Chapitre 3 : Trigonométrie

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1 Chapitre : Trigonométrie PTSI B Lycée Eiffel septembre Quel est le comble pour un cosinus? Attraper une sinusite! Pour compléter le chapître précédent consacré au fonctions usuelles, un chapître à part consacré à une catégorie de fonctions qu il est tout aussi indispensable de connaitre sur le bout des doigts : les fonctions trigonométriques. On en profitera pour refaire le point sur l interprétation géométrique des cosinus, sinus, et autres tangentes, qu il faut absolument maîtriser pour être capable notamment de résoudre des équations trigonométriques efficacement. On profitera également de ce chapître pour appliquer nos connaissances sur les réciproques au fonctions trigonométriques, pour ajouter à notre catalogue les trois fonctions trigonométriques réciproques. Objectifs du chapitre : capacité à utiliser un cercle trigonométrique rapidement. connaissance des multiples formules de trigonométrie, ou du moins capacité à toutes les retrouver rapidement. connaissance des dérivées et représentations graphiques des fonctions trigonométriques et de leurs réciproques. Rappels de trigonométrie. Cercle trigonométrique, radians Définition. Le cercle trigonométrique, dans un repère orthonormé, est le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon. À tout réel, on associe un point M du cercle trigonométrique en parcourant le cercle sur une distance à partir du point (,), et est appelé mesure en radians de l angle orienté ( i, OM). L abscisse et l ordonnée du point M associé à sont appelées respectivement cosinus et sinus de ce réel. On définit par ailleurs la tangente quand c est possible, c est à dire si sin + k, k Z, par tan =. Pour une interprétation géométrique de la cos tangente (epliquant d ailleurs le nom de tangente), cf le dessin ci-dessous.

2 tan () sin () cos () Remarque. Le repérage du cercle trigonométrique suppose le choi d une orientation sur ce cercle. On appelle sens trigonométrique (ou positif) le sens opposé à celui des aiguilles d une montre. Proposition. Valeurs remarquables à connaitre : 6 cos sin tan Démonstration. Pour les multiples de, il suffit de regarder le cercle trigonométrique. Pour, on obtient les valeurs facilement en se plaçant dans un demi-carré de côté (en revenant à la définition purement géométrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue au collège). La diagonale a pour longueur, donc le cosinus comme le sinus de chacun des deu angles de mesure valent =. Pour et, on se place dans un demi-triangle équilatéral de côté 6. Les longueurs des trois côtés sont donc ; et (un petit coup de théorème de Pythagore), dont on déduit sans difficulté les valeurs des lignes trigonométriques. Proposition. Propriétés de symétrie du cosinus, du sinus et de la tangente : cos(+) = cos sin(+) = sin tan(+) = tan cos(+) = cos sin(+) = sin tan(+) = tan cos( ) = cos sin( ) = sin tan( ) = tan cos( ) = cos sin( ) = sin tan( ) = tan cos(+ ) = sin sin(+ ) = cos tan(+ ) = tan() cos( ) = sin sin( ) = cos tan( ) = tan()

3 Démonstration. C est toujours une question de symétries du cercle trigonométrique : à + correspond le même point qu à ; à + le symétrique par rapport à ; à le symétrique par rapport à l ae des abscisses ; à celui par rapport à l ae des ordonnées ; à + l image par une rotation de centre et d angle, et enfin à l image par la composée de cette rotation et de la symétrie par rapport à l ae des abscisses (en commençant par la symétrie).. Formules trigonométriques Proposition. Pour tout réel, sin +cos =. Démonstration. Soit M le point associé à sur le cercle trigonométrique. La distance OM, qui vaut, est égale à cos +sin, ce qui élevé au carré donne notre égalité. Les formules suivantes sont toutes à connaitre parfaitement et surtout à ne pas confondre les unes avec les autres. Nous verrons un peu plus tard comment les retenir plus facilement à l aide des eponentielles complees. Proposition. Formules d addition : cos(a+b) = cosacosb sinasinb sin(a+b) = sinacosb+cosasinb tan(a+b) = tana+tanb tanatanb cos(a b) = cosacosb+sinasinb sin(a b) = sinacosb cosasinb tan(a b) = tana tanb +tanatanb Démonstration. Soient M et N les points du cercle trigonométrique de coordonnées respectives (cosa,sina) et (cos(a+b),sin(a+b)) et M l image de M par rotation autour de l origine d angle. Le triplet (O, OM, OM ) est un repère (orthonormal direct). Les coordonnées de N dans ce repère sont (cosb,sinb) (puisque N appartient toujours au cercle trigonométrique dans ce nouveau repère, et ( OM, ON) = a + b a = b), donc ON = cosb OM + sinb OM = cosb (cosa i + sina j ) + sinb ( sina i +cosa j ) = (cosacosb sinasinb) i +(sinacosb cosasinb) j. Comme on sait par ailleurs, par définition du point N, que ces coordonnées sont égales à (cos(a+b),sin(a+b)), une petite identification donne les formules d addition du sinus et du cosinus. On a ensuite tan(a+b) = sin(a+b) cos(a+b) = sinacosb+cosasinb sina cosacosb sinasinb = cosa + sinb cosb sinasinb = tana+tanb. Pour obtenir les formules de tanatanb cosacosb soustraction, on reprend les formules précédentes en remplaçant b par b. Méthode : Ces formules permettent de calculer les valeurs eactes des lignes trigonométriques d angles qui peuvent s eprimer comme sommes ou différences d angles classiques, par eemple : on utilise le fait que =, donc cos = cos cos +sin sin 6+ =. De même, sin =. 6. =. Proposition 5. Formules de duplication : cos(a) = cos a sin a = cos a = sin a sin(a) = cosasina tan(a) = tan(a) tan (a) cos(a) = cos a cosa sin(a) = sina sin a

4 Démonstration. Ce ne sont que des cas particuliers des formules d addition, mais il est bon de bien les connaitre. Pour obtenir cos(a), on applique la formule d addition à a et a : cos(a) = cos(a)cosa sin(a)sina = cos a cosa cosasin a = cos a cosa cosa( cos a) = cos a cosa. Remarque. On peut calculer les valeurs de cos(na) et sin(na) de proche en proche de cette manière, mais on verra une méthode plus efficace utilisant les nombres complees. Proposition 6. Transformations de sommes en produits (et vice versa) : cosacosb = (cos(a+b)+cos(a b)) sinacosb = (sin(a+b)+sin(a b)) sinasinb = (cos(a b) cos(a+b)) ( ) ( ) p+q p q cosp+cosq = cos cos ( ) ( ) p+q p q cosp cosq = sin sin ( ) ( ) p+q p q sinp+sinq = sin cos ( ) ( ) p+q p q sinp sinq = cos sin Démonstration. Rien de compliqué, par eemple cos(a +b) +cos(a b) = cosacosb sinasinb+ cosacosb + sinasinb = cosacosb. On obtient de même les deu formules suivantes, puis les quatre dernières s obtiennent directement en partant du membre de droite et en utilisant les trois premières.. Résolution d équations trigonométriques Définition. Soit θ R, on dit qu un réel est congru à α modulo θ si = α+kθ, où k est un entier relatif quelconque. On le note α[θ]. Eemple : On peut ainsi écrire θ[] pour indiquer que le réel correspond sur le cercle trigonométrique au même point que l angle θ. Remarque. On peut effectuer sur les congruences (qui ne sont rien d autre que des égalités déguisées) les opérations suivantes : addition d une constante des deu côtés (sans toucher à ce qui est dans le crochet), ou multiplication par une constante (y compris ce qui est dans le crochet). Ainsi, si + [], on pourra écrire [], puis []. Proposition 7. L équation cos() = cos(θ) a pour solutions θ[] et θ[]. L équation sin() = sin(θ) a pour solutions θ[] et θ[]. Eemples : L équation cos() = a pour solutions [] et []. L inéquation [ sin() a pour solutions, ] []. Eercice : Résoudre les équations suivantes :. cos() = (. sin + ) =. tan() = cos(). sin()+sin() =

5 . On écrit simplement ± [], soit ± 9 [ ].. On peut par eemple écrire + [], soit [], ou encore utiliser le fait que ( sin + ) = cos() pour obtenir l équation équivalente cos() = (qui donne évidemment les mêmes solutions).. Le plus simple est décrire sin() cos() = cos(), soit sin() = cos () = sin (). En posant X = sin(), on se ramène donc à l équation X + X =, qui a pour discriminant = +6 = 7, et admet comme racines X = 7, qui est strictement inférieure à (puisque 7 > ) donc n est pas une valeur valable pour un sinus, et X = + 7, qui appartient bien à [,]. Il eiste donc un angle θ tel que sin(θ) = X, et les solutions de l équation initiale sont alors θ[] et θ[].. Une possibilité brutale est d écrire sin()+sin() = sin()+sin() sin () = sin()( sin [ ()), les solutions vérifient donc sin() =, sin() = ou sin() =, ce qui donne. Autre possibilité, utiliser une formule de transformation somme-produit pour ramener ] l équation à sin() cos( ) =, soit sin() = ou cos() = (la fonction cos étant paire). Comme sin() = sin()cos(), on doit en fait avoir sin() = ou cos() =, ce qui donne bien les solutions trouvées ci-dessus. Fonctions trigonométriques Proposition 8. La fonction cosinus est définie sur R par cos(). Elle est paire et -périodique, continue et dérivable, et sa dérivée est égale à sin(). Sur l intervalle [ ;], son tableau de variations est le suivant : La courbe bien connue du cosinus : cos 5 5 Démonstration. La périodicité et la parité découlent des propriétés cos(+) = cos et cos( ) = cos. Le calcul de dérivée peut s effectuer en revenant au tau d accroissement et en utilisant des encadrements eploitant la définition géométrique des lignes trigonométriques, nous verrons cette démonstration en eercice. Proposition 9. La fonction sinus est définie sur R par sin(). Elle est impaire, -périodique, continue et dérivable, sa dérivée est la fonction cosinus, et voici son tableau de variations sur [ ;] : 5

6 sin Et une autre courbe bien connue : 5 5 Démonstration. Mêmes remarques que pour le cosinus. { } Proposition. La fonction tangente est définie sur R\ +k k Z par tan(). Elle est impaire, -périodique, continue et dérivable sur son domaine de définition, et tan = +tan = ] cos. D où le tableau de variations suivant sur ; [ : tan Et une dernière courbe peut-être moins bien connue :

7 Démonstration. Encore une fois, ( tout ) a été vu sauf la dérivée et les limites, qui se calculent facilement. Par eemple, tan () = () = cos ()+sin () sin cos cos = () cos en utilisant la formule de () dérivation d un quotient. Par ailleurs, +tan () = + sin () cos () = cos, d où la deuième forme () possible. Eercice : Étudier le plus complètement possible la fonction f : cos()+ sin(). La fonction est évidemment définie et dérivable sur R. Elle n est ni paire ni impaire, mais périodique, ce qui permet de réduire l intervalle d étude à [,]. Sa dérivée est f () = sin()+ cos() = sin()+ sin (). En posant X = sin(), f () est du signe de X X+, qui a pour discriminant = +8 = 9, et admet pour racines X = =, et X = + =. La dérivée est donc positive lorsque sin(), ce qui permet de dresser le tableau de variations suivant : 6 f () f ( Pour compléter le tableau, on a notamment calculé f 6) 5 6 ( = cos + 6) ( ) sin = + = (calcul identique au signe près en 5, les autres valeurs sont faciles à calculer). On a également 6 déterminé le signe de f en résolvant l équation f() = : comme sin() = sin()cos(), elle se ramène à cos()(+sin()) =, ce qui donne (sur notre intervalle) = ±. On peut conclure avec une belle courbe : 5 5 Fonctions trigonométriques réciproques [ Définition. La fonction sin étant strictement croissante sur, ], elle y est bijective vers l intervalle image [; ]. La fonction réciproque du sinus sur cet intervalle est appelée arcsinus et notée arcsin. Proposition. La fonction arcsin est impaire, définie et continue sur[; ] et dérivable sur]; [, de dérivée arcsin (y) =. Elle est strictement croissante sur son domaine de définition. y 7

8 Démonstration. L imparité et la croissance d arcsin découlent de celles du sinus via le théorème de la bijection. Pour la dérivée, appliquons la formule de dérivation d une réciproque : arcsin (y) = sin (arcsiny) = [ cos(arcsiny). La fonction arcsin étant à valeurs dans ; ], et le cosinus étant positif sur cet intervalle, on a cos(arcsiny) = sin (arcsiny)) = y, ce qui prouve la formule. Remarque. Le fait que sin(arcsiny) = y, utilisé dans la démonstration, n est vrai [ que si y [;] (sinon arcsin(y) n eiste pas). De même, arcsin(sin()) = seulement si ; ] (mais cette epression est définie quelle que soit la valeur de ). Définition. La fonction cos est strictement décroissante sur [; ], elle y est donc bijective vers son intervalle image [; ]. On définit la fonction arccosinus sur [; ] (notée arccos) comme la réciproque de cos sur cet intervalle. Proposition. La fonction arccos est paire, continue sur [; ] et dérivable sur ]; [, de dérivée arccos (y) =. Elle est strictement décroissante sur son domaine de définition. y 8

9 Démonstration. La preuve est totalement similaire à la précédente. Proposition. Pour tout réel y [;], arccos(y)+arcsin(y) =. Démonstration. Notons g : y arccos(y) + arcsin(y). La fonction g est définie sur [; ], dérivable et de dérivée nulle sur ];[. Elle est donc constante égale à g() = arccos()+arcsin() = + =. Définition 5. La fonction tan est strictement croissante sur ] ; [, elle y effectue donc une bijection vers son intervalle image R. La fonction arctangente est définie sur R comme sa réciproque, on la note arctan. Proposition. La fonction arctan est impaire, continue et dérivable sur R, de dérivée arctan (y) = +y. Elle est strictement croissante sur R, avec pour limites respectives et en et Démonstration. Comme d habitude, contentons-nous du calcul de la dérivée, qui est ici facile : arctan (y) = tan (arctany) = (+tan )(arctany) = +y. 9

10 ( ) Eercice : Démontrer que, R, arcsin = arctan(). + ( ) Deu méthodes possibles, d abord une méthode bourrine où on pose f() = arcsin + arctan(). Il faut déjà réussir à déterminer le domaine de définition de f. En constatant que R, < +, on peut prendre la racine carrée pour obtenir < +, soit + < < ( ) +. On a donc toujours < + <, donc arcsin eiste sur R tout + entier. Comme la fonction arctan est également définie sur R, D f = R. La fonction est dérivable sur R également puisque l epression à l intérieur de l arcsinus ne prend jamais les valeurs et. Dérivons + donc : f () = = + + ( +) + + = + + ( +) =. La fonction f est donc constante. Comme f() = arcsin() arctan() =, + f est la fonction nulle, ce qui prouve l égalité demandée. ] Deuième méthode, on pose = tan(θ), avec θ ; [ (on peut toujours, la focntion tan étant bijective de cet intervalle sur R. On a bien évidemment arctan(tan(θ)) = θ sur cet intervalle (ce ne serait pas vrai pour un θ quelconque), et par ailleurs tan(θ) cos (θ). Comme cos(θ) est positif sur l intervalle considéré, + = tan(θ) +tan (θ) = + = tan(θ)cos(θ) = sin(θ). Et comme ( on est) justement dans l intervalle où arcsin(sin(θ)) = θ (la vie est bien faite), on trouve arcsin = θ, ce qui prouve l égalité. +