LOIS À DENSITÉ. a) Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LOIS À DENSITÉ. a) Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan."

Transcription

1 1 LOIS À DENSITÉ I. Loi de probbilité à densité Exemples : 1) Vrible létoire continue ) Un site de vente en ligne de vêtements étblit le biln des ventes pr tille. L histogrmme ci-contre résume ce biln. Du discret On désigne pr X l vrible létoire qui donne l tille souhitée pr un client connecté. X prend ses vleurs dns l ensemble {34 ; 35 ; 36 ; ; 47 ; 48} On pr exemple : P(X = 40) = 0,16 et P(X = 45) = 0,04. On encore : P(37 X 40) = 0,43. u continu On trcé l courbe d une fonction f qui s pproche de l histogrmme. Cette fonction est ppelée fonction de densité. Dns ce cs, on considère l vrible létoire Y qui donne l tille souhitée pr le client connecté. Y prend ses vleurs dns l intervlle [34 ; 48]. Y est une vrible létoire continue. L probbilité P(37 Y 40) correspond à l ire sous l courbe de l fonction f entre les droites d éqution x = 37 et x = 40.

2 2 On insi : P(37 Y 40) = 40 f (x) dx. 37 b) Une entreprise fbrique des disques durs. On définit une vrible létoire X qui, à chque disque dur, ssocie s durée de vie en heures. Cette durée n'est ps nécessirement un nombre entier et peut prendre toutes les vleurs de l'intervlle 0;+. Une telle vrible létoire est dite continue. On peut pr exemple clculer P(5000 X 000) correspondnt à l probbilité que l durée de vie d'un disque dur soit comprise entre 5000 heures et 000 heures. Pour cel, on utilise l fonction de densité f définissnt l loi de probbilité. L probbilité P(5000 X 000) est l'ire sous l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions x = 5000 et x = Ainsi : P(5000 X 000) = f (t) dt. 5000

3 3 Définition : On ppelle fonction de densité (ou densité) toute fonction f définie, continue et positive sur un intervlle I de! telle que l'intégrle de f sur I soit égle à 1. Si X est une vrible létoire continue sur ;b, l probbilité de l'événement { X ;b }, où ;b b, soit : P( X ;b ) = f (t) dt ;b est un intervlle de I, est égle à l'ire sous l courbe f sur. Remrque : Dns le cs de vribles létoires continues, on : P( X ) = P( X < ) cr P( X = ) = f (x) dx = 0. 2) Espérnce Définition : Soit X une vrible létoire continue de fonction de densité f sur un intervlle ;b. L'espérnce mthémtique de X est le réel E( X ) = t f (t) dt. b Méthode : Utiliser une loi de densité Vidéo https://youtu.be/0ry-2ylsana Vidéo https://youtu.be/oi-tbf9sp6m Une entreprise produit des dlles en plâtre suivnt une vrible létoire continue X, en tonnes, qui prend ses vleurs dns l'intervlle [0 ; ] vec une densité de probbilité f définie pr : f (x) = 0,015x 0,00075x 2 ) Démontrer que f est une densité de probbilité sur [0 ; ]. b) Clculer l probbilité de l'événement E = «L production quotidienne est supérieure ou égle à 12 tonnes.» c) Clculer l'espérnce mthémtique de X. ) - f est continue sur l'intervlle [0 ; ] comme fonction trinôme.

4 4 - f (0) = f () = 0 donc, d'près l règle des signes d'un trinôme, f (x) 0 sur [0 ; ]. - f (t) dt = 0,0075t 2 0,00025t 3 = 0, , = 1 0 b) P(E) = P(12 X ) = f (t)dt 12 = 0,0075t 2 0,00025t = 0, , , , = 0,352 c) E( X ) = t f (t) dt 0 = t f (t) dt 0 = 0,015t 2 0,00075t 3 dt 0 = 0,005t 3 0, t 4 = 0, , = 10 0 II. Loi uniforme 1) Exemple Vidéo https://youtu.be/yk4ni_iqxkk Suite à un problème de réseu, un client contcte le service près-vente de son opérteur. Un conseiller l informe qu'un technicien le contcter pour une intervention à distnce entre 14h et 15h. Schnt que ce technicien ppelle de mnière létoire sur le créneu donné, on souhite clculer l probbilité que le client ptiente entre 15 et 40 minutes.

5 5 On désigne pr T l vrible létoire continue qui donne le temps d ttente en minutes On donc : P(15 T 40) = = = L probbilité P(15 T 40) est l'ire sous l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions x = 15 et x = L fonction de densité est l fonction f définie pr f (x) =. 60 On retrouve insi : P(15 T 40) = = = ) Définition et propriété Définition : Soit et b deux réels tels que < b. L loi uniforme sur ;b, notée U ;b, est l loi ynt pour densité de probbilité ( ) 1 l fonction constnte f définie sur ;b pr : f (x) = b ( ) Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U ;b. d c Alors, pour tout nombre c et d de ;b, tel que c < d, on : P(c X d) =. b

6 6 Démonstrtion : P(c X d) = c d 1 b dt = 1 b t d c = d c b 3) Espérnce mthémtique Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U Alors : E( X ) = + b 2. Démonstrtion : b t E( X ) = b dt = 1 b 1 2 t 2 = 1 1 b 2 b = b2 2 2 b b ( ) ( )( b + ) 2( b ) = b Exemple : = + b 2 ( ). Dns l exemple précédent, T suit une loi uniforme U 0;60 ( ). ;b Ainsi : E(T ) = = Sur un grnd nombre d ppels u service, un client peut espérer ttendre 30 min. III. Loi normle centrée réduite Le célèbre mthémticien llemnd, Crl Friedrich Guss (1777 ; 1855) conçoit une loi sttistique continue, ppelée loi normle ou loi de Lplce- Guss, dont l réprtition est représentée pr l fmeuse courbe en cloche. L djectif «normle» s explique pr le fit que cette loi décrit et modélise des situtions sttistiques létoires concrètes et nturelles. Prenons pr exemple une popultion de 1000 personnes dont l tille moyenne est de 170 cm. En trçnt l histogrmme des tilles, on obtient une courbe en cloche dont l popultion se concentre essentiellement utour de l moyenne.

7 7 1) Définition et propriétés Définition : L loi normle centrée réduite, notée N(0;1), est l loi ynt pour densité de probbilité l fonction f définie sur! pr : f (x) = 1 x 2 2 2π e. L représenttion grphique de l fonction densité de l loi N(0;1) est ppelée courbe en cloche. Elle est symétrique pr rpport à l'xe des ordonnées. Contextes d'utilistion : Tille d'un individu, fréquence crdique, quotient intellectuel, Remrque : Il n'est ps possible de déterminer une forme explicite de primitives de l fonction densité de l loi normle centrée réduite. Méthode : Utiliser une clcultrice pour clculer une probbilité vec une loi normle centrée réduite Vidéos dns l Plylist : https://www.youtube.com/plylist?list=plvudmbpupcquc7534bruyjwyexj5mu0r X suit une loi normle centrée réduite N(0;1). Clculer P( X 0,4). Sur TI : Tper sur les touches "2 nde " et "VAR/Distrib" puis sisir normlfréq(-10 99,0.4,0,1) Sur Csio : Tper sur l touche "OPTN", puis dns l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis sisir NormCD(-10 99,0.4,1,0) On insi : P( X 0,4) 0,6554. Propriété : X est une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N(0;1). ( ) = 0,95. On : P 1,96 X 1,96

8 8 IV. Loi normle 1) Définition Définition : Soit un nombre réel µ et un nombre réel strictement positif σ. Dire qu'une vrible létoire continue X suit l loi normle d'espérnce µ et d'écrttype σ, notée N µ;σ 2 centrée réduite N(0;1). ( ), signifie que l vrible létoire X µ σ suit l loi normle Courbe représenttive de l fonction densité de l loi ( ) : N µ;σ 2 Remrques : Vidéo https://youtu.be/zcicmyqsl2q - L courbe représenttive de l fonction densité de l loi N µ;σ 2 ( ) est une courbe en cloche symétrique pr rpport à l droite d'éqution x = µ. - L courbe est d'utnt plus "resserrée" utour de son xe de symétrie que l'écrttype σ est petit. L'écrt-type (ou l vrince) est un crctère de dispersion utour de l'espérnce qui est un crctère de position.

9 9 Méthode : Utiliser une clcultrice ou un logiciel pour clculer une probbilité vec une loi normle Vidéo https://youtu.be/obbglytmgsy Une compgnie de trnsport possède un prc de 0 crs. On ppelle X l vrible létoire qui un cr choisi u hsrd ssocie l distnce journlière prcourue. ( ). On suppose que X suit l loi normle N 80;14 2 Quelle est l probbilité, à 10-3 près, qu'un cr prcourt entre 70 et 100 km pr jour? Avec GeoGebr : Aller dns le menu "Clculs probbilités" et sisir les prmètres dns l fenêtre qui s'ouvre. Sur TI : Tper sur les touches "2 nde " et "VAR/Distrib" puis sisir normlfréq(70,100,80,14) Sur Csio : Tper sur l touche "OPTN", puis dns l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis sisir NormCD(70,100,14,80) On insi : P 70 X 100 ( ) 0,686. L probbilité qu'un cr prcourt entre 70 et 100 km pr jour est d'environ 68,6%.

10 10 2) Intervlles à "1, 2 ou 3 sigms" Propriétés : ) P µ σ X µ + σ ( ) 0,683 ( ) 0,954 ( ) 0,997 b) P µ 2σ X µ + 2σ c) P µ 3σ X µ + 3σ Exemple : Vidéo https://youtu.be/w9-0g60l6xq ( ). Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle N 60 ; 5 2 Déterminer et b tel que P( X b) = 0,954 Alors : = 60 2x5 = 50 et b = x5 = 70. On insi : P( 50 X 70) = 0,954. Hors du cdre de l clsse, ucune reproduction, même prtielle, utres que celles prévues à l'rticle L du code de l propriété intellectuelle, ne peut être fite de ce site sns l'utoristion expresse de l'uteur.

Terminale ES. Lois de probabilité à densité

Terminale ES. Lois de probabilité à densité Terminle ES Loi à densité sur un intervlle On considère une expérience létoire et un univers ssocié muni d une proilité. I Vrile létoire continue Définition Une vrile létoire continue X est une fonction

Plus en détail

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal Cours de Terminle ES /Probbilités : Lois à densité E. Dostl février 2017 Tble des mtières 7 Probbilités : Lois à densité 2 7.1 Vrible létoires à densité................................... 2 7.1.1 Vrible

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Variables aléatoires à densité

Synthèse de cours PanaMaths Variables aléatoires à densité Synthèse de cours PnMths Vriles létoires à densité Vrile létoire à densité Vrile létoire réelle continue Soit X une vrile létoire réelle. On dit que «X est une vrile létoire réelle continue» si elle prend

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions........................................... I. Exemples de lois continues.........................................

Plus en détail

LOI NORMALE. Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan.

LOI NORMALE. Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan. 1 LOI NORMALE Le célèbre mathématicien allemand, Carl Friedrich Gauss (1777 ; 1855) conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace- Gauss, dont la répartition est représentée

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de proilité continues. Notion de loi à densité de proilité... p 4. Durée de vie sns vieillissement... p. Lois de proilité continues... p5 5. Loi exponentielle... p3 3. L loi uniforme... p7 Copyright

Plus en détail

La loi normale. Chapitre Introduction Motivation à partir de la loi binomiale Notion de variable aléatoire à densité

La loi normale. Chapitre Introduction Motivation à partir de la loi binomiale Notion de variable aléatoire à densité Chpitre 4 L loi normle 4.1 Introduction Dns le chpitre précédent, les probbilités rencontrées se rmenient à lister tous les cs possibles, leur ttribuer l même probbilité, et diviser le nombre de cs fvorbles

Plus en détail

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues Chpitre 12 : Lois de probbilité continues I. Lois de probbilité à densité Dns les situtions précédentes, on rencontré des vribles létoires dites discrètes : elles ne prennent qu un nombre fini de vleurs.

Plus en détail

LOI UNIFORME SUR [a ; b]

LOI UNIFORME SUR [a ; b] LOI UNIFORME SUR [ ; ] Eemple Dns une ville, un voygeur sit que sur une ligne d utous donnée, il psse un utous toutes les heures Ce voygeur ignore les horires et rrive à un rrêt de cette ligne Comien de

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f Chpitre 6 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction continue positive 1 Unité d'ire Le pln est muni d un repère orthogonl O;i!,! j!!" "!!! " " En posnt OI = i et OJ = j, l ire du rectngle OIKJ définit

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL I. ACTIVITES D INTRODUCTION. Ch7 : Calcul intégral-ts

CALCUL INTEGRAL I. ACTIVITES D INTRODUCTION. Ch7 : Calcul intégral-ts Ch7 : Clcul intégrl-ts CALCUL INTEGRAL I. ACTIVITES D INTRODUCTION Activité n : Trcer dns un repère orthonorml l représenttion grphique de l fonction f définie pr : f(x) = 5. Hchurer l'ire du domine pln

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l

Plus en détail

Contrôle Continu 3 Novembre 2015

Contrôle Continu 3 Novembre 2015 L2 MIASHS 20 2016 Introduction à l Modélistion Sttistique Contrôle Continu 3 Novembre 20 Durée : 1h30 Documents interdits clcultrices UPPA utorisées Chque réponse devr être justifiée et rédigée de mnière

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ

DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ A Dénombrement I Utilistion de digrmmes, de tbleux, d rbres Exemples : 1. Un centre de loisirs ccueille 100 enfnts. Deux sports sont proposés : le footbll et le tennis.

Plus en détail

Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique. Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5. Suites et séries. c 2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique. Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5. Suites et séries. c 2014 UNIVERSITY OF WATERLOO Le Centre d éduction en mthémtiques et en informtique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5 Suites et séries c 014 UNIVERSITY OF WATERLOO L pluprt des problèmes de cette trousse font ppel à des formules

Plus en détail

1. Les fonctions affines.

1. Les fonctions affines. L E S F O N C T I O N S U S U E L L E S. Les fonctions ffines.. Définition. Une fonction ffine est une fonction f définie sur R pr : f ( x) = x+ b.2 Représenttion grphique. o o Si b =, l fonction est linéire.

Plus en détail

Partie 1 - Calcul d une probabilité

Partie 1 - Calcul d une probabilité Essec mths 3 voie E 2014 1 Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3.

Plus en détail

Chapitre 8 Le calcul intégral

Chapitre 8 Le calcul intégral Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Chpitre 8 Le clcul intégrl A) Intégrle d une fonction dérivle sur un intervlle 1) Définition Soit f une fonction dérivle sur un intervlle

Plus en détail

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances Nombres complexes R.O.C. Pondichéry 22. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A Restitution orgnisée de connissnces Soit z uombre complexe. On rppelle que z est le conjugué de z et que z est le module

Plus en détail

1 Puissances d'une matrice

1 Puissances d'une matrice 1 Puissnces d'une mtrice Dénitions 1 On ppelle digonle ou digonle principle d'une mtrice les éléments i,i de l mtrice ynt un indice de ligne égl à l'indice de colonne 2 On ppelle mtrice digonle une mtrice

Plus en détail

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre Intégrles TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre Intégrles Tble des mtières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités continues

Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités continues Université de Nice-Sophi Antipolis -L2 MASS - Probbilités Correction (ou réponses rpides) de l feuille TD 5 : probbilités continues Attention, l correction peut contenir des erreurs de clcul. Ecrivez-moi

Plus en détail

Chapitre 6 - Intégration

Chapitre 6 - Intégration TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Chpitre 6 - Intégrtion I Intégrle d une fonction positive TD1 : Des clculs d ire Définition 1 Dns un repère orthogonl (O, I, J), on ppelle unité d ire l ire du rectngle

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

2 Taux de variation et dérivée

2 Taux de variation et dérivée Tu de vrition et dérivée.1 Tu de vrition et dérivée en un point Q..1 Clculer le tu de vrition moyen TVM [;] f) pour les fonctions suivntes. cm cm ) f) = 1 b) f) = c) f) = 5 d) f) = 1 e) f) = + 5 Q.. Soit

Plus en détail

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E.

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. http://mths-sciences.r LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I) Générlités ) Déinition Soit I un intervlle de, une onction est une reltion qui ssocie à tout élément x de I, un nombre réel (x) u plus. : I x

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS

GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS PROD 00 GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS de le Court Eléonore, Botton Quentin, Seml Pierre de le Court Eléonore. / Tél : 00/47.8.70 Botton Quentin.0 / Tél : 00/47.8.8 Seml Pierre

Plus en détail

C f. 1 u.a. B x 1 A' E4 E2. 1 u.a. a. OJ = et K le point tel que OIKJ. OI = i, J le point tel que

C f. 1 u.a. B x 1 A' E4 E2. 1 u.a. a. OJ = et K le point tel que OIKJ. OI = i, J le point tel que CLCULS 'IRES. INTEGRLES. PRIMITIVES ) Intégrle d'une fonction. Soit f une fonction définie sur [ ; ] et C s coure représenttive dns un repère orthogonl ( ; j ). Si I est le point tel que I i, J le point

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 Corrigé du bcclurét S Pondichéry 2 vril 2 EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f

Plus en détail

Terminale Résumé de cours de mathématiques

Terminale Résumé de cours de mathématiques Terminle Résumé de cours de mthémtiques En june, on les théorèmes dont les démonstrtions sont exigiles u BAC. 1 Algère 1.1 Les nomres complexes 1.1.1 Générlités L'ensemle des nomres complexes est noté

Plus en détail

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin 2009-2010 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) Équtions différentielles du ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équtions différentielles du premier ordre. Résoudre à l min et à l ide de l clcultrice

Plus en détail

Racines carrées 20 = 4,

Racines carrées 20 = 4, Clsse de 3ème 08/11/010 Chpitre Rcines crrées I. Activité n 1. ABCD est un crré de coté c et d ire. (1 ) Choisir des vleurs de c puis clculer. ( ) Choisir des vleurs de puis clculer c. c = 3 cm c = cm

Plus en détail

Terminale ES Lycée Georges Imbert 2015/2016. Notes de cours de Mathématiques en terminale ES O. Lader

Terminale ES Lycée Georges Imbert 2015/2016. Notes de cours de Mathématiques en terminale ES O. Lader Notes de cours de Mthémtiques en terminle ES O. Lder 1 Tble des mtières 1 Suites numériques (1S) 4 1.1 Rppels.................................................. 4 1.2 Suite rithmétique............................................

Plus en détail

Table des matières 3. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...63 A) ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION...63

Table des matières 3. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...63 A) ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION...63 Tble des mtières 1. ALGORITHMES...15 A) LES PRINCIPAUX ALGORITHMES À SAVOIR CONSTRUIRE ET MANIPULER...15 1. Comment écrire un lgorithme qui clcule un terme u n d'une suite numérique définie pr récurrence?...15

Plus en détail

1. Rappels sur la loi binomiale

1. Rappels sur la loi binomiale . Rppels sr l loi inomile On ppelle épree de Bernolli tote expérience létoire ne présentnt qe dex isses possiles (contrires l ne de l tre). On ppelle schém de Bernolli tote répétition d éprees de Bernolli

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien Lycée Pul Sbtier, Cstelnudry Clsse de T`le STG Chpitre 6 : Fonctions Logrithme Népérien D. Zncnro et C. Aupérin 008-009 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6 Tble des mtières Intégrle d une fonction. Définition.................................................. Propriétés................................................. 4 Notion de primitive d une fonction 5.

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

8. Primitives d'une fonction et intégrales

8. Primitives d'une fonction et intégrales 8. Primitives d'une fonction et intégrles I- Usge du tleu des dérivées Compléter les tleu et en précisnt le numéro des lignes utilisées. Tleu N f () f ' () -... Fonction f f () + érivée f ' f ' ()......

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

LES CONIQUES. Qu est-ce qu une conique?

LES CONIQUES. Qu est-ce qu une conique? LES CONIQUES Qu est-ce qu une conique? Une conique est une courbe plne que l on peut trcer sur un cône de révolution à deux nppes. Suivnt l position qu il occupe pr rpport à un cône, un pln qui coupe ce

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

CH 1 Analyse : Continuité et limites

CH 1 Analyse : Continuité et limites CH Anlyse : Continuité et ites 4 ème Sciences Septembre 9 A. LAATAOUI I. Rppels Notion de continuité : Grphiquement, on peut reconnître une onction continue sur un intervlle I pr le it que le trcé de l

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

Outils Mathématiques 3

Outils Mathématiques 3 Université de Rennes1 Année 2010/2011 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 4: Intégrtion curviligne résumé 1 Courbes prmétrées Définition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Calcul de limites. 3) Limite d'une somme de deux fonctions. = x. 1 lim =... =... lim x =... lim x. lim 2x = x 1. lim 2x + x = lim 3x. lim

Calcul de limites. 3) Limite d'une somme de deux fonctions. = x. 1 lim =... =... lim x =... lim x. lim 2x = x 1. lim 2x + x = lim 3x. lim Clcul de ites I) Clculs de ite en et - ) Limite en ou - des fonctions de référence : Compléter les ites suivntes ( on observer les représenttions grphiques) :........................ (voir ci-dessous )...............

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions CHAPITRE 2 Limites de fonctions Sommire Prtie A (s4) 2 Asmptotes prllèles u es......................................... 2. Approche grphique 2.2 Limite finie d une fonction à l infini 3.3 Limite infinie

Plus en détail

Définition 1 : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel d un intervalle I de.

Définition 1 : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel d un intervalle I de. 8. Lois à desité O osidère ue expériee létoire et u uivers ssoié Ω, mui d ue probbilité. 8.. Vrible létoire otiue Défiitio : Ue vrible létoire otiue X est ue fotio qui à hque issue de Ω ssoie u ombre réel

Plus en détail

Mémo de cours n 4. Intégrales

Mémo de cours n 4. Intégrales Mémo de cours n 4 Intégrles v.0 4. Primitive 4.. Définition Si l fonction f (x) est l dérivée de l fonction F(x), c est à dire que f (x) = df(x) dx, lors nous ppelons l fonction F une primitive de f. On

Plus en détail

6 Variables aléatoires réelles à densité9

6 Variables aléatoires réelles à densité9 Leçon n o 6 Vribles létoires réelles à densité9 Niveu Terminle S et BTS Prérequis probbilités, intégrles, primitives, croissnce comprée, équtions différentielles, désintégrtion rdioctive Références [6]

Plus en détail

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5 Tle des mtières Frctions 1 Propriété des quotients égux 1 Addition, soustrction de deux frctions Produit de deux frctions Comprison de deux frctions Produit en croix 10 6 Quotient de deux frctions. Inverse

Plus en détail

Terminales S. Liste «non exhaustive» des Restitutions Organisées des Connaissances:

Terminales S. Liste «non exhaustive» des Restitutions Organisées des Connaissances: Terminles S Liste «non exhustive» des Restitutions Orgnisées des Connissnces: Théorème 1 : Critère de divergence d'une suite Théorème 2 : Comprison pr rpport à une suite divergente Théorème 3 : Théorème

Plus en détail

I] Généralités. b) Tableau de données et représentation graphique

I] Généralités. b) Tableau de données et représentation graphique Chpitre 4 Fonctions I] Générlités ) Notion de fonction Définition : Une fonction numérique est un processus qui fbrique un nombre (souvent noté y) à prtir d un nombre vrible (souvent noté x). On v noter

Plus en détail

Chapitre 11 : Calcul intégral

Chapitre 11 : Calcul intégral Cpitre 11 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction positive I.1 Définition Définition ( 1. Dns un repère ortogonl O; i ; ) j, on ppelle unité d ire l ire du rectngle de côtés [OI] et [OJ]. 2. Soient f

Plus en détail

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes Chpitre I : Fonctions, expressions lgériques et prolèmes I Les ensemles de nomres : Déinition 1 : 0 ;1; 2;3;4 ;...;15;16;... est l ensemle des nomres entiers nturels.... ; -16; -15;...; -4; -3; -2; -1;

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques HAPITRE 6 Fonctions omorpiques. Fonctions omorpiques Définition. On ppelle fonction omorpique toute fonction du type f : b c où, b, c et d d sont des constntes réelles vérifint : b 0 (6.) c d Remrques.

Plus en détail

LE CALCUL ALGEBRIQUE

LE CALCUL ALGEBRIQUE I. Clculs vec des frctions : ce fcteur : ) Rppels : LE CALCUL ALGEBRIQUE b = b = b = b Exemple : 3 x = x 3 = 3x ( b ) c = ( bc ) = bc Exemple : ( 3x ) 5 = 3 ( 5x ) = 15x 1 = 1 = b) Signe moins dns une

Plus en détail

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006. Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

XI. Différentielles et intégrales définies : notions de base

XI. Différentielles et intégrales définies : notions de base . Différentielle XI. Différentielles et intégrles définies : notions de se soit f : R R y = f() et s dérivée : f '() = y ' Considérons un ccroissement de l vrile :. Définition - nottion On ppelle différentielle

Plus en détail

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires.

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires. . Equtions prmétriques X. Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. f ( ) Soient deu équtions où intervlle [, b] g( ) A chque vleur de correspondent une vleur de et une vleur de. Si l'on

Plus en détail

Exercice 2 Soit N un nombre entier qui s écrit avec 4 chiffres en base 4, et avec 6 chiffres en base 3? Trouver toutes les valeurs possibles de N.

Exercice 2 Soit N un nombre entier qui s écrit avec 4 chiffres en base 4, et avec 6 chiffres en base 3? Trouver toutes les valeurs possibles de N. Groupe seconde chnce Feuille d exercice n 7 Exercice 1 On considère Un segment [AC] de longueur 16 cm, et le point B situé sur [AC] à 6 cm de C. P est un point du cercle de dimètre [AB] tel que AP = 8

Plus en détail

Chapitre 6 : Logarithme

Chapitre 6 : Logarithme Chpitre 6 : Logrithme Introduction Pour représenter grphiquement des nombres qui vrient sur plusieurs ordres de grndeur (pr exemple de à 000), on ne peut ps utiliser l échelle hbituelle où les grdutions

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

Sujet de Bac 2011 Maths S Obligatoire & Spécialité Polynésie

Sujet de Bac 2011 Maths S Obligatoire & Spécialité Polynésie Sujet de Bc 20 Mths S Oligtoire & Spécilité Polynésie Exercice : 5 points Commun à tous les cndidts. Pour chcune des propositions suivntes, indiquer si elle est vrie ou fusse et donner une démonstrtion

Plus en détail

LOIS À DENSITÉ (Partie 2)

LOIS À DENSITÉ (Partie 2) 1 LOIS À DENSITÉ (Partie 2) Le célèbre mathématicien allemand, Carl Friedrich Gauss (1777 ; 1855) conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace- Gauss, dont la répartition

Plus en détail

QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES. Une matrice est un tableau (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A].

QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES. Une matrice est un tableau (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A]. QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES Définition Une mtrice est un tbleu (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A]. Elément d'une mtrice Pr convention, on note ij l'élément situé

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue Cours de Mthémtiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 vril 2007 Document diffusé vi le site www.cmths.net de Gilles Costntini 2 1 frederic.demoulin (chez) voil.fr 2 gilles.costntini (chez)

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

LES PUISSANCES: vers les exposants négatifs

LES PUISSANCES: vers les exposants négatifs LES PUISSANCES: vers les exposnts négtifs Puissnces de Puissnces de n définition résultt n définition résultt 6 6 6 - - - - - - - - - - -6-6 Complète l prtie supérieure du tbleu ; elle correspond ux puissnces

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako IMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MthsTICE de Adm Troré ycée Technique Bmko I Notion de ite: Activité : Soit une onction de représenttion rphique ci-dessous : b C b Nous pouvons remrquer

Plus en détail

Z - Les nombres Entiers rappels, révisions et compléments

Z - Les nombres Entiers rappels, révisions et compléments éléments de cours à découper et à coller dns le chier. Les exercices sont soit dns le document, soit dns ton livre d exercices Actimthàl infini2. Les ciseux t invitent à couper l feuille à cet endroit

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Partiel de Physique PH1 ME1D

Partiel de Physique PH1 ME1D Prtiel de Physique PH1 ME1D Durée : 3h Les clcultrices et documents ne sont ps utorisés Le brême indiqué peut être sujet à modifictions 21 Novembre 2009 Exercice 1 : Outils mthémtiques (3 points) 1 Dériver

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

Méthodes de calcul de valeurs approchées d une intégrale.

Méthodes de calcul de valeurs approchées d une intégrale. Clcul de vleurs pprochées d intégrles Méthodes de clcul de vleurs pprochées d une intégrle. 1 Les formules de qudrture de type interpoltion : Présenttion On cherche à clculer l intégrle I(f) = b µ(x)f(x)

Plus en détail

ENSEMBLES DE NOMBRES

ENSEMBLES DE NOMBRES Chpitre 01 Ensemles de nomres I- Les différents ensemles de nomres ENSEMBLES DE NOMBRES 1. Les entiers nturels Les entiers nturels sont les nomres 0 ; 1 ; ; ;... On note N l ensemle des entiers nturels,

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail