Fiche n o 1. Nombres complexes. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3.

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1 BCPST. Année 00-0 Lycée Pierre de Fermat Toulouse Fiche n o Nombres complexes Exercice. On considère les nombres complexes a = + i et b = 3 i. a Déterminer la forme trigonométrique de a, b, et de ab. b Déterminer la forme algébrique de ab. c En déduire les valeurs exactes de cos π et de sin π. Exercice. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3. Exercice 3. Donner la forme trigonométrique des complexes suivants : + i 3. a = 3 + 3i 4 b = i 3 c = 3 + i + i 3. Exercice 4. Résoudre dans R les équations suivantes :. tan 3x π = tan x + 4π 5 5. cos x 3 sin x = 3. sin x = sin x 4. cos x sin x = 0 Exercice 5. Soit a, b R. Résoudre dans R le système : S : Exercice 6. Soit z C. Montrer l équivalence suivante : Interpréter géométriquement. Exercice 7. z i = z + i z R. cos x cos y = a + b sin x sin y = a b. a Montrer que pour tout x R, le nombre complexe + xi est de module. xi b Quels sont les complexes de module qui peuvent s écrire sous la forme + xi xi, avec x R? Exercice 8. Montrer que, pour tout z C, Rez + Imz z Rez + Imz. Exercice 9. Résoudre dans C le système z + = z =. Interpréter géométriquement. Exercice 0. Simplifier, en fonction de n, les expressions i n et + i n. On pourra judicieusement penser à utiliser la forme trigonométrique des nombres complexes concernés. Exercice. Montrer que, pour tout entier n 0, le nombre complexe + 3i n + 3i n est un nombre entier. Indication : on pourra développer par la formule du binôme.

2 Exercice. Soient z, z C. Montrer l égalité suivante, appelée identité du parallélogramme : Interpréter géométriquement. z + z + z z = z + z. Exercice 3. Linéariser cos 6 θ, cos θ 4 sin θ, cos θ 4 sin θ. Réponse : cos 6θ+6 cos 4θ+5 cos θ+0, sinθ+3 sin3θ+sin5θ, +cosθ cos4θ cos6θ Indication : utiliser les formules d Euler : cos θ = eiθ + e iθ par la formule du binôme. Exercice 4. Soit x R. Calculer les sommes suivantes : n n S = cos kx et S = k Indication : on pourra calculer S + is. Exercice 5. Montrer, pour tout θ, n R N \ 0, }, n Exercice 6. Résoudre dans C : cos θ + kπ n n = sin et sin θ = eiθ e iθ. Développer les puissances i n θ + kπ n n sin kx. k = 0.. z = + i 3. z = 7 7i 3. z 5 =. On cherchera les solutions sous forme trigonométrique. Exercice 7. Résoudre dans C les équations z + z + = 0 et z z + 5 = 0. Exercice 8. équations : z 5 = i et z 6 = Écrire les complexes i et + i 3. + i 3 sous forme trigonométrique, puis résoudre dans C les Exercice 9. Relations coefficients/racines d un trinôme. On considère les racines z, z C du trinôme az + bz + c a, b, c C, a 0. Exprimer S = z + z et P = z z en fonction de a, b, c.. Résoudre dans C les systèmes suivants : S : z + z = i z + z = i et S : z z = 5 5i z z = 3i. Exercices défis Exercice 0. Montrer que l ensemble S = n N a, b Z, n = a + b } est stable par multiplication i.e. le produit de deux éléments de S appartient à S. Exercice. Soient u, v deux nombres complexes de modules. Montrer que si + uv est de module, alors uv =. Exercice. Calculer la longueur d un côté d un polygône régulier à n sommets inscrit dans le cercle unité n 3. Indication : On pourra calculer les affixes de deux sommets consécutifs bien choisis... et faire un dessin!

3 Corrections. Correction n o. On considère les nombres complexes a = + i et b = 3 i. Déterminer la forme trigonométrique de a, b, et de ab. Déterminer la forme algébrique de ab. En déduire les valeurs exactes de cos π et de sin π. Réponse : cos π = 3 + et sin π = 3. Correction n o. Mettre sous forme algébrique forme a + ib puis trigonométrique forme re iθ le nombre complexe : Z = + i 3. puis calculer Z 3. Z = + i 3. On factorise par Z pour obtenir la forme trigonométrique : Z = iπ 3 + i = e 3. Ainsi, Z 3 = 3 e iπ 3 3 = 8e iπ = 8. Correction n o 3. Donner la forme trigonométrique des complexes suivants : a = 3 + 3i 4, b = i 3, c = 3 + i + i 3. en factorisant par le module ici, encore égal à 3, on obtient 3 + 3i = i = 3e i π 3. D où a = 3e i π 4 3 = 6 9e i 4π 3 = 44e i 4π 3. 3 b =. Or i i = + i = + i 3 = i = 4 ei π 4. D où b = 4 ei π 4 = 3 e 3iπ i = + i iπ = e 6 donc 3 + i = 4e iπ 3. + i = e i π 4 donc + i 3 = e i 3π 4. Ainsi, par quotient, c = 5iπ e. Correction n o 4. Correction n o 5. Soit a, b R. Résoudre dans R le système : cos x cos y = a + b S : sin x sin y = a b Le système est équivalent à : cos x cos y + sin x sin y = a + cos x cos y sin x sin y = b

4 Donc, en utilisant les formules de trigonométrie : S cosx y = a + cosx + y = b On constate que si a > ou si b >, alors le système n a pas de solution. Ainsi : er cas : si a / [, ] ou b / [, ] : l ensemble des solutions est. eme cas : si a [, ] et b [, ] : Il existe α et β deux réels tels que a = cos α et b = cos β. Ainsi, S cosx y = cos α cosx + y = cos β x y α[π] ou x y α[π] x + y β[π] ou x y β[π] Ainsi, le système S est équivalent à l un des quatre systèmes suivants : S : x y α[π] x + y β[π] S : x y α[π] x + y β[π] S 3 : x y α[π] x + y β[π] S 4 : x y α[π] x + y β[π] Détaillons la résolution de S : x y = α + kπ, k Z, x + y = β + k π, k Z. en faisant la somme et la différence de ces deux lignes, on obtient le système équivalent suivant : x = α + β + k + k S π, k Z, k Z, y = β α + k kπ, k Z, k Z. On divise par et on pose n = k + k et m = k kk. n et m prennent toutes les valeurs possible de Z. On obtient : x = α + β + nπ, n Z, x α + β S y = β α + mπ, m Z. y β α On fait de même pour S, S 3 et S 4. On obtient : x α + β x α + β x α β x α β S y β α ou y β + α ou y β α ou y β + α L ensemble des solutions est donc : α + β + nπ, β α α β + nπ, β α α + β α β + nπ, β + α + nπ, β + α + mπ n, m Z Correction n o 6. Correction n o 7. Correction n o 8. Montrer que, pour tout z C, Rez + Imz z Rez + Imz.

5 L inégalité de droite s obtient par inégalité triangulaire en écrivant : z = Rez + i Imz. D où z Rez + i Imz, puis le résultat. L inégalité de gauche est plus délicate. Remarquons au brouillon qu elle est équivalente à : Rez + Imz z, donc, en développant le carré et en remplaçant z par sa définition : Rez + Rez Imz + Imz Imz + Rez. C est encore équivalent à 0 Rez Rez Imz + Imz. Ceci est toujours vrai car c est 0 Rez Imz. Nous allons donc partir de cette inégalité. Nous savons que 0 Rez Imz. Donc, en développant : 0 Rez Rez Imz + Imz. D où Rez Imz Rez + Imz. Ajoutons Rez + Imz à chacun des membres de cette inégalité : Rez Imz + Rez + Imz Rez + Imz. D où Rez + Imz z. Puis, en appliquant la fonction racine carrée qui est croissante sur R +, et en remarquant que Rez + Imz et z sont des quantités positives : Rez + Imz z. On en déduit la seconde inéalité. Correction n o. Soient z, z C. Montrer l égalité suivante, appelée identité du parallélogramme : z + z + z z = z + z. Utilisons l expression du module à l aide des conjugués : z + z = z + z z + z = zz + zz + z z + z z. De même, z z = z z z z = zz zz z z + z z. Ainsi, z + z + z z = zz + z z = z + z. Interprétation géométrique : la somme des carrés des côtés d un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales.

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