants : z z ; z z++i; z z ; z (+i) z++i Exercice 59 On pose z 0 0, z ( + i), z +i. Les points O, M et M ont pour affixes respectives z 0, z et z. Le point I a pour affixe i. Montrer que pour k {0,, } : z k i. En déduire que les points O, M et M appartiennent à un cercle (C) dont on donnera le centre et le rayon. On considère la transformation géométrique F qui à tout point d affixe z, associe le point M d affixe z tel que z i z + + i. Déterminer le transformé J du point I par F. Montrer qu il existe un point A invariant par F, c est à dire tel que F (A)A. On pose Zz et Z z. Montrer que F peut être caractérisée par l égalité:z i Z. En déduire la nature de la transformation géométrique définie par F. Déterminer les coordonnées x et y du point M en fonction des coordonnées x et y du point M. 0

12 Exercice 60 On pose a + i. 4 4 Déterminer la nature de la transformation S qui associe à tout point M d affixe z le point M d affixe z a z. Soit A 0 le point d affixe, préciser les coordonnées de A 0 et de A S (A 0 ). Calculer les distances A 0 A et OA. Pour k,... n- on pose: A k+ S (A k), d k A k+ A k. 0 et n. Soit : Dn Vérifier que z k+ -z k a (z k z k ) et d k d k, en déduire d n en fonction de d k n dk, exprimer Dn en fonction de n. k 0 Calculer la limite de D n lorsque n tend vers l infini. Exercice 60 On considère la transformation S du plan complexe définie par z i z ++i. Trouver les coordonnées du point Ω invariant par S. Quelle est la nature de la transformation géométrique S? Donner les coordonées de S(O). Exprimer les coordonnées de S(M) en fonction des coordonnées de M. Résoudre l équation S(M)O(trouver les coordonnées de M telles que S(M)O,O étant l origine du repère).

13 7. Solutions des exercices d entrainement sur les transformations du plan Exercice 58 Soit F une transformation du plan complexe. Si M(x ; y) est un point du plan complexe le point F (M) est désigné par M (x ; y ). Exprimer x et y en fonction de x et y lorsque F est définie par f : z z f (z) dans chacun des cas suivants : z z ; z z++i; z z ; z (+i) z++i Solution z' z z x + yi, z x yi, x. y' y z' z + + i, x + y' y +. z' z (x + yi) x' y' x x y (x xy y y + xyi)(x + yi) x y x xy + (x y )y + x y i z' ( + i)z + + i, x y + x + y + x' + y'i ( + i)(x + yi) + + i

14 Exercice 59 On pose z 0 0, z ( + i), z +i. Les points O, M et M ont pour affixes respectives z 0, z et z. Le point I a pour affixe i. ) Montrer que pour k {0,, } : z k i. ) En déduire que les points O, M et M appartiennent à un cercle (C) dont on donnera le centre et le rayon. ) On considère la transformation géométrique F qui à tout point d affixe z, associe le point M d affixe z tel que z i z + + i. Déterminer le transformé J du point I par F. Montrer qu il existe un point A invariant par F, c est à dire tel que F (A)A. On pose Z z et Z z. Montrer que F peut être caractérisée par l égalité:z i Z. En déduire la nature de la transformation géométrique définie par F. 4) Déterminer les coordonnées x et y du point M en fonction des coordonnées x et y du point M. Solution ) z0 i i, z i ( + i) i ( i), z i + i i Rappel Si z est l affixe du point M z 0 l affixe du point M 0 avec z z0 r alors M est situé sur le cercle de centre M 0 et de rayon r. ) O, M, M sont situés sur le cercle de centre I (0,) et de rayon I J A 0

15 ) Détermination du transformé J du point I par F En remplaçant z par i dans l expression z ' iz + + ion obtient +i : les coordonnées de J sont (,). On peut aussi écrire les équations analytiques de F (si nécessaire) et remplacer x par 0 et y par : x' + y'i i(x + yi) + + i y + + ( x + )i y + y' x +. Lorsque x 0 et y : x', y'. Le point J a pour coordonnées (,). Existence du point invariant A Si z est l affixe du point invariant A, on doit avoir : + i z iz + + i. Donc: z. Les coordonnées du point A sont (,0). + i F peut être caractérisée par Z' iz Si Z z et Z' z' alors: Z' iz + + i i(z ) iz. π Donc : la transformation définie par F est la rotation de centre A est d angle. 4) Expression des coordonnées x, y du point M en fonction des coordonnées x, y du point M :le travail a déjà été effectué. y + x + I J O A 4

16 Exercice 60 On pose a + i. 4 4 ) Déterminer la nature de la transformation S qui associe à tout point M d affixe z le point M d affixe z a z. ) Soit A 0 le point d affixe, préciser les coordonnées de A 0 et de A S (A 0 ). ) Calculer les distances A 0 A et OA. 4) Pour k,... n- on pose: A k+ S (A k), d k A k+ A k. 0 et n. Soit : Dn Vérifier que z k+ z k a (z k z k ) et d k d k, en déduire d n en fonction de d k n dk, exprimer Dn en fonction de n. k 0 5) Calculer la limite de D n lorsque n tend vers l infini. Solution ) Nature de la transformation S La transformation S qui associe à tout point M d affixe z le point M d affixe z a z est la similitude de centre O de rapport a et d angle α où α est un argument de a. a 4 9 +, cos( α) 4, sin( α) 4 donc: α π. 6 S est la similitude de centre O de rapport π et d angle. 6 5

17 A π/6 O A0 ) Coordonnées de A0 et de A Les coordonnées de A 0 sont (,0), les coordonnées de A sont,. 4 4 Pour obtenir les coordonnées de A on a remplacé z par dans l expression z' + i z

18 ) Calcul de A 0 A A0A OA z0 z a OA0 4 + i 4. puisque OA0. Remarque Le triangle OA A 0 est rectangle en A d après le théorème de Pythagore 4) zk+ zk azk azk a(zk zk ) Ak+ Ak zk+ zk en remplaçant: dk a(zk zk ) dk. a.zk zk a AkAk AkAk 5) Expression de Dn en fonction de n La suite de terme général dk est géométrique de raison. d0 AA0. Donc : k n D n d k k 0 comme n limn 0 : lim n D n n d 0 n. n 7

19 Exercice 6 On considère la transformation S du plan complexe définie par z i z ++i. ) Trouver les coordonnées du point Ω invariant par S. ) Quelle est la nature de la transformation géométrique S? ) Donner les coordonées de S(O). 4) Exprimer les coordonnées de S(M) en fonction des coordonnées de M. 5) Résoudre l équation S(M)O(trouver les coordonnées de M telles que S(M)O,O étant l origine du repère). Solution ) Coordonnées du point Ω invariant par S L affixe du point Ω est la solution de l équation z iz + + i. + i ( + i) z i i ( + i) + i Relations remarquables : i i i Les coordonnées du point Ω d affixe i sont:(0,). ) Nature de la transformation géométrique S π S est la similitude de centre Ω,de rapport i et d ange. π Comme i, S est la rotation de centre Ω et d angle. ) Coordonnées de S(O) les coordonnées de S(O) sont (,). 4) Coordonnées de S(M) en fonction des coordonnées de M Soit z l affixe du point S(M), si z est l affixe de M. Si (x, y ) sont les coordonnées de M et (x, y) celles de M : z ' x' + y'i, z x + yi,x' + y'i i(x + yi) + + i. y + x + 5) Résolution de l équation S(M)O Si z est l affixe de M alors z est la solution de l équation i z ++i0. + i z + i. Le couple de coordonnées du point M est (,). i 8