CONTROLE CONTINU DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES L1 AES - Correction - Fréquence cumulée [ [ [ [ [ [ [1600-y[ [y-2400[ [2400-x[

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1 CONTROLE CONTINU DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES L AES - Correcton - EXERCICE (8,5 pts) Les deux partes sont ndépendantes et peuvent être tratées séparément. Une étude sur le budget consacré aux vacances d'été auprès de ménages Bretons a donné les résultats suvants. Budget [8-[ [-4[ [4-6[ [6-y[ [y-24[ [24-x[ Fréquence cumulée,8,8,34,64,73 PARTIE / Certanes données sont manquantes. Calculer la borne manquante x sachant que l'étendue de la sére est égale à 32 (,5pt). On sat que l'étendue est égale au maxmum-le mnmum. Ans : 32 = Max Mn = Max 8 et donc Max = 4 2/ Calculer la borne manquante y dans les deux cas suvants : a- Le budget moyen est égal à 995 euros (,5 pts). S le budget moyen est égal à 995 euros : x = 995 = n x = N f x Il faut donc au préalable calculer les fréquences à partr des fréquences cumulées dans le tableau précédent.

2 Budget Fréquence cumulée Fréquences [8-[,8,8 [-4[,,8 [4-6[,6,34 [6-y[,3,64 [y-24[,9,73 [24-x[,27 Ans : x = 995 = f x =, 8 9 +, 2 +, 6 5 +, 3 ( 6+y 2 = 644 +, 95y et on trouve : y = 8 b- Le budget médan est égal à 92 euros (,5 pts). ) ( +, 9 y+24 ) 2 +, Il faut rasonner par nterpolaton lnéare sur l'ntervalle [6-y[. dstances suvant : et on trouve : y = y 6 =, 5, 34, 64, 34 On pose le rapport des PARTIE 2 Consdérons mantenant que la borne manquante y est égale à 2 euros. 3/ Donner une représentaton graphque de la dstrbuton des budgets " vacances " (,5 pts). Pour donner une représentaton graphque correcte de la dstrbuton (hstogramme), l faut au préalable corrger les fréquences pusque l'ampltude est dérente selon les ntervalles. Budget F f A f' [8-[,8 2,8,8 [-4[, 4,5,8 [4-6[,6 2,6,34 [6-y[,3 4,5,64 [y-24[,9 4,45,73 [24-x[,27 6,3 2

3 4/Calculer et nterpréter le budget moyen et médan. Que pouvez-vous conclure de la comparason entre ces deux valeurs (,5 pts)? Pour calculer le budget moyen, l fallat à nouveau utlser les fréquences : x = f x =, 8 9 +, 2 +, 6 5 +, 3 8 +, , = 234 Pour calculer le budget médan, l faut à nouveau rasonner par nterpolaton lnéare sur l'ntervalle [6-2[. On pose le rapport des dstances suvant : et on trouve : M = 83 m 6, 5, 34 = 2 6, 64, 34 5/ Sachant que n x 2 = 4742 et V(x)=6444, retrouver les eectfs correspondant à chacune des tranches de budgets ans que l'eectf total des ménages enquêtés (2 pts). La varance est égale à : V (x) = 6444 = n x 2 x 2 N On sat que Ans : n x 2 = V (x) = 6444 = N On trouve que N=. Cela nous permet de calculer les eectfs : Budget n [8-[ 8 [-4[ [4-6[ 6 [6-y[ 3 [y-24[ 9 [24-x[ 27 EXERCICE 2 (,5 pts) La répartton des salares mensuels d'une entreprse est donnée par le tableau suvant : Salare nb. de salarés [-4[ [4-8[ 5 [8-22[ 4 [22-3[ 3

4 / Calculer le salare moyen ans que l'écart-type de cette dstrbuton (,5pts). Commenter. Salare moyen : x = N n x = ( ) = 553, 33 3 Ecart-type : racne de la varance. V (x) = N n x 2 x 2 = 3 ( ) 553, 33 2 = 5832, 58 L'écart-type est égal à 325,3. 2/ Tracer la boîte à moustache de cette sére. Commenter. (2 pt) Pour tracer la boîte à moustache, l faut au préalable calculer les valeurs suvantes par nterpolaton lnéare : Mn= Max=3 Q=33 Q3=736 D=2 D9=25 Mé=536 3/ Calculer les fréquences et les fréquences cumulées de la dstrbuton de la masse salarale (masse salarale détenue par chaque catégore d'ndvdus) (,5 pts). Salare nb. de salarés n x f(n x ) F(n x ) [-4[ 2,26,26 [4-8[ 5 24,52,78 [8-22[ 4 8,7,95 [22-3[ 26, / A partr du tableau précédent, calculer la médale. Que vous ndque la comparason entre la médane et la médale (,5 pts)? La médale est la médane de la nouvelle sére calculée. Comme la médane, elle se calcule par nterpolaton lnéare. Ic, la médale est égale à 588. Le salare médan est égal à 536, cela sgne que 5% des salarés gagnent mons de 536. La médale mplque que 5% de la masse salarale est versée aux salarés gagnant mons que 588. Ans, 5% des salarés gagnent mons de 5% de la masse salarale. 5/ Tracez la courbe de Lorenz. Que remarquez-vous? (,5 pt) Pour tracer la courbe de Lorenz l faut placer en abcsse la fréquence cumulée de la sére classque et en ordonnée la fréquence cumulée de la la sére n x. Lorsque l'on trace cette courbe, le centre d'ntérêt est la dstance entre la premère bssectrce et cette courbe. Ans, plus l'are comprse entre les deux est mportante, plus l y a des négaltés (ou plus la concentraton est mportante). 4

5 6/ Après avor rappelé ce que mesure l'ndce de Gn et comment l se calcule, calculer et nterpréter l'ndce de Gn. (2,5 pts) L'ndce de Gn mesure le pourcentage d'négaltés réalsées sur les % possbles. (Se rapporter au cours pour la constructon de l'ndce) Salare nb. de salarés F(x) F(nx) Trapèzes=(b+B)*h/2 [-4[,429,33,26 [4-8[ 5,2575,83,78 [8-22[ 4,5,96,95 [22-3[,388 Ic, la somme des trapèzes est égale à,4535, ans, l'are de concentraton est égale à,5 et l'ndce de Gn est égal à,. 7/ Supposons que, sur une pérode de 5 ans, le salare moyen augmente de 2% : a - Quelle est l'évoluton annuelle moyenne du salare moyen? (,5pt) Pour calculer l'évoluton annuelle moyenne : s le salare a augmenté de 2%, cela mplque que S 5 =, 2 S. Un taux dentque applqué pendant 5 ans veut dre S 5 = ( + ḡ) 5 S. Ans : ḡ = (, 2) (/5) =, 37 Le taux de crossance annuel moyen est de 3,7%. b - Au bout de comben d'années le salare moyen aura-t-l doublé? (,5pt) On cherche t tel que S t = 2 S et on sat que S t = ( + ḡ) t S. Ans, (, 37) t = 2 t ln, 37 = ln 2. Après calcul, on trouve t = 9. Il faudra donc 9 ans à un taux de crossance annuel moyen de 3,7% pour doubler le salare moyen. 5