Mars 2006 Baccalauréat blanc TGM

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1 Exercice (5 points). Le plan est muni d un repère orthonormal (; u, v ).. Résoudre dans C l équation d inconnue z : z 2 2z + 5 = 0 2. Soit P le polynôme défini par P (z) = z 3 4z 2 + 9z 0. (a) Démontrer qu il existe des réels a, b et c (dont on donnera les valeurs) tels que pour tout complexe z, on ait : P (z) = (z 2) ( az 2 + bz + c ) Résoudre alors dans C l équation d inconnue z : P (z) = Soient A, B, C, D les points d affixes respectives : a = 2, b = + 2i, c = 2i, d = i. (a) Sur un dessin, placer les points A, B, C et D. Calculer les modules des complexes a d, b d et b a. (c) Quelle est la nature du triangle ABD? (d) Déterminer l affixe du point E tel que AEBD soit un pallélogramme. (e) Démontrer qu il existe un cercle C passant par les quatre points A, E, B, D. Donner l affixe du centre de C et le rayon de C. Exercice 2 (5 points). Une roue de loterie est partagée en 20 secteurs identiques : Un secteur porte l inscription «00 e». Deux secteurs portent l inscription «50 e». Trois secteurs portent l inscription «20 e». Six secteurs portent l inscription «0 e». Huit secteurs portent l inscription «0 e». Un joueur mise 0 e puis fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s arrêter devant le repère. Le joueur touche la somme indiquée par l inscription du secteur se trouvant devant le repère.. n appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique d un joueur (gain algébrique = somme touchée mise). (a) Donner la loi de X. Calculer l espérance de X. (c) Calculer la variance de X. 2. L organisateur de la loterie souhaite que le jeu lui soit favorable. Il construit une nouvelle roue avec n secteurs identiques (n > 2). Cette roue comporte un secteur «00 e», deux secteurs «50 e», trois secteurs «20 e», six secteurs «0 e» et n 2 secteurs «0 e». n appelle Y la variable aléatoire donnant le gain algébrique avec cette nouvelle roue. (a) Donner la loi de Y. Calculer l espérance de Y. (c) Déterminer les valeurs n telles que le jeu soit favorable à l organisateur (c est à dire telles que E(Y ) < 0 ) Lycée de la Plaine de l Ain page /8

2 Exercice 3 (0 points).. Soit g la fonction définie sur ]0; + [ par : (a) Calculer g (x) et étudier son signe. Etudier les variations de g. g(x) = x ln(x) (c) i. A l aide de votre calculatrice, faire une conjecture sur le signe de la fonction g. ii. Démontrer cette conjecture à l aide de la question b. 2. Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f(x) = x ln(x) n notera C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. (a) Déterminer + f. Déterminer 0 f. (c) Montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à C. (d) La courbe C présente-t-elle une autre asymptote? (e) Montrer que pour tout x ]0; + [, on a : f (x) = g(x) x 3 (f) En utilisant le signe de g obtenu à la question c, dresser le tableau de variations de f. (g) Déterminer les coordonnées du point d intersection de la courbe C et de la droite D. (h) Etudier les positions relatives des courbes C et D. (i) Représenter C et D (respecter les unités imposées). 3. Soit H la fonction définie sur ]0; + [ par : H(x) = ( + ln(x)) x et h la fonction définie sur ]0; + [ par : h(x) = ln(x) (a) Démontrer que H est une primitive de h sur ]0; + [. Soit la partie du plan déitée par C, D et les droites d équation x = et x = e. i. Hachurer sur votre graphique ii. Calculer l aire A de Lycée de la Plaine de l Ain page 2/8

3 Corrigé Exercice.. Le discriminant est = ( 2) = 6 L équation a donc deux solutions dans C : 2. (a) x = b i 2a Par identification, il suffit d avoir : soit Et avec la question, on a : = 2 4i 2 = 2i et = x = + 2i (z 2) ( az 2 + bz + c ) = az 3 + (b 2a) z 2 + (c 2b) z 2c a = b 2a = 4 c 2b = 9 2c = 0 a = b = 2 c = 5 P (z) = 0 (z 2) ( z 2 2z + 5 ) = 0 z = 2 ou z 2 2z + 5 = 0 P (z) = 0 z = 2 ou z = 2i ou z = + 2i 3. (a) Représentation graphique : B D A C a d = 3 2 (3 ) 2 i 2 = + 2 b d = ( ) 2 i 2 = + 2 ( ) 2 0 = 2 2 ( ) = 2 2 b a = + 2i = = 5 (c) n a : AB = b a, BD = b d et AD = a d. D après la réponse précédente, ABD est isocèle en D. De plus : donc le triangle est également rectangle en D. AD 2 + BD 2 = = 5 = BA Lycée de la Plaine de l Ain page 3/8

4 (d) AEBD est un pallélogramme AE = DB z E z A = z B z D n a donc z E = z B z D + z A = b d + a = i. B E D A C (e) Le parallélogramme AEBD est un carré puisque les côtés consécutifs [DA] et [DB] sont de même longueur et perpendiculaires (cf question sur la nature du triangle ADB). Le point d intersection des diagonales est donc centre d un cercle passant par les quatre sommets. L affixe de ce centre est : ω = 2 (a + b) = i Le rayon du cercle est : B E r = 2 AB = 5 2 D I A C Exercice 2.. (a) (c) 2. (a) Valeurs x i P (X = x i ) = p i 20 = = = 0 20 E (X) = i p i x i = 6 ( ) V (X) = p i i (E(X)) 2 = = 584 i Valeurs y i n P (X = y i ) = p i n n n n n Lycée de la Plaine de l Ain page 4/8

5 E(Y ) = i p i y i = 0n n (c) Comme n > 0 : Soit E(Y ) < 0 0n n < 0 E(Y ) < 0 0n < 0 E(Y ) < 0 n > 32 Exercice 3.. (a) Pour tout réel x, g (x) = x Comme x ]0; + [, on a : 3 > 0 et 2 x > 0, donc g (x) > 0. Comme g > 0 sur ]0; + [, g est strictement croissante sur ]0; + [. (c) i. Avec la calculatrice, on obtient l allure graphique suivante : Il semble donc que la fonction g soit strictement négative sur ]0; [ et strictement positive sur ]; + [ et que g() = 0. ii. n constate aisément par le calcul que l on a effectivement g() = 0. Comme g est strictement croissante sur ]0; + [, on a : g(x) > g() pour x >, soit g(x) > 0 pour x ]; + [. g(x) < g() pour x <, soit g(x) < 0 pour x ]0; [. 2. (a) D après le thm des croissances comparées : Comme par ailleurs : on en déduit : Et d où x 0 x 0 ln(x) = = + ln(x) x + = 0 x = + x + f(x) = + x + ln(x) par produit : x 0 = x = x 0 0 f = Lycée de la Plaine de l Ain page 5/8

6 (c) r f(x) (x ) = ln(x) ln(x) x + = 0 donc la droite D d équation y = x est asymptote à C. (d) Comme 0 f =, l axe des ordonnées est asymptote à la courbe C. (e) f = u v w où u(x) = x, v(x) = ln(x), w(x) = x2 sont des fonctions dérivables sur ]0; + [. Donc f = u v w vw w 2, c est à dire : ou encore soit Pour x ]0; + [, f (x) = Pour x ]0; + [, f (x) = x x2 2x ln(x) x 4 x 2x ln(x) x 4 Pour x ]0; + [, f (x) = 2 ln(x) x 3 Pour x ]0; + [, f (x) = x3 + 2 ln(x) x 3 f (x) = g(x) x 3 (f) D après la question précédente, f est du signe de g, d où le tableau : x 0 + Signe de f (x) Variations de f (g) D où f(x) = x x ln(x) f(x) = x x = = x ln(x) = 0 (h) Donc C et D se coupent au point d abscisse et d ordonnée f() = 0. f(x) (x ) = ln(x) Pour x ]0; + [, f(x) (x ) est donc du signe de ln(x) : x 0 + Signe de f(x) (x ) + 0 Donc C est au-dessus de D pour x ]0; [ et en-dessous pour x ]; + [ Lycée de la Plaine de l Ain page 6/8

7 (i) Représentation graphique : 3. (a) H = uv avec u(x) = x et v(x) = + ln(x), donc u (x) = et v (x) = x. n a donc : H = u v + uv, c est à dire : i. donc H est une primitive de h sur ]0; + [. Pour x ]0; + [, H (x) = ( + ln(x)) + x2 x x = h(x) Lycée de la Plaine de l Ain page 7/8

8 ii. A = e ((x ) f(x)) dx = e ln(x) dx = H ( e ) H () A = ( ( ( )) + ln e + = + ) e e 2 ln (e) + soit A = 3 2 e Lycée de la Plaine de l Ain page 8/8