Guylaine Faubert. Enseignante en mathématique et informatique au secondaire Le petit relais scolaire. (gfaubert)

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1 Guylane Faubert Ensegnante en mathématque et nformatque au secondare - -

2 A ADDITION ARBRE DE FACTEURS - - ARRONDIR UN NOMBRE C CALCULER LE POURCENTAGE COMMUTATIVITÉ - 6 -, CONVERSION FRACTION DÉCIMAL POURCENTAGE D DÉCIMAUX - - DÉCOMPOSITION D UN NOMBRE DÉNOMINATEUR DISTRIBUTIVITÉ - 7 -, DIVISEURS - - DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DIVISION E EXPOSANT F FACTEUR PREMIER - - FACTEURS - - FORME EXPONENTIELLE - - FRACTION DÉCIMALE - - FRACTION UNITAIRE FRACTIONS FRACTIONS ÉQUIVALENTES FRACTIONS ÉQUIVALENTES FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES L LA POSITION D UN CHIFFRE : - - LA VALEUR DE POSITION : - - LES ENSEMBLES DE NOMBRE. - - LES OPÉRATIONS LES OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS M MULTIPLES MULTIPLICATION MULTIPLICATION OU LA DIVISION PAR N NOMBRE À VIRGULE - - NOMBRE CARRÉ - - NOMBRE COMPOSÉ - - NOMBRE DÉCIMAL - - NOMBRE FRACTIONNAIRE - - NOMBRE IMPAIR - - NOMBRE PAIR - - NOMBRES ENTIERS - - NOMBRES FRACTIONNAIRES NOMBRES INVERSES NOMBRES NATURELS - - NOMBRES OPPOSÉS NOMBRES PREMIERS - - NOMBRES RATIONNELS - - NOMBRES RÉELS - - NOTATION EXPONENTIELLE NUMÉRATEUR O OPÉRATIONS SUR LES DÉCIMAUX - - OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS OPPOSÉE P PGCD - - POURCENTAGES PPCM PRIORITÉS D OPÉRATION - - PROPRIÉTÉS IMPORTANTES DES NOMBRES 0 ET - - PUISSANCE Q QU EST-CE QU UN CHIFFRE? : - - QU EST-CE QU UN NOMBRE? : - - R RÈGLE DU CARACTÈRE DE DIVISIBILITÉ RÉSOLUTION DE PROBLÈME S SOUSTRACTION

3 Les nombres Poston et valeur de poston Qu est-ce qu un chffre? : Les chffres sont les symboles (dessns) utlsés pour écrre les nombres. Dans notre système de numérotaton en base de dx, l y en a 0. { 0,,,,,5,6,7,8,9 } Qu est-ce qu un nombre? : C est lorsque les chffres sont assemblés (placés) pour former une quantté, une grandeur, une poston, etc. On utlse des untés ou des noms comme km, kl, kg, ; chats, 5,00$, ½ pommes,, mllème, centème, La poston d un chffre : La poston d un chffre dans un nombre est la place qu occupe ce chffre dans le nombre. Le tableau suvant te donne quelques exemples de poston : Mllons Mlle Untés c e n t a n e s d z a n e s u n t é s c e n t a n e s d z a n e s u n t é s c e n t a n e s d z a n e s u n t é s d x è m e s Décmaux ( fractons) c e n t è m e s m l l è m e s 56, 789 est à la poston des centanes de mlle (u 00000) 6 est à la poston des untés (u) est à la poston des dzanes de mlle (u 0000), La vrgule ndque le début de la fracton décmale. est à la poston des untés de mlle (u 000) 7 dxèmes ( u / 0) est à la poston des centanes (u 00) 8 centèmes ( u / 00) 5 est à la poston des dzanes (u 0) 9 mllèmes ( u / 000) - -

4 La valeur de poston : C est la quantté d untés que vaut un chffre suvant sa poston dans un nombre. 56, 789 Vaut Vaut Vaut 000 Vaut Vaut Vaut , La vrgule ndque le début des décmaux ou fractons 7 Vaut 7 0, , , 000 Vaut 08 Vaut 009 Les ensembles de nombre. Il exste pluseurs types de nombres qu peuvent être classés dans dfférents ensembles. Voc quelques symboles et noms à connaître. N : Nombres naturels {0,,,, } N* : Nombres naturels postfs {,,, } Z : Nombres enters : nombres naturels et leurs opposés {,-,-,0,,, } On peut parler de nombres enters postfs et de nombres enters négatfs. 0 n est n négatf, n postf. Q : Nombres ratonnels. N et Z plus les fractons et les nombres décmaux ayant une pérode. R : Nombres réels : L ensemble de tous les nombres. N* N Z Q R où sgnfe... «Inclu»dans

5 Décomposton d un nombre Voc façons de décomposer un nombre : ) Notaton ordnare ) Notaton développée : ( ) + ( ) + ( 000) + ( 00) + ( 0) + ( ) ou ( ) + ( ) + ( 0 0 0) + ( 0 0) + ( 0) + ( ) ) Notaton exponentelle (scentfque) qu découle de la e parte de la notaton développée : 5 0 (6 0 ) + (5 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) Exposant et pussance : La notaton exponentelle, nous permet d écrre de très grand et de très pett nombre de façon abrégée. L exposant dans la notaton exponentelle nous ndque le nombre de fos qu un nombre dot être multplé par lu-même. Il est écrt en petts caractères et se place à la hauteur de l apostrophe. 5 Exposant Égale Égale Base Base multplée par elle-même fos Pussance - 5 -

6 Arrondr un nombre Arrondr un nombre est une méthode d estmaton (à peu près). Pour arrondr un nombre, tu dos : - Regarder le chffre qu est à drote de la poston demandée. - S ce chffre est 0,,, ou, alors le chffre à la poston demandée ne change pas. Tous les chffres suvants la poston demandée devennent des 0. - S ce chffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors le chffre à la poston demandée augmente de. Tous les chffres suvants la poston demandée devennent des 0. Exemples : 56 arrond à l unté de mlle près arrond à l unté de mlle près 000 arrond à la centane près 00 8 arrond à la centane près 00 arrond à la dzane près 0 9 arrond à la dzane près 50, arrond au dxème près,0,9 arrond au dxème près,0 Les opératons Addton : ajouter un nombre à un autre. Plus Égale Terme Terme Somme Une proprété de l addton : la Commutatvté o Addton en colonne : n a) Algner les chffres en foncton de leur valeur de poston. b) Addtonner par colonne en commençant par les untés. Lorsque la somme donne un nombre avec une dzane, reporté le chffre de la dzane au haut de la colonne précédente. (la lgne grsée pour la retenue)

7 Soustracton : retrancher un nombre à un autre. Mons Égale 9-5 Terme Terme Dfférence La soustracton est l opératon opposée de l addton La soustracton avec la drote numérque. ( ) Soustracton en colonne : n a) Algner les chffres en foncton de leur valeur de poston. b) Soustrare par colonne en commençant par les untés. Emprunter sur les chffres des colonnes précédentes s le er terme est plus pett que le e terme. Lasse les traces de tes démarches d emprunts et d ajouts Multplcaton : Remplace l addton de pluseurs nombres dentques Fos Égale Facteur et multplcande Facteur et multplcateur Produt Une proprété de la multplcaton : la Commutatvté: o Une autre proprété de la multplcaton lorsque nous avons des parenthèses : la Dstrbutvté: Exemple ( 9+ ) ( 5 9) + ( 5 ) 5 5 () (5) + (0)

8 Multplcaton en colonne : 6 7 n a) Algner les chffres en foncton de leur valeur de poston. b) On commence la multplcaton avec les untés du multplcateur (7). c) J utlse la retenue lorsque mes produts sont supéreurs à 9. c) En derner leu, j addtonne en colonne Dvson : Partager une certane quantté en partes égales ou chercher comben de fos un nombre est contenu dans un autre. Dvser Égale Dvdende Dvseur Quotent Une proprété de la dvson : la Dstrbutvté o 6 ( ) ( 600 ) + ( 0 ) + ( ) Dvson en colonne : 550 n (x0) 0 5, 8 5 Ou reste 8 -(x) -(x5) 0 0 -(x) 8 -(x8) 7 6 -(x) 8-8 -

9 Les multples d'un nombre Un nombre est un multple d'un autre s'l le content 0, ou pluseurs fos. *** 0 est un multple de tous les nombres Lorsque je dvse le multple par un dvseur, l n y aura jamas de reste. Des multples de Des multples de Les 6 premers multples de x0 x x x x x Les 6 premers multples de x0 x x x x x5... Lorsqu un nombre (c, ) est un multple de deux ou pluseurs nombres, on dt qu l est un multple commun à ces nombres. PPCM Le plus pett commun multple de ou pluseurs nombres. 0 est toujours exclu des multples communs. Le PPCM nous ade à résoudre certans problèmes, à comparer, addtonner ou soustrare des fractons. Exemples : Le PPCM de 5 et 7 PPCM Le PPCM de et : : 8 6 Le PPCM est Donc 6 est le PPCM de 5 et 7-9 -

10 Dvsblté des nombres Dvsble par Par Par Par Par Règle du caractère de dvsblté S son derner chffre est par. S la somme des chffres est dvsble par. S le nombre formé des derners chffres est dvsble par. S le derner chffre est 0 ou 5. Exemples et justfcaton 8 est dvsble par, parce que 8, le derner chffre, est par. Exemple: 8 est dvsble par, parce que ++8, est dvsble par. Exemple: 976 est dvsble par, parce que 6 est dvsble par. Exemple: 05 est dvsble par 5, parce que le derner chffre est 5. Exemple: Par S'l est dvsble par et par. 9 est dvsble par 6, parce que le derner chffre,, est par, donc dvsble par et 9+++8, 8 est dvsble par. Par Par Par 0 Par S le nombre formé par les derners chffres est dvsble par 8. S la somme des ses chffres est dvsble par 9. S son derner chffre est 0. S le nombre est dvsble par et. Exemple: 58 est dvsble par 8, parce que 8 / 8. Exemple: 78 est dvsble par 9, parce que +7+88, 8 est dvsble par 9. Exemple: 500 est dvsble par 0, parce que son derner chffre est 0. Exemple: est dvsble par, parce que ++ 9, 9 est dvsble par et, les derners chffres, est dvsble par

11 Le test ultme est dvsble par parce que 0 est un nombre par; parce que qu est dvsble par ; parce que 00 est dvsble par ; 5 parce que le derner chffre est 0; 6 parce que le nombre est dvsble par et ; 8 parce que 600/850; 9 parce que qu est dvsble par 9; 0 parce que le derner chffre est 0; parce que le nombre est dvsble par et. Les dvseurs Chaque fos que je cherche toutes les façons de partager un nombre en partes égales, je sus à la recherche des dvseurs d un nombre. Les dvseurs enters sont les dvseurs qu sont supéreurs à 0. Ces dvseurs, lorsqu on les place en poston de les multpler, on les appellera des facteurs donc 9 et sont des dvseurs de c, 9 et sont des facteurs de 99. Les dvseurs communs de nombres (ou facteurs communs de nombres) C est un nombre qu est un dvseur de pluseurs nombres. Exemple est un dvseur commun et un facteur commun de 6 et 5 est un dvseur commun ou facteur commun de 5, 5,

12 Arbre de facteurs En premer leu, l nous faut connaître ce qu est un facteur premer. C EST un nombre supéreur ou égal à qu possèdent exactement dvseurs : et lu-même. Ces nombres sont appelés des nombres premers. Exemples : ses dvseurs et 9 ses dvseurs et 9 Voc les nombres premers plus petts que 00 : À l opposé, s un nombre possède plus que ces deux facteurs, on l appellera un nombre composé. 0 ses dvseurs,,, 5,0 et 0 Tu utlses l arbre de facteurs afn de te permettre de trouver tous les facteurs premers et ans pouvor transformer les nombres sous une forme exponentelle. Arbre de facteurs de 60 Ic, la forme exponentelle serat ²xx5 - -

13 PGCD Le plus grand commun dvseur t adera à résoudre certans problèmes ou à rédure des fractons. a) Tu peux trouver tous les facteurs de chacun des nombres et trouver ceux qu sont en communs en procédant de la façon suvante : Trouver le PGCD de 5 et 7 5: x x x 8 entre fos Le PGCD est donc le résultat de xx8 7: x x x x 8 entre x donc fos b) Tu peux procéder un peu comme le PPCM, mas tu t arrêtes lorsque tu ne trouves plus de dvseurs communs. Trouver le PGCD de 5 et 7 PPCM Donc 8 est le Pgcd de 5 et 7 - -

14 Vocabulare sur les dfférents types de nombres Nombre à vrgule : Nombre décmal Nombre carré : nombre ayant facteurs dentques. Ex. {,,9,6, } Nombre décmal : Un nombre dont le nombre de chffres après la vrgule est fn. Il peut s écrre sous la forme fractonnare où le dénomnateur est une pussance de ,5 nb décmal lmté 5 5, nb pérodque,6 Nombre fractonnare : Nombre composé d un nombre enter accompagné d une fracton. 6, 00, 5 8 Nombre mpar : les nombres enters (postfs ou négatfs) qu ne sont pas des multples de. {,-5,-,-,,, 5, } Nombre par : un nombre enter multple de. {,-,-, 0,,, } ***Quelques proprétés mportantes des nombres 0 et *** - -

15 ZÉRO 0 a) 0 est l'élément neutre dans l'addton. Exemples + 0-0, ,5 0 + / / x + 0 x b) 0 est la somme de deux nombres opposés. Exemples (-5) /5 - / a + (- a) 0 c) Tout nombre exposant 0 est égal à. Exemples (½) (-5) b d) 0 est l'élément absorbant dans la multplcaton, c'est-à-dre que tout nombre multplé par 0 donne ¼ 0 0 Exemples -, n 0 0 e) La dvson par 0 n'est pas défne en mathématque. Exemples est mpossble 0 ½ dvsé par 0 est mpossble - 5 -

16 UN a) est l'élément neutre dans la multplcaton. Exemples 5 5 ½ ½ -,5 -,5 c x c b) est le produt de nombres nverses. Exemples / /9 9/ - -/ y /y, où y n'est pas égal à 0. c) engendre toutes les fractons équvalentes. Exemples a b a b 9a 9b 9 9 d) est le résultat de tout nombre exposant 0. ( ½ ) Exemples ( -5 ) b - 6 -

17 Les opératons sur les nombres enters (+ et -) Addton Exemples a. S les nombres sont postfs, la réponse sera postve. + 5 b. S les nombres sont négatfs, la réponse sera postve. (-) + (-) -5 c. S un des nombres est négatf : soustrare les nombres même s ls sont relés par une addton; le plus grand mons le plus pett; le sgne de la réponse sera le sgne du nombre ayant la plus grande valeur absolue. + (-9) Réponse est négatve 9-5 Donc -5 Soustracton Nous pouvons soustrare un nombre en effectuant l addton de l opposé du nombre à soustrare. Il sufft de suvre les règles de l addton par la sute. 8 8 ( ) 8 + ( + ) ( ) 8 + ( ) ( ) 8 Multplcaton a. S les deux nombres sont de même sgne, multpler les ( ) ( ) 6 valeurs absolues et donner une réponse postve. b. S les deux nombres sont de sgnes opposés, multpler et donner une réponse négatve. ( ) ( 5) 0 ( 7)( 0) 70 Contrarement à l addton le sgne de la réponse ne correspond pas au sgne du nombre ayant la plus grande valeur absolue. Dvson a. S les nombres sont de sgnes dentques, dvser les valeurs absolues et mettre le sgne postf devant la réponse. b. S les nombres sont de sgnes opposés, dvser les valeurs absolues et mettre le sgne négatf devant la réponse. Attenton! Contrarement à l addton le sgne de la réponse ne correspond pas au sgne du nombre ayant la plus grande valeur absolue. ( 0) ( ) ( 70) ( ) ( ) ( )

18 Les fractons Une fracton, c est le résultat d une comparason de quanttés. On peut auss nommer cette comparason un rapport. Exemples : a) Deux flles à lunettes dans un groupe de 0 flles. : ou b) carreau bleu : 9 carreaux :9 ou 9 Une fracton, c est auss une autre forme de dvson. Ex. 50 barres de chocolats à partager entre 5 personnes chocolats par personne 5 Fracton untare : Le numérateur et le dénomnateur sont dentques. Cette fracton sera utlsée pour la recherche de fractons équvalentes, fractons rréductbles, Le quotent donne. Exemple Fractons équvalentes : Des fractons qu représentent la même quantté. Exemples :

19 Fractons rréductbles Une fracton sera rréductble s le numérateur et le dénomnateur n ont aucun dvseur en commun. (Nous pouvons utlser le PGCD) Exemples : PGCD 6 08 Nombres fractonnares Une fracton dont le numérateur est supéreur au dénomnateur. 5 0, 0 Pour transformer une telle fracton en nombre fractonnare, l s agt de trouver le nombre de fracton untare nclus dans la fracton et nscrre le reste sous forme de fracton rréductble ou rédute. 5 0 ( 0) Transformer un nombre fractonnare en fracton Nombre ratonnels négatfs Mêmes règles pour les sgnes que pour la dvson de nombre enters

20 Rédure ou transformer des fractons ayant le même dénomnateur. Nous utlserons cette façon de fare pour nous ader à comparer des fractons entres elles et? 9 Trouver le PPCM de 6 et PPCM Donc est le PPCM de 6 et Les quatre opératons sur les fractons Addton a) On s assure que les nombres fractonnares sont sous la forme de fracton. Exemples b) On trouve le PPCM des dénomnateurs. Le PPCM est c) On transforme les fractons de façon qu elles aent le même dénomnateur. d) On addtonne les numérateurs. Lorsque la réponse nous donne une fracton avec un numérateur supéreur au dénomnateur, l faut transformer la réponse en nombre fractonnare. Soustracton Pour la soustracton, ce seront les mêmes étapes que pour l addton. Attenton aux règles des sgnes

21 Multplcaton a) Transformer les nombres fractonnares en fracton. b) Multpler les numérateurs entre eux et les dénomnateurs entre eux. c) Rédure la réponse et/ou transformer en nombre fractonnare, s nécessare Dvson a) Transformer les nombres fractonnares en fracton. b) Transformer la dvson en multplcaton de l nverse. c) Procéder comme une multplcaton

22 Les décmaux Un nombre décmal est un nombre formé de deux partes séparées par une vrgule : une parte entère et une parte décmale. Ça correspond à une fracton décmale. Une fracton décmale est une fracton dont le dénomnateur est un multple de 0 : 0, 00, 000, Exemples : 0, 0, 0 0, a centanes donc enters et 75 centèmes donc , ,07 -(77 enters ) 00 7 (en nb fractonnare) La multplcaton ou la dvson par 0 Très souvent utlsées lorsqu on veut convertr des untés ou transformer des fractons décmales en nombres décmaux. Prenons,7 cm à convertr en mètre. Il entre 00 cm dans un mètre donc l nous faudra dvser par 00. 0, 00 alors,7 donnera 0,7 Préfxe et suffxe mètre gramme ltre 0, klo hecto déca déc cent mll km hm dam m dm cm mm kg hg dag g dg cg mg kl hl dal l dl cl ml , , ,00 0,0 0, Prenons mantenant,7 cm à convertr en mllmètre. Il y a 0 mm dans cm, alors les cm donneront 0 0 mm donc notre réponse complète sera de 7, mm. Les quatre opératons sur les décmaux - -

23 Addton Exemples On s assure que les nombres décmaux aent le même nombre 0,75 + 0,875 de chffre après la vrgule. Ensute, on addtonne comme avec 0, ,875 les nombres naturels, mas l ne faut pas oubler la vrgule à la réponse., 65 Soustracton Fas attenton aux sgnes, vor la soustracton avec les nombres naturels. Ensute, tu procèdes comme pour l addton. 0,75 0,875 0,750 0,875 0,5 Multplcaton Pour ce qu est des sgnes, suvre les mêmes règles que pour les enters. On les multple comme s ls étaent des enters pour ensute mettre la vrgule à la poston approprée.,, 08 dxème dxème centème 08 donc,08 00,5, mllème dxème dx mllème , Dvson Premèrement, suvre la règle des sgnes des enters. On dot s assurer d avor le même nombre de décmaux après la vrgule des nombres, pour ensute les dvser sans la vrgule comme deux nombres naturels.,5,5,50,

24 Prortés d opératon. L ntéreur des parenthèses.. Les exposants.. Les multplcatons et les dvsons en débutant par la gauche.. Les addtons et les soustractons en débutant par la gauche. Quelques exemples : l'exposant 8 + la dvson 6 + la multplcaton 6 + la dvson 7 l'addton [ 5 ( + ) + ] [ 5 ( 6) + ( ) ] [ 0 + ( ) ] + [ 8] soustracton parenthèses 8 multplcaton parenthèses multplcaton ( + 7) + (0) la parenthèse + 0 la multplcaton l'addton - -

25 Les Pourcentages Le pourcentage est un rapport ou une fracton sur 00. Converson fracton décmal pourcentage. Fracton en pourcentage Convertr les fractons en fracton décmale sur 00. Où procéder à une dvson. 8 8% % ,5 5,5 5,5% 8 8, , , ,67% 00 Décmal en pourcentage Premèrement, convertr le nombre décmal en fracton décmal. Ensute, trouver la fracton décmale sur , 0,5 5,% ,75 0,875 8,75% ,5,5 00 5,5 5% , 0%

26 Pourcentage en fracton et en décmal 5 5 5% %, 00 0, 0, 00 0,% , ,00 Pour calculer le pourcentage d une quantté : - On transforme le pourcentage en fracton décmale ou en notaton décmale ; - On multple cette fracton ou ce nombre décmal par la quantté. 0% de 00$ , 00 80$ 80 80$ Cas partculers : L enter (00%) Le 00% d un nombre sera le nombre lu-même. 00% de

27 Résoluton de problème Pour comprendre l énoncé d un problème, l faut prendre le temps de ben lre et même relre avant de commencer à travaller le problème. Il faut, ensute :. Repérer les données (très souvent numérques) et les assocer à l nformaton (untés, quantté de, ). L énoncé J avas 0$ d argent de poche. J a acheté cornets de crème glacée à $ chacun, 0,5$ de pourbore nclus. Comben me reste-t-l d argent? Soulgner et ou surlgner J avas 0$ d argent de poche. J a acheté cornets de crème glacée à $ chacun, 0,5$ de pourbore nclus. Comben me reste-t-l d argent?. Identfer ce que l on cherche, la résultante exgée. Ressortr les nformatons et les ordonnées. Données Informatons 0$ Argent de poche Cornets achetés $ Prx par cornet 0,5$ Pourbore nclus (donnée superflue) Je cherche : Le montant d argent restant.. Identfer en mots et/ou en formule ce qu on dot fare. $ Restant argent de poche argent dépensé. Fare les calculs avec une chaîne d opératons. ( cornets $ ) $ restant 0$ - 0$ - 6$ pour les cornets $ 5. Très ben nscrre la réponse, sans oubler les untés. Réponse : $ d argent restant - 7 -

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» Leçon 1 Nombres enters En lsant avec attenton le lvre Le calcul et la géométre au temps des pharaons de M. ROUSSELET, Thomas apprend que «Les premers nombres qu ont été écrts en Égypte datent de 5 000

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