Mécanique du Solide et des Matériaux - Promo Préceptorat 3 Capacité portante d un sol

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1 1 Mécanique du Solide et des Matériaux - Promo Précetorat 3 Caacité ortante d un sol Corrigé Ruture d un sol Coefficient de ression du sol 1 ) De art la symétrie du roblème les contraintes σ xx = σ H et σ zz = σ V sont rinciales et σ xy = 0. L équation de l équilibre Divσ γ = 0, le signe - rovenant de la convention de signe des contraintes normales, conduit à : σ H x = 0 = γ σ V z σ = σ H 0 0 σ V = f(z) 0 0 γz La comosante σ H ne eut être déterminée sans la connaissance de la loi de comortement du sol. 2 ) La géomètrie imose l absence de déformation horizontale, soit ε H = 0. L essai oedométrique corresondant exactement à cette condition conduit à la loi de comortement σ H = K 0 σ V, avec K 0 < 1, soit σ H < σ V. Il en résulte que σ V est la contrainte rinciale majeure. 3 ) En ajoutant la charge uniformément réartie q le tenseur des contraintes rerésentant l état mécanique du sol esant sous chargement s écrit donc : σ σ = H 0 K = (q + γz) σ V 0 1 = σ K 0 0 V 0 1 Coefficient de oussée et de butée du sol 4 ) Dans le lan de Mohr (σ, τ), le critère de coulomb est constitué des deux droites inclinées de ±ϕ sur l axe σ. 5 ) Le cercle de Mohr rerésentatif de l état de contrainte est centré en OC = 1 2 (σ V + σ H ) = 1 2 (1 + K0 )σ V et à our rayon R = 1 2 (σ V σ H ) = 1 2 (1 K0 )σ V. Son centre OC et son rayon R variant de manière roortionnelle, l enveloe de ces cercles sera constituée des deux droites inclinées de ±α sur l axe σ. En effet : sin α = R OC = 1 K0 1 + K 0 cos α = 2 K K 0 tgα = 1 K0 2 K 0 Tant que α sera inférieur à ϕ, l ensemble des oints du sol sera en état d équilibre mécanique. La condition de stabilté (non ruture) s écrit : tgα < tgϕ α = arctg 1 K0 2 K 0 < ϕ

2 2 Notons que lorsque α = ϕ la ruture est obtenue simultanément en tout oint du sol. Pour K 0 =0,48, α=20,6 inférieur à ϕ=30. Le sol sableux considéré est stable. 6 ) Si l on autorise une exansion latérale ε H > 0 du sol, la contrainte σ H qui interdisait cette déformation va diminuer tandis que σ V n est as modifiée et reste contrainte majeure. Le coefficient de ression K va diminuer et le rayon du cercle de Mohr va croître jusqu à ce qu il tangente le critère de ruture. Sur le cercle de Mohr, les normales aux lans de glissement corresondent aux deux oints de tangence, c est à dire à l angle au centre ±( π 2 ϕ) avec σ H et les lans de glissement, qui leur sont diamétralement oosés forment l angle ±( π 2 + ϕ) avec σ H. Dans le sol, σ H étant arallèle à la surface, l angle entre les lans de glissement et la surface sera donc : α P = ± 1 2 (π 2 + ϕ) = ±(π 4 + ϕ 2 ) Avec σ P H = KP σ V, OC = 1 2 σ V (1 + K P ), R = 1 2 σ V (1 K P ) et sin ϕ = R OC = 1 KP 1+K P on obtient : K P = 1 sin ϕ 1+sin ϕ = 1 cos( π 2 ϕ) 1+cos( π 2 ϕ) = 1 cos2 ( π 4 ϕ 2 )+sin2 ( π 4 ϕ 2 ) 1+cos 2 ( π 4 ϕ 2 ) sin2 ( π 4 ϕ 2 ) = sin2 ( π 4 ϕ 2 ) cos 2 ( π 4 ϕ 2 ) = tg2 ( π 4 ϕ 2 ) K P = 1 sin ϕ 1+sin ϕ = 1+cos( π 2 +ϕ) 1 cos( π 2 +ϕ) = 1+cos2 ( π 4 + ϕ 2 ) sin2 ( π 4 + ϕ 2 ) 1 cos 2 ( π 4 + ϕ 2 )+sin2 ( π 4 + ϕ 2 ) = cos2 ( π 4 + ϕ 2 ) sin 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = 1 tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) K P = tg 2 ( π 4 ϕ 2 ) = 1 tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = 1 tg 2 (α P ) Il existe donc un minimum K P = tg 2 ( π 4 ϕ 2 ) du coefficient de ression K corresondant à la ruture en oussée. Le sol romt en tout oint et les lignes de glissement font un angle α = π 4 + ϕ 2 avec la surface du sol. Poussée car le sol exerce une oussée qui tend à écarter les murs fictifs qui interdisent la déformation ε H. 7 ) Si l on force une contraction latérale ε H < 0 du sol, la contrainte σ H qui interdisait cette déformation va augmenter tandis que σ V n est as modifiée. Au cours de cette augmentation de σ H on asse ar un état de comression hydrostatique (cercle oint de centre OC = σ V et de rayon R=0 corresondant à K=1), uis le coefficient de ression K va continuer à augmenter K > 1, la contrainte σ H va devenir la contrainte majeure et le rayon du cercle de Mohr va croître jusqu à ce qu il tangente le critère de ruture. Sur le cercle de Mohr, les normales aux lans de glissement corresondent aux deux oints de tangence, c est à dire à l angle au centre ±( π 2 + ϕ) avec σ H et les lans de glissement, qui leur sont diamétralement oosés forment l angle ±( π 2 ϕ) avec σ H. Dans le sol, σ H étant arallèle à la surface, l angle entre les lans de glissement et la surface sera donc : α B = ± 1 2 (π 2 ϕ) = ±(π 4 ϕ 2 )

3 3 Avec H = KB σ V, OC = 1 2 σ V (K B + 1), R = 1 2 σ V (K B 1) et sin ϕ = R OC = KB 1 K B +1 on obtient : K B = 1+sin ϕ 1 sin ϕ = 1 cos( π 2 +ϕ) 1+cos( π 2 +ϕ) = 1 cos2 ( π 4 + ϕ 2 )+sin2 ( π 4 + ϕ 2 ) 1+cos 2 ( π 4 + ϕ 2 ) sin2 ( π 4 + ϕ 2 ) = sin2 ( π 4 + ϕ 2 ) cos 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = tg2 ( π 4 + ϕ 2 ) K B = 1+sin ϕ 1 sin ϕ = 1+cos( π 2 ϕ) 1 cos( π 2 ϕ) = 1+cos2 ( π 4 ϕ 2 ) sin2 ( π 4 ϕ 2 ) 1 cos 2 ( π 4 ϕ 2 )+sin2 ( π 4 ϕ 2 ) = cos2 ( π 4 ϕ 2 ) sin 2 ( π 4 ϕ 2 ) = 1 tg 2 ( π 4 ϕ 2 ) K B = tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = 1 tg 2 ( π 4 ϕ 2 ) = 1 tg 2 (α B ) Il existe donc un maximum K B = tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) du coefficient de ression K corresondant à la ruture en butée. Le sol romt en tout oint et les lignes de glissement font un angle α = π 4 ϕ 2 avec la surface du sol. Butée car le sol vient buter sur les murs fictifs qui se rarochent. 8 ) Des résultats récédents on tire facilement : α P = ±( π 4 + ϕ 2 ) αb = ±( π 4 ϕ 2 ) K P = 1 sin ϕ 1 + sin ϕ = tg2 (α B ) = 1 tg 2 (α P ) K B = 1 + sin ϕ 1 sin ϕ = tg2 (α P ) = Pour un sable de Fontainebleau de coefficient de frottement effectif ϕ=35 : 1 tg 2 (α B ) K P K B = 1 ϕ = 35 α P = 63, 5 K P = 0, 27 α B = 27, 5 K B = 3, 69 Pour une argile verte de coefficient de frottement effectif ϕ=20 : ϕ = 20 α P = 55 K P = 0, 49 α B = 35 K B = 2, 04 Dans tous les cas l angle entre les oints rerésentatifs des lans de ruture vaut π 2ϕ sur le cercle de Mohr. Les lans de ruture font donc toujours entre eux l angle π 2 ϕ. Caacité ortante d une fondation Caacité ortante P q

4 4 9 ) Le triangle SaS étant en oussée, la contrainte rinciale majeure est et le cercle de Mohr limite est le lus grand des deux cercles. La surface du sol corresondant à la direction de la contrainte σ X, les normales aux lignes de glissement font l angle π 4 ϕ 2 avec la surface du sol, tandis que les lignes de glissement font l angle π 4 + ϕ 2 conformément au résultat obtenu à la question 6 ). Le dièdre xsb étant en butée, la contrainte rinciale mineure est q et le cercle de Mohr limite est le lus etit des deux cercles. La surface du sol corresondant à la direction de la contrainte σ X, les normales aux lignes de glissement font l angle π 4 + ϕ 2 avec la surface du sol, tandis que les lignes de glissement font l angle π 4 ϕ 2 conformément au résultat obtenu à la question 7 ). En conséquence, les lignes de glissement SA et SB sont erendiculaires entre elles. 10 ) Les vecteurs contrainte σ A et suortés ar les facettes de glissement forment un angle ϕ avec les normales aux lignes de glissement. Comme ces dernières sont erendiculaires, les vecteurs contrainte le sont également. Par raort à la surface du sol σ A fait l angle π 4 ϕ 2 + ϕ = π 4 + ϕ 2 tandis que fait l angle π 4 + ϕ 2 ϕ = π 4 ϕ 2. Sur le cercle de oussée l angle β vaut π 4 ϕ 2. Dans le triangle Oσ A la relation entre angles et cotés conduit à : σ A sin(β) = sin( π 2 + β) = cos(β) σ A = tgβ = tg( π 4 ϕ 2 ) Sur le cercle de butée l angle α vaut π 4 + ϕ 2. Dans le triangle Oq la relation entre angles et cotés

5 5 conduit à : sin(π α) = sin(α) = q sin( π 2 α) = q cos(α) = qtgα = qtg( π 4 + ϕ 2 ) Il en résulte : q = σ A tg( π 4 + ϕ 2 ) tg( π 4 ϕ 2 ) = σ A tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) 11 ) Entre ces deux zones, un éventail de Prandtl dont les lignes de glissement sont toutes des droites assant ar le oint S. Sous ces hyothèses, l autre famille de lignes de glissement est constituée de courbes qui font un angle constant ( π 2 ϕ) avec le faisceau récédent. En effet, dans toute région où le critère de ruture est atteint, l angle entre les deux réseaux est donné, sur le cercle de Mohr, ar π 2ϕ et l angle entre la normale à la facette et le vecteur contrainte est égal à ϕ. Soit r = f(θ) l équation de l autre famille de lignes de glissement dans le reère olaire S, r, θ. Sa tangente au oint courant r, θ à our comosantes (dr, rdθ) et sa normale ( rdθ, dr). Cette dernière faisant, d arès le résultat ci-dessus, l angle ϕ avec la direction r, l équation s écrit : dr rdθ = tgϕ r = r 0 ex(θtgϕ) Il s agit donc de segments de sirales logarithmiques. Les sirales faisant en tout oint l angle ( π 2 ϕ) avec les droites de la famille radiale, le vecteur contrainte sur les facettes de ruture le long des sirales faisant l angle ϕ avec leur normale, ce vecteur est donc radial dirigé vers S en tout oint de l éventail AB. 12 ) En écrivant qu à l équilibre le moment résultant (calculé au oint S) des contraintes aliquées à l éventail SAB doit être nul, le long des sirales le vecteur contrainte étant radial, sa contribution au moment est nulle. Le long de SA la résultante des contraintes σ A SA, d angle ϕ avec la normale à SA s alique à la distance SA 2 de S. Il en est de même our la contrainte le long de SB de sorte que l équilibre des moments se réduit à : σ A SA SA 2 cos ϕ = SB SB 2 cos ϕ σ ASA 2 = SB 2 Comte tenu du rofil siral et du fait que SA est erendiculaire à SB : SB = SA ex( π 2 tgϕ) et σ ASA 2 = SB 2 On obtient finalement la relation entre et q : q = σ A tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = ex(πtgϕ)tg2 ( π 4 + ϕ 2 ) σ A = ex(πtgϕ) On a obtenu une solution statiquement admissible, mais aucune certitude qu elle soit également cinématiquement admissible. 13 ) La caacité ortante P q ar unité de longueur d une semelle de largeur B est alors donnée ar : P q = qb ex(πtgϕ)tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) = γhb ex(πtgϕ)tg2 ( π 4 + ϕ 2 ) N q = ex(πtgϕ)tg 2 ( π 4 + ϕ 2 ) Pour une fondation de largeur B=1 m à la rofondeur H=0,3 m : Sur un sable de Fontainebleau de oids volumique γ=17 kn.m 3 et d angle de frottement effectif ϕ=35 on obtient : N q = 33, 3 P q = 169, 8 kn m q = 17, 3 tonne Pour une fondation de largeur B=1 m à la rofondeur H=0,3 m : Sur une argile verte de oids volumique γ=17 kn.m 3 et d angle de frottement effectif ϕ=20 on obtient : N q = 6, 4 P q = 34, 6 kn m q = 3, 5 tonne

6 6 Caacité ortante P τc Si le sol résente une cohésion τ C non nulle, le critère de ruture de Mohr-Coulomb devient : 14 ) A la ruture, le comortement du sol cohérent eut être assimilé à celui d un sol non cohérent (τ C =0) à condition d ajouter à son état de contrainte l action de la contrainte isotroe : 0 = τ C tgϕ Il suffit d effectuer la translation des axes OO = 0 dans le lan de Mohr. Cette analogie est connue sous le nom de théorème des états corresondants. 15 ) D arès ce théorème le sol cohérent non esant eut être assimilé à un sol non cohérent non esant à condition d aliquer sur sa semelle une contrainte à ruture τc + 0 et sur le reste de sa surface une contrainte q = 0. Par alication du résultat récédent, à la ruture on obtient donc : N q 1 τc + 0 = N q 0 τc = (N q 1) 0 = τ C tgϕ = N τ C τ C N τc = N q 1 tgϕ La caacité ortante P τc ar unité de longueur d une semelle de largeur B est alors donnée ar : P τc = B τc = τ C BN τc N τc = N q 1 tgϕ = ex(πtgϕ)tg2 ( π 4 + ϕ 2 ) 1 tgϕ Pour une argile verte de cohésion τ C =19 kpa et d angle de frottement effectif ϕ=20 et our la même fondation que récédemment on obtient : Caacité ortante P γ N τc = 14, 8 P τc = 28, 2 kn m τc = 28, 7 tonne 16 ) Pour un sol esant frottant non cohérent, l abaque de Terzaghi conduit à N γ =4 our ϕ=20 (argile verte) et à N γ =40 our ϕ=35 (sable de Fontainebleau). La caacité ortante étant donnée ar N γ = 1 2 γb2 N γ, our une semelle de largeur B=1 m : Pour le sable de Fontainebleau γ=17 kn.m 3, P γ =340 kn et M γ =34,6 tonne. Pour l argile verte γ=18 kn.m 3, P γ =36 kn et M γ =3,7 tonne.

7 7 17 ) Le tableau ci-dessous regroue les résultats en terme de masse limite à ruture. Sable de Fontainebleau Argile verte ϕ ( ) γ (kn.m 3 ) τ C (kpa) 0 19 N q 33,3 6,4 N τc 46,1 14,8 N γ 40,0 4,0 M q (tonne) 17,3 3,5 M τc (tonne) 0 28,7 M γ (tonne) 34,6 3,7 M T otal (tonne) 51,9 35,9 Pour le sable de Fontainebleau à fort angle de frottement effectif, les facteurs de ortance croissant raidement avec ϕ. les caacités ortantes P q et P γ sont fortes, ar contre étant non cohérent τ C = 0, sa caacité de ortance P τc est nulle, alors même que N τc =46,1 est élevé. Pour l argile verte à faible angle de frottement effectif, les facteurs de ortance décroissant raidement avec ϕ. les caacités ortantes P q et P γ sont faibles, ar contre étant cohérente à fort τ C, sa caacité de ortance P τc est imortante, alors même que N τc =14,8 est lus faible. La caacité ortante du sable de Fontainebleau est due rincialement à la forte friction sol-sol, tandis que celle de l argile verte est due rincialement à sa forte cohésion.