Mathématiques. préparation à la Terminale S

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1 Mathématiques préparation à la Terminale S Le programme de Terminale S est chargé et est la continuité de celui de 1 ère ère S. Les nouvelles notions sont nombreuses et le rythme de progression est rapide. Les bases de 1 ère S ne seront donc que très rapidement reprises au fil des chapitres. C est pourquoi il est impératif d être prêt le jour de la rentrée. Pour faciliter le travail personnel de révisions en fin de vacances, ce fichier contient des résultats de cours à compléter et à connaître et des exercices d application. Une semaine avant la rentrée, une correction succincte des exercices sera mise en ligne sur l ENT. Mathématiques préparation à la Terminale S page 1/15

2 Notations signifie «pour tout» : «appartient à», symbole utilisé entre un élément et un ensemble :, symbole utilisé entre deux ensembles Ensembles de nombres est l ensemble vide N est l ensemble des nombres Z est l ensemble des nombres R est l ensemble des nombres R est l ensemble des nombres R est l ensemble des nombres R est l ensemble des nombres : : QCM ( plusieurs réponses possibles ) 1 ) N 2; 2 = 2 1 ; 2 0 ; 1 ; 2 0; 2 2 ) 3 N Z 3 ) 3 N Z 4 ) Si R alors N R 5 ) Si R, alors 0 > 0 Fractions (écrire sous la forme d une seule fraction ) Pour tous réels,, et non-nuls + = = : = + = = : = 6 ) N signifie entier positif entier et 1 7 ) Si R, alors < 0 1 = 1 = 8 ) R R = R 0 9 ) N Z R = = Calculer sans calculatrice (puis vérifier à la calculatrice) = = = Puissances Pour tous réels et non-nuls. Pour tous entiers naturels et. =... =... = = = = = = = Vrai / Faux (sans calculatrice, cocher les égalités vraies) 5 = 0, = 0, = = = = 5 5 = 5 5 = 5 5 = = = = = = = = 3 3 Mathématiques préparation à la Terminale S page 2/15

3 Valeur absolue = si si Ecrire sans la valeur absolue (puis vérifier à la calculatrice) = 7 ; = 1 ; = 1 2 Compléter = 5 0,1 = 5 < 5 Formes d une expression algébrique Les identités remarquables + = = + = ne pas confondre + = = = ne pas confondre = + + = Racines carrées Pour tous et positifs = si 0, = ne pas confondre on a = on a = Donner la valeur exacte sans la racine carrée = 7 =. = 5 =. = 6 2 =. Ecrire sans la racine carrée au dénominateur puis simplifier (sans utiliser la calculatrice) = 1 2 = = = QCM pour tout réel positif 1 ) = ) = ) = Equations signifie «est équivalent à» = 0 = 0 = = Pour tout réel Si < 0 alors l équation = n admet pas de solution dans R Si = 0 alors l équation = admet une solution dans R qui est = Si > 0 alors l équation = admet deux solutions dans R qui sont = et = Résoudre dans R les équations suivantes 1 ) 52 3 = ) = 0 3 ) = 0 Factoriser numérateur et dénominateur, puis résoudre dans R l équation suivante = 0 Mathématiques préparation à la Terminale S page 3/15

4 Signe d une expression QCM ( une seule bonne réponse ) 1 ) Le produit de deux facteurs négatifs est négatif positif ça dépend des facteurs 2 ) Le produit de deux facteurs positifs est négatif positif ça dépend des facteurs 3 ) Le produit de deux facteurs de signes contraires est négatif positif ça dépend des facteurs 4 ) La somme de deux termes négatifs est négative positive ça dépend des termes 5 ) La somme de deux termes positifs est négative positive ça dépend des termes 6 ) La somme de deux termes de signes contraires est négative positive ça dépend des termes Pour tous et réels avec 0, l expression + s annule pour = + Signe de + 0 Pour tous, et réels avec 0, l expression + + est appelé trinôme (polynôme) du 2 nd degré Son discriminant = Si. alors + + n admet aucune racine et n est pas factorisable Si. alors + + admet une seule racine (double) et est factorisable = + + = Si. alors + + admet deux racines distinctes et est factorisable = = + + = Si Δ Si Δ Si Δ + Signe de Signe de Signe de Ecrire sous la forme d un quotient, puis factoriser éventuellement numérateur et/ou dénominateur, puis étudier le signe du quotient R 1, = R 2 ; 1, = Résoudre dans R l inéquation suivante Mathématiques préparation à la Terminale S page 4/15

5 Fonctions de référence Représentations graphiques La fonction carré est représentée par la courbe La fonction inverse est représentée par la courbe La fonction cube est représentée par la courbe La fonction racine carrée est représentée par la courbe Sens de variation Pour tous réels et Si 0 alors car la fonction carré est str. sur Si 0 alors car la fonction carré est str. sur Si alors car la fonction cube est str. sur Si Si Si 0 alors car la fonction racine carrée est str. sur 0 alors 0 alors Utilisation du sens de variation des fonctions de référence En procédant par étapes successives, comparer 3 4 et 3 4 Dérivation pour 4 car la fonction inverse est str. sur car la fonction inverse est str. sur 2 ) 123 et 123 pour 3 ) 63 et 63 pour 2 4 ) 2 5 et 2 5 pour 5 Si le taux d accroissement admet une limite finie quand tend vers 0 Alors la fonction est dérivable en et le nombre dérivé de la fonction en est le réel tel que lim Graphiquement, est le.. de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a La tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation : Remarque : le point de la courbe de d abscisse a pour coordonnées ( ; ) Lecture graphique Soit la fonction définie et dérivable sur 4 ;6 dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Les droites,, et sont les tangentes à aux points,, et. Par lecture graphique, donner les équations réduites des droites,, et ainsi que les valeurs de 3, 3, 0, 0, 2, 2, 4 et 4. y C f 4 3 B T 1 T 2 2 T 4 1 D -4 A x -1 C T 3 Mathématiques préparation à la Terminale S page 5/15

6 Fonctions de référence Fonction est définie sur est dérivable sur Fonction dérivée avec avec 1 Opérations Pour tous et deux fonctions dérivables sur un intervalle et un réel Si ne s annule pas sur 1 Si ne s annule pas sur Utilisation de la dérivée Soit une fonction dérivable sur un intervalle. La fonction est croissante sur pour tout réel de, on a La fonction est décroissante sur pour tout réel de, on a Pour chacune des fonctions suivantes : 1. Donner son ensemble de définition et son ensemble de dérivabilité ( ens. de déf. de la dérivée ) 2. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses 3. Déterminer et étudier son signe 4. Dresser le tableau de variations de la fonction sur son ensemble de définition Fonction inconnue Soit f une fonction définie et dérivable sur. Soit sa représentation graphique. Soit la fonction dérivée de et sa représentation graphique. passe par les points 0;4 et 1;0. passe par les points 0;3 et 1;4. Déterminer les réels,, et tels que Mathématiques préparation à la Terminale S page 6/15

7 Position relative de courbes Pour étudier la position relative des courbes et de deux fonctions et définies sur un intervalle, on calcule pour tout réel de, la différence puis on étudie son signe. est au-dessus de sur,, 0 est au-dessous de sur Etude de fonction Soit la fonction définie par 3 4 Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère donné. 1. Justifier que la fonction est définie sur. 2. Etudier la position relative de par rapport à l axe des abscisses. 3. Calculer et étudier son signe sur. 4. Dresser le tableau de variations de la fonction. 5. Donner les coordonnées des points en lesquels admet une tangente horizontale. 6. Déterminer l équation réduite de la tangente à au point d abscisse Etudier la position relative de par rapport à la droite. 8. Dans un repère orthogonal, avec en abscisses 1cm pour 1 unité et en ordonnées 10 cm pour 1 unité, tracer la droite, les tangentes horizontales à déterminées à la question 5. puis tracer l allure de la courbe. 9. Montrer que la fonction admet un minimum et un maximum sur R. Trigonométrie, cos ; sin ; cos sin ; pour cos0, tan cos2 cos cos cos sin2 sin sin sin Valeurs remarquables cos 0 cos 3 sin 0 sin 3 cos 6 cos 2 sin 6 sin 2 cos 4 sin 4 cos sin Pour tous les réels et, cos sin cos sin cos2 sin2 coscos ou avec sinsin ou avec Mathématiques préparation à la Terminale S page 7/15

8 Suites définitions La suite est croissante N, La suite est strictement décroissante N, La suite est constante N, La suite est monotone lorsqu elle est soit soit La suite n est pas monotone lorsqu elle n est ni ni Une suite est arithmétique est donné et N, = avec une constante Une suite est géométrique est donné et N, = avec une constante expression du terme général est arithmétique de 1 er terme et de raison N, = est géométrique de 1 er terme et de raison N, = Somme de termes consécutifs Si est arithmétique de 1 er terme et de raison alors N, = Si est géométrique de 1 er terme et de raison 1 alors N, = Cas généraux Pour une suite Somme de termes consécutifs = nombre de termes 1 terme + dernier terme 2 Pour une suite de raison 1 Somme de termes consécutifs = 1 1 terme 1 Cas particuliers N, = Exercice 1 avec 1, N, = Soit et les suites telles que N, = et 2 = Montrer que la suite n est pas monotone et que la suite est croissante. 2. Soit et les suites telles que : N, = + et Montrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. Montrer que la suite est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison. 3. Soit et les suites telles que : N, = et Exprimer et en fonction de. Exercice 2 Soit et les suites telles que = 1, = 2 et N, = et = Soit et les suites telles que : N, = et Montrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 2. Montrer que la suite est constante et préciser cette constante. Mathématiques préparation à la Terminale S page 8/15

9 Exercice 3 Soit la suite telle que = 10 et N, = Partie A 1. Dans un repère orthonormé d unité le centimètre, tracer les droites d équations et puis construire les termes de la suite jusqu à sur l axe des abscisses. 2. Emettre une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite. 3. Calculer à la main,, et puis vérifier à la calculatrice. Partie B Soit la suite telle que : N, = 3 1. Montrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 2. En déduire en fonction de puis en fonction de. 3. Donner le sens de variation de la suite et en déduire celui de la suite. 4. Compléter l algorithme ci-dessous afin qu il détermine le rang à partir duquel 3,0001 et utiliser le tableau de la calculatrice pour déterminer la valeur affichée par cet algorithme. Initialisation prend la valeur prend la valeur Traitement Tant que 3,0001 faire prend la valeur prend la valeur Fin tant que Sortie Afficher Partie C Soit et les suites telles que : N, = et 1. Exprimer en fonction de. 2. En déduire en fonction de. 3. Expliquer ce que l algorithme ci-dessous affiche. Entrée Lire (entier naturel) Initialisation prend la valeur 0 prend la valeur 10 Traitement Pour allant de 0 à faire prend la valeur prend la valeur Fin Pour Sortie Afficher 4. On exécute cet algorithme en saisissant 2. Utiliser la question 3. de la partie A pour compléter le tableau ci-dessous donnant l état des variables, sous forme décimale, au cours du traitement de l algorithme. 0 Mathématiques préparation à la Terminale S page 9/15

10 Quadrilatères Pour montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous les diagonales les vecteurs et sont. Pour montrer qu un parallélogramme est un rectangle, il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous les diagonales deux côtés consécutifs Pour montrer qu un parallélogramme est un losange, il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous les diagonales deux côtés consécutifs Pour montrer qu un rectangle est un carré, il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous les diagonales deux côtés consécutifs Pour montrer qu un losange est un carré, il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous les diagonales deux côtés consécutifs Vecteurs Dans un repère orthonormé, on considère les points ; et ;, les vecteurs et. Le milieu du segment a pour coordonnées. et. Soit R, La norme du vecteur, notée, est égale à la longueur La norme du vecteur est Si alors le coefficient directeur de la droite est égal à Deux vecteurs non-nuls et sont colinéaires il existe un réel non nul tel que Les points, et sont alignés les vecteurs et sont Les droites et sont parallèles les vecteurs et sont Pour tous points, et on a Cette propriété porte le nom de Equations de droite L axe des abscisses a pour équation L axe des ordonnées a pour équation Une droite parallèle à l axe des abscisses a une équation de la forme Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme est l équation d une droite non parallèle à l axe des 0 avec ; 0;0 est une équation de droite. La droite d équation 0 a pour vecteur normal Si est un vecteur normal à la droite alors a une équation de la forme 0 Soit un vecteur directeur d une droite et un vecteur normal à. et sont donc Mathématiques préparation à la Terminale S page 10/15

11 Système Résoudre par substitution Résoudre par combinaison linéaire Produit scalaire Dans un repère orthonormé, si et alors Soit et deux vecteurs non-nuls. Soit, et trois points distincts. cos ;. Si et sont colinéaires de même sens alors. Si et sont colinéaires de sens contraires alors. avec projeté orthogonal du point sur la droite 0 ; 0 triangle Avec le projeté orthogonal et les propriétés de calcul 1 ) Soit un rectangle direct de centre tel que = 8 et = 6. Calculer : 2 ) On sait que 3, 4, 5, 2, et orthogonaux. Calculer : Géométrie analytique Dans un repère orthonormé, on considère 2 ;7, 2 ;0, 9 ;4, 5 ; 11, 0 ; 7 et 9 ; Montrer que est un triangle isocèle rectangle. 2. Montrer que est un carré. 3. Soit du segment. Montrer que les points, et ne sont pas alignés. 4. Montrer que les droites et sont parallèles. 5. Montrer que est un parallélogramme. 6. Calculer les longueurs et, le produit scalaire ; en déduire cos ÆCBF, puis ÆCBF en radians. 7. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et perpendiculaire à. 8. Construire le point tel que 2 puis calculer les coordonnées de. 9. Montrer, de deux façons différentes, que est le milieu de. Equation de cercle Le cercle de centre ; et de rayon a pour équation QCM ( choisir la bonne réponse et la compléter ) L ensemble des points ; tels que 1 ) est : 3 ) 2390 est : le point ; le point ; le cercle de centre ; et de rayon le cercle de centre ; et de rayon la droite d équation réduite la droite d équation réduite 2 ) 2100 est : le point ; le cercle de centre ; et de rayon la droite d équation réduite 4 ) 3460 est : le point ; le cercle de centre ; et de rayon la droite d équation réduite Mathématiques préparation à la Terminale S page 11/15

12 Géométrie dans l espace Dans l espace, un plan est défini par trois points Compléter les règles d incidence ci-dessous Deux plans de l espace sont soit sécants Deux plans parallèles de l espace sont L intersection de deux plans sécants de l espace est Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non-coplanaires Deux droites coplanaires de l espace sont soit sécantes Deux droites parallèles de l espace sont Deux droites non parallèles de l espace sont Un plan et une droite de l espace sont soit sécants Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est soit soit L intersection d un plan et d une droite sécants est QCM ( une seule bonne réponse par question ) Soit un cube et le milieu de 1 ) Les plans et sont strictement parallèles confondus sécants 2 ) Les droites et sont parallèles sécantes non coplanaires 3 ) Les droites et sont parallèles sécantes non coplanaires 4 ) Les droites et sont parallèles sécantes non coplanaires 5 ) La droite et le plan sont strictement parallèles sécants la droite en contenue dans le plan 6 ) La droite est strictement parallèle au plan sécants au plan contenue dans le plan 7 ) La droite est strictement parallèle au plan sécants au plan contenue dans le plan 8 ) Deux droites n ayant pas de point commun sont parallèles vrai faux, contre-exemple : 9 ) Deux plans parallèles à un troisième plan sont parallèles entre eux vrai faux, contre-exemple : 10 ) Deux plans parallèles à une même droite sont parallèles entre eux vrai faux, contre-exemple : Mathématiques préparation à la Terminale S page 12/15

13 Probabilités Soit A et B deux événements. Soit A l événement contraire de A. A A B Variable aléatoire Soit une variable aléatoire prenant valeurs notées,, et. L espérance de est = = + = + + = = = La variance de est = = = L écart-type de est. Loi binomiale Une épreuve de Bernoulli de paramètre est une expérience aléatoire n ayant que. issues possibles appelées et, notées et avec On considère un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de épreuves de Bernoulli de paramètres et Soit la variable aléatoire égale au nombre de succès. On dit que suit la loi. de paramètres et, on note ~ B ; Dans l arbre d un schéma de Bernoulli à épreuves, le nombre de chemins menant à succès est appelé noté qu on lit. L espérance de est elle représente le nombre. de succès. La variance de est L écart-type de est La représentation graphique de la loi binomiale de paramètre et est un avec en abscisses allant de 0 à et en ordonnées. Exercice 1 Une urne contient 6 billes vertes et 4 billes rouges, indiscernables au toucher. On tire successivement, et avec remise, trois billes de l urne. 1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré. 2. Soit la variable aléatoire égale au nombre de billes vertes obtenues. 3. a. Utiliser la question précédente pour dresser un tableau donnant la loi de probabilité de. b. En déduire son espérance, sa variance et son écart-type. c. Donner une interprétation du résultat de. d. Représenter graphiquement la loi de dans un repère orthogonal avec en abscisses 1 cm pour 1 bille verte et en ordonnées 1 cm pour 0,08 a. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres et. b. Vérifier à la calculatrice la loi de probabilité établie à la question 2.a. c. Retrouver les résultats de la question 2.b. en utilisant les formules pour ~ B ; Mathématiques préparation à la Terminale S page 13/15

14 Exercice 2 Chez un fabricant de calculatrices, une étude a montré que 10 % des produits ont un défaut. Lors de la commande groupée, le lycée a commandé un lot de 150 calculatrices. Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes. On définit la variable aléatoire donnant le nombre de calculatrices défectueuses. 1. Justifier que suit la loi binomiale de paramètres 150 et 0, , , QCM ( choisir la (les) bonne(s) réponse(s) et compléter les pointillés en arrondissant à 10 ) 3. La probabilité qu exactement 10 calculatrices soient défectueuses est égale à 0, ,1 10 0,1 0, ,1 0, < <15 6. La probabilité qu au plus 10 calculatrices soient défectueuses dans ce lot est égale à La probabilité qu il ait plus de 10 calculatrices défectueuses dans ce lot est égale à < La probabilité qu il y ait de 11 à 18 calculatrices défectueuses dans ce lot est égale à < Exercice 3 Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres de deux catégories : des conifères et des feuillus. Le stock comporte 52,5 % de conifères. Les autres sont des feuillus. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l échantillon choisi. Arrondir les résultats à Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est la probabilité que l échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? 3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux feuillus? Mathématiques préparation à la Terminale S page 14/15

15 Intervalle de fluctuation de 2 nde On fait l hypothèse que la proportion d un caractère dans une population est. On considère un échantillon de taille. On observe que le caractère est présent dans cet échantillon avec une fréquence égale à. Lorsque et,, alors il y a environ 95% des échantillons de taille qui sont tels que la fréquence appartient à un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % où ; + Intervalle de fluctuation de 1 ère S Soit la variable aléatoire égale au nombre d individus ayant le caractère dans l échantillon de taille. On peut considérer que ~ B ;. Un intervalle de fluctuation d une fréquence au seuil de 95 % est = ; Avec le plus petit entier tel que et le plus petit entier tel que Prise de décision Si alors on rejette l hypothèse Si alors on ne rejette pas l hypothèse Exercice Un laboratoire pharmaceutique affirme que son nouveau médicament contre le mal des transports est efficace sur les trois-quarts des malades habituels. Une association indépendante collecte des données auprès de personnes habituellement malades. Sur 57 personnes, 50 n ont pas été malades à la suite de la prise du médicament. Que peut-on dire de l affirmation du laboratoire pharmaceutique? avec l intervalle de fluctuation de 2 nde = = = ; + ; résultats à 10 donc.. avec l intervalle de fluctuation de 1 ère S On choisit au hasard et de façon indépendante 57 personnes habituellement malades ayant pris le médicament. Soit la variable aléatoire égale au nombre de personnes pas malades dans cet échantillon de 57 personnes. Sous l hypothèse selon laquelle le médicament est efficace sur les trois-quarts des malades habituels, on a ~ B ; A l aide du tableau de valeurs de la calculatrice, le plus petit entier tel que est le plus petit entier tel que est donc = ; ; donc.. Mathématiques préparation à la Terminale S page 15/15

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