La fonction f n est définie sur [1;3] f n est pas continue sur R. = lim(x a) lim
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- Oscar St-Denis
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1 Lcée Camille SEE I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim a f()= f(a). Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I. Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou) La fonction f est défine et continue sur R La fonction f n est définie sur [;3] f n est pas continue sur R La fonction f est défine sur R mais f n est pas continue en 3 THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. Si f est dérivable en a alors, f est continue en a. Démonstration Pour tout réel appartenant à I, a Par conséquent, lim f() f(a)= lim a a f() f(a)=( a) [ ( a) f() f(a) Or si f est dérivable en a alors, lim = f (a) a a donc si f est dérivable en a alors, f() f(a) a ] f() f(a) f() f(a) = lim( a) lim a a a a lim f() f(a)= lim ( a) a a f (a)=0 d où lim a f()= f(a), ce qui prouve que f est continue en a. CONSÉQUENCES On admettra les deu propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par eemple la fonction f définie sur R par f() = est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 7
2 Lcée Camille SEE II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES f(a) f(b) a k j 0 i f(a) f est continue sur [a;b] Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet une ou plusieurs solutions. b a k j f(b) 0 i f est définie sur [a;b] mais f n est pas continue sur [a;b] Il eiste des réels k compris entre f(a) et f(b) tels que l équation f() = k n admet pas de solution. b THÉORÈME (admis) Si f est une fonction continue sur un intervalle[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f()=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deu réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f()=k admet une solution unique c appartenant à [a;b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Eistence Par hpothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f()=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b].. Unicité Supposons que l équation f()=k admette deu solutions distinctes c et c appartenant à[a;b] Par hpothèse, f est strictement monotone sur[a;b] alors c c f (c ) f (c ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c )= f (c )=k Donc c = c, ce qui prouve que l équation f()=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES. Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] et f(a) f(b) < 0, alors l équation f() = 0 admet une solution unique dans [a;b]. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[,]a;b],]a;b[,[a;+ [,]a;+ [,] ;b] ou] ;b[ : si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace l image f(a) ou f(b) par la limite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est (ou + ) alors on considère la limite de f en (ou + ). A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 7
3 Lcée Camille SEE EXERCICE Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : f(). a) La fonction f est-elle continue sur] 3; + [? b) Donner un intervalle où f est continue mais pas monotone. c) Donner deu intervalles où f est continue et strictement monotone.. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f()=0. b) L équation f() = admet-elle une solution unique? 3. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f ()=0 peut avoir plusieurs solutions sur]5;+ [ b) f ( ) f (0) 0 c) f ( ) f (3) 0 4. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont eactes? a) lim f()= 3 b) lim f()= c) lim f()=+ d) lim f()= e) lim f()= EXERCICE Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle[ ;3] et vérifiant les informations données. f est continue et décroissante sur[ ;3], et l équation f()= admet une infinité de solutions dans[ ;].. f est continue sur [ ;3] n est pas monotone sur [ ;3], et l équation f()=0 admet une solution unique dans [ ;3]. 3. f est continue sur [ ;3] avec f( ) = 3, f(3) = et l équation f() = 0 admet deu solutions dans [ ;3]. 4. f n est pas continue sur [ ;3] et pour tout réel k compris entre f( ) et f(3) l équation f()=k admet une solution unique dans [ ;3]. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f()= On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier le signe de f (). c) Donner le tableau des variations de f.. Montrer que l équation f()=7, admet une solution unique α dans l intervalle[ 4; 3]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au diième près. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 7
4 Lcée Camille SEE EXERCICE 4 La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R O La représentation graphique permet-elle de déterminer le nombre de solutions de l équation f()=?. On admet dans cette question que l ensemble des solutions de l équation f ()=0 est S={0;4;6;8}. a) Si on suppose que f(6)= 53 quel est alors le nombre de solutions de de l équation f()=? 54 b) Si on suppose que f(6)= déteminer graphiquement une valeur approchée au diième près de chacune des solutions de l équation f() =. EXERCICE 5 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est eacte, déterminer laquelle.. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution.. Si f est une fonction continue sur[a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 3. Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et telle que l équation f()=0 admette une solution unique c dans [a; b] alors : a) f(a) et f(b) sont de signes contraires. b) Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone. c) Si la dérivée est de signe constant, alors f(a) f(b)<0. 4. Soit f une fonction continue sur I =[ ;3] et ne s annulant pas sur I. a) Pour tout réel a appartenant à I, f( ) f(a)>0. b) On peut avoir f( )+ f(3)=0. c) f est dérivable sur I. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 7
5 Lcée Camille SEE 5. Soit f une fonction dérivable sur I =[ ;] et telle que f( )=0, f( )= et f()=0. a) Il eiste un unique réel a appartennant à[ ;] tel que f(a)=. b) L équation f()= admet eactement deu solutions dans [ ;]. c) L équation f()= admet au moins deu solutions dans[ ;]. 6. Soit f la fonction définie sur R par f() = Sur l intervalle [ ;], l équation f()=0 admet : a) Eactement une solution. b) Eactement deu solutions. c) Eactement trois solutions. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur l intervalle[0;+ [ par : f()= On note f la dérivée de la fonction f, calculer f ().. On admet que f () 0 équivaut à [;+ [ a) Donner le tableau des variations de la fonction f. b) Montrer que l équation f()=3, admet une solution unique 0. Donner un encadrement de 0 à 0 près. EXERCICE 7 PARTIE A On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel de l intervalle]0 ;8] par : f()= 3 + et g()= Les courbes représentatives respectives C f et C g des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d intersection E.. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l intervalle ]0 ;8] l équation g()= f(). Pour cela, on considère la fonction h définie sur l intervalle]0 ;8] par h()=g() f(). a) Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l intervalle]0 ;8]. b) Démontrer que l équation h()=0 admet une solution unique 0 dans l intervalle]0 ;8]. c) À l aide de la calculatrice, déterminer l arrondi de 0 au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 7
6 Lcée Camille SEE C f E 6 4 O C g PARTIE B Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l offre et la demande d un produit : f() est la quantité, eprimée en milliers d articles, que les producteurs sont prêts à vendre au pri unitaire de centaines d euros ; g() la quantité, eprimée en milliers d articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au pri unitaire de centaines d euros. On appelle pri unitaire d équilibre du marché la valeur de pour laquelle l offre est égale à la demande.. Quel est, eprimé à l euro près, le pri unitaire d équilibre du marché?. Quel nombre d articles, (arrondi à la centaine d articles près), correspond à ce pri unitaire d équilibre? EXERCICE 8 PARTIE A Soit f la fonction définie sur [0;0] par f()= 3 + 9,5 + 6,5.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier les variations de la fonction f.. Montrer que l équation f()=0 admet deu solutions a et b dans [0;0] 3. Étudier le signe de f sur[0;0] PARTIE B Une entreprise produit milliers de pièces, étant un réel de [0;0]. Le coût total de production C, eprimé en milliers d euros, dépend de et est donné par l epression : C()= 0,53, A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 7
7 Lcée Camille SEE La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annee.. Le pri de vente d un article est de 8,50e. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale eprimée en milliers d euros est donnée par R()=8,5. a) Tracer sur le graphique joint en annee, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer la production 0 (arrondie au millier d articles près) pour laquelle le bénéfice est maimal.. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;0] par B()=R() C(). a) Calculer B (). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B. c) En déduire la production 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maimal? 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C T au point d abscisse 0. La tracer sur le graphique. ANNEXE 60 C T A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 7
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