Objectifs. Circuits Logiques ELE1300. Forme générale d un nombre. Définitions. Connaître et comprendre. Être capable de. Lectures recommandées :

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Jean-René Boudreau
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1 Objectfs Crcuts Logques ELE3 Représentaton des nombres et opératons JP Davd Connaître et comprendre La représentaton d un nombre dans une base quelconque et en partculer dans les formats bnares. Être capable de Convertr un nombre d une base à une autre Réalser des opératons sur les nombres Addton soustracton multplcaton dvson octobre 7 Crcuts logques JP Davd Défntons Forme générale d un nombre Lectures recommandées : Gvone.: Postonal Number System.: Countng n a Postonal Number System Lectures facultatves : Gvone.3 : Basc Arthmetc Operatons [ an an L a a, a a L a m] ( b ) parte entère n chffres parte fractonnare m chffres base octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 octobre 7 Crcuts logques JP Davd

2 Forme générale d un nombre (sute) [ an an L a a, a a L a m] ( b ) b b L b b b b L b n n m Exemple 5 = = = ((((().).).).). Valeur : a b a b L a b a n n n n a b a b L a b m m 3 6 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 5 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 6 Exemple Quelques bases ustées / / / / 6 / 3 / 6 Base 5 5,5 /3 SYSTÈME BASE CHIFFRES BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL 6 Exemples : a a a a {,} {,,,3,,5,6,7} {,,,3,,5,6,7,,9} {,,,3,,5,6,7,,9,A,B,C,D,E,F} 3 3,( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,36( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 3 ( ) = ( ) 6( ) ( ) 3,6( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) 6( ) ( ) A,( ) = ( ) ( ) ( ) ( 6) A( 6) ( 6) ( 6) ( 6) octobre 7 Crcuts logques JP Davd 7 octobre 7 Crcuts logques JP Davd

3 Quelques bases ustées (sute) Conversons BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL A B C D E F Lectures recommandées : Gvone. : Polynomal Method of Number Converson.5 : Iteratve Method for Convertng Integers.6 : Specal Converson Procedures octobre 7 Crcuts logques JP Davd 9 octobre 7 Crcuts logques JP Davd Converson par multplcaton Exemples : () = ((((()x)x)x)x)x = 5 5 = (5) x = () x () = () Converson par dvson Exemples : 5 / = 5 reste (LSB) 5 / = reste / = 6 reste 6 / = 3 reste 3 / = reste / = reste (MSB) () / () = () reste () () () / () = () reste () (5) octobre 7 Crcuts logques JP Davd octobre 7 Crcuts logques JP Davd

4 Bnare, octal et hexadécmal bnare 5 7 octal 9 5 F hexa Justfcaton? Conv. de base par dvson Arthmétque Lectures recommandées : Gvone.7 : Sgned Numbers and Complements. : Addton and Subtracton wth r s Complements.9 : Addton and Subtracton wth (r) s Complements octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 octobre 7 Crcuts logques JP Davd L addton bnare : 7 Le décalage octobre 7 Crcuts logques JP Davd /,75 6,375 3, octobre 7 Crcuts logques JP Davd 6 / / / 6 / 3 / 6 Base 5 5,5,

5 La multplcaton La soustracton : 7 3 x 35 = ( x x 3) x 35 = 3 x 35 = 5 x 35 x = 7 x 35 x = 35 = en base : () x () = ( x () x () ) x () = x () = () x () x () = () x () x () = () = () octobre 7 Crcuts logques JP Davd 7 octobre 7 Crcuts logques JP Davd La soustracton : 79 Les nombres négatfs Sot une archtecture bts () N () (sot 55) 56 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 9 () = () () S ( () ) =, alors () = Toutes les opératons sont % (modulo) 56 Les nombres négatfs sont en fat 56n 55, 5, = (3 55) % 56 = 55 = (55 55) % 56 = 5 3 = ( 53) % 56 = 5 (=56) octobre 7 Crcuts logques JP Davd

6 La notaton complément à Sot un nombre V de N bts V[N ] Comment savor s sa valeur est : V[N..] ou V[N..] N 5 ou (556) On défnt que V[N] est le bt de sgne S V[n] =, alors V est postf V = V[N..] S V[n] =, alors V est négatf V = V[N..] N V = V[N] ( N ) V[N..] En bts, on peut représenter les nombres enters de à 7 octobre 7 Crcuts logques JP Davd Le calcul du complément à Par défnton : / x = N x Par soustracton : x Par complément à : N x = ( N ) x = /x / ( () ) = () () = () = () octobre 7 Crcuts logques JP Davd Retour à la soustracton La dvson bnare octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 () () () 76 = x 6 () 76 () 3 () 9 () 96 () = x () () = x () () reste () / = 7,reste octobre 7 Crcuts logques JP Davd

7 Vrgule fxe Exemples en vrgule fxe La représentaton en vrgule fxe sgnfe que l on fxe le nombre de bts de la parte fractonnare Ex : 5 bts d enter 3 bts après la vrgule Pour les addtons soustractons Aucun changement Pour les multplcatons/dvsons Remettre la vrgule au bon endrot En vrgule fxe = / (75 67). (). () =. () ( () () ) =. () ( () ) =. () x.75 = (/) x (75 x 67) =. () ( () x () ) =. () ( () ) =. () (fxe.6) Convertr en vrgule fxe De 37, par / successves, on a : () De.69, par x successves, on a :. () =. () octobre 7 Crcuts logques JP Davd 5 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 6 Crcuts usuels Le dem addtonneur Lectures recommandées Gvone Chaptre 5 : Logc Desgn wth MSI Components and Programmable Logc Devces Addton de deux bts (demaddtonneur bnare) A B R S A et B : cumulande et cumulateur S : somme R : retenue S = A B R= AB A B S R octobre 7 Crcuts logques JP Davd 7 octobre 7 Crcuts logques JP Davd

8 Addtonner n bts L addtonneur complet Addtonneur bnare complet a n b n r n s n n rn r3 r r a L a a a a n 3 b L b b b b n 3 r s L s s s s n 3 a b a b r n r 3 r r s s a b s r = r a b s r a b r s = r ab r ab rab ra b a b r r = ra rb ab octobre 7 Crcuts logques JP Davd 9 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 L addtonneur complet (sute) L addtonneur complet (sute) s = r ab r ab rab ra b ( ) ( ) = r a b ab r ab a b ( ) ( ) ( ) = r a b r a b = r a b a b r s = r ( a b ) r = ra rb ab ( ) ou = r ab a b ab ( ) = r a b ab r a b r a b a b a b r ( ) r = r a b ab octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3

9 a b r a b a b Ô temps s s s Inconvénent de l addtonneur tératf : Déla de propagaton des retenues Cet addtonneur à 3 bts a un chemn crtque (le plus long chemn de l entrée à la sorte) de 7 portes. La longueur du chemn crtque est proportonnelle au nombre de bts et le déla qu l engendre peut faclement devenr excessf pour des addtonneurs de large talle. Soluton : Crcut d antcpaton de retenues (en anglas : «Carry Lookahead Network») r = r p g où p = a b (ou ben a b ) et g = ab r = rp g Antcpaton des retenues ( ) r = r p g = r p g p g = r p p g p g ( ) r = r p g = r p p g p g p g = r p p p g p p g p g 3 rn = rppplpn gpplpn gplpn gp3lpn L L g p p p g p p g p g n n 3 n n n 3 n n n n n r octobre 7 Crcuts logques JP Davd 33 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3 Ex. sur un addtonneur bts Exemple (sute) r g p g p g p 3 g 3 r r 3 a a a a 3 b b b b 3 s s s Chemn de portes g p g p g p 3 g 3 s 3 r Crcut d antcpaton des retenues r r r 3 r r octobre 7 Crcuts logques JP Davd 35 octobre 7 Crcuts logques JP Davd 36

10 Addton/soustracton [ a a La a a ] [ b b Lb bb ] n n n n Addton/soustracton (sute), addton Unté arthmétque bnare avec commande de l opératon c =, soustracton b n b b b b n b b b a n a a a a n a a a r n r 3 r r r n r 3 r r r = r r n s n s s s r n s n s s s d octobre 7 Crcuts logques JP Davd 37 détecton de débordement octobre 7 Crcuts logques JP Davd 3

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