( ) Trigonométrie - équations. Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STI2D. 1. unité d angle : le radian
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- Julien Charbonneau
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1 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID Trigonométrie - équations 1. unité d angle : le radian Dans un cercle de rayon r, on définit un angle AOB de 1 radian si la longueur de l arc de cercle AB vaut le rayon r. Le demi-périmètre du disque vaut r. r La mesure d un angle plat est donc = rad (rad pour radian) r Par proportionnalité, la mesure d un angle a en degré est donc θ en a radians, tels que θ =. 180 Valeurs remarquables : degrés radians 0 6 La longueur d un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle θ exprimé en radians est : L = θ R θ L'aire d'un secteur circulaire de mesure θ exprimé en radians et de rayon R est 1 R A = θ. Cercle trigonométrique, On considère, dans un repère orthonormé ( O, i, j) le cercle de centre O et de rayon 1. Soit M un point du cercle. OA, OM = θ Il définit un angle orienté ( ) sinθ tanθ L abscisse de M vaut θ. L ordonnée de M vaut sinθ. θ θ Le point H étant le point d intersection entre OM et la tangente au cercle passant par A, ( ) l ordonnée de H vaut tanθ
2 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID Les valeurs particulières (les autres s obtiennent par symétrie, en changeant les signes si nécessaire) : Angle θ en radians 0 inus 1 sinus 0 tangente Mesure principale d'un angle Un angle ( OA,OM) orienté de mesure désigne le même angle qu'un angle orienté de mesure 7 + = (on a fait un tour de cercle dans le sens positif, on se retrouve à la même position). On peut également considérer tours supplémentaires dans le sens positif : 1 OA,OM = + = ( ) - -
3 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID On peut également considérer un tour dans le sens négatif : ( ) 5 OA,OM = = L'angle orienté ( OA,OM) a pour mesure (en radians) :, ou, ou, ou, ou... Mais une seule de ces valeurs appartient à l'intervalle ], ] principale de l'angle ( OA,OM). : c'est. Cette valeur est la mesure /définition Parmi les mesures d'un angle orienté il en existe une et une seule, appelée mesure principale, appartenant à l'intervalle ], ]. Déterminons la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est : 1 1 : on décompose = correspond à un tour complet (sens positif), la mesure principale de 1 est : on décompose = 5 + = correspond à tours complets (sens positif), la mesure principale de 1 5 est : on décompose = = +. correspond à tours complets (sens négatif), la mesure principale de 19 est. - -
4 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID. angles associés s des angles opposés ( θ ) = θ sin( θ ) = sinθ θ + θ des angles supplémentaires ( θ ) = θ sin( ) θ = sinθ θ θ s des angles distants de ( θ + ) = θ sin( ) θ + = sinθ θ + θ s des angles complémentaires θ = sin θ sin θ = θ 5. fonctions inus et sinus Le plan étant muni d un repère orthonormal ( O, OA, OB ) point M sur le cercle trigonométrique tel que la mesure de l angle ( ; ), pour tout réel x, il existe un unique OA OM = x. On appelle inus de x, noté x, l abscisse de M, et sinus de x, noté sin x, l'ordonnée de M. La fonction inus est définie sur R et prend ses valeurs dans l intervalle [ 1 ; 1 ]. La fonction inus est périodique de période, car x R ( x + ) = ( x). Comme elle est périodique, on peut se contenter d'une étude sur l'intervalle [, ] sa courbe sur [, ] serait la translatée de la portion de courbe définie sur [, ] suite., puisque, et ainsi de La fonction inus est paire, car x R, ( x) = x. On peut donc se contenter d'étudier la fonction sur [ 0, ] puisque la courbe définie sur [,0] déduit de celle dé finie sur [ 0, ] par symétrie par rapport à l'axe des abscisses. se La fonction x x est dérivable sur R et sa fonction dérivée est x sin x Si x [ 0, ], sin x 0 donc sin x 0. La fonction inus est strictement décroissante sur [ 0, ]. En posant f ( x) = x, f '( 0) = 0 et '( ) 0 f =, les tangentes en 0 et sont horizontales. - -
5 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID Le tableau de variations est donc : La fonction sinus est définie sur R et prend ses valeurs dans l intervalle [ 1 ; 1 ]. La fonction sinus est périodique, on peut se contenter d'une étude sur l'intervalle [, ], La fonction sinus est impaire, car x R, sin( x) = sin x. On peut donc se contenter d'étudier la fonction sur [ 0, ] puisque la courbe définie sur [,0] déduit de celle dé finie sur [ 0, ] par symétrie par rapport à l'origine. se La fonction x sin x est dérivable sur R et sa fonction dérivée est x x Si x 0,, x 0, la fonction sinus est strictement croissante sur 0,. Si x,, x 0, la fonction sinus est strictement décroissante sur,. En posant f ( x) = sin x, f ' = 0, la tangente en est horizontale. Le tableau de variations est donc : - 5 -
6 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID 6. Résolution d'équations Si a est une mesure de l'angle orienté ( OA,OM) l'équation t = a., alors a k ( k ) De plus, si l'on considère M' le symétrique de M par rapport à ( ) a pour mesure a, et comme a = ( a), a + k' ( k' ) ( OA,OM' ) l'équation t = a. Nous admettons qu'il n'y a pas d'autre solution. Théorème L'équation t a + est solution de = admet pour solutions { a + k ( k ); a + k' ( k' )} Z Z. Exemples L'équation t = admet pour solutions + k ( k ) ; + k ( k 1 L'équation t = t = Elle admet pour solutions ( ); + k k + k' ( k' OA, l'angle orienté est solution de - 6 -
7 Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Première STID Si a est une mesure de l'angle orienté ( OA,OM) l'équation sin t = sin a., alors a k ( k ) + est solution de De plus, si l'on considère M' le symétrique de M par rapport à ( ) a pour mesure a, et comme sin a = sin( a), a k' ( k' ) ( OA,OM' ) de l'équation t = a. Nous admettons qu'il n'y a pas d'autre solution. Théorème L'équation { a + k ( k ); a + k' ( k' )} Exemples L'équation sint sin 6 OB, l'angle orienté + est solution sin t = sin a admet pour solutions Z Z = admet pour solutions + k ( k Z) ; + k' ( k' ) L'équation sin t = sin t = sin Elle admet pour solutions ( ); 5 + k k Z + k' ( k' Remarque : 5 n'est pas une mesure principale d'angle orienté, on lui préférera, et les solutions de l'équation seront donc ( ); + k k + k' ( k' - 7 -
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
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