LOIS À DENSITÉ. a) Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan.

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Camille Chrétien
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1 1 LOIS À DENSITÉ I. Loi de probbilité à densité Exemples : 1) Vrible létoire continue ) Un site de vente en ligne de vêtements étblit le biln des ventes pr tille. L histogrmme ci-contre résume ce biln. Du discret On désigne pr X l vrible létoire qui donne l tille souhitée pr un client connecté. X prend ses vleurs dns l ensemble {34 ; 35 ; 36 ; ; 47 ; 48} On pr exemple : P(X = 40) = 0,16 et P(X = 45) = 0,04. On encore : P(37 X 40) = 0,43. u continu On trcé l courbe d une fonction f qui s pproche de l histogrmme. Cette fonction est ppelée fonction de densité. Dns ce cs, on considère l vrible létoire Y qui donne l tille souhitée pr le client connecté. Y prend ses vleurs dns l intervlle [34 ; 48]. Y est une vrible létoire continue. L probbilité P(37 Y 40) correspond à l ire sous l courbe de l fonction f entre les droites d éqution x = 37 et x = 40.

2 2 On insi : P(37 Y 40) = 40 f (x) dx. 37 b) Une entreprise fbrique des disques durs. On définit une vrible létoire X qui, à chque disque dur, ssocie s durée de vie en heures. Cette durée n'est ps nécessirement un nombre entier et peut prendre toutes les vleurs de l'intervlle 0;+. Une telle vrible létoire est dite continue. On peut pr exemple clculer P(5000 X 000) correspondnt à l probbilité que l durée de vie d'un disque dur soit comprise entre 5000 heures et 000 heures. Pour cel, on utilise l fonction de densité f définissnt l loi de probbilité. L probbilité P(5000 X 000) est l'ire sous l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions x = 5000 et x = Ainsi : P(5000 X 000) = f (t) dt. 5000

3 3 Définition : On ppelle fonction de densité (ou densité) toute fonction f définie, continue et positive sur un intervlle I de! telle que l'intégrle de f sur I soit égle à 1. Si X est une vrible létoire continue sur ;b, l probbilité de l'événement { X ;b }, où ;b b, soit : P( X ;b ) = f (t) dt ;b est un intervlle de I, est égle à l'ire sous l courbe f sur. Remrque : Dns le cs de vribles létoires continues, on : P( X ) = P( X < ) cr P( X = ) = f (x) dx = 0. 2) Espérnce Définition : Soit X une vrible létoire continue de fonction de densité f sur un intervlle ;b. L'espérnce mthémtique de X est le réel E( X ) = t f (t) dt. b Méthode : Utiliser une loi de densité Vidéo Vidéo Une entreprise produit des dlles en plâtre suivnt une vrible létoire continue X, en tonnes, qui prend ses vleurs dns l'intervlle [0 ; ] vec une densité de probbilité f définie pr : f (x) = 0,015x 0,00075x 2 ) Démontrer que f est une densité de probbilité sur [0 ; ]. b) Clculer l probbilité de l'événement E = «L production quotidienne est supérieure ou égle à 12 tonnes.» c) Clculer l'espérnce mthémtique de X. ) - f est continue sur l'intervlle [0 ; ] comme fonction trinôme.

4 4 - f (0) = f () = 0 donc, d'près l règle des signes d'un trinôme, f (x) 0 sur [0 ; ]. - f (t) dt = 0,0075t 2 0,00025t 3 = 0, , = 1 0 b) P(E) = P(12 X ) = f (t)dt 12 = 0,0075t 2 0,00025t = 0, , , , = 0,352 c) E( X ) = t f (t) dt 0 = t f (t) dt 0 = 0,015t 2 0,00075t 3 dt 0 = 0,005t 3 0, t 4 = 0, , = 10 0 II. Loi uniforme 1) Exemple Vidéo Suite à un problème de réseu, un client contcte le service près-vente de son opérteur. Un conseiller l informe qu'un technicien le contcter pour une intervention à distnce entre 14h et 15h. Schnt que ce technicien ppelle de mnière létoire sur le créneu donné, on souhite clculer l probbilité que le client ptiente entre 15 et 40 minutes.

5 5 On désigne pr T l vrible létoire continue qui donne le temps d ttente en minutes On donc : P(15 T 40) = = = L probbilité P(15 T 40) est l'ire sous l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions x = 15 et x = L fonction de densité est l fonction f définie pr f (x) =. 60 On retrouve insi : P(15 T 40) = = = ) Définition et propriété Définition : Soit et b deux réels tels que < b. L loi uniforme sur ;b, notée U ;b, est l loi ynt pour densité de probbilité ( ) 1 l fonction constnte f définie sur ;b pr : f (x) = b ( ) Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U ;b. d c Alors, pour tout nombre c et d de ;b, tel que c < d, on : P(c X d) =. b

6 6 Démonstrtion : P(c X d) = c d 1 b dt = 1 b t d c = d c b 3) Espérnce mthémtique Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U Alors : E( X ) = + b 2. Démonstrtion : b t E( X ) = b dt = 1 b 1 2 t 2 = 1 1 b 2 b = b2 2 2 b b ( ) ( )( b + ) 2( b ) = b Exemple : = + b 2 ( ). Dns l exemple précédent, T suit une loi uniforme U 0;60 ( ). ;b Ainsi : E(T ) = = Sur un grnd nombre d ppels u service, un client peut espérer ttendre 30 min. III. Loi normle centrée réduite Le célèbre mthémticien llemnd, Crl Friedrich Guss (1777 ; 1855) conçoit une loi sttistique continue, ppelée loi normle ou loi de Lplce- Guss, dont l réprtition est représentée pr l fmeuse courbe en cloche. L djectif «normle» s explique pr le fit que cette loi décrit et modélise des situtions sttistiques létoires concrètes et nturelles. Prenons pr exemple une popultion de 1000 personnes dont l tille moyenne est de 170 cm. En trçnt l histogrmme des tilles, on obtient une courbe en cloche dont l popultion se concentre essentiellement utour de l moyenne.

7 7 1) Définition et propriétés Définition : L loi normle centrée réduite, notée N(0;1), est l loi ynt pour densité de probbilité l fonction f définie sur! pr : f (x) = 1 x 2 2 2π e. L représenttion grphique de l fonction densité de l loi N(0;1) est ppelée courbe en cloche. Elle est symétrique pr rpport à l'xe des ordonnées. Contextes d'utilistion : Tille d'un individu, fréquence crdique, quotient intellectuel, Remrque : Il n'est ps possible de déterminer une forme explicite de primitives de l fonction densité de l loi normle centrée réduite. Méthode : Utiliser une clcultrice pour clculer une probbilité vec une loi normle centrée réduite Vidéos dns l Plylist : X suit une loi normle centrée réduite N(0;1). Clculer P( X 0,4). Sur TI : Tper sur les touches "2 nde " et "VAR/Distrib" puis sisir normlfréq(-10 99,0.4,0,1) Sur Csio : Tper sur l touche "OPTN", puis dns l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis sisir NormCD(-10 99,0.4,1,0) On insi : P( X 0,4) 0,6554. Propriété : X est une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N(0;1). ( ) = 0,95. On : P 1,96 X 1,96

8 8 IV. Loi normle 1) Définition Définition : Soit un nombre réel µ et un nombre réel strictement positif σ. Dire qu'une vrible létoire continue X suit l loi normle d'espérnce µ et d'écrttype σ, notée N µ;σ 2 centrée réduite N(0;1). ( ), signifie que l vrible létoire X µ σ suit l loi normle Courbe représenttive de l fonction densité de l loi ( ) : N µ;σ 2 Remrques : Vidéo - L courbe représenttive de l fonction densité de l loi N µ;σ 2 ( ) est une courbe en cloche symétrique pr rpport à l droite d'éqution x = µ. - L courbe est d'utnt plus "resserrée" utour de son xe de symétrie que l'écrttype σ est petit. L'écrt-type (ou l vrince) est un crctère de dispersion utour de l'espérnce qui est un crctère de position.

9 9 Méthode : Utiliser une clcultrice ou un logiciel pour clculer une probbilité vec une loi normle Vidéo Une compgnie de trnsport possède un prc de 0 crs. On ppelle X l vrible létoire qui un cr choisi u hsrd ssocie l distnce journlière prcourue. ( ). On suppose que X suit l loi normle N 80;14 2 Quelle est l probbilité, à 10-3 près, qu'un cr prcourt entre 70 et 100 km pr jour? Avec GeoGebr : Aller dns le menu "Clculs probbilités" et sisir les prmètres dns l fenêtre qui s'ouvre. Sur TI : Tper sur les touches "2 nde " et "VAR/Distrib" puis sisir normlfréq(70,100,80,14) Sur Csio : Tper sur l touche "OPTN", puis dns l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis sisir NormCD(70,100,14,80) On insi : P 70 X 100 ( ) 0,686. L probbilité qu'un cr prcourt entre 70 et 100 km pr jour est d'environ 68,6%.

10 10 2) Intervlles à "1, 2 ou 3 sigms" Propriétés : ) P µ σ X µ + σ ( ) 0,683 ( ) 0,954 ( ) 0,997 b) P µ 2σ X µ + 2σ c) P µ 3σ X µ + 3σ Exemple : Vidéo ( ). Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle N 60 ; 5 2 Déterminer et b tel que P( X b) = 0,954 Alors : = 60 2x5 = 50 et b = x5 = 70. On insi : P( 50 X 70) = 0,954. Hors du cdre de l clsse, ucune reproduction, même prtielle, utres que celles prévues à l'rticle L du code de l propriété intellectuelle, ne peut être fite de ce site sns l'utoristion expresse de l'uteur.

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