Chapitre 4 Potentiel électrique

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1 hapite 4 Potentiel électique Quetion : #) Potentiel électique et champ électique : a) Le potentiel électique nul V en un point P n impoe aucune etiction u la valeu du champ électique E. onulte le figue 4. et 4. : le potentiel et nul u la ligne pointillée centale de la figue 4. mai le champ et nonnul. b) Le champ électique nul E en un point P n impoe aucune etiction u la valeu du potentiel électique V. onulte le figue 4.4 et 4.5. Le champ et nul ente le chage (figue 4.4) mai le potentiel et nonnul (figue 4.5). #) Déplacement d une chage dan un champ électique, pependiculaie aux équipotentielle : Équipotentielle 4 d D E. Si on e déplace diectement de ve en «etant» toujou u l équipotentielle, tout au long du tajet : F ext ( ca pependiculaie au E ) W ( ca u une même équipotentielle) ext. Mai i on e end de à en paant pa et D : i. De à : Fext ca on doit eteni la chage pou qu elle aête au point.

2 ii. De à D : F ext ca on déplace la chage pependiculaiement au champ. iii. De D à : Fext ca on doit poue la chage pou qu elle emonte ve le point. iv. Pou le tajet total: F ext W W W W q Ed q Ed ext D D #8) Non. Voici un objet métallique contitué de phèe eliée pa un fil : σ V R σ R V V V k Q k R Q R σ π 4 R R σ π 4 R R σ R σ R Le ayon ne ont pa le même, donc le denité ufacique de chage ont difféente. #) En uivant une ligne de champ gavitationnel ou électique, la valeu du potentiel décoît.

3 #) Un anneau ciculaie de ayon R et potant Q unifomément épatie. On déplace la chage ponctuelle q du point au point : q Q a) Le potentiel électique augmente u le tajet puiqu on emonte la ligne de champ électique. b) L énegie potentielle diminue puiqu on etient la chage ( Wext négatif ) : U q ( ) ( ) V U ( ) #) Oui en demeuant u une même équipotentielle tout au long du tajet. #4) Le équipotentielle ont de cylinde infini entouant le fil. #5) oquille métallique : a) V V 7V ca le champ électique et nul dan la coquille cente V cm cm uface E i d V V V V 7V uface cente cente uface uface b) E (déjà validé pa le théoème de Gau au chapite pécédent) #6) Deux phèe qu on met en contact : Q σ E E V R R σ Q V

4 a) omme ce ont de conducteu, néceaiement le potentiel électique ont identique : V V k Q R σ 4π R k Q R σ 4 π ( R ) σ σ σ σ b) De potentiel : V V k Q R k Q R Q Q c) Potentiel identique : V V d) De potentiel : V V E R E R E E Execice : #) Foude: Q 8 V V a) Énegie potentielle électique : 8 8 U Q V J,88 ev b) mpoule de 6W : J 6W 6 Donc : 6J 8 J? 7 5,58 an 4

5 #) Déplace une chage : 7 W 4 J ext q 5n v cte V V? V 7 Wext 4 J V V V V V q 5n V 6,V #4) hamp électique : E 8 N k a) Difféence de potentiel : V V V E d E d coθ E d E 5cm 5cm V E,m 8, V i b) Ditance elon l axe de z : V 7V Ei Ed co8 d 5, cm ( en uivant l ' axe de z, en en invee de ligne de E) #5) hamp électique : E ( x i y j ) N ( i j ) m i j k m k V V V Ei d E i dx E i dy E i x y z i j m V x dx i i m j m ( i ) y dy ( ji j ) m { } { } V 4 V 8 V 6, V i dz x y 5

6 #7) Électon dan un champ unifome: 9 q e, 6 m 9,9 v kg a) Difféence de potentiel avec v m : K mv m v 4,96 J, 7 U q V e V K, ev e V 7, ev V, 7 V 6 7 ev b) Difféence de potentiel avec v, km : K mv m v 5, 7 J,57 4 U q V e V K,57 ev e V 4,57 ev V,57 4 V 4 ev c) Difféence de potentiel avec v : 6 K mv m v 4, J,56 ev U q V e V K,56 ev e V,56 ev V,56 kv 7,c m #8) Même choe que le #7, avec un poton : q e m, 67 v 7 kg 6

7 a) Difféence de potentiel avec v m : K mv m v 9, J 5, 68 4 U q V e V K 5, 68 ev e V 5, 68 4 ev V 5, 68 4 V 4 ev b) Difféence de potentiel avec v, km : 9 K mv m v, 5 J,655eV U q V e V K,655eV e V,655 ev V,655V 7 c) Difféence de potentiel avec v,c m : 6 K mv m v 7,5 J 4, 7 ev 6 U q V e V K 4, 7 ev e V 4, 7 6 ev 6 V 4, 7 V #) Tavail extéieu: q µ V V 5V 5V W q V q V V µ 5V 5V, µ J ext 7

8 #) Tajet dan un champ électique unifome: 6 V E i m d,4m q µ a) Difféence de potentiel: V V V Ed V 4, b) Vaiation d énegie potentielle: U q V q V V µ V µ J 4 7, #) hage ponctuelle dan un champ électique unifome : q 8µ d,5m E E i F,4 q N i F qe E V i m V Ed 5V #6) plaque conductice: σ E σ ε σ q d 8

9 q e V V d,m a) hamp électique: V Ed V E 4 V m b) Tavail fait pa la foce électique et contaie au tavail extéieu ou à la difféence d énegie potentielle: W U q V e V ev,9 J F électique 7 c) Difféence de potentiel u le tajet de l électon: V V d) Vaiation de l énegie potentielle de l électon: 7 U q V e V ev,9 J #7) Paticule accéléée: 5 m kg q 5µ V 6V v K,6 J v 4 m i Le tavail net epéente la omme de tou le tavaux (fait pa chacune de foce) appliqué u la paticule : W W W K,6 J NET Fext Félectique W W K W F ext ext Félectique W K U K q V,69 J ext 9

10 #8) Plaque infinie avec V en x et σ 7 n m V? x σ E ε σ x a) On fait un tajet de x (où on a fixé une valeu de éféence) à x : V V V E x x σ i d E d coθ E dx dx ε V V V x x x x x x σ σ x σ dx x x ε ε ε x x b) On veut un tajet où on meuea une difféence de potentiel de V : V V σ σ ( x x ) x x 5, 6cm i ε ε #9) Déplacement dan un champ électique unifome (voi la figue 4.7) : 4V E à 7 E co 7 i E in 7 j ( 9i 4 j ) V m m a) Difféence de potentiel pou le tajet ente et :,mi V V V E Ex x Ey y 9V, m iii m i 9,57V b) Difféence de potentiel pou le tajet ente et :,m j V V V Ei ( Ex x Ey y) 4V, m (( j ) i( j m )) 7, V

11 #) Paticule alentie m 9,9 kg 9 q e, 6 E unifome ( cte) d,m i 6 v 8 m i 6 v m i a) La difféence de potentiel : E K U U K U q V K 7 K,5 J 56eV K K 56 ev V 56V q e e b) Le champ électique : V E E d co E 5, kv i i m #) Un noyau, initialement au epo, e cindant en patie. L énegie potentielle et tanfomée en énegie cinétique: q 48e q 44e 7 5 m E K U K U ( U ) k qq U 6,97 J

12 #) onfiguation de chage de la figue 4.8: q µ q q 4µ µ a) Potentiel au point complétant le caé : k q k q k q k µ 4 5 V V V V 4, V m,4,57,4 b) Vaiation d énegie potentiel pou une 4 ième chage qu on déplace de l infini juqu au point identifié pécédemment : U q4 V q4 VP V,8J c) L énegie potentielle du caé de chage : U U U U U U U k q q k q q k q q k q q k q q k q q U k U,68J m 4 5, , 7 4 #5) Deux chage Q 5µ de igne oppoé épaée de 4m : Q Q m d m m 4m a) Tajet de à : Équation du champ en n impote quel endoit u la égion centale de l axe eliant le deux chage : k Q k Q E E E i i k Q i ( 4m ) ( 4m )

13 Difféence de potentiel : V V V E i d E d coθ d d V k Q k Q ( 4m ) ( 4 ) V kq, kv m m Difféence de potentiel (plu imple) : kq kq kq kq V V V m m m m E d b) L énegie potentielle et tanfomée en énegie cinétique : m, kg q µ v k Q, kv K mv m v v, m i U q V,6J #6) onfiguation de chage de la figue 4.4 a) Difféence de potentiel ente et : kq kq kq V V V 5m 5m 5m kq kq kq V V V m m m kq kq 4kQ V V, kv m 5m 5m b) hage en mouvement : 8 m kg q 5µ v

14 K mv m v v, km U q V,6J j #8) vec deux chage de igne oppoé et de valeu difféente, on peut identifie deux endoit (autou de la chage la plu faible) où le potentiel et nul. a) d d 4Q Q m m Poition dan la égion centale : 4kQ kq V V V m d d 4 kq ( m d ) kq d 4d m d d, m x,8m i Poition dan la égion à doite : 4kQ kq V V V m d d 4 kq ( m d ) kq d 4d m d d,m x,m i b) d d 4Q 9Q m m 4

15 Poition dan la égion centale : 4kQ 9kQ V V V d m d 4 kq d 9 kq ( m d ) 4 4( m d ) 9d d m x,8m i Poition dan la égion à gauche : 4kQ 9kQ V V V d m d 4 kq d 9 kq ( m d ) 4 4( m d ) 9d d m x,8m i 5 #) onfiguation de chage ponctuelle de la figue 4.4 Q 4µ Q 6µ,7m,5m q µ a) Le potentiel à l oigine : kq kq 4µ 6µ 5 V(,) V V k 5, 66 V, 7m,5m b) Le tavail extéieu pou amene q de l infini juqu à l oigine : ext ( (,) ) W q V q V V,J 5

16 #4) onfiguation de chage ponctuelle de la figue 4.44 : q 6µ q q µ,m,5m,5m On cheche la valeu que doit pende q pou obteni une valeu pécie de potentiel à l oigine. a) On veut un potentiel nul à l oigine : kq kq kq 6µ µ q V(,) V V V k,m,5m,5m q,µ b) On veut un potentiel de 4kV à l oigine : kq kq kq 6µ µ q V(,) V V V k 4kV,m,5m,5m q 4,µ #9) On e place initialement à m d une chage ponctuelle q : n VV V VV m m d d a) On cheche la ditance d de l emplacement initial qui pemetta de meue un potentiel de V plu élevé : kq kq V V V m V m d m d m V kq ( m d ) m V d kq m d ( ) d 5,6cm x 94,7cm i 6

17 b) On cheche la ditance d de l emplacement initial qui pemetta de meue un potentiel de V plu faible : kq kq V V V m V m d m d m V kq ( m d ) m V d d 5,88cm x, 59m i kq m d #4) Un anneau ( dimenion) avec une chage Q et un ayon a. On veut le potentiel à une hauteu y u on axe cental : P y a dq a) On découpe l anneau en moceaux dq : Q k dq k k Q k Q V dq a y b) On touve l équation du champ en déivant l expeion du potentiel en fonction de la vaiable y : dv d E j { kq ( a y ) } j kq y ( a y ) j dy dy kq y E j a y 7

18 #44) Sphèe conductice avec la valeu du champ diuptif à a uface : 6 Ediuptif N kq E R kq V E R R a) Touve V i R,mm : V E R,V b) Touve V i R,m : V E R V c) Touve V i R m : 6 V E R, V #46) Deux coquille métallique concentique : E Q a b Q 8

19 Pou la petite coquille : o De à a kq Vint éieu Vde a uface a o De a à kq Vpetite coquille Pou la gande coquille : o De à b V intéieu a) Dan la égion a kq Vde a uface b o De b à kq Vgande coquille <, E : kq kq V Vpetite coquille Vgande coquille kq a b a b kq < <, E u : kq kq V Vpetite coquille Vgande coquille kq b b b) Dan la égion a b kq >, E u : kq kq kq V Vpetite coquille Vgande coquille c) Dan la égion b d) Ne pa faie 9

20 #48) Deux chage ponctuelle u l axe y : y P Q a x a Q a) On cheche l expeion du potentiel au point P : kq kq y a y a V( y,) V V kq ( y a) ( y a) ( y a ) kq y V( y) y a b) On touve l équation du champ en déivant l expeion du potentiel en fonction de y : dv d E j { kq y ( y a ) } j kq{ ( y a ) y y ( y a ) } j dy dy ( ) ( ) y a y kq y a E kq j j y a y a

21 #5) Une phèe pleine iolante de ayon R et potant une chage Q unifomément épatie dan on volume : kq ( R ) V R Pou obteni l équation du champ, on déive l expeion cideu en fonction de dv d kq( R ) kq E u u { } u d d R R kq kq E u u R R #5) Loque le potentiel vaie elon pluieu dimenion, il faut effectue le déivée patielle. On déive elon une vaiable en conidéant le aute contante : δv δv δv E i j k ( 6x y y z) i ( x 6xyz 5z ) j ( xy 5yz ) k δ x δ y δ z Poblème : #) Un dique toué pote une chage unifomément épatie : σ dq a dx Q Q dq dq σ S π ds π x dx x dq ( b a ) π σ x dx b

22 À une hauteu y u l axe cental (axe otant de la feuille) : x y b b b π σ π σ a a k dq πσ x dx x dx V k k k x y x y x y a { } V π k σ b y a y #5) Sphèe entouée d une coquille : R Q R Q Pou la petite phèe : o De à R kq Vpetite phèe Vde a uface R o De R à kq Vpetite phèe Pou la gande coquille : o De à R kq Vgande coquille Vde a uface R

23 o De R à kq Vgande coquille a) Dan la égion R : kq kq Q Q V Vpetite phèe Vgande coquille k R R R R b) Su la coquille R : kq kq k V V V Q Q petite phèe gande coquille R R R c) V V : Q Q Q Q V V k k kq R R R R R R d) V V : V V Q Q Q k k R R R Q R Q Q R i R R ou Q R

24 #7) Un long fil coaxial : a d b E L λ λ a) Difféence de potentiel De ( le fil au cente) à ( la gaine) V V V E d E d coθ b a i λ ( b ) V kλ ln b ln a k ln b b kλ E d E d d a a a b) Le champ u la uface du fil cental : V 8V kλ ln ( b ) λ 6, 6 n a m k λ 6 E u,97 V u m a #8) Une tige unifomément chagée : a) Touve l expeion du potentiel au point P L P λ dq d 4

25 Q dq λ dq λ d L d x L x L { ln ln } k dq d V L L kλ kλ x x L k Q x V ln L x L b) Touve l expeion du potentiel au point P P y λ l L dl dq Q dq λ dq λ dl L dl L L k dq dl dl V kλ k k ln l l y λ λ l y l y L L L k Q y V ln 4 L y L 5