CH.7 PROBLÈME DE FLOTS

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Clémence Beaudet
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1 H.7 PROLÈME E FLOTS 7.1 Le réeaux de ranpor 7.2 Le flo maximum e la coupe minimum 7.3 L'algorihme de Ford e Fulkeron IM ch Le réeaux de ranpor Réeau de ranpor : graphe oriené avec pour chaque arc une capacié. La capacié c(a) e un enier poiif ou nul. Il y a aui une ource e un pui. ucun arc n'arrive à la ource e aucun arc ne quie le pui. Un flo e une foncion enière poiive ou nulle f définie ur le arc aifaian : onraine de capacié : f(a) c(a) ; onervaion du flo : pour ou omme aure que e, la omme de flo ur le arc enran e la omme de flo ur le arc oran on égale. Exemple : circui élecrique ou hydraulique, réeaux de communicaion, modéliaion de ranpor IM ch 7 2

2 Réeau de ranpor avec le capacié /16 0/10 1/ / /9 7/7 1/20 8/13 /1 / Un flo ur le réeau de ranpor IM ch 7 3 Quand deux arc en en invere relien deux omme, on peu oujour annuler la foncion flo ur l'un de deux. Propriéé : la omme de flo ur le arc oran de ource e la omme de flo ur le arc arrivan au pui on égale ; cee valeur e la valeur du flo f ; i on épare le omme en deux ou-enemble E conenan e F = E, conenan, alor, la omme de valeur du flo ur le arc de E ver F moin la omme de valeur du flo ur le arc de F ver E vau aui f. Une elle éparaion en deux ou enemble de omme e appelée une coupe e cee différence de omme de flo e appelée flo ne raveran la coupe. IM ch 7

3 La deuxième propriéé e donc que le flo ne raveran une coupe ne dépend pa de la coupe. émonraion de propriéé : Pour la deuxième, on par de E 0 = { }. Pui on ajoue le omme un à un juqu'à obenir E. La propriéé de conervaion du flo pour chaque omme ajoué perme de vérifier que le flo ne e invarian. La première propriéé en découle, avec E = { }, pui avec E = { }. Si E/F e une coupe du réeau, la capacié de la coupe e la omme de capacié de arc allan de E ver F. La propriéé de l'invariance du flo ne monre que f e inférieur à la capacié de n'impore quelle coupe. IM ch Le flo maximum e la coupe minimum Il exie oujour un flo poible qui e le flo nul. Problème : commen rouver un flo qui a la valeur maximum? elui de l'exemple e-il maximum? Recherche d'un chemin amélioran. éerminer le réeau réiduel : pour chaque arc a = uv, f(a) c(a), on peu augmener le flo de c(a) f(a), e on peu le diminuer de f(a), donc faire paer un flo f(a) ur un arc a = vu. Si ce arc exie déjà avec une capacié c( a), celle-ci 'ajoue à f(a). Le graphe oriené avec ce capacié e le réeau réiduel. On cherche un chemin de à dan le réeau réiduel. Il correpond à une poibilié d'amélioraion du flo en modifian de la valeur du minimum de capacié réiduelle ur le chemin. IM ch 7 6

4 /16 0/10 1/ / /9 7/7 1/20 8/13 /1 / Le flo Le réeau réiduel correpondan IM ch Un chemin amélioran 3 1 /16 0/10 1/ / 0/9 7/7 19/20 /13 /1 / Le flo aprè amélioraion IM ch 7 8

5 Le nouveau réeau réiduel an ce réeau, il n'y a pa de chemin de à, donc pa de chemin amélioran. IM ch 7 9 Théorème (flo maximum e coupe minimum) Si f e un flo dan un réeau de ranpor, le roi condiion uivane on équivalene : 1. f e un flo maximum ; 2. Le réeau réiduel de f ne conien aucun chemin amélioran ; 3. Il exie une coupe E/F don la capacié vau f. Remarque : La condiion 3. implique que f e la valeur minimum de capacié de coupe du réeau, puiqu'on ai déjà que f e inférieur à la capacié de n'impore quelle coupe. 'où le nom du héorème. IM ch 7 10

6 émonraion : Si on rouve un chemin amélioran, on peu augmener f. e flo n'éai donc pa maximum S'il n'y a pa de chemin amélioran, oi E la compoane foremen connexe de dan le graphe réiduel. Le complémenaire F = E conien. Tou le arc enre E e F dan le graphe réiduel von de F ver E. onc pour ou arc a du réeau iniial de E ver F la valeur du flo e égale à la capacié e elle e nulle pour ou arc de F ver E. onc f e égal à la capacié de la coupe E/F Si un flo a comme valeur la capacié d'une coupe, il e néceairemen maximum, puique ou le flo on inférieur à la capacié de n'impore quelle coupe. e héorème juifie la recherche d'un chemin amélioran pour obenir un flo maximal. IM ch L'algorihme de Ford e Fulkeron On par d'un flo quelconque (évenuellemen nul) ; On fabrique le réeau réiduel ; On cherche un chemin amélioran ; On ière juqu'à ce qu'on ne rouve plu de el chemin. La complexié de l'algorihme dépend de l'implémenaion. La recherche d'un chemin amélioran peu êre faie en O() ; l'acualiaion du graphe réiduel aui ; ce qui donne donc O( f max ). Lorque la valeur de f max e peie, cee complexié e bonne. La meilleure raégie pour la recherche d'un chemin amélioran e de faire une exploraion du graphe réiduel en largeur. L'agorihme prend alor le nom d'algorihme d'edmond-karp. IM ch 7

7 Suppoon que le réeau compore S omme e arc. Une analye approfondie de différence enre le diver réeaux réiduel perme de monrer que le nombre d'iéraion dan l'algorihme d'edmond-karp e en O(S). haque iéraion donne un chemin amélioran en O(), d'où une complexié en O(S 2 ). 'aure méhode (préflo) permeen de rouver le flo maximum en O(S 3 ). Variane e applicaion : Parfoi, il y a pluieur ource e pluieur pui. On peu dan ce ca rajouer une "uper-ource" e un "uper-pui" relié repecivemen aux ource e aux pui par de arc de capacié infinie. IM ch djoncion d'une uper-ource e d'un uper-pui La recherche d'un couplage dan un graphe bipari peu êre effecuée au moyen d'un algorihme de flo. On oriene oue le arêe de peronne ver le âche, on leur donne la capacié 1, pui on ajoue une ource e un pui relié repecivemen aux peronne e aux âche par de arc de capacié 1. La chaîne améliorane devien alor un chemin amélioran au en de Floyd e Fulkeron. IM ch 7 1

8 1 2 3 Toue le capacié valen 1. E F 6 La valeur de f max e ici majorée par n. On a donc une complexié en O(n), comme on a déjà vu. IM ch 7 1 Le héorème flo maximum e coupe minimum perme de rouver le arc criique. Si la capacié d'un de ce arc e augmenée, la coupe maximum e modifiée. on peu alor progreivemen arriver à avoir une uie d'augmenaion de capacié permean d'obenir un flo amélioran. Parfoi, un réeau évolue dan le emp : phae ranioire, modificaion de capacié avec le emp. Si le emp e dicre e que le parcour d'un arc prend une unié de emp, on peu repréener le réeau à chaque valeur du emp dicre en connecan le omme d'un niveau au uivan. ela perme de réoudre de problème logiique (éleage de roue en ca de bouchon prévu,...) IM ch 7 16

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