1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

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1 Agrégtion de Mthémtiques CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement si elle est limite uniforme d une suite de fonctions en esclier. Crctéristion des fonctions réglées. f : [, b] C est réglée si et seulement f dmet une limite à guche et à droite en tout point. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. L définition de l intégrle de Riemnn des fonctions en esclier s étend ux fonctions réglées de mnière unique de l mnière suivnte : Si (f n est une suite de fonctions en esclier( convergent uniformément vers f sur [, b], lors l suite des b intégrles f n(xdx converge vers un nombre, indépendnt de l suite (f n, que l on note b f(xdx. n 2. Fonctions Riemnn-intégrbles. Définition d une fonction Riemnn-intégrble. Une ppliction f : [, b] C est Riemnn-intégrble si pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en esclier ϕ : [, b] C et µ : [, b] R + telles que t [, b], f(t ϕ(t µ(t et b µ(xdx < ε. Théorème et définition. Construction de l intégrle des fonctions Riemnn-intégrbles. Soit f : [, b] C une fonction Riemnnintégrble. En donnnt à ε les vleurs d une suite (ε n positive et tendnt

2 Résumé du cours d intégrtion. 2 vers 0 dns l définition, on voit qu il existe deux suites (ϕ n et (µ n de fonctions en esclier sur [, b] telles que b n N, f ϕ n µ n, lim µ n (xdx = 0. n + ( b L suite ϕ n(xdx est lors une suite de Cuchy, donc convergente. S limite ne dépend ps du choix des fonctions en escliers ϕ n et µ n. On l note b f(xdx. Théorème. Crctéristion des fonctions Riemnn-intégrbles. f : [, b] C est Riemnn-intégrble si et seulement si f est bornée, continue suf sur un ensemble négligeble. Théorème de convergence uniforme des suites de fonctions intégrbles. Soit (f n une suite de fonctions intégrbles de [, b] dns C qui converge uniformément sur [, b] vers une fonction f. Alors, f est intégrble et b b lim f n (xdx = f(xdx. n + 3. Sommes de Riemnn. Somme de Riemnn. Soient f : [, b] C et (x i 0 i n une subdivision de [, b]. On ppelle somme de Riemnn ssociée à f reltivement à cette subdivision toute somme S(f, σ, ξ = n (x i x i 1 f(ξ i, i=1 où, pour tout i {1,..., n}, ξ i [x i 1, x i ] et ξ = (ξ i 1 i n. Théorème. f : [, b] C est Riemnn-intégrble si et seulement si les sommes de Riemnn ssociées à f convergent qund le ps de l subdivision tend vers 0 (en prticulier, elles convergent vers l intégrle de f sur [, b].

3 3 Agrégtion : Intégrtion. 4. Intégrles générlisées. Critère de Riemnn. Soit α R dx converge si et seulement si α > 1. xα dx converge si et seulement si α < 1. xα Règle de comprison. Soient f, g : [, b[ R + continues pr morceux sur tout segment fermé borné inclus dns [, b[. Si f = O(g u voisinge de b et si b g(xdx converge, lors b f(xdx converge. Critère de Bertrnd. Soient α, β R. 2 dx x α converge si et seulement si (α > 1 ou (α = 1 et β > 1 ln x β Absolue convergence. Toute intégrle bsolument convergente est convergente. Règle d Abel. Soit f : [, b[ R + de clsse C 1 et g : [, b[ C continue telle que f soit décroissnte et tend vers 0 en b, et il existe M > 0 tel que, pour tout x [, b[, x g(tdt M. Alors b f(tg(tdt converge. 5. Mesure de Lebesgue dns R. Définition. L mesure extérieure de tout intervlle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert et ynt pour extrémités < b est le nombre réel positif b. On le note m (I On étend l mesure extérieure à tous les ouverts de R de l mnière suivnte : Proposition et définition. Tout ouvert de R est réunion dénombrble disjointe d intervlles ouverts ] n, b n [ pour n N. Cette écriture est unique. L mesure extérieure d un tel ouvert ser lors (b n n.

4 Résumé du cours d intégrtion. 4 Définition. Soit A R borné. L mesure extérieure de A est m (A = inf{m (U, U ouvert et A U}. Si A [, b], l mesure intérieure de A est m (A = (b m ([, b] \ A. Si mintennt A est non borné, les mesures extérieure et intérieure de A sont m (A = lim n + m (A [ n, n] et m (A = lim m (A [ n, n] n + On dit que A est mesurble si et seulement si m (A = m (A. On note m(a l vleur commune. m(a est l mesure de Lebesgue de A. L ensemble des mesurbles forme une tribu (cf. section 6 et l mesure de Lebesgue est une mesure(cf. section Tribus Définition. Soit un ensemble et A P(. On note A c = \ A. Soit T P(. On dit que T est une tribu si (1 T (2 A P(, A T A c T (3 (A n n P( N, A n T. On dit lors que (, T est un espce mesurble et que tous les éléments de T sont les ensembles mesurbles. On ppelle mesure positive sur (, T toute fonction µ : T [0, + ] telle que (1 µ( = 0 ( (2 (A n n P( N, deux à deux disjoints, µ A n = µ(a n. On dit lors que (, T, µ est un espce mesuré. Si µ( < +, on dit que µ est une mesure finie. Si = A n où µ(a n <, on dit que µ est σ finie.

5 5 Agrégtion : Intégrtion. Mesure de Lebesgue sur [, b]. On prend = [, b]. T est l tribu M [,b] des sous-ensembles mesurbles de [, b] pour l mesure de Lebesgue m. ([, b], M [,b], m est un espce mesuré, et m est une mesure finie. Mesure de Lebesgue sur R. On prend = R. T est l tribu M R des sous-ensembles mesurbles de R pour l mesure de Lebesgue m.(r, M R, m est un espce mesuré, et m est une mesure σ finie. Mesure de Dirc en un point. Soit un ensemble muni de l tribu T = P(. Si, on définit l mesure de Dirc en pr δ (A = 1 si A T et pr δ (A = 0 si A T. Mesure de comptge sur N. On prend = N. T est l tribu P(N et µ d est l mesure de comptge, c est-à-dire que µ d (A est égl u crdinl de A, pour tout A P(N. (N, P(N, µ d est un espce mesuré, et µ d est une mesure σ finie. 7. Fonctions mesurbles. Définition. Soient (, T et (, T deux espces mesurbles et f :. On dit que f est (T, T mesurble (ou plus simplement mesurble si et seulement si, A P(, A T f 1 (A T. Proposition. Soit f n : R une suite de fonctions mesurbles qui converge simplement vers une fonctions f : R. Alors f est mesurble. 8. Intégrtion. Théorème de l convergence monotone ou théorème de Beppo- Levi. Soit (f n n une suite de fonctions mesurbles, croissnte presque prtout à prtir d un certin rng. Si f = lim n + f n (qui existe presque prtout et définit une fonction mesurbles à vleurs dns R, lors f dµ = lim f n dµ. n +

6 Résumé du cours d intégrtion. 6 Corollire. Si (u n n est une suite de fonctions mesurbles positives presque prtout à prtir d un certin rng, lors ( u n dµ = u n dµ. Théorème de Ftou. Soit (f n une suite de fonctions mesurbles positives presque prtout à prtir d un certin rng. Alors lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Théorème de l convergence dominée (Lebesgue Soit (f n une suite de fonctions mesurbles de dns C qui converge simplement vers f presque prtout. On suppose qu il existe g : R + intégrble telle que, n N, f n g presque prtout; lors : (i les f n et f sont intégrbles. (ii lim f f n dµ = 0. n + (iii f dµ = lim f n dµ. n Applictions ux séries. Soit (u n = f(n une série bsolument convergente. Si = N, T = P(N et µ = µ d est l mesure de comptge, on u n = f dµ d. Théorème de l convergence dominée pour les séries. Soit ( n (m n,m N une fmille de nombres complexes. On suppose qu il existe une série c n de réels positifs ou nuls qui converge et telle que, pour tout (n, m N 2, on it n (m c n. On suppose de plus que, pour tout n N, lim m + n (m = b n. Alors b n < + et N lim m + n (m = b n. Théorème d intégrbilité termes à termes des séries de fonctions. Soit (u n une suite de fonctions de L 1 (. On suppose que un 1 < +.

7 7 Agrégtion : Intégrtion. Alors : - L série de terme générl (u n converge bsolument presque prtout ; - f(x = u n(x est définie p.p et est intégrble ; Corollire. L 1 ( est complet. f(x dµ(x = u n dµ. Théorème de continuité et de dérivtion sous le signe somme pour un intervlle compct. Soient < b deux réels, (E, d un espce métrique, et f : [, b] E C. Si f est continue, lors l ppliction F (x = b f(t, xdt est continue sur E. - Si I est un intervlle de R et si f : [, b] I C est telle que f x existe et est continue sur [, b] I, lors l ppliction F (x = b f(t, xdt est de clsse C 1 sur I et F (x = b f x (t, xdt. - Si U est un ouvert de C et si f : [, b] U C est continue et telle que z f(t, z est holomorphe, lors l ppliction F (z = b f(t, zdt est holomorphe sur U et, pour tout n N, F (n (z = b n f z (t, zdt. n Théorème de continuité sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et (E, d un espce métrique. Soit f : E C telle que : i. Pour tout x E, t f(t, x L 1 ( ii. Pour presque tout t, x f(t, x est continue. iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout x, f(t, x g(t. Alors l ppliction F : x f(t, xdµ(t est continue. Théorème de dérivtion sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et I un intervlle de R. Soit f : I C telle que : i. Pour tout x E, t f(t, x L 1 ( ii. Pour presque tout t, x f(t, x est dérivble. iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout x, f x (t, x g(t. Alors l ppliction F : x f(t, xdµ(t est dérivble, et F (x = f x (t, xdµ(t.

8 Résumé du cours d intégrtion. 8 Théorème d holomorphie sous le signe somme dns le cdre de l intégrle de Lebesgue. Soient (, µ un espce mesuré, et U un ouvert de C. Soit f : U C telle que : i. Pour tout z U, t f(t, z L 1 ( ii. Pour presque tout t, z f(t, z est holomorphe iii. Il existe une fonction g L 1 ( telle que, pour presque tout t et pour tout z U, f(t, z g(t. Alors l ppliction F : z f(t, zdµ(t est holomorphe dns U, et pour tout n N, F (n (z = f z (t, zdµ(t. n 9. Intégrles multiples. Définition. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. On note T 1 T 2 l tribu engendrée pr les ensembles de l forme A 1 A 2 où (A 1, A 2 T 1 T 2. Il existe une unique mesure notée µ 1 µ 2 telle que (A 1, A 2 (T 1, T 2, µ 1 µ 2 (A B = µ 1 (A 1 µ 2 (A 2. Cette mesure est l mesure produit de µ 1 et µ 2. Théorème de Tonelli. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. Soit f : ( 1 2, T 1 T 2 [0, + ] mesurble. Alors ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, ydµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, ydµ 1 (x dµ 2 (y. 1 2 Théorème de Fubini. Soient ( 1, T 1, µ 1 et ( 2, T 2, µ 2 deux espces mesurés σ finis. Soit f : ( 1 2, T 1 T 2 [0, + ] intégrble, c est-àdire que ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, y dµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, y dµ 1 (x dµ 2 (y <

9 9 Agrégtion : Intégrtion. Alors : - pour presque tout x 1, y 2 f(x, y est intégrble - pour presque tout y 2, x 1 f(x, y est intégrble - L fonction x 1 2 f(x, ydµ 2 (y est définie presque prtout et intégrble - L fonction y 2 1 f(x, ydµ 1 (x est définie presque prtout et intégrble et on : ( f(x, y d(µ 1 µ 2 (x, y = f(x, ydµ 2 (y dµ 1 (x = ( 2 = f(x, ydµ 1 (x dµ 2 (y. 1 C est en prticulier le cs si l un des nombres ( ( f(x, y dν(y dµ(x ou X est fini. Y 2 Y X f(x, y dµ(x dν(y Théorème de chngement de vrible. Soit U un ouvert de R n et f L 1 (U. Soit ϕ : U U un C 1 difféomorphisme. Alors f(ϕ(t Jϕ(t dt = f(xdx, U U où Jϕ(t est le jcobien u point t U de l fonction ϕ. 10. Espces L p. Pour 1 p < +, on note L p ( = {f/ f p L 1 (}. On note f p = ( f p dµ 1/p. L est l ensemble des fonctions mesurbles dont le module est borné pr une constnte C presque prtout. On note f = inf{c/ f C p.p.}. Inéglité de Hölder. Soient f L p ( et g L q ( vec 1 p + 1 q = 1 et 1 p. Alors fg L 1 ( et fg 1 f p g q.

10 Résumé du cours d intégrtion. 10 Inéglité de Minkowski. L p ( est un espce vectoriel et p est une norme pour tout 1 p. Théorème de Riesz-Fischer. 1 p. L p est un espce de Bnch pour tout Inéglité de Jensen. Soit (, T, µ un espce mesuré tel que µ( = 1. Soient < b R et f : ], b[ un élément de L 1 (. Soit ϕ :], b[ R convexe. Alors on l inéglité ( ϕ f dµ (ϕ fdµ. 11. Convolution, Régulristion et pproximtion pr convolution. Théorème. Soient f L 1 (R n et g L p (R n vec 1 p +. Alors, pour presque tout x R n, l fonction y f(x yg(y est intégrble sur R n. On pose f g(x = f(x yg(ydy R n Alors f g L p (R n et f g p f 1 g p. Proposition et définition. Soit R n un ouvert et f : R. On considère l fmille de tous les ouverts (ω i i I de tels que, pour tout i I, f = 0 p.p. sur ω i. On pose ω = i I ω i. Alors f = 0 p.p. sur ω. Pr définition, supp f = \ ω. Proposition. Soient f L 1 (R n et g L p (R n. Alors supp (f g supp f + supp g. Pour k N, note C k o (R n l ensemble des fonctions de clsse C k et à support compct. Proposition. Soient f C k o (R n et g L 1 loc (Rn. Alors f g C k (R n et D α (f g = (D α f g,

11 11 Agrégtion : Intégrtion. pour α = α α n k et D α = α 1 x 1 α n x n. En prticulier, si f C o (R n et g L 1 loc (Rn, lors f g C (R n. Définition. On ppelle suite régulrisnte toute suite (ρ k de fonctions telles que ( ρ k Co (R n, supp ρ n B 0, 1, ρ k = 1, ρ k 0 sur R n. k Théorème. Soit f L p (R n vec 1 p < +. Alors ρ k f converge vers f dns L p (R n. Corollire. Soit R n un ouvert quelconque. Alors l ensemble D( des fonctions C à support compct dns est dense dns L p ( pour 1 p < Clculs d intégrles pr l méthode des résidus. 1. Clcul des intégrles P (x Q(x dx où P et Q sont deux polynômes, Q ne s nnule ps sur R, et deg Q deg P + 2. On considère f(z = P (z Q(z que l on intègre sur le contour γ R R O +R et on fit tendre R vers +. Le résultt est 2πi res (f, Im z > 0.

12 Résumé du cours d intégrtion Clcul des intégrles P (x Q(x eitx dx où P et Q sont des polynômes, Q ne s nnule ps sur R, et deg Q deg P + 1. On considère f(z = P (z Q(z eitz que l on intègre sur le contour γ R R O +R t > 0 R t < 0 O +R γ R et on fit tendre R vers +. Le résultt est 2πi res (f, 1/2 pln.