Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

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1 Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la fonction soit dérivable (intervalle de dérivabilité), et quel est alors le nombre dérivé de la fonction en 0. ) f : ) f : Eercice : Nombre dérivé de sinus et cosinus π Soient un réel de l intervalle 0,, et M le point du cercle trigonométrique C (ci-contre) tel que l angle OI, OM ait pour mesure. ) Eprimer en fonction de les distances OC, OS et IT, et les aires des triangles OIM et OIT et du secteur angulaire IOM (aire grisée). )En déduire que sin () < < tan () π sin ) Déduire de la relation précédente que : pour 0 < <, on a cos < <. En déduire la limite de sin quand tend vers 0. π sin cos 4) Vérifier que, pour 0 < <, on a : =. + cos cos cos En déduire que : lim = et lim = ) En déduire la limite du tau d accroissement de la fonction sinus entre 0 et 0 +h pour 0 réel, quand h tend vers 0. Quel est donc le nombre dérivé de sinus en 0? (on rappelle que : sin (a+b)= sin a cos b cos a sin b). Eercice : Dérivation en un point f = +. Montrer que h + = +, et en déduire que f est dérivable en et le nombre dérivé de f au point. + h ) On considère la fonction définie sur * par f ( h)

2 ) Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f(-+h), dire si f est dérivable en -, et le cas échéant donner le nombre dérivé de f en - : i) f : ( ) ii) f : ( ) iii) f ( + )( ) iv) f : + 4 ) Soit g la fonction définie par g()=. Calculer le tau d accroissement de g en 0, en distinguant les cas h>0 et h<0. Que peut-on en conclure pour g? Eercice 4 : Fonctions usuelles cos sin tan ln e ep a, a Eercice 5 : Composition cos( + ) sin + tan ep ln ( ) tan ln ln ( ) e 5 + sin( ) Eercice 6 : Opérations 5 cos( + ) + sin sin sin tan tan ( ) cos( ep ) ( + + ) + + ln ( ) + + ep( 5) + y + 5y+ y z 4 ( +קּ) 4 ( -קּ ( קּ z + y + y+ z ξ ξ + ln( 5 ) ep ξ 5 +

3 Eercice 7 : Interprétation graphique On considère la fonction définie par f = +, et sa représentation graphique C f. ) Sur quel intervalle D f est-elle définie? Sur quel intervalle D f est-elle dérivable? Calculer sa dérivée, et en déduire les tangente à C f au point d abscisse 0 (si 0 D f bien sûr ) et au bornes de D f (si c est possible). ) La quantité lim + caractéristiques de C f. f eiste-t-elle? Si oui la calculer et en déduire des éléments Eercice 8 : Interprétation numérique ) Ecrire le développement limité de en 0, et en déduire une valeur approchée des nombres suivants : 0,999 et 0,998 ) En utilisant la même technique, calculer une valeur approchée des nombres suivants : i) a = ii) b = 6,9996 iii) c = ( 4,007) 4, 0008 iv) d = v) j = ln (,0005) vi) k = ep(,00), 000 on donne : ln(), e, à vous d utiliser ces valeurs approchées avec la précision adaptée. Eercice 9 : Dérivabilité et continuité Etudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes : ln si -e ) f définie sur par : f : si - e< < e e ln si cos si 0; ) g définie sur + par : g : ln + si > Eercice 0 : Problème de sommes e ( π ) [ ] n Soit n un entier supérieur ou égal à. On considère la fonction : f : ) Déterminer sa dérivée sur ]- ;[ et ] ;+ [ n f = ) Montrer que pour tout réel différent de, ) En déduire une epression de Σ= ( )... n n

4 Eercice : Résonnons! Considérons la formule donnant l impédance d un circuit RLC : R + Lω Cω ) A quoi correspond chacune des lettres de cette formule? Qu eprime cette formule? ) On considère U, ω, R et C constants. Quelle valeur doit avoir L pour que I soit maimum? ) On considère U, ω, R et L constants. Quelle valeur doit avoir C pour que I soit maimum? 4) On considère U, R, L et C constants. Quelle valeur doit avoir ω pour que I soit maimum? (on dit alors que le circuit est en résonance) I = Remarque : utiliser la dérivation n est pas toujours la meilleure méthode. U. Eercice : Racines Soit f la fonction définie sur par : f = ) En étudiant les variations de cette fonction, montrer que l équation (E) : f ( ) = 0 admet solutions (Vocabulaire : ces solutions sont appelées racines du polynôme X X ) ) Calculer cos (α) en fonction de cos (α). Puis, en posant = cos(α), en déduire les trois solutions de (E) sous forme trigonométrique. Eercice : Etude de fonction * On considère la fonction f : ) Déterminer les restrictions de la fonction dérivée f au intervalles ]0 ;[ et ] ;+ [. f estelle dérivable en? Quel est le signe de f ()? (on pourra si nécessaire effectuer le changement de variable : u = ). ) étant supérieur à, mettre f() sous la forme : f = + ε, avec lim ε = 0. + En déduire une asymptote à la courbe représentative de f. ) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Eercice 4 : Bijection or not bijection? Soit f la fonction définie par f ln ( ) = + +. ) Quel sont les domaines de définition et de dérivabilité de cette fonction? ) Quelle est la dérivée de f? ) f est-elle une bijection?

5 Eercice 5 : Etude de fonction sin On cherche à étudier la fonction f définie sur + f par : f ( 0) = ) Dérivation de f : Montrer que f est dérivable sur ]0 ;+ [ et calculer sa dérivée sur cet intervalle. = si ] 0; + [ ) Signe de f : a) Déterminer les nombres réels 0 tels que f()=0. On rangera ces nombres en une suite strictement croissante (a, a,,a k, ). b) Etudier le signe de f. ) Encadrement de f :. a) Prouver que pour tout réel strictement positif, f En déduire la limite de f en +. On rangera ces nombres dans deu suites strictement croissantes (b, b,,b k, ) et (c, c,,c k, ). c) En déduire la position de la courbe C f représentative de f et des courbes H + et H - b) Déterminer tous les nombres réels positifs tels que f = et ceu tels que f représentatives respectivement de et. Comparer les tangentes à C f et H + au point d abscisse b k, ainsi que les tangentes à C f et H - au point d abscisse c k. =. 4) Variations de f : π a) Etudier le signe de tan sur 0;. En déduire le signe de f sur cet intervalle. b) Prouver que pour tout entier k, il eiste un élément k et un seul de π π + kπ ; + kπ tan k = k. Montrer que k > kπ. tel c) En déduire le signe de f sur ]0 ; [, puis sur chaque intervalle ] k ; k+ [, où k *. 5) Etude de f en 0 : a) Prouver que pour tout réel 0, 0 sin. Pour cela, introduire la fonction φ 6 définie sur + par φ = sin +, calculer ses dérivées premières, deuième et 6 troisième, et en déduire le signe de φ. b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f (0). 6) Courbe représentative de f a) Dresser un tableau de variations de f sur [ 0;π ]. b) Tracer sur une même figure les courbes H +, H - et C f en se limitant à l intervalle [0 ; π], et placer les points a k, b k, c k et k. (On utilisera les valeurs approchées 4,49 et 7,7. Unités graphiques : cm sur l ae des abscisses, cm sur l ae des ordonnées.)

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