La proposition «Si n Æalors n et n» est vraie. Par contre, la réciproque «Si n et n alors n Æ» est fausse. (Il suffit de choisir n= 1)

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1 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 I ENSEMBLES DE NOMBRES 1 NOMBRES ENTIERS NATURELS Æ DÉFINITION L ensemle des entiers nturels, noté Æ = {0;1;;3;;...}. C est l ensemle des nomres positifs qui permettent de compter une collection d ojets. On note Æ ou Æ {0} l ensemle des entiers nturels non nuls. 5 Æ; 5 / Æ; 5 3 Æ; / Æ; 0 Æ; 0 / Æ 5 L nottion «x E» signifie que l élément x pprtient à l ensemle E. L nottion «x / E» signifie que l élément x n pprtient ps à l ensemle E. NOTIONS D ARITHMÉTIQUE Soient et deux nomres entiers nturels. on dit que divise lorsqu il existe un entier nturel q tel que = q. (on dit encore que est un diviseur de ou que est un multiple de ) Un entier nturel p est un nomre premier lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et p. NOMBRES ENTIERS RELATIFS L ensemle des nomres entiers reltifs est = {...; ; 1;0;1;;3;...}. Il est composé des nomres entiers nturels et de leurs opposés. En prticulier, l ensemle Æ est contenu (ou inclus) dns, ce que l on note «Æ». L proposition «Si n Ælors n et n» est vrie. Pr contre, l réciproque «Si n et n lors n Æ» est fusse. (Il suffit de choisir n= 1) 3 NOMBRES DÉCIMAUX { n } L ensemle des nomres décimux est = 10 k où n et k Æ. Ce sont les nomres dont l écriture décimle n qu un nomre fini de chiffres près l virgule. 13 ; 0,3333 ; 1 3 / ; 3 ; 3,116 ; π /. NOMBRES RATIONNELS É { } L ensemle des nomres rtionnels est É = où,. C est l ensemle des nomres qui s écrivent comme le quotient d un entier pr un entier non nul. L frction vec 0 est dite irréductile lorsque le numérteur et le dénominteur n ont ps de fcteurs communs (utres que 1 ou 1). L prtie décimle d un nomre rtionnel est infinie et périodique à prtir d un certin rng. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 1 sur 5

2 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 L division pr 0 est interdite : l écriture 0 n ucun sens. 13 É; 0,5 É; 1 3 É; 7 É; / É; π / É. 5 NOMBRES RÉELS Ê Dès l ntiquité, on vit découvert l insuffisnce des nomres rtionnels. Pr exemple, il n existe ps de rtionnel x tel que x = on dit que est un irrtionnel. L ensemle de tous les nomres rtionnels et irrtionnels est l ensemle des nomres réels noté Ê Chque nomre réel correspond à un unique point de l droite grduée. Réciproquement, à chque point de l droite grduée correspond un unique réel, ppelé scisse de ce point. INCLUSIONS Ê cos30 É 0, π On : Æ É Ê. 0 1 Æ II INTERVALLES ET INÉQUATIONS 1 INTERVALLES Soient < deux nomres réels : L ensemle des réels x tels que x est l intervlle [; L ensemle des réels x tels que <x< est l intervlle ;[ L ensemle des réels x tels que x< est l intervlle [;[ L ensemle des réels x tels que x< est l intervlle ; L ensemle des réels x tels que x est l intervlle [;+ [ L ensemle des réels x tels que <x est l intervlle ;+ [ L ensemle des réels x tels que x est l intervlle ; L ensemle des réels x tels que x< est l intervlle ;[ [; ;[ [;[ ; [; + [ ; + [ ; ;[ A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 5

3 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 Écrire sous forme d intervlle les ensemles de nomres réels suivnts : 1. x 3. L ensemle cherché est constitué de tous les nomres réels x inférieurs ou égux à 3. Il s git de l intervlle ; 3.. 3<x. L ensemle cherché est constitué de tous les nomres réels x strictement supérieurs à 3 et inférieurs ou égux à. Il s git de l intervlle 3;. INTERSECTION ET RÉUNION D INTERVALLES Soient I et J deux intervlles de Ê. L intersection des intervlles I et J, notée I J est l ensemle des réels qui pprtiennent à l intervlle I et à l intervlle J : Si x I et x J, lors x I J ( se lit inter) L réunion des intervlles I et J, notée I J est l ensemle des réels qui pprtiennent à l intervlle I ou à l intervlle J : Si x I ou x J, lors x I J ( se lit union) 1. Soient les intervlles I = ; 3 et J = 3; 5. ) L intersection des deux intervlles I J est l ensemle des réels x tels que : x 3 et 3 < x 5 soit I J = 3;3. ) L réunion des deux intervlles I J est l ensemle des réels x tels que : x 3 ou 3 < x 5 soit I J = ;5.. L ensemle des réels non nuls Ê est l ensemle des réels x ;0[ 0;+ [. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 3 sur 5

4 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 EXERCICE 1 1. Quelle est l différence entre le crré de 7 et l somme des sept premiers nomres impirs?. Les nomres 15, et 376 sont-ils divisiles pr 8? L conjecture «Si l somme des chiffres d un nomre entier est divisile pr huit lors ce nomre est divisile pr huit» est-elle vrie ou fusse? 3. et sont deux nomres premiers tels que < et + est un nomre premier. Déterminer.. Quel est le plus petit nomre de cues que contient une oîte de dimensions 63 cm, 5 et 18 cm? 5. L somme de trois entiers consécutifs est-elle divisile pr 3? 6. Le produit de trois entiers consécutifs est-il divisile pr 8? 7. ) Soit n un entier nturel, développer le produit (n + 1)(n + ). En déduire une fctoristion de E(n)=(n + 3n+1) 1 ) Lorsque l on ugmente de 1 le produit de qutre nomres entiers consécutifs, otient-on un crré prfit? EXERCICE Avnt d effectuer s tournée un représentnt fit le plein d essence. Au cours de ses déplcements, il rjoute dns son réservoir une première fois,7 litres d essence et une deuxième fois 18,9 litres. À son retour, il constte qu il mnque 11,5 litres pour refire le plein du réservoir d une cpcité de 60 litres. Schnt que l consommtion moyenne du véhicule est de 5,8 litres pour 100 kilomètres, quelle est l distnce prcourue pr ce représentnt u cours de s tournée? EXERCICE 3 1. Donner trois nomres rtionnels compris entre 6 11 et Quel nomre fut-il jouter u numérteur et u dénominteur de l frction 6 7 pour otenir l inverse de 6 7? EXERCICE Simplifier l écriture des nomres suivnts, puis indiquer lesquels sont des nomres décimux : = ; = ; c= ; d = EXERCICE 5 Pour chcun des nomres suivnts, simplifier l écriture puis, en déduire le plus petit ensemle (Æ,, É ou Ê ) uquel il pprtient : ( A= 1 ) ( ) ; B= ; C = ; D= ; E = 3 3 ; F = ; ( ) ( G= ; H = ; I = 1 + 1). 3 8 EXERCICE 6 1. Le réel = 1+ 5 est-il solution de l éqution x x 1=0?. Soit le réel = 1 5. Vérifier que 1+ 1 =. 3. L opposé du réel est-il égl à l inverse du réel? A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 5

5 0 septemre 016 ENSEMBLES DE NOMBRES nde 3 EXERCICE 7 1. Montrer que pour tout entier nturel n, le réel n+1+ n est l inverse du réel n+1 n En déduire l vleur de A= EXERCICE 8 Soit E = x 3 x 5x 1. Clculer E pour x= 1 ou x= 1 ou x=. Peut-on conclure que pour tout réel x, E = 1? EXERCICE 9 Les églités suivntes sont elles vries ou fusses? 1. (x ) ( x + x+ ) = x x 3 x + 6. (x+) ( x x 1 ) = x 3 x 3. (x 3) ( x + x+1 ) = x 3 5x + 7x 3 EXERCICE 10 Développer et réduire les expressions suivntes : A=15x (x+3) ; B=(x+)(x ) (x+1) ; C=( ) (+) EXERCICE 11 Fctoriser les expressions suivntes : A=9x 1x+1; B=(x+3) 16; C=x 5 (x+5)(1 x) EXERCICE 1 1. x= + et y=, exprimer x y en fonction de et.. x+y= et xy=. Exprimer (x y) en fonction de et. EXERCICE 13 Compléter pr l un des symoles :, /. [ 333 π ; ; ; 1 [ 1 ; 0,... 5 ;+ ;... [ 7 5 ;1,1 [ EXERCICE 1 1. Dns chcun des cs suivnts, écrire sous forme d intervlle l ensemle des nomres réels vérifint l condition donnée. ) x 3 7 ; ) 3 < x ; c) 3 <x 3; d) x>. Trduire chcune des informtions ci-dessous pr une ou des inéglités. ) x ; 5 [ ; ) x ;+ [; c) x 6 ; ; d) x 10 1 ; 1 10 EXERCICE Déterminer l ensemle S 1 des solutions de l inéqution x 3>0. Déterminer l ensemle S des solutions de l inéqution 1 x Déterminer l ensemle S 3 des solutions de l inéqution x+3 5x+1. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 5 sur 5