Ondes mécaniques. 1. Corde vibrante Equation des cordes vibrantes Energie de la corde. θ +

Transcription

1 1 onds méaniqus Onds méaniqus 1 Cord vibrant 11 Equation ds ords vibrants Considérons un ord d longuur indéfini ( qui suppos qu il n y a pas d réflxion t don pas d onditions aux limits), dans ls hypothèss physiqus suivants : La stion d la ord st onstant, sa mass linéiqu st noté µ La tnsion d la ord T st onstant L poids d la ord st négligabl dvant la tnsion T La ord st sans raidur (n tout point, la tnsion st tangnt à la ord) L déplamnt longitudinal d un élémnt d ord st négligabl L déplamnt transvrsal y( x,t ) d un élémnt d longuur dx, a un ptit amplitud, t y x 1 y ( + dx) T x ( x dx) θ + T( x) θ( x) x x+dx Par appliation du prinip fondamntal d la dynamiqu à un élémnt d ord d longuur dx, on montr qu y ( x,t ) obéit à l équation ds ords vibrants : av : y 1 y =, x = T µ, la élérité ds onds transvrsals s propagant l long d la ord 1 Enrgi d la ord La ord possèd un énrgi inétiqu par unité d longuur : 1 y = µ,

2 Onds méaniqus t un énrgi potntill par unité d longuur : 1 y p = T x Onds sonors dans ls fluids 1 Equation unidimnsionnll ds onds sonors Considérons un tuyau ylindriqu d stion S, d longuur indéfini suivant un ax Ox, rmpli d un fluid non visquux A l équilibr, fluid st aratérisé par sa prssion p t sa mass volumiqu µ Faisons ls hypothèss physiqus suivants : Ls fors d psantur sont négligabls t µ st uniform, mêm hors équilibr L déplamnt longitudinal ξ d un tranh d fluid à l absiss x, st produit par ds prturbations plans d ptits amplituds La prssion du fluid à l absiss x st P = p + p, où la surprssion p p L approximation aoustiqu : V θ= = χ p, V av θ la dilatation t χ l offiint d omprssibilité adiabatiqu x x+dx ξ ξ ( x+ dx,t) En appliquant l prinip fondamntal d la dynamiqu à la tranh d fluid ompris ntr ls absisss x+ξ t x+ dx+ξ ( x+ dx,t), on montr qu la surprssion p( x,t ) t l déplamnt ξ x,t sont liés par la rlation : ( ) p = µ x ξ Puis dans l approximation aoustiqu : 1 ξ p = χ x La surprssion, l déplamnt t la vitss du déplamnt u = ξ t obéissnt à la mêm équation d propagation : p 1 p =, x ξ 1 ξ = x t u 1 u = x av :

3 3 onds méaniqus 1 = χµ la élérité ds onds sonors dans l fluid Onds sonors plans progrssivs La solution général d l équation d propagation pour l déplamnt ξ s érit : x x ξ = F t + G t + On n déduit la solution pour la vitss u = ξ t : av f = F' t g G' nous donn : 3 Enrgi aoustiqu x x u = f t + g t+, = L équation différntill rliant la surprssion p( x,t ) t l déplamnt ξ x x p =µ f t g t+ L fluid possèd un énrgi inétiqu par unité d volum : 1 = µ u, t un énrgi potntill par unité d volum : 1 p = χ p La dnsité volumiqu d énrgi st noté : ( ) ( ) ( ) x,t = x,t + x,t La puissan sonor st la puissan ds fors d surprssion Ell s érit : p P = p uds L vtur dnsité d flux sonor st définit par : S = p I u Il st équivalnt au vtur d Pointing π n éltromagnétism Il rprésnt la puissan transporté par unité d surfa Si n st l vtur unitair tl qu ds = n ds, on définit l intnsité sonor par la moynn tmporll :

4 Onds méaniqus 4 Ell s xprim n ( ) u( ) I= p x,t x,t n W / m L intnsité minimal déttabl st La onsrvation d l énrgi s xprim par l équation loal : divi + = L nivau sonor st définit par : 1 I = 1 W/m Il s xprim n déibls (db) I N= 1log I 4 Transmission t réflxion d un ond sonor à la surfa d séparation d dux miliux 41 Impédan aoustiqu l impédan aoustiqu st : ( ) ( ) p x,t Z = u x,t Ell xprim l rapport aus (surprssion) sur fft (vitss) Si g alors l impédan st onstant t vaut : Z =µ 41 Coffiints d réflxion t transmission n amplitud Ond inidnt Ond transmis x Ond réfléhi fluid 1 : Célérité 1 mass volumiqu µ 1 impédan Z 1 =µ 1 1 fluid : Célérité mass volumiqu µ impédan Z =µ Un ond plan harmoniqu inidnt arriv prpndiulairmnt sur la surfa d séparation ds miliux 1 t Ell donn naissan à un ond réfléhi t un ond transmis On ls not rsptivmnt : ξ ξ ξ i r t = ξ = ξ = ξ i r t i( ω t k1x ) i( ω+ t k1x ) i( ω t kx )

5 5 onds méaniqus av k1 =ω 1 t k =ω Ls prssions s déduisnt ds déplamnts par la rlation : ξ x ξ x p = Z t t+ Et l on obtint dans ls miliux 1 t : ξi pi = Z1 ξr pr = Z1 ξt pt = Z Sur la surfa d séparation il y a ontinuité ds déplamnts t ds prssions Ci s xprim par : ( x,t) ( x,t) ( x,t) + = ξ = +ξ = = ξ = i r t p x,t p x,t p x,t i r t On déduit ls offiints d réflxion t d transmission n amplitud : ξ Z Z r = = ξ Z + Z r 1 i 1 ξt Z1 t = = ξ Z + Z i 1 4 Coffiints d réflxion t transmission n énrgi Pour alulr la puissan transporté par unité d surfa, il st néssair d utilisr la notation réll pour xprimr ls déplamnts ξ i, ξ r t ξ t puis lur dérivé par rapport au tmps qui donnnt ls vitsss u, i u r t u t t ls surprssions p, i p r t p t Finalmnt, n tnant ompt d la projtion négativ d I r sur l ax Ox on obtint : ( ) = ω ξ ( ω ) ( ) = ω ξ ( ω + ) ( ) = ω ξ ( ω ) I x,t Z sin t k x i 1 i 1 I x,t Z sin t k x r 1 r 1 I x,t Z sin t k x t t Ls offiints d réflxion t transmission n énrgi sont définis par : Finalmnt on obtint : I x,t R = = r I x,t r i I x,t Z T = = I x,t Z t i 1 t

6 Onds méaniqus 6 Z1 Z R = Z1+ Z 4Z Z T = ( Z + Z ) 1 1 On vérifi qu il y a onsrvation d l énrgi, st à dir : R + T = 1