1. Introduction THÉORÈMES LIMITES POUR CERTAINES FONCTIONNELLES ASSOCIÉES AUX PROCESSUS STABLES SUR L ESPACE DE HÖLDER

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1 Publ. Mat. 45 (), THÉOÈMES LIMITES POU CETAINES FONCTIONNELLES ASSOCIÉES AUX POCESSUS STABLES SU L ESPACE DE HÖLDE M. Ait Ouahra et M. Eddahbi Abtract In thi paper we tudy the Hölder regularity property of the local time of a ymmetric table proce of index < and of it fractional derivative a a doubly indexed proce with repect to the pace and the time variable. A an application we etablih ome limit theorem for occupation time of one dimenional ymmetric table procee in the pace of Hölder continuou function. Our reult generalize thoe obtained by Fitzimmon and Getoor for table procee in the pace on continuou function. The limiting procee are fractional derivative and Hilbert tranform of local time.. Introduction Soit X = {X t : t } un proceu table ymétrique d indice < à valeur réelle avec X = i.e. un proceu càdlàg à accroiement indépendant tationnaire d expoant Ψ, défini par: E exp (iλx t )=exp( tψ(λ)), t, λ, avec Ψ(λ) = λ. Pour tout t > ondéfinit la meure aléatoire µ t ( ) par µ t (A) = t A (X )d, (où A et un borélien de et A ( ) et la fonction indicatrice de A) µ t (A) et la meure d occupation de X dan le Borélien A. Il et bien connu d aprè [8], [5]et[] que la meure µ t (A) admet une denité notée L x t par rapport à la meure de Lebegue, (L x t : t, x ) et appelé la famille de temp locauxaociée à X, de plu L x t admet Mathematic Subject Claification. 6F5, 6G5. Mot-clé. Proceu table, temp local, tranformé de Hilbert, dérivée fractionnaire, fonctionnel additive, norme de Hölder. Cette note a été complétée au moment où le econd auteur était en viite au Centre de ecerca Matemàtica (CM) Barcelona, Spain.

2 37 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi une verion p.. continue (en t et x) etl x t vérifie la formule de denité d occupation et la propriété de caling uivante: t f(x )d = f(x)l x t dx f borélienne bornée () {L λ x λt : t } L = {λ L x t : t } pour tout λ>. Depui que Trotter [3] adémontré l exitence d une verion bi-continue du proceu du temp local du mouvement brownien uni-dimenionnel, on ne cee de découvrir de propriété profonde de temp locaux, et on a abouti urtout à une belle théorie en ce qui concerne le temp local du brownien. L étude de temp locauxet motivée par le rôle prépondérant du temp local dan la théorie de excurion. D autre part l utiliation de temp locauxfacilite ouvent l étude de fonctionnelle additive d un proceu de Markov. Le temp local d un proceu table et une fonctionnelle additive particulière aociée à ce proceu, elle appartient à la clae de fonctionnelle additive continue, aociée auxproceu table, d énergie nulle, au en de []. Cette clae contient de exemple important notamment la dérivée fractionnaire et la tranformée de Hilbert du temp local. Elle ont étéétudiée, dan le ca du mouvement Brownien, par pluieur auteur dan diver point de vu. L exitence de la valeur principale de Cauchy du temp local a été remarquée par Itô et McKean [4]. Yor [8], Yamada [4], Nakao [] et Bertoin [] ont développé l étude de ce fonctionnelle, ce qui a permi par exemple d obtenir une généraliation de la formule de Itô (cf. [8] et[3]) et d établir de théorème limite pour le temp d occupation du mouvement Brownien (cf. [6]). Le théorème limite pour le meure d occupation ont étéétudié par Yamada [6], [7] dan le ca = (i.e. X et un mouvement brownien), voir aui [5], [6] et par [] pour le proceu table. Le convergence dan tou ce théorème ont étudié dan le ca de trajectoire continue et notre but dan cette note et de démontrer qu on peut étendre le réultat de Yamada [6] et Fitzimmon et Getoor [] ur le théorème limite pour le meure d occupation aocié aux proceu table uni-dimenionnel à la topologie de epace de Hölder... Epace fonctionnelle. Nou conidéron le epace de fonction vérifiant une condition de Hölder en norme uniforme. Soit f C ([, ]), le module de continuité

3 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 373 de f en norme uniforme, notée ω δ (f,η), et défini par ω δ (f,η) = Pour <δ<, on définit f(t) f() up < t η t δ. C δ := {f :[, ] : tel que f() = et η>, ω δ (f,η) < + }. Il et bien connu que C, δ muni de la norme f δ epace de Banach. := ω δ (f,), et un emarque. C δ n et pa éparable, à caue de ce déavantage on introduit un ou epace fermé éparable C δ,,défini par: { } C δ, := f C δ tel que lim ω δ (f,η) =. η Dan ce qui uit C déignera une contante qui change de valeur d une ligne à l autre.. Temp local et dérivée fractionnaire.. égularité du temp local. Soit X = {X t : t } un proceu table ymétrique d indice < à valeur dan et oit {L x t :(t, x) + } on temp local. D aprè [9] pour tout T > le condition uivante ont vérifiée preque ûrement: <β<, C> telle que t, T, x M () L x t L x C t β, <β<, C> telle que t T, x, y M L x t L y t C x y β. emarque. Bien que le proceu table {X t : t } n et pa néceairement continu, on temp local poède une verion jointement hölderienne en t et x.

4 374M. Ait Ouahra, M. Eddahbi.. Dérivée fractionnaire. Soit β>, conidéron l epace C β définit par { C β := f : : tel que f(x) f(y) C(f,β) x y β, x, y M Pour γ ],β[ondéfinit la dérivée fractionnaire d ordre γ d une fonction f appartenant à C β L () par: D γ ±f(x) = Γ( γ) + f(x ± y) f(x) y +γ dy et on défnit l opérateur D γ par D γ := D γ + D. γ Puique y n et pa intégrable à l infini, la définition de Dγ ± doit être modifier pour γ =. Donc on a la définition uivante: + D±f(x) f(x ± y) f(x) ],[ (y) = dy y pour f C β L (), β>. On note aui D := D+ D c et la tranformation de Hilbert modulo (le facteur π ), nou renvoyon le lecteur à[5], [6]. La formule uivante connue ou le nom (Switchnig Identity) joue un rôle important dan le démontration de théorème de la Section 3. Soit γ< et on uppoe que f,g C β L (), alor pour β>γ on a (3) f(x)d g(x)dx γ = g(x)d+f(x)dx. γ La dérivée fractionnaire a étéétudiée par Ezawa et al. [9] pour de objectif de la phyique et qui apparaît naturellement dan certain théorème limite (Théorème. et Théorème. dan [6]). Elle apparaient aui de façon naturelle dan le calcul tochatique (cf. []) et la théorie pectrale de corde vibrante (cf. []). La fonctionnelle Ht x ( γ), ( <γ< ) aociée à la partie finie de Hadamard p. f.(x γ + )etla fonctionnelle Ct x aociée à la valeur principale de Cauchy v. p.( x ) peuvent être obtenue moyennant la tranformée de Hilbert et D γ L t : la dérivée fractionnaire d ordre γ par rapport à la variable x du temp local brownien avec: H x t ( γ) = co (π( + γ)) D γ L t (x) in (π( + γ)) H (D γ L t )(x), }.

5 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 375 où H(f) et la tranformée de Hilbert définie par + f( + u) f( u) H(f)() = du u et Ct x a la repréentation uivante: C x t = H (L t )(x) (cf. [8], [4], [5], [6], [4] et[3]). Avant de préenter notre amélioration citon d abord la contribution de Yamada [5] qui a montré dan le ca du mouvement Brownien que le proceu (D γ L t (x), t, x ) vérifie le condition de Hölder uivante: pour tout T> p.. <β< γ, C> telle que t, T, x (4) D γ L t (x) D γ L (x) C t β, <β< γ, C > telle que t T, x, y tel que x, y M, M> (5) D γ L t (x) D γ L t (y) C x y β. Cette régularité ded γ L t entraîne celle de Ht x ( γ): Pour tou T, M> p.. <β< γ, C> telle que t, T, x M Ht x ( γ) H x ( γ) C t β, <β< γ, C> telle que t T, x, y M Ht x ( γ) H y t ( γ) C x y β. emarque 3. Boufoui et al. [7] ont donné, dan le ca du mouvement Brownien également, de réultat plu fin que (4) et (5) plu préciément nou avon: Pour tou t>etp<, la trajectoire x D γ L t (x) vérifie p.. la condition de Hölder d indice γ en norme Lp (). Pour tou x, T > et<ν< γ, la trajectoire t D γ L t (x) vérifie p.. la condition de Hölder d indice ν ur [,T]. Nou en déduion en particulier que: <β< γ,et<γ<, C> telle que t, T, x M Ht x ( γ) H x ( γ) C t β.

6 376 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Pour plu de détail ur la dérivée fractionnaire nou renvoyon le lecteur à[3], [] et[]. Nou auron, également, beoin d un réultat de régularité de l application (t, x) L x t par rapport auxvariable epace temp. Théorème. Soit T >. preque ûrement: pour tout <β < Alor la condition uivante et vérifiée et <β <,ilexite une contante C> telle que pour tou (t, ) [,T] et (x, y) tel que x, y M on a (6) L(t, x) L(t, y) L(, x)+l(, y) C t β x y β. Preuve: En appliquant la propriété de Markov pour X en et la propriété de caling on a pour tout m : E L(t, x) L (t, y) L(, x)+l(, y) = E L(t, x) L(t, y) θ ] = E [E L(t, x) L(t, y) θ X = P(X dz)e L(t, x z) L(t, y z). Or d aprè [9] on a: pour tout m E L(t, x) L(t, y) C(, m)t ( ) x y où C(, m) et une contante qui dépend eulement de et m. Par uite P(X dz)e L(t, x z) L(t, y z) P(X dz)c(, m) t ( ) x y C(, m) t ( ) x y. D où, i déigne la norme [E[ ] ] /, alor (7) L(t, x) L(t, y) L(, x)+l(, y) C(, m) t ( ) x y. Et d aprè une verion du théorème de Kolmogorov dan l epace H a,b (l epace hölderien à deuxparamètre) voir le Théorème.7 dan [6]), nou avon la concluion du théorème.

7 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 377 En utiliant le même technique que Yamada [5] (voir aui [, p. 39]) il et facile de prouver le corollaire uivant. Corollaire. Soit T un nombre réel trictement poitif. <γ<, C> telle que t, T, x M, D ±L γ t (x) D±L γ (x) C t β, β<( )/ γ. <γ<, C> telle que t, T, x, y M, D ±L γ t (x) D±L γ (y) C x y β, β<( )/ γ. De plu D±L γ t (x) = O( x γ ), x uniformément en t. Dan le théorème uivant nou préenton un réultat plu fin que celui du corollaire ci-deu et qui repréente le réultat principal de cette ection. Théorème (égularité deladérivée fractionnaire du temp local). Soient T > et γ <, avec l indice du proceu table ymétrique X. Alor preque ûrement pour tout <λ< γ, il exite une contante <C(ω) < + telle que pour tou t, T et x D γ L t (x) D γ L (x) C(ω) t λ. Preuve: Nou faion la démontration pour D γ + dan le ca de γ> (pour γ = nou utilion le même technique que Fitzimmon et Getoor [, Lemme., p. 36]). Soit x et t, T, d aprè la définition de la dérivée fractionnaire on a D γ +L t (x) D+L γ (x) + = L x+u t L x + t L x+u L x Γ( γ) u +γ du u +γ du + L x+u t L x+u L x t + L x Γ( γ) u +γ du Γ( γ) + b Γ( γ) =: I + I. L x+u t L x+u + b u +γ L x+u t L x+u L x t + L x du u +γ L x t + L x du

8 378 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Majoration de I : En vertu de la condition de Hölder (6), du temp local en t et x, nou avon C b I t β u β γ du Γ( γ) avec β < ( )/ et β < ( )/. Par conéquent C b β γ I Γ( γ) β γ t, avec γ<β β. Majoration de I : Nou avon d aprè () qu il exite une variable aléatoire C(ω) finie telle que L x t L x C(ω) t β où β<, par uite I C(ω) Γ( γ) b d où I + I C(ω) Γ( γ) + t β u +γ C(ω) du = Γ( γ) b γ γ t β, b β γ β γ t + C(ω) b γ β Γ( γ) γ t β ; en choiiant b = t β β β, on obtient D γ +L t (x) D+L γ (x) C(ω) t β( γ γ β )+β β, par conéquent pour tout <λ< γ, on peut trouver γ<β <,<β< et <β < tel que λ = β( γ γ β )+β β. emarque 4. Ce réultat étend celui de [7] auxproceu table ymétrique et donne une amélioration à celui de [5]. Le lemme uivant era utile dan le preuve de théorème limite. Lemme. Soient T> et γ<, avec l indice du proceu table ymétrique X et {L x t, (t, x) + } on temp local. Alor pour tou t, T, x, etm (8) D γ L t (x) D γ L (x) C t γ où la contante C dépend eulement de, m et γ.

9 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 379 Preuve: Par définition de D γ nou avon D γ +L t (x) D γ +L (x) b L t x+u L x+u Γ( γ) + ce qui entraîne D γ +L t (x) D γ +L (x) et Γ( γ) b Γ( γ) + Γ( γ) =: J + J. + b L x+u t L x+u + b u +γ L x+u t L x+u u +γ L t x+u L x+u L x t + L x u +γ L x t + L x u +γ du L x t + L x du L x t + L x En utiliant repectivement le inégalité (7) et () on obtient J C (, m, γ) t b γ, J C (, m, γ) t b γ, du du, en choiiant b = t on aura le réultat. emarque 5. Le Théorème peut e déduire du lemme précédent à l aide du critère de Kolmogorov. 3. Théorème limite Dan cette ection, nou préenton de théorème limite pour de proceu de la forme λt ] λ p f(x )d, pour p, [ (9) où {X t : t } un proceu table ymétrique d indice < et f et une dérivée fractionnaire d une fonction g C β (hölderienne d ordre β) età upport compact, uivant la topologie hölderienne. Pour =, correpondant au ca du mouvement Brownien, le comportement aymptotique de la forme (9), uivant la fonction f, aété étudié par Yamada [6] etlecap ] [où étant l indice d un,

10 38 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi proceu table a étéétudié par Fitzimmon et Getoor [] dan l epace de fonction continue. 3.. Critère de tenion dan l epace C δ,. Pour étudier la convergence en loi de proceu de la forme (9) pour la topologie hölderienne, nou utilion le critère de tenion que nou rappelon ci-deou. Lemme. Une uite de proceu {ξ n : n } converge en loi dan C δ, i et eulement i la uite de loi P n = P ξn de élément aléatoire ξ n et tendue ur C δ, et on a la convergence de loi fini-dimenionnelle de ξ n. Théorème 3. Soit {ξ n : n } une uite de proceu nul en zéro et vérifiant pour de contante a, b > et C> et n, λ>, P [ ξ n (t) ξ n () >λ] Cλ a t +b, alor la uite de loi P n de proceu ξ n et tendue dan C δ, pour <δ<b/a. La preuve du Lemme e trouve dan [] et celle du Théorème 3 dan [7]. emarque 6. En pratique ce théorème dûà Lamperti [8] et utilié ou a verion de moment: up E ξ n (t) ξ n () a C t +b. n Nou préenton alor le réultat principal de cette ection. Théorème 4. Soit X = {X t : t } un proceu table ymétrique à valeur dan, d indice <. Soit <γ< et on uppoe que f = D+g, γ où g C β et à upport compact pour un certain β tel que <γ<β< alor, { nt } {[ ] } L +γ f(x )d n + g(x)dx D n L γ t () t t et cette convergence a eu lieu dan l epace de Hölder C δ avec δ< γ. Preuve: On fait la démontration dan C δ, (car la convergence dan C δ, implique la convergence dan C δ ).

11 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 38 Il et facile de verifier que la trajectoire t A n t = +γ n nt f(x )d appartient p.. à C δ, avec δ< γ. Or d aprè [] {An t : t } converge en loi ver le proceu {( g(x)dx)dγ L t ()} t dan l epace de fonction continue ce qui implique la convergence de loi finidimenionnelle. D aprè le Lemme il rete à montrer la tenion. Pour le faire nou utilion le critère de Lamperti [8, emarque 6]. Soit m, en utiliant () et (3) nou auron E A n t A n = E +γ n = n γ E = n γ E = n γ E ( nt f(x u )du f(x)l x/n t dx n ) f(x u )du f(x)l x/n ( D+g(x) γ L x/n t L x/n ( g(x) D γ L /n t ) dx dx ) (x) D L γ /n (x) dx Or (i h: et a> on note par h a la fonction x h(ax) alor D γ ±(h a )=a γ (D γ ±h) a ) par uite E A n t A n = E [ E K g(x) ) (D L γ t (xn ) D γ L (xn ) dx ] g(x) m m dx D L γ t (xn ) D γ L (xn ) dx K avec + m =etk = upp(g), par conéquent E A n t A n C E D L γ t (xn ) D γ L (xn ) dx K C t ( γ ) d aprè (8). D où (A n t ) n et tendue dan C δ, avec δ< γ..

12 38 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Théorème 5. Soit X = {X t : t } un proceu table ymétrique d indice <. On uppoe que f = D+g où g C β à upport compact pour β>. Alor { } nt i) f(x n )d converge en loi lorque n tend ver log(n) t + ver le proceu { ( g(x)dx) } L t {. t ( ii) f(x )+ log(n)g(x ) ) } d converge en loi lorque n nt n tend ver + ver le proceu {( g(x)dx) D L t () }. Ce t convergence ont euxlieu dan l epace de Hölder C δ avec δ<. Preuve: Pour i) on poe A n nt t = f(x n )d, log(n) par le même argument de la démontration du Théorème 4 et le fait que (i h: et a> on note par h a la fonction x h(ax) alor D±(h a )=(D±h) a + h a log a) ona A n L t = ) g(x)d (L t (xn ) dx xn g(x)lt dx log(n) =: Bt n Ft n. Montron que Bt n converge ver dan C δ, lorque n tend ver + avec δ<. Il et claire que Bt n C δ,, car lim η ω δ(b n t,η) = lim up η < t <η = lim up η < t <η lim up η < t <η B n t B n t δ log(n) g(x)[d (L t (xn t )) D (L (xn ))]dx t δ C log(n) t λ δ, avec <λ< C lim η log(n) η ε δ =, pour δ<.

13 Théorème Limite Aocié aux Proceu Stable 383 Par conéquent ω δ (B n t, ) = Bt n B n up < t < t δ = up < t < up < t < up < t < log(n) g(x)(d L t (xn ) D L (xn ))dx t δ g(x) D L t (xn ) D L (xn ) dx log(n) t δ C log(n) t λ δ =: I n pour <λ<. D où I n n + pour δ<. Montron maintenant que Ft n converge en loi ver ( g(x)dx)l t dan C δ,. Nou avon que ( ) g(x)l xn t dx L n + g(x)dx L t dan l epace de fonction continue. Il rete à montrer la tenion. Soit m E F n t F n = E ( E ( ) g(x) L xn t L xn dx K ) g(x) m m dx K C t d aprè (8) Lxn t et (Ft n ) n et tendue dan C δ, pour tout δ<. Pour ii) de la même façon nou avon nt ( f(x )+ log(n)g(x ) ) d = L n Or d aprè [] ( g(x)d L t (xn )dx n + dan l epace de fonction continue. L xn g(x)d L t (xn )dx. ) g(x)dx D L t () dx

14 384M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Il uffit, alor, de montrer la tenion dan l epace C δ,. Poon Et n := g(x)d L t (xn )dx. Soit m nou avon E Et n E n ) = E g(x) (D L t (xn ) D L (xn ) dx ( K g(x) m dx C t ) m E K donc (E n t ) n et tendue dan C δ, avec δ<. D L t (xn ) D L (xn ) dx éférence [] M. T. Barlow, Neceary and ufficient condition for the continuity of local time of Lévy procee, Ann. Probab. 6(4) (988), [] J. Bertoin, Application de la théorie pectrale de corde vibrante auxfonctionnelle additive principale d un brownien réfléchi, Ann. Int. H. Poincaré Probab. Statit. 5(3) (989), [3] J. Bertoin, Complement on the Hilbert tranform and the fractional derivative of brownian local time, J. Math. Kyoto Univ. 3(4) (99), [4] P. Biane et M. Yor, Valeur principale aociée auxtemp locauxbrownien, Bull. Sci. Math. () () (987), 3. [5]. M. Blumenthal et. K. Getoor, Markov procee and potential theory, Pure and Applied Mathematic 9, Academic Pre, New York, 968. [6] B. Boufoui, Epace de Beov, caractériation et application, Thèe de l Univerité Henri Poincaré, Nancy I, France (994). [7] B. Boufoui, M. Eddahbi et A. Kamont, Sur la dérivée fractionnaire du temp local brownien, Probab. Math. Statit. 7() (997), [8] E. S. Boylan, Local time for a cla of Markoff procee, Illinoi J. Math. 8 (964), 9 39.

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