Suites négligeables et équivalentes

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1 Suites négligeables et équivalentes I Suite négligeable devant une autre 1.1 Définition Définition 1.1 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. On dit que la suite ( ) est négligeable devant la suite (v n ) si et seulement si il existe une suite (ε n ) et un rang N tels que : 1. ε n n 0 2. n N, = ε n v n On note alors : = (v n ) Attention : à la notation = (v n ) ( dite notation de Landau) car ce n est pas une vraie égalité! Elle signifie juste que ( ) appartient à l ensemble des suites négligeables devant (v n ). Ainsi si = (v n ) et w n = (v n ) alors, en général, n N, w n... Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d une propriété plus pratique pour prouver qu une suite est négligeable devant une autre : Propriété 1.2 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. si (v n ) ne s annule pas à partir d un certain rang alors : = (v n ) lim n v n = 0 Remarques : si une suite ( ) est négligeable devant la suite nulle, alors la suite ( ) est la suite nulle : = (0) n N, = 0 étant donné trois suites ( ), (v n ) et (w n ), alors on définit la somme v n + (w n ) par : = v n + (w n ) v n = (w n ) 1.2 lien avec les limites Théoreme 1.3 Soient ( ) une suite réelle et k un réel. Alors : en particulier lim = k = k + (1) n lim = 0 = (1) n 2013/ l. garcia

2 II opérations sur les petits o 2.1 le petit o d un petit o est un petit o Propriété 2.1 : La relation est transitive, ce qui signifie que, si ( ), (v n ) et (w n ) sont trois suites réelles, alors : ( = o(v n ) et v n = o(w n ) ) = o(w n ) 2.2 les petits o absorbent les constantes multiplicatives Propriété 2.2 : Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles, alors : λ R, = o(v n ) λ = o(v n ), λ R, λ.o(v n ) = o(λv n ) = o(v n ), 2.3 avec l addition et la multiplication tout va bien Propriété 2.3 : Soient ( ), (v n ), (u n) et (v n) quatre suites réelles. Alors 1. Avec l addition tout va bien : 2. Avec la multiplication tout va bien (1) : 3. Avec la multiplication tout va bien (2) : = o(v n )) u n = o(v n ) + u n = o(v n ) = o(v n )) u n = o(v n u n) = o(v n )) u n = o(v n) u n = o(v n v n) 2013/ l. garcia

3 III petits o usuels Propriété 3.1 : Soient α, β et a trois réel strictement positifs. Alors : et si α < β alors : 1. (ln n) β = o(n α ) 2. a > 1 n α = o(a n ) 3. a n = o(n!) 4. n! = o(n n ) 5. n α = o(n β ) 6. (ln n) α = o ( (ln n) β) preuve : partielle, en cours IV suites équivalentes 4.1 Définition Définition 4.1 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. On dit que la suite ( ) est équivalente à la suite (v n ) si et seulement si il existe une suite (ϕ n ) et un rang N tels que : 1. ϕ n 1 n 2. n N, = ϕ n v n On note alors : v n Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d une propriété plus pratique pour prouver que deux suites sont équivalentes : Propriété 4.2 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. si (v n ) ne s annule pas à partir d un certain rang alors : v n lim n v n = signe de deux suites équivalentes Définition 4.3 Soient ( ) et (v n ) deux suites équivalentes. Alors : 1. ( ) et (v n ) sont de même signe à partir d un certain rang. 2. si ( ) est non nulle à partir d un certain rang alors (v n ) est aussi non nulle à partir d un certain rang. 2013/ l. garcia

4 4.2 limite de deux suites équivalentes Définition 4.4 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. Alors : 1. Si v n et si v n l R alors n l n 2. si n l R avec l 0 alors l Attention : dans la deuxième propriété il faut absolument avoir l 0 si ( ) (0) alors la suite ( ) est nulle à partir d un certain rang. Définition 4.5 Soient ( ) et (v n ) deux suites équivalentes. Alors : 1. Les deux suites sont de même nature : elles convergent ou divergent toutes les deux 2. si n l R alors v n n l R 4.3 lien avec les petits o Définition 4.6 Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles. Alors : v n = v n + o(v n ) Propri té 4.7 Soient ( ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles. Si v n et v n = o(w n ) Alors = o(w n ) 4.4 relation d équivalence Définition 4.8 l équivalence entre les suites est une relation d équivalence, ce qui signifie qu elle est : réflexive : symétrique : transitive : v n v n ( v n et v n w n ) w n 2013/ l. garcia

5 V opérations sur les équivalents 5.1 avec la multiplication, la division et les puissances tout va bien Propriété 5.1 : Soient ( ), (v n ), (u n) et (v n) quatre suites réelles. Alors 1. Avec la multiplication tout va bien (1) : 2. Avec la multiplication tout va bien (2) : 3. Avec la division tout va bien : u n 4. Avec les puissances tout va bien : v n ( k R, k kv n ) u n v n v n u n v n v n v n v n et v n 0 à partir d un certain rang u n v n v n en particulier v n et > 0 à partir d un certain rang ( α R +, u α n vn α ) v n et > 0 à partir d un certain rang vn Attention : l équivalence entre deux suites n est pas, en général, compatible avec l addition 5.2 avec la composition à droite tout va bien Propriété 5.2 : Soient ( ) et (v n ) deux suites réelles, et soit ϕ une fonction de N dans N. Si : v n lim ϕ(n) = n Alors u ϕ(n) v ϕ(n) Attention : l équivalence entre deux suites n est pas, en général, compatible avec la composition à gauche : Si v n et si f une fonction de R dans R alors f( ) et f(v n ) ne sont pas équivalentes 2013/ l. garcia

6 VI équivalents usuels 6.1 polynômes Propriété 6.1 : Soit P une fonction polynôme à coefficients réels : { R R p : x a p x p + a p 1 x p a 1 x + a 0 Alors la suite (P (n)) est équivalente à celle du terme de plus haut degré (a p n p ) a p n p + a p 1 n p a 1 n + a 0 a p n p 6.2 la formule de Stirling Propriété 6.2 : ( n ) n n! 2πn e preuve : admis 6.3 équivalents usuels Propriété 6.3 : Soit ( ) une suite telle que lim = 0, alors : n 1. e un 1 2. ln(1 + ) 1 3. α R, (1 + ) α 1 α preuve : dans le cours sur les développements limités remarque : on déduit de la formule 3. : en prenant α = 1, en prenant α = 1 2, / l. garcia