Fonctions usuelles réelles

Transcription

1 Fonctions usuelles réelles fonctions polynômes et rationnelles 0. les fonctions polynômes Les polynômes seront étudiés en le détail au chapitre 7. définition 4. : n dit que p est une fonction polynôme de degré n à coefficients dans R si et seulement si il existe (a 0,..., a n ) R n+ avec a n 0, tels que : Le coefficient a k s appelle coefficient de degré k. { R R p : x a n x n + a n x n a x + a 0 remarques : les fonctions polynômiales sont définies et dérivables sur R si : n = 0 la fonction est constante n = la fonction polynôme est aussi appelée binôme n = la fonction polynôme est aussi appelée trinôme attention : revoyez bien les règles sur les signes et racines des binômes et trinômes, elles ne seront pas rappelées en cours. 0. les fonctions rationnelles définition 4. : n dit que f est une fonction rationnelle que : si et seulement si il existe p et q deux fonctions polynômes telles f : où D est l ensemble des réels x tels que q(x) 0 D R x p(x) q(x) remarque : Si p et q sont des binômes ( avec p et q non proportionnels), alors f est appelée homographie. 04/05 l. garcia

2 I Exponentielle et logarithme népérien. la fonction exponentielle définition 4.3 : on note exp la fonction exponentielle exp : { R R x exp x = e x. continue et dérivable sur R. strictement croissante de R dans R + =]0; + [. 3. sa propre fonction dérivée : x R, (exp x) = exp x 4. et vaut en 0 et e en : exp 0 =, exp = e.78. la fonction logarithme népérien définition 4.4 : on note ln la fonction logarithme népérien. continue et dérivable sur ]0; + [. ln :. strictement croissante de ]0; + [ dans R. { ]0; + [ R x ln x 3. la primitive de la fonction inverse sur ]0; + [ qui s annule en : x ]0; + [, (ln x) = x et ln = 0 ln x = x t dt 4. vaut en e : ln e =.3 bijections réciproques théorème 4.5 : Les fonctions ln et exp sont des bijections réciproques l une de l autre, c-a-d : x R, ln (e x ) = x, x ]0; + [, e ln x = x et leurs courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère ( droite d équation y = x ) : 04/05 l. garcia

3 y = expx y = x y = lnx.4 Egalités fonctionnelles exponentielle : k Z, x, y R, logarithme népérien : e x.e y = e x+y, e x.e y = ex e y, e x = e x, (ex ) k = e kx, k Z, x, y ]0; + [, ln x + ln y = ln(xy), ln x ln y = ln ( ) ( ) x, ln x = ln, ln(x k ) = k ln x, y x.5 Limites usuelles exponentielle : x + ex = +, x ex = 0 +, e x =, x 0 x L axe des abscisses est donc une donc une asymptote horizontale en à la courbe de la fonction exponentielle. logarithme népérien : ln x = +, x + ln x =, x 0 + ln( + x) = x 0 + x L axe des ordonnées est donc une donc une asymptote verticale à la courbe de la fonction logarithme népérien. Et pour lever les formes indéterminées on dispose de ites de références : 04/05 3 l. garcia

4 Croissances comparées de la fonction exponentielle : e x x + x = +, x + e x x = +, x x.ex = 0 et plus généralement n N, e x x + x n = +, x xn.e x = 0 Croissances comparées de la fonction logarithme népérien : ln x x + x = ln x 0+, = 0 +, x + x x. ln x = 0 + x 0 et plus généralement n N, ln x x + x n = 0+, xn. ln x = 0 x 0 + II fonctions puissances. définition définition 4.6 : Soit α R. on appelle fonction puissance α la fonction : { ]0; + [ R p α : x x α = e α ln x. continue et dérivable sur ]0; + [ avec x ]0; + [, p α(x) = αx α. strictement croissante sur ]0; + [ si α > strictement décroissante sur ]0; + [ si α < constante sur ]0; + [ si α = 0. preuve : en cours cas particuliers 4.7 : si α =, alors x [0; + [, x = x si α =, alors x R, x = x si α = 0, alors x R, x 0 = 04/05 4 l. garcia

5 7 6 y = x y = x y = x y = x y = x remarques : si x ]0; [ alors x < x < x < x 0 < x x < x < x < < x si x ]; + [ alors x < x 0 < x < x < x x < < x < x < x. cas particuliers En fonction du choix du réel α, la définition de la fonction puissance α peut être étendue : cas particuliers 4.8 : { ]0; + [ R Soit α R et p α : x x α = e α ln x si α = n N alors p n peut être définie sur R et si α = n Z alors p n peut être définie sur R et x R, x n = x x... x (n fois) x R, x n = x n si α R + alors p r peut être prolongée en 0 en posant : α R +, 0 α = 0 Attention à bien remarquer que : si α > 0, alors 0 α = 0 si α = 0, alors 0 α = 0 0 =. 04/05 5 l. garcia

6 .3 racines n ie définition 4.9 : Soit r Q +. Alors : la fonction puissance r, p r, est définie sur [0; + [. si r = n, avec n N, la fonction puissance p n : x x n est alors appelée racine n ie. n la note aussi x n x. C est la bijection réciproque de la fonction x x n : et si r = m n avec m N, n N, alors : a 0, x = a n = n a x n = a a 0, ( n a) n = a x ]0; + [, x r = x m n = n x m III Exponentielles de base a ]0; [ ]; + [ 3. définition définition 4.0 : Soit a ]0; [ ]; + [. n appelle exponentielle de base a la fonction : { R ]0; + [ exp a : x exp a (x) = a x = e x ln a. continue et dérivable sur R avec x R, (a x ) = ln(a).a x. strictement croissante sur R si a >. 3. strictement décroissante sur R si 0 < a <. preuve : en cours remarque : si a = e on retrouve la fonction exponentielle simple. si a = la fonction est constante et égale à. Ce n est pas une exponentielle base a. 04/05 6 l. garcia

7 y = 0.5 x y = 0 x 7 y = e x Egalités fonctionnelles propriété 4. : Soient a, b ]0; + [, et x et y deux réels. Alors : a x.a y = a x+y, a x.a y = ax a y, (ax ) y = a xy,, a x b x = (ab) x, a x ( a ) x b x = b remarques : ces propriétés peuvent être appliquées aux fonctions puissances IV Logarithmes de base a ]0; [ ]; + [ 4. définition définition 4. : Soit a ]0; [ ]; + [. on appelle logarithme de base a la fonction : log a :. continue et dérivable sur ]0; + [ avec. strictement croissante sur ]0; + [ si a >. { ]0; + [ R x log a (x) = ln x ln a x ]0; + [, (log x) a = 3. strictement décroissante sur ]0; + [ si 0 < a <. (ln a)x preuve : en cours remarque : si a = e on retrouve la fonction logarithme népérien : log e (x) = ln x si a = 0 on parle de logarithme décimal. 04/05 7 l. garcia

8 5 4 y = log 0.5 (x) y = log e(x) y = log 0 (x) Egalités fonctionnelles propriétés 4.3 : Soient a ]0; [ ]; + [, α R et x et y deux réels strictement positifs. Alors : log a x + log a y = log a (xy), log a x log y = log a ( x y ) ( ), log a x = log a, log x a (x α ) = α log a x, 4.3 bijections réciproques propriétés 4.4 : Soit a ]0; [ ]; + [. Les fonctions exp a et log a sont des bijections réciproques : x ]0; + [, x R, a log a x = x log a (a x ) = x IV les fonctions du type u v 4. définition définition 4.5 : Soient D une partie de R, u et v deux fonctions définies sur D telles que u > 0 sur D. n définit alors la fonction u v par : { D R u v : x (u(x)) v(x) v(x). ln(u(x)) = e 04/05 8 l. garcia

9 V ites des fonctions puissances, exponentielles et logarithme de base a Dans tout le paragraphe le réel a est strictement supérieur à. 5. Limites usuelles propriétés 4.6 : exponentielles : x + ax = +, x ax = 0 +, logarithmes : log a x = +, x + x 0 + log a x =, puissances : Soit α ]0; + [ x + xα = + remarques :. en prenant a = e on retrouve les ites du paragraphe. ( ). si 0 < a < on en déduit les ites en posant ln a = ln avec a a >. 3. en pratique on retient ces résultats en se ramenant à la définition de ces fonctions. 5. croissances comparées Comme pour les fonctions exp et ln on dispose de ites de référence pour lever directement les formes indéterminées : propriétés 4.7 : α > 0, a > et n N, Croissances comparées des fonctions exponentielles : a x x + x α = +,, x xn.a x = 0 Croissances comparées des fonctions logarithmes : log a x x + x α = 0 +, x α. log a x = 0 x 0 + et en prenant comme base a = e : propriétés 4.8 : α > 0 et n N, Croissances comparées des fonctions exponentielles : e x x + x α = +,, x xn.e x = 0 Croissances comparées des fonctions logarithmes : ln x x + x α = 0+, xα. ln x = 0 x 0 + remarques : 04/05 9 l. garcia

10 . Il est préférable de retenir le cas particulier 4.7 uniquement, et de retrouver ensuite les autres résultats.. en prenant a = e et α = n on retrouve les ites du paragraphe. ( ) 3. si 0 < a < on en déduit les ites en posant ln a = ln avec a a >. 4. en pratique on retient ces résultats en se ramenant à la définition de ces fonctions. 5. on dit aussi, pour retenir ces résultats, que les exponentielles l emportent sur les puissances qui l emportent sur les logarithmes. Les croissances comparées peuvent aussi être étendus : α > 0, β > 0 et n N, Croissances comparées des fonctions exponentielles : Croissances comparées des fonctions logarithmes : VI la fonction valeur absolue propriétés 4.9 : n note abs la fonction valeur absolue :. continue R.. Dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0; + [. (a x ) β x + x α = +,, x xn.(a x ) β = 0 (log a x) β x + x α = 0 +, xα.(log a x) n = 0 x 0 + abs : { R R x x Attention : la fonction valeur absolue n est pas dérivable en zéro. 5 4 y = x /05 0 l. garcia

11 VII la fonction partie entière définition 4.0 : n note Ent la fonction partie entière : Ent : { R R x E(x). continue et dérivable R \ Z.. croissante sur R : x, y R, x < y E(x) E(y) Attention : la fonction partie entière est discontinue en tout entier n Z. VIII Fonctions circulaires Les résultats de ce paragraphe seront détaillés et justifiés dans la leçon de trigonométrie ( chap 8 ). 8. Fonction sinus propriété 4. : La fonction sin est définie et dérivable sur R et, x R, sin (x) = cos(x) Preuve : cours sur les complexes propriété 4. : La fonction sinus vérifie : x R, sin x x R, sin( x) = sin x ( elle est impaire) x R, sin(x + π) = sin x (elle est π-périodique) y = sin x 8. Fonction Cosinus propriété 4.3 : La fonction cos est définie et dérivable sur R et, x R, cos (x) = sin(x) Preuve : cours sur les complexes propriété 4.4 : La fonction cosinus vérifie : x R, cos x x R, cos( x) = cos x ( elle est paire) x R, cos(x + π) = cos x (elle est π-périodique). 04/05 l. garcia

12 définition 4.5 : La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée sinusoïde. Représentation : y = cos x 04/05 l. garcia