Mécanique des fluides : Statique et cinématique

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1 Mécanique des fluides : Statique et cinématique - version Janvier 2008

2 Table des matières 1 Outils mathématiques de la théorie des champs Opérateur gradient Expressions analytiques Gradient d un vecteur Opérateur divergence Expressions analytiques Opérateur Rotationnel Expressions analytiques Opérateur Laplacien Expression analytique du Laplacien scalaire Opérateur symbolique nabla Formulaire ralatif aux opérateurs Connexité Généralités sur les fluides Introduction Fluides compressibles Fluides incompressibles Statique des fluides Généralités Formulation d un problème Equations générales Statique des fluides incompressibles Exemples : fluides incompressibles Statique des fluides compressibles Exemples : fluides compressibles Théorème d Archimède Etude de l équilibre d un solide immergé soumis à l apesanteur Cinématique d un milieu continu Généralités Cinématique Définition du mouvement Définition Lagrangienne Définition Eulerienne Relation entre les deux descriptions Dérivée particulaire d une fonction Trajectoires, lignes, surfaces et tubes de courant Dérivée particulaire d une intégrale de volume

3 4.2.8 Dérivée particulaire de la circulation d un vecteur le long d une courbe fermée Conservation de la masse et des quantités de mouvement Théorème de Bernouilli Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits Champ à potentiel Ecoulements potentiel stationnaire autour d un obstacle Le paradoxe d Alembert Les écoulement irrotationnels avec circulation en 2 dimensions

4 Chapitre 1 Outils mathématiques de la théorie des champs 1.1 Opérateur gradient Définition 1. A tout champ scalaire f(m), on associe un champ vectoriel grad(f) tel que : df(m) = grad(f).d OM Proposition 1. La circulation d un gradient est indépendante du chemin suivi. En particulier sur une courbe fermée, la circulation du gradient est nulle. Proposition 2. Le gradient est perpendiculaire aux surfaces équi-f. Proposition 3. grad(f) indique le sens des f croissant Expressions analytiques En coordonnées cartésiennes On a en coordonnées cartésiennes dans la base (e 1, e 2, e 3) pour une fonction scalaire f = f(x 1, x 2, x 3) : ( grad(f)) i = f x i En coordonnées cylindrique On a dans la base (e r, e θ, e z) : grad(f) = f r er + 1 f r θ e θ + f z ez En coordonnées sphériques On a dans la base (e r, e θ, e φ ) : Gradient d un vecteur grad(f) = f r er + 1 f r θ e θ + 1 f rsin(θ) φ e φ On peut définir le gradient d un vecteur V de taille n. C est une matrice de taille n n et on a : (grad( V )) i,j = Vi x j 4

5 1.2 Opérateur divergence Définition 2. Soit un champ vectoriel V et soit dτ un élément de volume entourant un point M de l espace. On définit div( V ) = dφ où dφ est le flux élémentaire sortant du champ V à travers la surface fermée délimitant dτ dτ. V (M) dτ ds M n div( V ) représente le flux volumique en M. L opérateur divergence construit un champ de scalaire à partir d un champ de vecteurs. Théorème 1. (Théorème de Green-Ostrogradski) Soit Σ la surface fermée délimitant le volume V, ds le vecteur de surface élémentaire sortant du volume. On a alors pour tout champ de vecteur V : V. ds = div( V )dτ Expressions analytiques En coordonnées cartésiennes On a : Σ div( V ) = Vx x + Vy y + Vz z V En coordonnées cylindrique On a : div( A) = 1 r r (rar) + 1 A θ r θ + Az z 1.3 Opérateur Rotationnel Définition 3. Soit un champ vectoriel V et soit ds un élément de surface en un point M de l espace. En notant dc le contour élémentaire orienté associé à ds selon la règle de Stockes, on définit le rotationnel de V en M, par : dc = V. dl = rotv. ds dc ds n M dc L opérateur rotationnel construit un champ de vecteurs à partir d un champ de vecteurs Expressions analytiques En coordonnées cartésienne On a : rot A = ( A3 x 2 A2 x 3 )e 1 + ( A1 x 3 A3 x 1 )e 2 + ( A2 x 1 A1 x 2 )e 3 5

6 En coordonnées cylindrique On a; rot A = [ 1 A z r θ A θ z ]er + [ Ar z Az r ]e θ + 1 r [ (ra θ) Ar r θ ]ez Théorème 2. (Théorème de Stockes) Transforme ue intégrale curviligne en intégrale de volume. On intègre sur une surface S orientée quelconque qui s appuie sur le contour fermé C orienté par la règle de stockes et on obtient : V. dl = rot V. ds C S ds C le résultat est indépendant de la forme de S s appuyant sur C. Proposition 4. Si un champ de vecteur W est à flux conservatif (i.e. si div( W = 0) alors il existe un champ de vecteur V tel que W = rot V 1.4 Opérateur Laplacien Définition 4. (Laplacien d un champ scalaire) Transforme un champ scalaire en champ scalaire : f = div( gradf) Expression analytique du Laplacien scalaire En coordonnées cartésiennes On a : En coordonnées cylindrique En coordonnées sphérique U = 1 r U = 1 r f = nx i=1 2 f x 2 i r (r U r ) U r 2 θ + 2 U 2 z 2 2 r (ru) r 2 sinθ θ (sinθ U θ ) U r 2 sin 2 θ φ 2 Définition 5. (Laplacien d un champ vectoriel) Transforme un champ vectoriel en champ vectoriel : V = grad(div( V )) rot rot V Expression analytique du Laplacien vectoriel En coordonnées cartésiennes on a : X n V = V xi e i i=1 6

7 1.5 Opérateur symbolique nabla C est un opérateur de dérivation vectoriel. Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont : ( ) i = x i On peut écrire le gradient, la divergence et le rotationnel grâce à cet opérateur symbolique : gradf = f rot V = V div( V ) =. V f = V 2 f V = V 2 V 1.6 Formulaire ralatif aux opérateurs Soit f un champ scalaire et A et B deux champs vectoriels. La divergence d un gradient est égale au Laplacien Le rotationnel d un gradient est nul La divergence d un rotationnel est nulle Quelques formules supplémentaires div( gradf) = f rot( gradf) = 0 div( rot A) rot( rot A) = grad(div( A)) A grad(fg) = f gradg + g gradf div(f A) = fdiv( A) + A. gradf rot(f A) = f rot A + gradf A div( A B) = B. rot A A. rot B ( A B) = (. A) A (. A) B + ( B. ) A ( A. ) B 1.7 Connexité Définition 6. (Domaine connexe) Un domaine D est dit connexe si deux points quelconque de D peuvent etre réunis par un arc continu entièrement dans D (En maths : c est un connexe par arc). Définition 7. Une courbe fermée est dite réductible dans un domaine donné lorsqu on peut la réduire à un point par une déformation continu sans sortir du domaine. Dans le cas contraire la courbe est dite irréductible. Définition 8. (Domaine simplement connexe) Un domaine dans lequel toutes les courbes fermés sont réductibles est dit simplement connexe. S il existe des courbes irréductibles, il est dit multiconnexe. 7

8 Chapitre 2 Généralités sur les fluides 2.1 Introduction Un fluide est soit un liquide soit un gaz, et n a pas de forme propre. Pour un liquide : Il prend la forme du récipient qui le contient Il est inexpansible : il n occupe pas tout le volume qui lui est offert. Si on le comprime, il conserve environ son volume initial : un liquide est pratiquement incompressible. Pour un gaz : Il se répand. Il est expansible et occupe tout l espace qui lui est offert. Il est compressible. Un fluide est un milieu isotrope : propriétés du fluide les même dans toutes les directions de l espace qu il occupe. Il existe deux grandes classes de fluides : Les fluides compressible. Les fluides incompressible Fluides compressibles Définition 9. Un milieu continu est un fluide compressible si le tenseur des contraintes de Cauchy σ est une fonction isotrope de la masse volumique ρ et du tenseur des vitesses de déformation D. On a donc : σ = f(d) avec f une fonction isotrope et D le tenseur des vitesses de déformation : D i,j = 1 2 ( vi x j + vj x i ) v i(x, t) composante du vecteur vitesse d une particule du fluide. Théorème 3. Dans un fluide compressible, la relation entre σ, ρ et D est de la forme : σ = f 0(ρ,D 1, D 2, D 3)I + f 1(ρ, D 1, D 2, D 3)D + f 2(ρ,D 1, D 2, D 3)D 2 où D 1, D 2 et D 3 sont les invariants principaux de D : D 1 = tr(d) = div(v), D 2 = tr(d 2 ) et D 3 = det(d). Définition Un fluide compressible est dit parfait si σ est indépendant de D. σ est alors de la forme pi avec p = p(ρ). Dans le cas contraire le fluide est dit visqueux. 2. Un fluide compressible est dit Newtonien si σ est une fonction affine de D. σ est alors de la forme suivente : σ = pi + 2µD + 2λD 1I avecp = p(ρ) la pression, λ = λ(ρ) et µ = µ(ρ) les coefficients de viscosité. 8

9 2.1.2 Fluides incompressibles Définition 11. Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique reste constante au cours du mouvement : x : position du point matériel à l instant initial. ρ = ρ 0(x) Proposition 5. Dans un milieu incompressible en mouvement on a : tr(d) = div(v) = 0 Définition 12. Un milieu continu est dit incompressible si le tenseur des contraintes de Cauchy σ est une fonction isotrope du tenseur des vitesses de déformation D Théorème 4. Dans un fluide incompressible, la relation entre σ et D est de la forme : σ = f 0(D 2, D 3)I + f 1(D 2, D 3)D + f 2(D 2, D 3)D 2 où D 2 et D 3 sont les invariants principaux de D : D 2 = tr(d 2 ) et D 3 = det(d). Définition Un fluide incompressible est dit parfait si σ est indépendant de D. σ est alors de la forme pi avec p = p(ρ). Dans le cas contraire le fluide est dit visqueux. 2. Un fluide compressible est dit Newtonien si σ est une fonction affine de D. σ est alors de la forme suivente : σ = pi + 2µD avecp = p(ρ) la pression, µ = µ(ρ) un coefficient de viscosité du fluide. Remarque : Dans un fluide compressible ρ st une inconnue du problème alors qu elle est connue dans un fluide incompressible. 9

10 Chapitre 3 Statique des fluides 3.1 Généralités On suppose que le fluide est fixée dans le référentiel choisi. On a donc v = 0 et D = 0 avec D = v+ t v 2.On a aussi l accélération γ nulle. La loi de comportement s écrit alors : σ = p(ρ)i On sait que le fluide n a pas de forme propre : le domaine occupé par le fluide est une inconnue du problème Formulation d un problème Soit un récipient D contenant un fluide de masse volumique ρ et de masse M. Le fluide est en contact avec une atmosphère de pression p a. Le tout soumis à une force volumique f. Le problème consiste à trouver la pression p dans le fluide, la masse volumique (s il est compressible) et le domaine qu il occupe Equations générales A l équilibre on a la formule suivante : div(σ) + f = 0 [Ω] avec Ω inconnue. En effet, considérons un sous-domaine Ω de Ω. Il est alors soumis aux efforts liés à la force volumique f et à la densité surfacique σ n appliquée à δω. Ω σ n Ω f A l équilibre on écrit que la résultante des efforts extérieurs est nulle : σ n ds + f dv = 0 δω Ω Ω Ω ce qui donne : div(σ)dv + f dv = 0 Ω Ω Ω Ω 10

11 et finalement on a : (div(σ) + f )dv = 0 Ω ce qui donne : div(σ) + f = 0 avec la loi de comportement σ = pi on a : [Ω] Ω Ω p + f = 0 Ensuite pour les conditions aux limites on a sur la surface libre : p = p a Le domaine Ω est donnée par la description suivante : Ω = {(x, y,z) p(x, y,z) p a} Remarque : Dans le cas de plusieurs fluides non miscible il faut rajouter des conditions d interfaces : [σ] Γn = 0 i.e. [p] = 0 Proposition 6. Un fluide ne peut être en équilibre que si les forces volumiques dérivent d un potentiel, i.e. si : f = V V : potentiel des forces de volume. Preuve : On a à l équilibre : f = p = V ce qui donne le résultat. Dans ce cas la pression dans le fluide est donnée par : p(x,y, z) = V(x, y, z) + cte Corollaire 1. La surface libre s il y en a une est une équipotentielle, i.e. une surface tel que V(x) = cte = V 0. Dans le cas de fluides non miscibles, les interfaces sont des surfaces de continuité des potentiels. 3.2 Statique des fluides incompressibles Le but dans un problème de statique des fluides incompressible est de trouver la pression p dans tout le fluide et la forme Ω occupée par le fluide. Voyons quelques exemples de résolution Exemples : fluides incompressibles Dans un cube Soit un fluide de masse M dans une enceinte parallélipipédique à section carré de côté a. Le fluide est supposé incompressible et soumis à la pesanteur g = g e 3. Voici la représentation graphique du problème : air fluide g h e3 a 11

12 Passons à la résolution en coordonnées cartésiennes : on cherche la pression p et le domaine occupé par le fluide. On écrit alors l équation d équilibre associée à la loi de comportement : p + f = 0 Ici les forces volumiques se réduisent à la force de pesanteur f = ρg e 3 donc on a : p ρg e 3 = 0 Ce qui donne en projetant sur e 1, e 1 et e 1 le fait que p = p(z) et que : ce qui donne : p z = ρg p = ρgz + C On remarque que lorsque p est constant alors z est constant et inversement ce qui signifie que les equipotentielles de pression sont situées sur des hauteurs constantes et sont représentées par des surfaces planes horizontales de hauteur que l on peut noter H. Sachant que sur la surface libre z = H la pression vaut p a (pression de l air) et que la pression est une grandeur continue alors on peut dire que : d où la valeure de C : ce qui donne : p(h) = p a = ρgh + C C = p a + ρgh p(x,y, z) = p(z) = ρg(h z) + p a Cherchons maintenant la forme du domaine Ω occupé par le fluide. On utilise la conservation de la masse : M = dm = ρdv = ρah 2 d où H : Ω Ω H = M ρa 2 Ainsi on a Ω : Ω = {(x, y, z) Cube Fluide p p a} Ω = {(x, y, z) Cube Fluide 0 < z < M ρa 2 } Ω = {(x, y,z) (x, y) ]0, a[ 2,0 < z < M ρa 2 } Autour de la terre Soit un fluide de masse M incompressible de masse volumique ρ 0, placé autour de la terre sphérique de rayon R. On veut mesurer le domaine Ω occupé par le fluide ainsi que la pression p dans le fluide. Voici un schéma repréentant la terre entourée par le fluide : eθ er Ω M O Terre R Fluide 12

13 Soit f la force de volume exercée par la planète sur le fluide. Elle s écrit : f = ρ0g R2 r 2 er dirigée selon e r On se place depuis le début en coordonnées sphérique et on écrit l équation de l équilibre associée à la loi de comportement ce qui donne : p + f = 0 donc : En projetant sur les vecteurs de base e r, e θ et e φ on obtient que p = p(r) et que : p r = ρ0gr2 r 2 p = ρ 0g R2 r + C On détermine la constante C en faisant tendre r vers l infini nous donnant une pression nulle : donc C = 0. On remarque que les équipotentielle de pression sont les surfaces données par r constant : ce sont des sphères de rayon r. Appliquons la conservation de la masse pour connaître le domaine Ω : d où H. Ainsi le domaine Ω est donné par : M = Ω ρ 0dV = ρ π(h3 R 3 ) Ω = {r ]R, H[ p(r) > 0} = {V r ]R, H[} Ω H O Terre R Fluide 3.3 Statique des fluides compressibles Dans le cas compressible ρ n est pas constante et p dépent de ρ. On distingue deux cas importants : Fluide en équilibre isotherme : p = kρ, ρ > 0. Fluide en équilibre adiabatique : p = kρ γ, ρ > 0 avec γ indice adiabatique. γ 1, 4 pour l air Exemples : fluides compressibles Le cube Soit un fluide de masse M dans une enceinte parallélépipédique de section carré de côté a. On néglige la pression et la masse volumique de l air et on prend comme fonction d état p = kρ, k 0. On cherche ρ qui n est pas constant ici, p la pression et Ω le domaine occupé par le fluide. On a donc avec toujours les mêmes équations : p + ρ g = O dans le fluide de domaine Ω. En coordonnées cartésiennes on obtient que p = p(x 3) et que : p x 3 = ρg 13

14 ce qui donne avec p = kρ : donc : et donc la pression s écrit : ρ (x 3) = ρg k ρ(x 3) = Ae g k x 3 p(x 3) = kae g k x 3 Pour déterminer la constante A on utilise la conservation de la masse. M = Ω ρ(x 3)dV = d où la constante A. Et on a donc finalement : Le domaine occupé par le fluide est alors de la forme : Ω Ae gx 3 K dx 1dx 2dx 3 = a2 Ak g p(x 3) = Mg gx 3 a 2 e k Ω = {(x, y,z) S I S =] a 2, a 2 [ ] a 2, a [, I =]0, [} 2 Le cylindre Soit un cylindre de hauteur H et de section disque S de rayon R. Le cylindre tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire uniforme ω. Il contient un fluide compressible. On néglige l effet de l apesanteur. Voici un schéma représentatif de la situation : ω ρ r H er R Le but est de trouver ρ et Ω. Considérons deux cas : le premier concerne un fluide compessible en équilibre isotherme et le second un fluide compressible en équilibre adiabatique. Voyons le premier cas : on a alors p = kρ. Et l écriture de l équilibre nous donne : p + f centrifuge ce qui donne : p + ρω 2 r e r = 0 en projection dans la base des coordonnées cylindriques on a p = p(r) et l équation suivante : ce qui donne avec p = kρ : en résolvant : et la pression p est donnée par : p r + ρω2 r = 0 ρ r + ρω2 r = 0 ρ = Ae ω2 r 2 2k p = kae ω2 r 2 2k La constante A va être donnée par la conservation de la masse : M = ρdv = ρrdrdθdz = 2πHA k «e R2 ω 2 ω 2 2k 1 d où la valeur de A. Le fluide occupe tout le cylindre ce qui donne Ω. Ω Ω 14

15 Passons au second cas : p = kρ γ avec γ 1. Montrons que si ω > ω c alors un vide apparaît au centre du cylindre. On résout de la même façon et on obtient l équation suivante à résoudre : ce qui s écrit : donc : kγρ γ 1 ρ r = ρω2 r d(ργ 1) γ 1 = ω2 2kγ d(r2 ) ρ γ 1 kγ γ 1 = ω2 2 (r2 + C) C constante sur laquelle on va discuter : Si C > 0 alors ρ > 0 r et donc le fluide occupe tout le cylindre. Si C < 0 alors on a ρ < 0 si r 2 < C. Posons R 0 = C alors pour r < R 0 un vide se crée. Ecrivons la conservation de la masse dans le cas C > 0 R M = ρdv = ρrdr2πh d où : on a M = M(C) et dm dc inversement. On a : M 2πH = Ω» (γ 1)ω 2 2kγ 0 1 γ 1 R 0 `r2 + C 1 γ 1 rdr > 0 d où M fonction croissante de C et à un M correspond un et un seul C et M(C) > M(0) = M 0(ω) Aucun vide ne se crée, la masse est positive forcément. Dans le cas C < 0 on a un vide qui se crée si r < R 0 et on a : M 2πH =» (γ 1)ω 2 2kγ 1 γ 1 R R 0 `r2 R γ 1 rdr On a que M est une fonction décroissante de R 0 : M = M(R 0). On a de plus que M(r) = 0 donc si R 0 > r M est négative et un vide se crée. Pour chaque M j ai un R 0 et un seul (ou un C) donc si M < M 0(ω) il existe un R 0 > 0 donc un vide se crée. La condition M < M 0(ω) se transforme en : donc si ω 2 > ω 2 c un vide se crée. ω 2 > Mγ πh(γ 1)R 2γ γ Théorème d Archimède! γ 1 «2kγ = ωc 2 γ1 Théorème 5. On considère un solide immergé dans un fluide parfait (l ensemble étant soumis à l apesanteur). Alors toutes les forces pressantes admettent une résultante donnée par le théorème d Archimède : Un solide plongé complètement ou partiellemnt dans un fluide au repos subit de la part du fluide une poussée verticale dirigée vers le haut égale au poids du fluide déplacé et appliquée au centre de gravité géométrique du solide de la partie immergée. Validité du théorème : Le théorème d archimède n est valable que si le fluide entoure complétement le solide. Ainsi, sur le schmé suivant on observe que le solide est plaqué au fond du récipient : le théorème ne s applique pas. Pression du fluide planquant le solide au fond Fluide 15

16 3.4.1 Etude de l équilibre d un solide immergé soumis à l apesanteur On va étudier l équilibre d un solide (S) partiellement immergé dans un fluide quelconque. On écrit le principe fondamental de la statique appliqué au solide (S), l équation de la résultante donne : P + F = 0 Et l équation des moments en O donne avec G centre de gravité du solide de masse M et C centre de gravité géométrique de la partie immergée du solide : ce qui donne : d où : OG P + OC F P ( OG OC) = P CG = 0 CG P Donc pour qu un solide partiellement immergé dans un fluide soit en équilibre il faut que le centre de gravité géométrique C de la partie immergée soit sur la vertical du centre de gravité G du solide (S) : C et G alignés sur la verticale : équilibre C et G non alignés sur la verticale : pas équilibre G C C G 16

17 Chapitre 4 Cinématique d un milieu continu 4.1 Généralités Définition 14. Un milieu continu solide ou fluide est un milieu où à tout point et à chaque instant, on peut définir des fonctions de champ (M f(m), M un point du milieu) telles que la masse volumique ρ, la température T, la vitesse v et la pression p. Définition 15. Un point materiel est définit par la donnée d une masse élémentaire dm et d un volume élémentaire dv. Si ρ est la masse volumique alors au point M on a : dm = ρdv. 4.2 Cinématique Définition du mouvement La mécanique des milieux continus traite des systèmes qui peuvent au cours du temps changer de forme. C est un système complexe de même particule qui change de forme dans le temps. Soit R un référentiel : un repère muni d une échelle de temps. Le schéma suivant explique le passage d une configuration à une autre entre les dates t et t : Position de la particule M t M t Ω t Ω t Soit (x 1, x 2, x 3) la position de M t de la particule M à t. Et soit (x 1, x 2, x 3) la position de M t de la particule M à t. Considérons l application Φ : Ω t Ω t tel que : On a : Φ : x x x = Φ(x, t, t) Φ donne à l instant t la position M t de M. C est une fonction régulière de x (variable d espace) et elle vérifie les propriétés suivantes : Φ(x, t, t) = x Φ(x, t, t) = Φ(Φ(x, t, t ), t, t) (transitivité) Φ(x, t, t ) = x (transformation inverse) L application Φ est une bijection de Ω t Ω t. On note Ψ = Φ 1 sa réciproque. 17

18 4.2.2 Définition Lagrangienne Cette description consiste à : Identifier les particules du système S par leur position dans la configuration initiale (t = 0). La position de la particule à l instant t s écrit : x = Φ(X, t) où x est la position de M à t et X la position de M à t = 0. On nomme X = (X 1, X 2, X 3) position de Lagrange. Exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configuration actuelle en fonction des variables de Lagrange : B = B(X, t) où B est une grandeur physique attachée à la particule M : la pression p, vitesse v, masse volumique ρ. En d autres termes, la description lagrangienne consiste à suivre les particules dans leur mouvement Définition Eulerienne Cette description définit le mouvement du système matériel (S) par la donnée à chaque instant de la vitesse v (parfois notée v) de la particule située au point géométrique M dans la configuration actuelle Ωt. On a : t, M Ω t, v = v (M, t) avec M = M(x 1, x 2, x 3), x i variables d Euler. Ainsi toute grandeur physique b est donc un champ de la forme : b = b(x, t) avec x point occupé par différentes particules à des valeurs différentes du temps. A chaque instant, il passe une particule au point x, jamais la même, de vitesse v de masse volumique ρ de pression p Relation entre les deux descriptions Φ et Ψ sont bijectives, on peut les inverser : x = Φ(X, t),x = Ψ(x,t) Ainsi pour passer de Euler à Lagrange : t, X Ω 0, x Ω t on doit résoudre le système différentiel suivant : On obtient x = Φ(X, t). On note : et pour toute grandeur physique b : Pour passer de Lagrange à Euler : j d x dt = v (x,t) x(t = 0) = X v (x, t) = v (Φ(X, t),t) = V (X, t) b(x,t) = b(φ(x, t), t) = B(X, t) x = Φ(X, t) X = Ψ(x,t) d où : V (X, t) = V (Ψ(x, t),t) = v (x, t) et de même avec une grandeur physique b quelconque : B(X, t) = B(Ψ(x,t),t) = b(x, t) 18

19 4.2.5 Dérivée particulaire d une fonction On considère une particule en mouvement. M désigne sa position à l instant t, M(x 1, x 2, x 3). Soit f(x 1, x 2, x 3, t) une fonction définie lorsqu on suit la particule dans son mouvement. On appelle dérivée particulaire de f la dérivée de f par rapport au temp lorsqu on suit la particule dans son mouvement. On note alors la dérivée particulaire ainsi : Df Dt En représentation Lagrangienne : DB Dt = DB B (X, t) = Dt t En représentation Eulerienne : donc : Calcul de l accélération en Lagrange : b = b(x, t) Db Dt = D b b Φ (b(φ(x, t), t)) = (Φ(X, t), t) + Dt t x t ḃ = Db Dt = b (x,t) + x(b)v(x, t) t γ (X, t) = D V Dt = Φ t t (X, t) = 2 Φ(X, t) t En Euler : γ (x,t) = D v(x, t) Dt = v(x, t) + x v. v t Le terme x(v) est une matrice carré donc les composantes sont données dans les rappels mathématiques de la théorie des champs : voir le gradient d un vecteur. Théorème 6. L accélération Eulerienne s écrit : v γ = t + (v2 2 ) + rot( v ) v Trajectoires, lignes, surfaces et tubes de courant Définition 16. (Lignes de courant) Les lignes de courant sont définies à un t fixé. Ce sont à cet instant les lignes qui en chacun de leur point ont une tangente parallèle au vecteur vitesse. Ces lignes sont les intégrales du système différentiel suivant : dx 1 v 1(x 1, x 2, x 3, t) = dx 2 v 2(x 1, x 2, x 3, t) = dx 3 v 3(x 1, x 2, x 3, t) Définition 17. (Trajectoires) La trajectoire de la particule M est le lieu des points dans R des position de M t quand t varie. Définition 18. (Mouvement Stationnaire) Un mouvement est dit stationnaire (ou permanent) dans un référentiel R si dans sa description eulerienne, v(x, t) est indépendant du temps t i.e. v = v(x). Donc si on a mouvement stationnaire, les lignes de courant sont confondues avec les trajectoires (réciproque fausse). Définition 19. (Surfaces et tubes de courant) Soit C une courbe géométrique au sens d un écoulement. La surface engendrée par les lignes de courant s appuyant sur la courbe C définie une surface de courant. Si C est fermé, la surface de courant correspondante définit un tube de courant. Remarquons que le fluide ne peut traverser une surface ou un tube de courant (en particulier une paroie solide constitue une surface ou un tube de courant) Dérivée particulaire d une intégrale de volume Soit un fluide en mouvement et soit Ω(t) le domaine occupé par le fluide à t. On pose : K(t) = f(x 1, x 2, x 3, t)dv Ω(t) 19

20 La fonction f(x 1, x 2, x 3, t) est définie lorsqu on suit la particule dans son mouvement. Un cas particulier est f = 1 : K(t) est alors le volume de Ω(t). Ainsi : vol(ω(t)) = dx 1dx 2dx 3 = JdX 1dX 2dX 3 avec : Ω(t) J = det( xφ) où xφ est le tenseur gradient de déformation à t fixé avec : Ω(0) ( xφ) (i,j) = xi X j Donc si on dérive le volume, fonction du temps on a : dvol(ω(t)) J = dt t dx1dx2dx3 = et le résultat qui en découle est le suivant : Proposition 7. Dérivée particulaire d une intégrale de volume : D Dt vol(ω(t)) = div(v(x, t))dv = Ω(t) Ω(0) Ω(t) 1 J J t dx1dx2dx3 Ω(t) v. n ds avec v. n ds le flux élémentaire sortant à travers l aire ds et div( v ) le taux de dilatation volumique du milieu en mouvement. Proposition 8. Reprennons le cas général pour la forme de f : f 1 à priori. Et prenons le cas d un fluide incompressible ce qui donne : div(v) = 0. On a alors pour f champ scalaire la dérivée particulaire de l intégrale de volume suivante : dk dt = φ t dx1dx2dx3 + φ v. n ds et lorsque φ est un vecteur : Ω(t) Ω(t) d K dt = φ Ω(t) t dx1dx2dx3 + φ v. n ds Ω(t) Dérivée particulaire de la circulation d un vecteur le long d une courbe fermée Soit C une courbe fermée. On calcul la circulation d un vecteur A le long de cette courbe par : Γ = A dl = A τ dl avec τ vecteur tangent unitaire à la courbe C et dl longueur élémentaire de la courbe. C Théorème 7. La dérivée particulaire de la circulation Γ est donnée par l une des expressions suivantes : dγ dt = ( d A C dt + A v). τ dl C Cas particulier : A = v alors : et donc : dγ dt = ( d A C dt + rot A v ) τ dl Γ = v dl C dγ dt = A dl C 20

21 4.2.9 Conservation de la masse et des quantités de mouvement Conservation de la masse La masse d un domaine fluide est conservée dans son mouvement. Ainsi t, Ω(t) : D ρ(x 1, x 2, x 3, t)dx 1dx 2dx 3 = 0 Dt on en déduit la conservation de la masse : Ω(t) ρ t + grad(ρ) v + ρdiv( v ) = 0 ou encore : Dρ Dt + ρdiv( v ) = 0 Ω(t) Si le milieu est incompressible on a : Dρ Dt = 0 la masse volumique d une particule que l on suit dans son mouvement reste constante. Conservation de la quantité de mouvement Soit R un repère supposé absolu et S milieu continu en mouvement. Ω(t) est le domaine occupé par le fluide à la date t : f densité volumique de forces extérieures. F densité de forces de contact exercée sur la partie Ω (t). La conservation de la quantité de mouvement s écrit : D v (x, t)ρdv = Dt Ω (t) Ω (t) f (M, t) + Ω F (M, t)ds et à l aide du théorème de la dérivée particulaire d un intégrale de volume et de la conservation de masse on obtient l équation d Euler : ρ γ = div(σ(m,t)) + f (M, t) avec σ tenseur de contact. Cas particulier pour un fluide parfait : sans effet dissipatif, sans viscosité on a : donc : σ = pi σ n = F = p n et si les forces de volumes dérivent d un potentiel l équation d Euler s écrit : ρ γ = gradp U [fluide] Théorème de Bernouilli Théorème 8. (Thm 1 de Bernouilli) Hypothèses : Fluide parfait Les forces volumiques dérivent d un potentiel Fluide incompressible Ecoulement stationnaire Alors on a le long d une ligne de courant : v p ρ + U ρ = cte 21

22 4.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits Définition 20. Un fluide est dit en écoulement irrotationnel dans un domainde D lorsque en tout point de D on a : rot( v ) = 0 Théorème 9. (Théorème de Kelvin) Hypothèses : Fluide parfait incompressible Les forces volumiquent dérivent d un potentiel Ecoulement régulier (v fonction régulière) Alors la circulation est constante (dans le temps) pour tout chemin materiel fermé. Théorème 10. (Théorème de Lagrange) Hypothèses : Fluide parfait incompressible Forces volumiquent dérivant d un potentiel Ecoulement régulier Ecoulement irrotationnel à l instant t Alors l écoulement est irrotationnel pour tout t. Définition 21. Un écoulement est dit potentiel si il existe Φ tel que v = grad(φ) Remarque 1. Si v = grad(φ) alors rot( v ) = 0. La réciproque n est vrai que sous certaines conditions Champ à potentiel Proposition 9. Considérons un champ de vecteur vitesse v (M) défini dans un domaine D tel que Γ = R C v. dl = 0 pour toute courbe fermé C D alors la circulation le long d un arc de courbe joignant deux points de D est indépendante de l arc choisi. De plus v est donc à écoulement potentiel (i.e. v = gradf) Proposition 10. Supposons le domaine simplement connexe et rot v = 0 dans tout le domaine. Alors : v. dl = 0 C D C En effet lorsque le domaine est simplement connexe, si on considère une courbe fermée, il est toujours possible de construire une portion de surface S qui se trouve entièrement dans D et qui s appuie sur C. Cette hypothèse supplémentaire sur le domaine permet d utiliser le théorème de Stockes. On peut résumer les différents résultats dans le schéma suivant : rot v = 0 M D Si D simplement connexe R C v. dl = 0 C D v = gradφ M D Donc un écoulement est dit potentiel lorsque soit : rot v = 0, et D simplement connexe Γ = 0 C D Théorème 11. (2ème Théorème de Bernouilli) Hypothèses : Fluide parfait Ecoulement potentiel Forces volumiques dérivant d un potentiel U Fluide compressible 22

23 Alors la quantité K(t) suivante est constante dans le fluide : K(t) = Φ t + v2 2 + U + p ρ Si l écoulement est stationnaire on a la quantité suivante constante : K = v2 2 + U + p ρ 4.4 Ecoulements potentiel stationnaire autour d un obstacle On se place en écoulement stationnaire, sans forces de volumes. On se place en 2 dimensions et un considère un obstacle pris dans un fluide venant de l infini et allant à l infini. On cherche alors v et p dans le fluide : Fluide venant de l infini Obstacle fixe : Θ Fluide allant à l infini V = V 0e 1 V = V 0e 1 Chercher la vitesse et la pression équivaut à chercher le potentiel des vitesses et la pression. Φ est le potentiel des vitesses donc v = grad(φ) et comme le fluide est incompressible on a div(v) = 0 donc dans le fluide on a : Φ = 0 [R 2 Θ] Voyons les conditions aux limites sur Θ : on a sur les vitesse normales : ce qui donne : d où : donc l équation verifiée sur le bord est : Donc Φ est solution du problème suivant : 8 < v n,fluide = v n,obstacle v fluide. n = v obs. n grad(φ). n = 0 = Φ n : Φ n = 0 Φ = 0 Φ n = 0 Φ V 0 e1 La pression est obtenue à partir de : p = ρ 1 Φ Φ + cte 2 Ecoulement autour d un disque Voici une représentation du problème, où l on cherche le potentiel des vitesse Φ et la pression : M Fluide Θ O θ 23

24 Θ représente le disque, fixe dans le repère R : Θ = {x R 2, x < R} On pose OM = r e r = r(cosθ e 1 + sinθ e 2) On cherche Φ sous la forme : Φ(r, θ) = f(r)cos(θ). L équation Φ = 0 nous donne en posant f sous la forme r α : f(r) = A r + Br La condition limite de Neumann Φ = 0 donne n Φ. n = 0 ce qui donne pour n = er : La dernière condition en l infini nous donne : ce qui donne : B = A R 2 V 0 = A R 2 Φ = V 0(1 R2 r 2 )sinθ et on en déduit la pression à une constante près : p = ρ 2 V 0 2 (1 + R4 r 4 2R2 cos(2θ)) + cte r2 On calcul maintenant les efforts résultants sur l obstacle : F = pdl et on trouve que : F = 0 ce qui constitut le paradoxe d Alembert. De même si on calcul le moment résultant en O : M(O) = 2π 0 OM ( p n )Rdθ = 0 Donc l obstacle ne bouge pas et ne tourne pas sous l effet du fluide : car le fluide a été supposé parfait. Dans la réalité le fluide n est pas parfait, il est visqueux Le paradoxe d Alembert Cas général : écoulement 2 dimensions ou 3 dimensions avec un obstacle de forme quelconque. Théorème 12. Le tenseur des efforts de pression exercées par un fluide parfait incompressible en écoulement potentiel stationnaire sur un obstacle bornée fixe est nul Les écoulement irrotationnels avec circulation en 2 dimensions Le problème (P) est le suivant : Il s agit de trouver v et p tel que : rot v = 0 dans R 2 div( v ) = 0 dans R 2 v. n = 0 sur Θ v V 0e1 à l infini Le domaine n étant pas simplement connexe, le fait d avoir le rotationnel nul ne donne pas un écoulement potentiel. Etude de la circulation le long de courbes fermées On envisage de type de courbes fermées : Les courbes n entourant pas l obstacle : On a donc : v. dl = rot v n ds = 0 C Σ 24

25 Les courbes entourant l obstacle : Stockes nous dit que : 0 = rot v n ds = v. dl d où : Σ C v. dl = Θ C v. dl = cte Donc la circulation est indépendante de la courbe choisie (à condition qu elle entoure l obstacle). C est une caractéristique de l écoulement. On la note : Γ = v. dl On va l inclure comme donnée supplémentaire au problème. Question : Existe t il une et une seule solution au problème? Introduisons le champ de vitesse suivant : Θ Γ ω = eθ 2πr alors on a rot ω = 0, div( ω ) = 0 et ω 0 en l infini. La circulation de ω sur le cercle de centre O de rayon r (C r) vaut : C r ω dl = Γ Stockes nous donne de plus : On pose alors : Σ rot ω. n ds = Θ ω dl v = u + ω Θ C r ω dl = 0 v. dl où u est maintenant notre nouvelle inconnue. Regardons les équations vérifiées par u : rot u = 0 div( u ) = 0 u. n = ω. n sur Θ u. dl = 0 u V 0 e1 à l infini. ce qui nous donne : Θ u = Φ donc écoulement potentiel pour u. Et Φ doit vérifier (P u) Φ = 0 dans R 2 Θ Φ. n = ω. n sur Θ Φ V 0e1 à l infini. Si ce problème (P u) admet une unique solution alors le problème de départ (P) aussi avec la relation v = u + ω. Regardons l existence pour le problème (P u) : Soit S r la sphère de rayon r et Θ l obstacle contenu dans cette sphère. On note V le volume contenu entre la shère et l obstacle et V = Θ S r Il y a existence pourvu que la condition de compatibilité soit vérifiée : Φ n dl = 0 ce qui est le cas ici d où l existence d une solution Φ de (P u). Regardons l unicité : Φ est déterminé à une constante près mais v = Φ est unique. Le champ de pression p se déduit de l équation suivante : V p(x) = p ρ0v(x)v(x) avec p 0 determiné à partir de la donée de la pression à l infini. 25

26 Application : Ecoulement avec circulation autour d un obstacle disque : Effet Magnus On veut trouver v tel que : rot v = 0 dans R 2 Θ div( v ) = 0 v. n = 0 sur Θ v V 0 e1 à l infini. Θ v. dl = Γ On pose donc v = u + ω avec ω = Γ eθ et u solution de : 2πr rot u = 0 div( u ) = 0 u. n = ω. n sur Θ u. dl = 0 u V 0 e1 à l infini. Pour le cercle on connaît n : n = e r. Donc on a ω. n = 0 On a u = Φ avec Φ solution du problème : Φ = 0 dans R 2 Θ Φ. n = 0 sur Θ Φ V 0 e1 à l infini. Ce champ Φ nous donne u : Θ Γ u (x) = eθ + V 0(1 R2 2πr r cos(θ)) e 2 r V 0(1 + R2 r )sinθ e 2 θ Calculons p(x) : p(x) = p 0 12 ρ p2 4πr ρ u. ρ 0ΓV 0sinθ u + (1 + R π r ) 2 Le calcul des efforts résultants du fluide sur l obstacle donne : F = ργv0 e2 et pour le moment résultant en O : M(0) = p(θ) x n dl = 0 Θ car OM n Donc le disque ne tourne pas, et est soumis à une force selon ± e 2. Cela se nomme l effet Magnus. Représentons nous le problème par le jeu du ping pong. L effet coupé donne une circulation Γ < 0 donc F est selon e 2 : la balle a tendance à flotter dans l air. L effet lifté donne le résultat contraire : la balle a tendance à plonger vers le sol. 26