Chapitre 2.2 La réflexion et les miroirs plans

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1 Chapitre. La réfleion et les miroirs plans La loi e la réfleion La réfleion est le phénomène qui permet à la lumière e subir un changement e irection à la rencontre une interface principalement ans la irection perpeniculaire à la surface afin e emeurer ans le milieu origine. Une réfleion est spéculaire lorsqu elle répon à la loi e la réfleion ( ' et se comporte alors comme un miroir. Une réfleion est iffuse lorsque la lumière est réfléchie ans ifférentes irections. Un objet qui n est pas une source e lumière se comporte comme un objet réel lorsqu il réfléchi e façon iffuse la lumière provenant e son environnement. Réfleion spéculaire La sphère réfléchie la lumière ambiante comme un miroir. Réfleion iffuse La poussière éposée sur la Lune réfléchie la lumière irectionnelle provenant u Soleil ans toutes les irections. La loi e la réfleion permet évaluer l angle e réfleion ' à partir un angle incience un raon e lumière par rapport à la normale à la surface (perpeniculaire à la surface. Le trajet optique respect le principe e Fermat : où ' ' : Angle e réfleion par rapport à la normale à la surface. : Angle incient par rapport à la normale à la surface Un faisceau parallèle emeure parallèle après une réfleion sur un miroir. Preuve : Consiérons un objet ponctuel qui émet e la lumière ans toutes les irections. Étuions la trajectoire e la lumière qui réfléchie sur une surface plane et qui passe par un point P. Grâce au principe e Fermat, évaluons la trajectoire e la lumière qui minimise le temps e parcours t afin établir un lien entre l angle incience et l angle e réfleion. P Trajectoire hpothétique * Objet ponctuel Surface réfléchissante Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina

2 Puisque la lumière voage toujours ans le même milieu, elle se éplace onc à vitesse constante c. À partir es équations u MUA, nous pouvons éterminer la relation suivante entre le temps e parcours t et la istance à parcourir D, car la lumière voage en ligne roite : vt ( D ( ct t ( D D / c + P * D D À partir u théorème e Pthagore, nous pouvons évaluer la istance D à partir e et et la istance D à partir e et : P ( D +, constante D et ( D D +, constante Important : + constante, onc + 0 * Dans le calcul, les variables libres sont et. Ces variables étermineront l enroit où se prouira la réfleion le long u miroir. Appliquons la érivée à l équation u temps e parcours t précéente et égalisons la à zéro afin e trouver la solution qui minimise le temps e parcours : t 0 (Minimiser t D + D 0 c c ( D + D 0 ( + D 0 (Remplacer (Factoriser /c D (Multiplier par c ( D + D + ( D + D 0 D D t c + f f (Différentiel : ( + f, (Distribuer la érivée ( ( 0 et (Séparer les termes ( 0 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina

3 Lorsqu on recherche la position où se prouit la réfleion sur la surface, il faut faire varier par et par. Étant onné que et se partage un espace constant ( + constante, les variations e ces eu variables sont toujours e sens contraire (si, alors. On peut onc affirmer la relation suivante : + 0 Cette relation nous permet alors obtenir : ( + + ( + ( ( ( + + (Équation précéente (Remplacer (Simplifier (Pthagore : (Dérivée :,,, D + ( ( n f n f ( ( n (Dérivée : n n n f ( + + (Simplifier facteur + + (Multiplier pour retirer énomi. ( ( + + (Mettre au carré + + (Distribution (Soustraire (Appliquer racine (primer en / tan( ( ( tan ( / tan (Solution unique P * Bonne trajectoire (schéma e la bonne trajectoire Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 3 Note e cours réigée par : Simon Vézina

4 L angle e éviation Lorsqu un raon e lumière subit un changement e irection, il est alors évié e sa trajectoire rectiligne origine par un angle e éviationδ. On l obtient en effectuant la soustraction entre l orientation finale et l orientation initiale : δ φ φ où δ : Angle e éviation un raon (egré ou ra : Orientation finale un raon (egré ou ra : Orientation initiale un raon (egré ou ra ± φ 0 L orientation un raon est basée sur le cercle trigonométrique. emple : ( 0 et δ i f δ 45 δ 90 δ 35 δ 80 Situation : Une ouble réfleion. Un raon ont l orientation initiale est φ i 35 est réfléchi par un miroir horizontal, puis par un secon miroir incliné à 5 par rapport au premier (schéma ci-contre. On ésire éterminer (a l angle e éviation total par rapport au raon initial ainsi que (b l orientation finale u raon (après la secone réfleion Évaluons l angle e réfleion ' à partir e la loi e la réfleion et l orientation initiale φ i : (avec angle en valeur absolue ' ' ( φ 90 ( 35 (80 o ans triangle ' (Remplacer val. num. ' 55 (Évaluer ' φ 35 ' δ 70 φ 35 φ 35 Évaluons l angle e réfleion ' à partir e l orientation u raon après une première réfleion : (avec angle en valeur absolue ' (Loi e la réfleion ' ( 90 β (Angle roit 90 ( φ α ' 80 (80 o ans triangle ' 90 + φ + α (Simplifier ' ' + (Angle roit ( α ( 55 ' + ( 5 (Simplifier et rempl. ' ' φ δ Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 4 Note e cours réigée par : Simon Vézina ' 70 φ 35 α φ 35 β δ ' 30 5

5 Nous pouvons évaluer la éviation u raon incient en effectuant les calculs suivants : δ 80 ' δ 80 ( 55 ( 55 δ 80 ' tot δ 70 δ 80 ( ( δ δ + δ δ δ ( 70 + ( tot δ 30 (a tot φ 35 ' δ φ 35 α φ ' β δ φ f δ tot φ f φ i ( 30 φ f ( 35 φ 95 (b f δ tot 30 La position es images avec réfleion sur un miroir plan La position une image associée à la réfleion sur un miroir plan un objet (réel ou virtuel est située face à l objet e l autre côté u miroir : q p où Convention : Preuve : q : Distance entre l image et le miroir (m p : Distance entre l objet et le miroir (m p > 0 : objet réel p < 0 : objet virtuel p > 0 q < 0 objet réelle image virtuelle miroir q > 0 : image réelle q < 0 : image virtuelle Consiérons un objet situé à une istance p D un miroir. Lançons un ier raon perpeniculairement sur la surface u miroir et un ième à un angle α par rapport à l autre raon. C est eu raons toucherons le miroir séparé par une istance tel que tan ( α D objet réel α q > 0 p < 0 p D image réelle objet virtuelle miroir Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 5 Note e cours réigée par : Simon Vézina

6 n appliquant la loi e la réfleion, le ier raon est évié un angle δ 80 (revient sur ses pas et le ième sera évié un angle δ 80 α car nous avons les relations égalité suivante entre nos angles : α (angle alterne-interne ' (loi e la réfleion objet réel α ' p D Si l on prolonge u côté virtuel nos eu raons réfléchis, nous trouvons un point intersection à une istance q u miroir ont le croissement fait un angle α par rapport au ier raon. Par une analse e triangle semblable, nous pouvons émontrer que q p : tan ( β tan( ' q q (angle corresponant tan ( q (loi e la réfleion tan ( α (angle alterne-interne ' q objet réel α β (éfinition tangente D q p D q D (Simplifier q p (Remplacer p D q p (Appliquer conven. signe Une réfleion multiple et procéure itérative q D image virtuelle Cette émonstration est effectuée avec un objet réel, mais elle reste valable avec un objet virtuel. Après une réfleion sur un miroir, l image formée evient source un faisceau ivergent et joue le rôle objet pour une secone éviation. L équation précéente s applique seulement si le secon miroir se retrouve ans le champ e réfleion u premier miroir. Double réfleion Réfleion simple miroir objet réel objet réel miroir image virtuelle image virtuelle miroir image virtuelle miroir pas image virtuelle Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 6 Note e cours réigée par : Simon Vézina

7 Pour trouver l ensemble es images formées à partir un objet réel initial, il faut itérer sur l ensemble es possibilités amissibles e réfleion. Selon la configuration es miroirs, nous pouvons observer un nombre fini ou infini image. Deu miroirs plans ont l angle qui les sépare est inférieur e 60 o. (5 images Boîte avec un miroir au fon et une plaque semi-transparente à l avant. (nombre infini images Situation : Combien images? On place un objet réel entre eu miroirs qui font un angle e entre eu. On ésire représenter la situation sur un schéma en iniquant la position e toutes les images qui se forment. (On peut placer l objet n importe où entre les eu miroirs. M C A M B Les 5 images sont virtuelles D F A : objet réel; B : image e A ans le miroir M C : image e A ans le miroir M D : image e B ans le prolongement u miroir M : image e C ans le miroir M F : image e ans le prolongement u miroir M ou image e D ans le prolongement u miroir M Toutes les autres réfleions se superposent sur les images éjà eistantes (images toutes localisées. La réfleion sous forme vectorielle (complément informatique À l aie une représentation vectorielle un raon, un raon incient v à une normale à la surface N v peut être réorienté ans la irection R v par la loi e la réfleion grâce à l équation suivante : v R + ( N N et raon incient où R v : Orientation u raon réfléchi (vecteur unitaire, R v. v : Orientation u raon incient (vecteur unitaire, v. v N v point e surface où il a réfleion N v : Orientation e la normale à la surface (vecteur unitaire, N v. v : Orientation inverse u raon incient (vecteur unitaire, v. R v raon réfléchi Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 7 Note e cours réigée par : Simon Vézina

8 Preuve : Consiérons un raon incient orientation (vecteur unitaire se irigeant vers une surface ont la normale est orientée selon le vecteur N v tel qu illustré sur le schéma ci-contre. Évaluons le vecteur réfléchi R v à l aie u vecteur en respectant la loi e la réfleion étant R raon incient cos ( v N v R R v raon réfléchi R v où R représente l angle entre le raon réfléchi et la normale à la surface et représente l angle entre le raon incient inversé et la normale à la surface. point e surface où il a réfleion Puisque la réfleion nécessite inverser la composante u vecteur v orientée selon la normale N v, nous réalisons que cos ( correspon au moule e la composante e v parallèle à N v puisque. n ajoutant eu fois cette contribution ans le sens e la normale N v au vecteur v sous la forme un changement e irection R v, nous obtenons le vecteur R v : R + R R + cos( N (Remplacer R cos( N v R + cos N (Remplacer et N N N ( N v R + N cos( N (Réorganisation v R + ( N N (Remplacer N N cos ( > 0 v v v v Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 8 Note e cours réigée par : Simon Vézina