TRANSFORMATION DE LAPLACE

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1 Fiche rofesseur Transformation de alace Auteur : Alain adureau TRANSFORMATION DE APACE TI-Nsire CAS Objectifs Découvrir la transformée de alace Utiliser la transformation de alace dans la résolution des équations différentielles linéaires du remier et du second ordre Pré requis : Equations différentielles linéaires à coefficients constants 2 Fonction échelon unité On aelle fonction échelon unité (ou fonction de Heaviside) la fonction définie our tout nombre t réel ar : U(t) = 0 si t < 0 et U(t) = si t 0 Fonction échelon unité Ut () 0 t0 Ut () t0 Fonction échelon unité translatée Ut ( ) 0 t Ut ( ) t a saisie de la fonction s effectue dans une age de Calculs, l affichage grahique s obtient dans la même activité dans une age Grahiques On a modifié la définition de la fonction récédente et ris ici α = 2 Définition : Une fonction f est dite causale si f(t) = 0 our tout t < 0 a fonction échelon unité et sa translatée ermettent de fabriquer des fonctions causales comme le montre l écran ci-contre Remarque : ceci suose que la fonction échelon unité a été définie dans la même activité dans une age Calculs comme indiqué ci-dessus Ce document est mis à disosition sous licence Creative Commons htt://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/20/fr/ Teas Instruments 204 / Photocoie autorisée

2 Fiche rofesseur Transformation de alace Eercice : En utilisant la fonction échelon unité ou sa translatée, donner en fonction de une eression de f() corresondant à chacun des grahiques suivants Remarques : lors de la saisie, ne as oublier le signe du roduit entre et u() Pour choisir la couleur du trait, une fois le grahique tracé, rarocher le curseur du grahique et lorsque la mention grahique f2 aaraît, auyer sur les touches / b, sélectionner B : Couleur du trait et choisir la couleur souhaitée Transformée de alace Étude d un eemle désigne un nombre réel ositif a Calculer en fonction de a réel ositif l intégrale I(a)= unité b Établir que I(a) a our limite lorsque a tend vers + 0 a ue ( ) d où u() désigne la fonction échelon Réonse : On trouve I(a) = a e On note (u())= = F() On aelle ici F la transformée de alace de la fonction échelon unité Définitions f étant une fonction causale, on aelle transformée de alace de f la fonction F définie ar : F() e ad 0 F() est aelée l image de f, f F est la transformation de alace Eercice En utilisant la calculatrice, déterminer les images des fonctions f telles que : f() =, f() = ², f() = sin Réonses e symbole eut être récuéré en auyant sur la touche ¹ Il faut réciser lors de la saisie que est ositif On trouve la barre verticale, qui signifie «sachant que», en auyant sur les touches /= Photocoie autorisée Teas Instruments 204 2

3 Fiche rofesseur Transformation de alace 4 Dictionnaire d images Ouvrir une age tableur, renseigner la remière colonne comme dans l écran ci-contre Dans la artie grisée de la colonne [b], saisir la formule : _ e ad _> 0 and a_> 0 0 Remarque : a désigne la colonne [a] ; la notation _ et a_ est utilisée afin que la calculatrice ne confonde as avec la référence du nom de la colonne du tableur écriture _s obtient ar /_ ² cos() sin() e -a_ cos(ω) sin(ω) a maniulation : On ouvre une nouvelle age Tableur, on renseigne la colonne A comme indiqué ci-dessus On lace le curseur dans la artie grisée de la colonne B, on auie sur la touche = uis sur k (catalogue) et on recherche l instruction «intégrale» Voici l écran qui s affiche lorsqu on sélectionne l instruction «intégrale» dans le catalogue On notera, en bas de age, le rael de la syntae à utiliser On auie alors sur uis on saisie les instructions comme ci-dessous : e a qui figure dans l eression de la fonction à intégrer fait référence au contenu de la colonne A du tableur, le a_ fait référence à la lettre a_ utilisée ligne 7 de la colonne A On auie de nouveau sur la touche, la colonne B se remlit alors automatiquement Photocoie autorisée Teas Instruments 204

4 Fiche rofesseur Transformation de alace 5 Proriétés de la transformation de alace a inéarité Eemle : Déterminer à l aide de la calculatrice les images suivantes : (2+)) et 2 () + () (λf + μg) = λ (f) + μ (g) b Transformée de f(a) Eemle : Déterminer à l aide de la calculatrice les images suivantes : ((cos(2)) et F ( ) 2 2 c Transformée de f( a), a > 0 (f(a)) = F( ) a a Eemle : Déterminer à l aide de la calculatrice les images suivantes : ( sin( ) ) et ((sin()) (f( a)) = e - a (f()) d Transformée de la dérivée (f ()) = F() f(0 + ) Remarque : f(0 + ) désigne la limite à droite de f en zéro e Cas de la dérivée seconde (f ()) = ² F() f(0 + ) - f (0 + ) f Transformée de la rimitive 0 F( ) f() t dt Photocoie autorisée Teas Instruments 204 4

5 Fiche rofesseur Transformation de alace g Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale lim F( ) f (0 ) lim F( ) f ( ) 0 6 Transformée de alace inverse Définition On aelle transformée de alace inverse ou original de F() la fonction f() Notation : f() = - [F()] Eercice En utilisant le dictionnaire d images, déterminer les originau de : Réonses - ( ² ) =, - ( ² 9 ) = cos(), - ( e a e,, ² ² 9 a )= U( a) (U désignant la fonction échelon unité) Proriétés de la transformée de alace et de la transformée inverse N f () - F() λf + μg λf() + μg() 2 f(a) F ( ) a a f( a) e -a F() 4 e -a f() F( + a) 5 f () F() f(0 + ) 6 - f() F () f () tdt f( ) 0 F( ) Fudu ( ) Photocoie autorisée Teas Instruments 204 5

6 Fiche rofesseur Transformation de alace Eercices En utilisant le dictionnaire d images et les roriétés citées ci-dessus, déterminer les originau de F() dans chacun des cas suivants F() = ² ( 2)² 4 Réonse : f() = cos() + e 2 e 4 2 F() = ( )² Réonse : f() = e - 6 F() = ² 9 On commence ar décomoser la fraction : Réonse : f() = e - e - 4 F() = ² 6 On décomose la fraction : Réonse : f() = 4 4 e e F() = ² 825 utilisation de la fonction Comlétez le carré du menu Algèbre ermet une modification de l écriture de la fraction : On a : ² 825 ( 4)² 9 et - ( ² 9 ) = - ( ( ² ²) ) = sin( ) Réonse : f() = sin( ) 4 e 2 6 F() = ( )²( ² ) On décomose la fraction : Réonse : f() = cos() e + e Photocoie autorisée Teas Instruments 204 6

7 Fiche rofesseur Transformation de alace 7 Alication de la transformée de alace à la résolution d équations différentielles linéaires a a méthode On notera (y()) = Y() la transformée de y On alique la transformée de alace au deu membres de l équation différentielle On considère l équation différentielle linéaire du remier ordre : y y = et y(0) = (y y) = () soit (y ) (y) = () Y() y(0) Y() = On isole Y() Y() = ( ) On transforme l écriture du second membre en décomosant la fraction rationnelle en éléments simles Y() = = 2 On alique alors la transformée de alace inverse - (Y()) = - ( 2 ) y() = 2 - ( ) - ( ) On obtient alors la solution de l équation différentielle y = 2e b Eercices En utilisant la transformée de alace et la transformée inverse, résoudre les équations différentielles suivantes (E ) y y = e et y(0) = Transformée Y() y(0) Y() = ( )² Calcul de Y() Y() = 2 ( ) 2( ) Solution y = e ² 2 e Photocoie autorisée Teas Instruments 204 7

8 Fiche rofesseur Transformation de alace (E 2 ) y + y = ² et y(0) = 0 Transformée 2 4 Y() y(0) + Y() = ² Calcul de Y() Y() = ( ) ²( ) ( ) ² Solution y = - 9 e ² (E ) y + 2y -y = e -, y(0) = 0 et y (0) = Transformée ²Y() y(0) - y (0) +2(Y() y(0)) Y() = ( ) Calcul de Y() Y() = 2 ( )( ² 2 ) 8 ( ) 4 8 Solution y = e e e (E 4 ) y - 2y + y = e -, y(0) = et y (0) = 0 Transformée ²Y() y(0) - y (0) -2(Y() y(0)) +Y() = 2 ( ) Calcul de Y() Y() = 2 ( )²( )² ( )² 4 ( ) 4 ( )² 4 4 ( )² Solution y = e e e e Remarque : il sera utile d utiliser la calculatrice our obtenir la décomosition en éléments simles des fractions rationnelles en utilisant l instruction Déveloer du menu Algèbre, en articulier dans les eercices et 4 Eercice Eercice 4 Photocoie autorisée Teas Instruments 204 8