1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées."

Transcription

1 Agrégtion de Mthémtiques CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement si elle est limite uniforme d une suite de fonctions en esclier. Crctéristion des fonctions réglées. f : [, b] C est réglée si et seulement f dmet une limite à guche et à droite en tout point. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. L définition de l intégrle de Riemnn des fonctions en esclier s étend ux fonctions réglées de mnière unique de l mnière suivnte : Si (f n est une suite de fonctions en esclier( convergent uniformément vers f sur [, b], lors l suite des b intégrles f n(xdx converge vers un nombre, indépendnt de l suite (f n, que l on note b f(xdx. n 2. Fonctions Riemnn-intégrbles. Définition d une fonction Riemnn-intégrble. Une ppliction f : [, b] C est Riemnn-intégrble si pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en esclier ϕ : [, b] C et µ : [, b] R + telles que t [, b], f(t ϕ(t µ(t et b µ(xdx < ε. Théorème et définition. Construction de l intégrle des fonctions Riemnn-intégrbles. Soit f : [, b] C une fonction Riemnnintégrble. En donnnt à ε les vleurs d une suite (ε n positive et tendnt

2 Résumé du cours d intégrtion. 2 vers 0 dns l définition, on voit qu il existe deux suites (ϕ n et (µ n de fonctions en esclier sur [, b] telles que b n N, f ϕ n µ n, lim µ n (xdx = 0. n + ( b L suite ϕ n(xdx est lors une suite de Cuchy, donc convergente. S limite ne dépend ps du choix des fonctions en escliers ϕ n et µ n. On l note b f(xdx. Théorème. Crctéristion des fonctions Riemnn-intégrbles. f : [, b] C est Riemnn-intégrble si et seulement si f est bornée, continue suf sur un ensemble négligeble. Théorème de convergence uniforme des suites de fonctions intégrbles. Soit (f n une suite de fonctions intégrbles de [, b] dns C qui converge uniformément sur [, b] vers une fonction f. Alors, f est intégrble et b b lim f n (xdx = f(xdx. n + 3. Sommes de Riemnn. Somme de Riemnn. Soient f : [, b] C et (x i 0 i n une subdivision de [, b]. On ppelle somme de Riemnn ssociée à f reltivement à cette subdivision toute somme S(f, σ, ξ = n (x i x i 1 f(ξ i, i=1 où, pour tout i {1,..., n}, ξ i [x i 1, x i ] et ξ = (ξ i 1 i n. Théorème. f : [, b] C est Riemnn-intégrble si et seulement si les sommes de Riemnn ssociées à f convergent qund le ps de l subdivision tend vers 0 (en prticulier, elles convergent vers l intégrle de f sur [, b].

3 3 Agrégtion : Intégrtion. 4. Intégrles générlisées. Critère de Riemnn. Soit α R dx converge si et seulement si α > 1. xα dx converge si et seulement si α < 1. xα Règle de comprison. Soient f, g : [, b[ R + continues pr morceux sur tout segment fermé borné inclus dns [, b[. Si f = O(g u voisinge de b et si b g(xdx converge, lors b f(xdx converge. Critère de Bertrnd. Soient α, β R. 2 dx x α converge si et seulement si (α > 1 ou (α = 1 et β > 1 ln x β Absolue convergence. Toute intégrle bsolument convergente est convergente. Règle d Abel. Soit f : [, b[ R + de clsse C 1 et g : [, b[ C continue telle que f soit décroissnte et tend vers 0 en b, et il existe M > 0 tel que, pour tout x [, b[, x g(tdt M. Alors b f(tg(tdt converge. 5. Mesure de Lebesgue dns R. Définition. L mesure extérieure de tout intervlle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert et ynt pour extrémités < b est le nombre réel positif b. On le note m (I On étend l mesure extérieure à tous les ouverts de R de l mnière suivnte : Proposition et définition. Tout ouvert de R est réunion dénombrble disjointe d intervlles ouverts ] n, b n [ pour n N. Cette écriture est unique. L mesure extérieure d un tel ouvert ser lors (b n n.

4 Résumé du cours d intégrtion. 4 Définition. Soit A R borné. L mesure extérieure de A est m (A = inf{m (U, U ouvert et A U}. Si A [, b], l mesure intérieure de A est m (A = (b m ([, b] \ A. Si mintennt A est non borné, les mesures extérieure et intérieure de A sont m (A = lim n + m (A [ n, n] et m (A = lim m (A [ n, n] n + On dit que A est mesurble si et seulement si m (A = m (A. On note m(a l vleur commune. m(a est l mesure de Lebesgue de A. L ensemble des mesurbles forme une tribu (cf. section 6 et l mesure de Lebesgue est une mesure(cf. section Tribus Définition. Soit un ensemble et A P(. On note A c = \ A. Soit T P(. On dit que T est une tribu si (1 T (2 A P(, A T A c T (3 (A n n P( N, A n T. On dit lors que (, T est un espce mesurble et que tous les éléments de T sont les ensembles mesurbles. On ppelle mesure positive sur (, T toute fonction µ : T [0, + ] telle que (1 µ( = 0 ( (2 (A n n P( N, deux à deux disjoints, µ A n = µ(a n. On dit lors que (, T, µ est un espce mesuré. Si µ( < +, on dit que µ est une mesure finie. Si = A n où µ(a n <, on dit que µ est σ finie.

5 5 Agrégtion : Intégrtion. Mesure de Lebesgue sur [, b]. On prend = [, b]. T est l tribu M [,b] des sous-ensembles mesurbles de [, b] pour l mesure de Lebesgue m. ([, b], M [,b], m est un espce mesuré, et m est une mesure finie. Mesure de Lebesgue sur R. On prend = R. T est l tribu M R des sous-ensembles mesurbles de R pour l mesure de Lebesgue m.(r, M R, m est un espce mesuré, et m est une mesure σ finie. Mesure de Dirc en un point. Soit un ensemble muni de l tribu T = P(. Si, on définit l mesure de Dirc en pr δ (A = 1 si A T et pr δ (A = 0 si A T. Mesure de comptge sur N. On prend = N. T est l tribu P(N et µ d est l mesure de comptge, c est-à-dire que µ d (A est égl u crdinl de A, pour tout A P(N. (N, P(N, µ d est un espce mesuré, et µ d est une mesure σ finie. 7. Fonctions mesurbles. Définition. Soient (, T et (, T deux espces mesurbles et f :. On dit que f est (T, T mesurble (ou plus simplement mesurble si et seulement si, A P(, A T f 1 (A T. Proposition. Soit f n : R une suite de fonctions mesurbles qui converge simplement vers une fonctions f : R. Alors f est mesurble. 8. Intégrtion. Théorème de l convergence monotone ou théorème de Beppo- Levi. Soit (f n n une suite de fonctions mesurbles, croissnte presque prtout à prtir d un certin rng. Si f = lim n + f n (qui existe presque prtout et définit une fonction mesurbles à vleurs dns R, lors f dµ = lim f n dµ. n +

6 Résumé du cours d intégrtion. 6 Corollire. Si (u n n est une suite de fonctions mesurbles positives presque prtout à prtir d un certin rng, lors ( u n dµ = u n dµ. Théorème de Ftou. Soit (f n une suite de fonctions mesurbles positives presque prtout à prtir d un certin rng. Alors lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Théorème de l convergence dominée (Lebesgue Soit (f n une suite de fonctions mesurbles de dns C qui converge simplement vers f presque prtout. On suppose qu il existe g : R + intégrble telle que, n N, f n g presque prtout; lors : (i les f n et f sont intégrbles. (ii lim f f n dµ = 0. n + (iii f dµ = lim f n dµ. n Applictions ux séries. Soit (u n = f(n une série bsolument convergente. Si = N, T = P(N et µ = µ d est l mesure de comptge, on u n = f dµ d. Théorème de l convergence dominée pour les séries. Soit ( n (m n,m N une fmille de nombres complexes. On suppose qu il existe une série c n de réels positifs ou nuls qui converge et telle que, pour tout (n, m N 2, on it n (m c n. On suppose de plus que, pour tout n N, lim m + n (m = b n. Alors b n < + et N lim m + n (m = b n. Théorème d intégrbilité termes à termes des séries de fonctions. Soit (u n une suite de fonctions de L 1 (. On suppose que un 1 < +.

7 7 Agrégtion : Intégrtion. Alors : - L série de terme générl (u n converge bsolument presque prtout ; - f(x = u n(x est définie p.p et est intégrble ; Corollire. L 1 ( est complet. f(x dµ(x = u n dµ. Théorème de continuité et de dérivtion sous le signe somme pour un intervlle compct. Soient < b deux réels, (E, d un espce métrique, et f : [, b] E C. Si f est continue, lors l ppliction F (x = b f(t, xdt est continue sur E. - Si I est un intervlle de R et si f : [, b] I C est telle que f x existe et est continue sur [, b] I, lors l ppliction F (x = b f(t, xdt est de clsse C 1 sur I et F (x = b f x (t, xdt. - Si U est un ouvert de C et si f : [, b] U C est continue et telle que z f(t, z est holomorphe, lors l ppliction F (z = b f(t, zdt est holomorphe sur U et, pour tout n N, F (n (z = b n f z (t, zdt. n Théorème de continuité sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et (E, d un espce métrique. Soit f : E C telle que : i. Pour tout x E, t f(t, x L 1 ( ii. Pour presque tout t, x f(t, x est continue. iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout x, f(t, x g(t. Alors l ppliction F : x f(t, xdµ(t est continue. Théorème de dérivtion sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et I un intervlle de R. Soit f : I C telle que : i. Pour tout x E, t f(t, x L 1 ( ii. Pour presque tout t, x f(t, x est dérivble. iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout x, f x (t, x g(t. Alors l ppliction F : x f(t, xdµ(t est dérivble, et F (x = f x (t, xdµ(t.

8 Résumé du cours d intégrtion. 8 Théorème d holomorphie sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et U un ouvert de C. Soit f : U C telle que : i. Pour tout z U, t f(t, z L 1 ( ii. Pour presque tout t, z f(t, z est holomorphe iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout z U, f(t, z g(t. Alors l ppliction F : z f(t, zdµ(t est holomorphe dns U, et pour tout n N, F (n (z = f z (t, zdµ(t. n 9. Intégrles multiples. Définition. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. On note T 1 T 2 l tribu engendrée pr les ensembles de l forme A 1 A 2 où (A 1, A 2 T 1 T 2. Il existe une unique mesure notée µ 1 µ 2 telle que (A 1, A 2 (T 1, T 2, µ 1 µ 2 (A B = µ 1 (A 1 µ 2 (A 2. Cette mesure est l mesure produit de µ 1 et µ 2. Théorème de Tonelli. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. Soit f : ( 1 2, T 1 T 2 [0, + ] mesurble. Alors ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, ydµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, ydµ 1 (x dµ 2 (y. 1 2 Théorème de Fubini. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. Soit f : ( 1 2, T 1 T 2 [0, + ] intégrble, c est-àdire que ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, y dµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, y dµ 1 (x dµ 2 (y <

9 9 Agrégtion : Intégrtion. Alors : - pour presque tout x 1, y 2 f(x, y est intégrble - pour presque tout y 2, x 1 f(x, y est intégrble - L fonction x 1 2 f(x, ydµ 2 (y est définie presque prtout et intégrble - L fonction y 2 1 f(x, ydµ 1 (x est définie presque prtout et intégrble et on : ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, ydµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, ydµ 1 (x dµ 2 (y. 1 C est en prticulier le cs si l un des nombres ( ( f(x, y dν(y dµ(x ou X est fini. Y 2 Y X f(x, y dµ(x dν(y Théorème de chngement de vrible. Soit U un ouvert de R n et f L 1 (U. Soit ϕ : U U un C 1 difféomorphisme. Alors f(ϕ(t Jϕ(t dt = f(xdx, U U où Jϕ(t est le jcobien u point t U de l fonction ϕ. 10. Espces L p. Pour 1 p < +, on note L p ( = {f/ f p L 1 (}. On note f p = ( f p dµ 1/p. L est l ensemble des fonctions mesurbles dont le module est borné pr une constnte C presque prtout. On note f = inf{c/ f C p.p.}. Inéglité de Hölder. Soient f L p ( et g L q ( vec 1 p + 1 q = 1 et 1 p. Alors fg L 1 ( et fg 1 f p g q.

10 Résumé du cours d intégrtion. 10 Inéglité de Minkowski. L p ( est un espce vectoriel et p est une norme pour tout 1 p. Théorème de Riesz-Fischer. 1 p. L p est un espce de Bnch pour tout Inéglité de Jensen. Soit (, T, µ un espce mesuré tel que µ( = 1. Soient < b R et f : ], b[ un élément de L 1 (. Soit ϕ :], b[ R convexe. Alors on l inéglité ( ϕ f dµ (ϕ fdµ. 11. Convolution, Régulristion et pproximtion pr convolution. Théorème. Soient f L 1 (R n et g L p (R n vec 1 p +. Alors, pour presque tout x R n, l fonction y f(x yg(y est intégrble sur R n. On pose f g(x = f(x yg(ydy R n Alors f g L p (R n et f g p f 1 g p. Proposition et définition. Soit R n un ouvert et f : R. On considère l fmille de tous les ouverts (ω i i I de tels que, pour tout i I, f = 0 p.p. sur ω i. On pose ω = i I ω i. Alors f = 0 p.p. sur ω. Pr définition, supp f = \ ω. Proposition. Soient f L 1 (R n et g L p (R n. Alors supp (f g supp f + supp g. Pour k N, note C k o (R n l ensemble des fonctions de clsse C k et à support compct. Proposition. Soient f C k o (R n et g L 1 loc (Rn. Alors f g C k (R n et D α (f g = (D α f g,

11 11 Agrégtion : Intégrtion. pour α = α α n k et D α = α 1 x 1 α n x n. En prticulier, si f C o (R n et g L 1 loc (Rn, lors f g C (R n. Définition. On ppelle suite régulrisnte toute suite (ρ k de fonctions telles que ( ρ k Co (R n, supp ρ n B 0, 1, ρ k = 1, ρ k 0 sur R n. k Théorème. Soit f L p (R n vec 1 p < +. Alors ρ k f converge vers f dns L p (R n. Corollire. Soit R n un ouvert quelconque. Alors l ensemble D( des fonctions C à support compct dns est dense dns L p ( pour 1 p < Clculs d intégrles pr l méthode des résidus. 1. Clcul des intégrles P (x Q(x dx où P et Q sont deux polynômes, Q ne s nnule ps sur R, et deg Q deg P + 2. On considère f(z = P (z Q(z que l on intègre sur le contour γ R R O +R et on fit tendre R vers +. Le résultt est 2πi res (f, Im z > 0.

12 Résumé du cours d intégrtion Clcul des intégrles P (x Q(x eitx dx où P et Q sont des polynômes, Q ne s nnule ps sur R, et deg Q deg P + 1. On considère f(z = P (z Q(z eitz que l on intègre sur le contour γ R R O +R t > 0 R t < 0 O +R γ R et on fit tendre R vers +. Le résultt est 2πi res (f, 1/2 pln.

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Produits d espaces mesurés

Produits d espaces mesurés Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

ANALYSE FONCTIONNELLE : Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna, Espaces de Hardy, et. une introduction aux opérateurs de Toeplitz et de Hankel

ANALYSE FONCTIONNELLE : Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna, Espaces de Hardy, et. une introduction aux opérateurs de Toeplitz et de Hankel UNIVERSITÉ LYON I COURS DE MASTER, 2ième année (MATHÉMATIQUES PURES) ANALYSE FONCTIONNELLE : Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna, Espaces de Hardy, et une introduction aux opérateurs de Toeplitz

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................

Plus en détail

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad Cours de Mthémtiques L1 Résumé des chpitres Hssn Emmird Université de Poitiers Version 29/21 TABLE DES MATIÈRES 3 Tble des mtières 1 Nombres complexes 5 1.1 Le corps C.....................................

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI Exercices de mathématiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des matières Généralités sur les fonctions 2 2 Continuité 3 3 Dérivabilité 4 4 Fonctions de classes C k 5 5 Bijections

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

4 Espaces topologiques vectoriels

4 Espaces topologiques vectoriels 4 Espaces topologiques vectoriels Il existe des exemples importants d espaces vectoriels pour lesquels la notion naturelle de convergence n est pas engendrée par une norme. C est le cas, par exemple, de

Plus en détail

Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l Agrégation Interne 6 mars 205 Table des matières Suites de nombres réels. Développement décimal

Plus en détail

rf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse

rf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse page 8 AGREGATIN de MATHEMATIQUES: 1991 1/5 externeanalyse concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse NTATINS ET DGFINITINS Dans tout le problème, R+ désigne l intervalle

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Progrmmes des clsses préprtoires ux Grndes Ecoles Filière : scientifique Voie : Mthémtiques et physique (MP) Discipline : Mthémtiques Seconde nnée Clsse préprtoire MP Progrmme de mthémtiques Tble des mtières

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Mesures et Intégration

Mesures et Intégration Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des

Plus en détail

Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Examen du cours de Mesures de risque en finance

Examen du cours de Mesures de risque en finance Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et

Plus en détail

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures! SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Electromagne tisme 2 : Induction

Electromagne tisme 2 : Induction Electromgne tisme : Induction Induction de Neumnn Eercice 1 : Clcul d une force électromotrice induite n dispose d'un cdre crré fie de côté comportnt N spires d'un fil conducteur d'etrémités A et C dns

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant.

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant. Annexe A MESSAGE TYPE 8. COMMENTAIRES DES DEFINITIONS DE L ANNEXE NOTIONS ET METHODES DE MESURE 1. TERRAIN DE RÉFÉRENCE 1.1 Terrin de référence Le terrin de référence équivut u terrin nturel. S il ne peut

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Equations aux Dérivées Partielles

Equations aux Dérivées Partielles Equations aux Dérivées Partielles Tony Lelièvre 29-2 Après avoir considéré dans le capitre précédent des équations d évolution pour des fonctions ne dépendant que du paramètre temps, nous nous intéressons

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges Mathématiques Résumé du cours en fiches MPsi MP Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l université de Limoges Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 Analyse dans

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques. Hervé Le Dret

Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques. Hervé Le Dret Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques Hervé Le Dret 4 mars 2010 2 Table des matières 1 Rappels en tous genres 7 1.1 Les théorèmes de convergence de Lebesgue............ 7 1.2

Plus en détail

Intégrale stochastique

Intégrale stochastique Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t

Plus en détail

Analyse Complexe, L3, printemps 2014

Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Interro n 1 Les 10 exercices sont indépendants. Pour chaque exercice 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles

Plus en détail