1. Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

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1 1. Démonstrtions du formulire de trigonométrie: 1.1. Formules d'ddition: ) cos : On sit que e ix =cos x i sin x cos x =R e ix Or cos =R e i On lors e i =e i e ib = cos isin cos b isin b = cos cos b sin sin b i sin b cos sin cos b cos =cos cos b sin sin b b) sin : De même, on sit que sin x =I e ix Or e i =cos cos b sin sin b i sin b cos sin cos b sin =sin cos b sin b cos c) cos b et sin b : Ici il suffit de remplcer b pr b On lors cos b =cos cos b sin sin b Or cos x =cos x et sin x = sin x cos b =cos cos b sin sin b De l même mnière on trouve: sin b =sin cos b sin b cos d) cos et sin : En utilisnt les formules précédentes, on remplce b pr On lors: cos =cos =cos cos sin sin =cos² sin² Schnt que cos² sin² =1 On peut églement dire que: cos =cos² 1=1 sin² On utilise le même risonnement pour sin et on obtient: sin =sin cos

2 e) tn tn b tn : sin x On sit que tn x = cos x sin tn = cos sin cos b sin b cos tn = cos cos b sin sin b On fctorise pr cos b u numérteur et u dénominteur et on simplifie pr cos b On simplifie les sin x cos x pr tn x sin tn b cos On obtient: tn = cos sin tn b On fctorise pr cos u numérteur et u dénominteur et on simplifie pr cos Ensuite on remplce les sin x cos x pr tn x On obtient: tn tn b tn = 1 tn tn b Pour obtenir tn b, on remplce b pr b dns l formule précédente tn tn b On obtient tn b = 1 tn tn b Or tn x = tn x donc: tn tn b tn b = 1 tn tn b Pour tn, on remplce b pr, on obtient: tn tn = 1 tn² 1.. Formules d'euler: On sit que: e ix =cos x i sin x et e ix =cos x i sin x e ix e ix =cos x et donc cos x = eix e ix De même: e ix e ix =isin x et donc sin x = eix e ix i

3 1.3. Formules de linéristion : ) cos cos b : On sit que cos b =cos cos b sin sin b et que cos =cos cos b sin sin b cos cos b =cos cos b Soit cos b cos cos cos b = b) sin sin b : De même cos b cos =sin sin b sin sin b = cos b cos c) sin cos b : Pour finir, on sit que sin =sin cos b sin b cos et que sin b =sin cos b sin b cos sin b sin =sin cos b sin b sin sin cos b = d) cos² : cos b cos On sit que cos cos b = On remplce b pr, on obtient: cos 0 cos cos² = e) sin² : soit cos² = 1 cos On sit que sin sin b = cos b cos, donc de l même mnière: sin² = 1 cos

4 f) tn² : sin tn = cos donc sin² tn² = cos² Soit tn² = 1 cos 1 cos 1.4. Formules de trnsformtion de somme en produit: ) cos cos b : cos b cos On sit que cos cos b = On remplce pr et b pr b On donc cos cos b cos = b cos b En simplifint, on obtient: cos b cos cos b cos = Soit cos cos b =cos b cos b) cos cos b : On sit que sin sin b = cos b cos On remplce pr et b pr b On donc sin cos b sin = b cos b Qu'on simplifie pour obtenir sin b cos b cos sin = cos cos b = sin b sin

5 c) sin sin b : sin sin b On sit que sin cos b = De l même mnière que les démonstrtions précédentes, on remplce pr et b pr b, on obtient lors: sin sin b =sin b cos d) sin sin b : De l même mnière que les démonstrtions précédentes, on trouve: sin sin b =cos b sin 1.5. Formules dites d rc moitié : ) cos x : On pose t=tn donc Or tn² x = 1 cos x 1 cos x 1 tn² 1 t² 1 t² = 1 tn² Alors 1 t² 1 t² = cos 1 cos 1 cos, on simplifie pr 1 cos On obtient lors: cos x = 1 t² 1 t² b) sin x : tn t 1 t² = 1 tn² =tn cos² cr 1 tn² x =cos² x

6 On donc: sin t 1 t² = cos² cos =sin cos =sin cr sin x =sin x cos x sin x = t 1 t² c) tn x : tn t 1 t² = 1 tn² Or tn x = tn x 1 tn² x tn x donc 1 tn² x = tn x On lors tn t 1 t² = tn tn tn = t 1 t² 1.6. Formule de Moivre: On sit que e ix n =e inx or e ix =cos x i sin x e ix n = cos x isin x n =e inx = cos nx isin nx cos x isin x n = cos nx isin nx 1.7. Formule d'ngle moitié: 1 cos On sit que cos² =, donc cos² =1 cos De plus, on sit que x² = x, donc cos = 1 cos De même, on sit que sin = 1 cos 1 cos sin² = et de l même mnière on prouve que:

7 On sit que tn x = sin x cos x on multiplie u numérteur et u dénominteur pr: cos x On obtient tn x = sin x cos x cos² x Schnt que sin =sin cos 1 cos et que cos² =, on simplifie l'expression précédente et on obtient: tn x = sin x 1 cos x 1.8. Autres Formules: cos x ei x =[cos x ][cos x isin x ]=cos² x isin x cos x Or cos² x = 1 cos x et sin x =sin x cos x cos² x isin x cos x =1 cos x isin x =1 eix e ix 1=cos x ei x isin x ei x =[isin x ][cos x isin x ]=icos x sin x sin² x On sit que sin =sin cos isin x ei x =isin x sin² x De plus, on sit que 1 cos sin² = On obtient lors isin x sin² x =isin x 1 cos x =eix 1 e ix 1=isin x ei x