Suites arithmétiques Exercices corrigés

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1 Suites arithmétiques Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : reconnaissance d une suite arithmétique Exercice 2 : calcul d une raison et des termes d une suite arithmétique Exercice 3 : somme de termes d une suite arithmétique Exercice 4 : calcul d une somme Exercice 5 : définition de suites arithmétiques successives Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite arithmétique. 1) 3) 2) 4) Correction de l exercice 1 Rappel : Définition d une suite arithmétique Une suite est une suite arithmétique lorsqu on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison de la suite. On a :. Point méthode : Comment montrer qu une suite est arithmétique? Pour prouver qu une suite est arithmétique, plusieurs méthodes sont envisageables : montrer que, pour tout entier naturel tel que où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent. utiliser la définition en montrant qu il existe un réel tel que, pour tout entier naturel tel que montrer qu il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : où désigne la raison de la suite 1

2 1) Soit la suite définie pour tout entier par : ( ) ( ) La différence n est pas constante car elle dépend de, donc n est pas une suite arithmétique. 2) Soit la suite définie pour tout entier par : est clairement de la forme avec {. Ainsi, est une suite arithmétique, de raison et de premier terme. 3) Soit la suite définie pour tout entier par : Ainsi,. La suite n est pas une suite arithmétique. Remarque importante : On vient de montrer que pour tout entier naturel,. Par conséquent, la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme. En effet, par définition, une suite est géométrique lorsqu on passe de chaque terme au suivant en multipliant par le même nombre non nul q, appelé raison de la suite. On a autrement dit :. 4) Soit la suite définie pour tout entier par : ( ) est clairement de la forme avec { Ainsi, est une suite arithmétique, de raison et de premier terme. Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Soit une suite arithmétique de raison telle que et. Déterminer. 2

3 Correction de l exercice 2 Rappel : Terme d une suite arithmétique Soit une suite arithmétique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à partir duquel la suite est définie. Alors, pour tout entier naturel tel que, on a : Commençons par déterminer la raison de la suite. est une suite arithmétique de raison telle que et. Donc : Or, La suite est une suite arithmétique de raison. Déterminons désormais le terme. Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen Déterminer l entier naturel tel que :. Correction de l exercice 3 On donne :. Or, on reconnaît ici l écriture de la somme de termes d une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme. En effet : avec On a alors pour tout entier naturel : avec, premier terme de la suite. Autrement dit,. { 3

4 Rappel : Somme des termes d une suite arithmétique Soit une suite arithmétique. Alors la somme des termes de cette suite est donnée par la formule : Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Ainsi, Donc, pour tour entier naturel : Remarque : On pouvait également factoriser l expression par 3 et utiliser un résultat du cours : ( ) Déterminer l entier naturel tel que : revient donc à résoudre : Résolvons dans puis dans l équation. Soit le discriminant du trinôme. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Or, comme, seule peut être retenue comme solution de l équation. En conclusion, pour. Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen Calculer la somme. 4

5 Correction de l exercice 4 Calculons la somme. On sait que, pour tout entier naturel non nul, Ainsi, D autre part, Il s ensuit que : Autrement dit,. Remarque : Une autre méthode, plus longue, consistait à : écrire d abord comme la somme de termes d une suite arithmétique de raison et de premier terme avec déterminer ensuite le dernier terme de la suite tel que utiliser enfin la formule permettant de calculer la somme des termes d une suite arithmétique connaissant son premier et son dernier termes. (Remarque orthographique : «termes» prend un s car ce nom commun est associé à l adjectif ordinal «premier» d une part et à l adjectif ordinal «dernier» d autre part!) Exercice 5 (3 questions) Niveau : difficile 1) Montrer que la suite des aires définies par la figure ci-contre est une suite arithmétique et en préciser la raison, ainsi que le premier terme. 2) Déterminer. 5

6 Correction de l exercice 5 1) Tout d abord, remarquons que : est l aire du demi-disque de rayon. En effet, le diamètre du demi-disque est 2! est la différence de l aire du demi-disque de rayon et de l aire du demi-disque de rayon est la différence de l aire du demi-disque de rayon et de l aire du demi-disque de rayon est la différence de l aire du demi-disque de rayon et de l aire du demi-disque de rayon est la différence de l aire du demi-disque de rayon et de l aire du demi-disque de rayon Remarque : En géométrie, on appelle les portions de surface,,, des demi-lunules car elles sont délimitées par deux demi-cercles non concentriques de rayons différents, formant la moitié d un croissant de lune. La suite des rayons des demi-disques est par conséquent une suite arithmétique de raison terme. et de premier Ainsi, pour tout entier naturel, on a : L aire d un disque de rayon égale à : est Par ailleurs, l aire d un demi-disque de rayon est égale à : ( ) Ainsi, pour tout entier naturel, ( ) 6

7 est une suite arithmétique de raison car elle est clairement de la forme avec {. Remarque : On peut bien entendu aussi montrer que est une suite arithmétique de raison différence : en étudiant la En outre, est donc une suite arithmétique de raison et de premier terme est donc définie par : { 2) De l écriture du terme général de la suite, proposée ci-dessus, on déduit que : 7