1 Dérivée des fonctions d une variable

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1 Dérivée des fonctions d une variable La notion de dérivée d une fonction d une variable est essentielle pour le cours puisque nous allons la généraliser aux fonctions de plusieurs variables. L objectif de ce texte est de rappeler quelques définitions et propriétés. Définition : Si f(x) est une fonction «régulière», alors la dérivée f (x) aussi notée df (x) est définie par : f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h C est de taux de variation instantané de la fonction f au point x. C est aussi la pente de la droite tangente à la courbe. Si on prend f(x) = x, alors : f(x + h) f(x) lim h 0 h = lim h 0 (x + h) x h = lim h 0 x + hx + h x h = lim h 0 (x + h) = x On retrouve ainsi le résultat bien connu que (x ) = x. On peut démontrer la plupart des propriétés des dérivées en utilisant la définition. Nous nous contenterons de rappeler ces résultats. Dans ce qui suit, c, c et c désigneront des constantes tandis que f(x) et g(x) seront des fonctions.. Propriétés. (c) = 0. (x n ) = nx n (n 0) 3. (sin x) = cos x 4. (cos x) = sin x 5. (e x ) = e x 6. (a x ) = a x ln a 7. (ln x) = x 8. (log a x) = log a e x 9. (arcsin x) = x 0. (arccos x) = x

2 . (arctan x) = + x. (cf(x)) = cf (x) 3. (c f(x) + c g(x)) = c f (x) + c g (x) 4. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f(x) 5. = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) f(x) = 4x 3 cos x. On utilise les règles et 4 pour obtenir : (4x 3 cos x) = 4(x 3 cos x) = 4 ( 3x cos x + x 3 ( sin x) ) = x cos x 4x 3 sin x La règle de dérivation en chaîne est extrêmement importante. On dit qu une fonction est composée lorsque l on a graphiquement la situation suivante : x u(x) f(u(x)) La règle de dérivation en chaîne s écrit de la manière suivante : (f(u(x))) = f (u(x))u (x) ou encore d(f(u(x))) f(x) = sin x. On a la composition : x x = u sin u = f(u) et donc : df = df du = (cos u)x = x cos x du f(x) = e ex. On a : et donc : Exercices : Dériver les fonctions suivantes : x e x = u e u = f(u) df = df du du = eu e x = e ex e x = df du du. f(x) = 8 ln 3x Rép. : f (x) = 8/x. f(x) = 5 tan x Rép. : f (x) = 5 sec (x) 3. f(x) = x sin(3x 3 ) Rép. :f (x) = x sin(3x 3 ) + 9x 4 cos(3x 3 ) 4. f(x) = 3e sin x Rép. : f (x) = 3 cos x e sin x 5. f(x) = e3x Rép. : f (x) = e ( ) 3x 3 sin(x ) x cos(x ) sin(x ) sin (x ) ()

3 Intégration des fonctions d une variable L intégration jouera aussi un rôle essentiel dans la résolution des équations différentielles. Je rappelle ici quelques rudiments de base de l intégration à l usage de ceux et celles qui ont oublié... Définition : L intégration est en quelque sorte l opération inverse de la dérivée. On dit en effet que F (x) est une primitive de f(x) si F (x) = f(x) et on écrit : F (x) = f(x) + C où C est une constante arbitraire. Inversement, on a : f (x) = f(x) + C. Propriétés Dans ce qui suit, c, c et c désigneront des constantes tandis que f(x) et g(x) seront des fonctions. De plus, on notera c i la constante d intégration.. c = cx + c i. x n = xn+ n + + c i (n ) 3. sin x = cos x + c i 4. cos x = sin x + c i 5. e x = e x + c i 6. a x = ax ln a + c i 7. x = ln x + c i 8. (cf(x)) = c f(x) 9. (c f(x) + c g(x)) = c f(x) + c g(x) L intégrale définie b a f(x) peut être évaluée à l aide d une primitive F (x) de f(x) par la relation : b f(x) = F (b) F (a) a L intégrale définie représente l aire sous la courbe f(x) dans l intervalle [a, b] 3

4 . Changement de variable Dans certaines situations, un simple changement de variable permet de ramener une intégrale complexe en une forme élémentaire. C est le cas lorsque l on doit évaluer une expression de la forme : f(u(x))u (x) Puisque du = u (x), on peut éliminer la variable x pour obtenir : f(u(x))u (x) = f(u) du sin 3x On pose u(x) = 3x de sorte que du = 3 ( = du/3). On a alors : sin 3x = sin u du 3 = 3 ( cos u) + c i = 3 cos 3x + c i sin x cos x On pose u(x) = sin x de sorte que du = cos x. On a alors : sin x cos x = u du = u + c i = sin x + c i Exercices : Intégrer les fonctions suivantes en effectuant le changement de variable approprié..3 Intégration par parties. f(x) = e 3x Rép. : e 3x /3 + C. f(x) = xe x Rép. : e x / + C 3. f(x) = x Rép. : ln a x + C a x De la règle de la dérivée d un produit, on a : (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) 4

5 En intégrant de chaque côté : (u(x)v(x)) = ou encore : qui l on écrit : u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v (x) = u(x)v(x) v(x)u (x) La forme la plus connue et la plus compacte est : u(x)dv = u(x)v(x) x cos x v(x)du () On pose u(x) = x de sorte que du = et cos x = dv de sorte que v = sin x. On a alors : x cos x = x sin x sin x + c i = x sin x + cos x + c i Exercices : Intégrer les fonctions suivantes par parties.. f(x) = xe x Rép. : xe x e x + C. f(x) = x n ln x(n ) Rép. : xn+ ln x xn+ + C n+ (n+).4 Les fractions partielles On a recours aux fractions partielles quand l intégrand est un quotient de polynômes : où on supposera que m < n. Par exemple : p m (x) q n (x) = a 0 + a x + a x + + a m x m b 0 + b x + b x + + b n x n (x )(x + 3) ou x + 3 (x + )(x ) Il existe plusieurs cas mais nous limiterons aux plus simples. L idée est de factoriser d abord le dénominateur q n (x) en un produit de polynômes de degré ou irréductibles (pas de racines réelles) de degré. Par exemple : (x )(x 3) ou (x + )(x ) ou (x + )(x 3) 3 Il suffit ensuite de décomposer en fractions partielles. Les règles sont les suivantes : 5

6 . Pour chaque facteur de la forme (x a) k apparaissant au dénominateur, on aura une expression de la forme : A (x a) + A (x a) + + A k (x a) k. Pour chaque facteur quadratique (irréductible) de la forme (x + bx + c) k apparaissant au dénominateur, on ajoutera : : On veut calculer : x x 3 = A + B x (x + bx + c) + A + B x (x + bx + c) + + A k + B k x (x + bx + c) k (x 3)(x + ) = A (x 3) + A (x + ) Il reste à trouver les valeurs de A et A en mettant sur un dénominateur commun : (x 3)(x + ) = A (x 3) + A (x + ) = A (x + ) + A (x 3) (x 3)(x + ) = (A + A )x + (A 3A ) (x 3)(x + ) ce qui entraîne que A + A = 0 et A 3A = et donc que A = /4 et A = /4. On a donc : x x 3 = 4 x 3 4 x + = 4 (ln (x 3) ln x + ) + c i On veut calculer : x (x + 4)(x ) = d où : A (x ) + A + B x (x + 4) = A (x + 4) + (A + B x)(x ) (x + 4)(x ) x (x + 4)(x ) = (A + B )x + (A B )x + (4A A ) (x + 4)(x ) En égalisant terme à terme on trouve : A + B = 0, A B = et 4A A = 0 et en résolvant, on a : A = /5, A = 4/5 et B = /5. x (x + 4)(x ) = 5 (x ) + 4 x 5 (x + 4) = 5 ln x (x + 4) x (x + 4)

7 La dernière intégrale à droite se calcule par un simple changement de variable. On consultera la table d intégration qui suit pour celle qui reste. Exercices : Intégrer les fonctions suivantes par fractions partielles.. f(x) = x 6x+3 Rép. : ln x C (x ) 3 x (x ). f(x) = 3x3 x Rép. : 3 (x +) x + ln(x + ) + C 7

8 .5 Table d intégration. ln x = x ln x x + c i. x ln x = x x ln x 4 + c i x 3. ax + b = x a b a ln ax + b + c i 4. sin x = x 4 sin x + c i 5. cos x = x + 4 sin x + c i cos ax x sin ax 6. x cos ax = + + c a i a sin ax x cos ax 7. x sin ax = + c a i a ( 8. xe ax = eax x ) + c i a a 9. e ax cos bx = eax a + b (a cos bx + b sin bx) + c i 0. e ax sin bx = eax a + b (a sin bx b cos bx) + c i. a + x = a arctan x a + c i. a x = a ln a + x a x + c i x 3. a x = ln a x + c i 4. x ± a = ln ( a + ) x ± a + ci 5. a x = arcsin x a + c i 8