Outils Mathématiques 3

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1 Université de Rennes1 Année 2010/2011 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 4: Intégrtion curviligne résumé 1 Courbes prmétrées Définition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur un intervlle I. Si I = [, b] est un intervlle fermé, le point M() = (f(), g()) est l origine et M(b) = (f(b), g(b)) est l extrémité de l courbe. Définition On dit que l courbe est de clsse C 1, si f (t) et g (t) sont continues. 2. On dit que l courbe est de clsse C 1 pr morceux si on peut l écrire comme réunion finie de courbes C 1,..., C k telles que l origine de C i+1 est l extrémité de C i. 3. On dit que l courbe est fermée si ses extrémités sont confondues i.e. (f(), g()) = (f(b), g(b)). 4. On dit que l courbe est simple si elle n ps de points doubles i.e. pour tout t 1 ], b[ et t 2 ], b[, si t 1 t 2 on (f(t 1 ), g(t 1 )) (f(t 2 ), g(t 2 )). courbe C 1 pr morceux courbe fermée et simple courbe non fermée et non simple Définition 1.3 Soit une courbe constituée de tous les couples de points (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur un intervlle I. Les équtions x = f(t) y = g(t) 1

2 pour t I sont des équtions prmétriques de. On dit que ces formules constituent une représenttion prmétrique de courbe. Définition 1.4 L orienttion de l courbe prmétrée, est l direction correspondnt à l croissnce du prmètre. Dns l espce, une courbe peut être définie pr l donnée de trois fonctions d un même prmètre x = f(t), y = g(t), t I z = h(t), On dit dns ce cs que est une courbe guche ou non plne. 1.1 Longueur d un rc de courbe Soit une courbe de représenttion prmétrique x = f(t) y = g(t) pour t [, b]. On suppose que f et g sont de clsse C 1. Soient M(t 1 ) et M(t 2 ) deux points de l courbes correspondnt ux vleurs t 1 et t 2 du prmètre ( t 1 < t 2 b). Définition 1.5 L longueur de l rc d extrémités M(t 1 ) et M(t 2 ) est le réel positif t2 ( x ) 2 ( ) 2 y t2 + dt = (f(t) ) t t 2 + (g(t) ) 2 dt t 1 t 1 L longueur de l courbe est le réel positif L défini pr b ( x ) 2 ( ) 2 y b L = + dt = (f(t) ) t t 2 + (g(t) ) 2 dt Dns le cs d une courbe guche de représenttion prmétrique x = f(t), y = g(t), t [, b] z = h(t), l longueur de l courbe est le réel positif L défini pr b ( x ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y z b L = + + dt = (f(t) ) t t t 2 + (g(t) ) 2 + (h(t) ) 2 dt 2

3 2 Intégrles curvilignes 2.1 Préliminires: Fonctions continues deux vribles, ouverts du pln, convexité Définition 2.1 Une fonction f : A R définie sur une prtie non vide A du pln R 2 est dite continue en A si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x A, x < η f(x) f() < ε. ( ) désigne l norme euclidienne dns le pln). Un ensemble ouvert du pln est une prtie U définie pr un nombre fini d inqutions de l forme ϕ 1 < 0,..., ϕ l < 0 où les ϕ i : R 2 R sont continues. (Intuitivement, il fut penser un domine du pln qui ne rencontre ps s frontière). On dir de plus que U est convexe (intuitivement renflé ) si pour tout couple de points (A, B) U 2, le segment [A, B] reste contenu dns U. Exemples d ouverts: Le disque ouvert de ryon R > 0 centré à l origine l couronne D R = (x, y) R 2 x 2 + y 2 < R 2 }, C R,R = (x, y) R 2 R 2 < x 2 + y 2 < R 2 }, (0 < R < R ) le rectngle ouvert R =], b[ ]c, d[. Remrque: seule l couronne n est ps convexe prmi ces trois exemples. 2.2 Fonctions de clsse C 1, formes diffrentielles Définition 2.2 Une fonction f : U R continue sur l ouvert U est de clsse C 1 si ses dérives prtielles f f x et y existent et sont continues sur U. Une forme différentielle (continue sur l ouvert U) est une expression de l forme (si je puis dire!) ω(x, y) = (x, y)dx + b(x, y)dy où et b sont deux fonctions continues sur U. A toute fonction de clsse C 1 est cnoniquement ssocie une forme différentielle (l diffrentielle de f) définie pr df := f f dx + x y dy 3

4 2.3 Intégrles curvilignes d une forme différentielle Définition 2.3 l intégrle curviligne d une forme différentielle ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy le long de l courbe de représenttion prmétrique est: ω = b x = x(t) y = y(t) (P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)) dt t [, b], On suppose ici que P et Q sont continues sur un ouvert contennt l courbe. Proposition 2.4 L intégrle curviligne d une forme différentielle le long d une courbe ne dépend que de l orienttion, ps du choix de l prmétristion. Proposition 2.5 L intégrle curviligne d une forme différentielle excte ( ou totle) ω = df ne dépend que des extrémités A = (x(), y()) et B = (x(b), y(b)) de l courbe : b ( f ω = df = x (x(t), y(t))x (t) + f ) y (x(t), y(t))y (t) dt = f(b) f(a) En prticulier, si est une courbe fermée lors, Définition 2.6 (Propriétés des intégrles curvilignes). ω = df = Si on note pr l courbe prcourue dns le sens inverse, lors: ω = ω 2. Soient ω 1 et ω 2 deux formes différentielles, lors ω 1+ω 2 = ω 1+ ω 2 3. Soit P 0 un point de l courbe, à prtir de P 0 on décompose en deux courbes d extrémités P 0, notons les 1 et 2, lors: = 1 2 et ω = 1 2 ω = 1 ω + 2 ω. suivntes sont équivlentes: 1. l forme différentielle ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy est excte. 2. ω = 0 pour toute courbe fermée 3. L forme différentielle ω = P (x, y)dx+q(x, y)dy est fermée i.e. P y = Q x. 4

5 A = 1 2 B 1 2! P 0 5