CH7 Géométrie : Produit scalaire et vectoriel de l espace

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1 CH7 Géométre : Prodt scalare et vectorel de l espace 3 ème Maths Mars 2010 A. LAATAOUI Rappels sr le prodt scalare dans le plan Soent et v dex vecters d plan. On appelle prodt scalare des vecters et v le nombre réel noté v défn de l ne des façons svantes : S et v sont non nls alors Λ v = v cos v,. Snon v = v = ( ) 2 + v v x x ' S y et v y dans n repère orthonormé d plan alors v = xx' + yy '. ' Extenson à l espace Défnton Soent et v dex vecters non nls de l espace. Soent A, B et C tros ponts tels qe = AB et v = AC Alors v = v cos BAC Λ ATTENTION : dans l espace, la noton d angle orenté de vecters n exste pas. Proprétés 1 REGLES DE CALCUL : por tos vecters, v et w et por tot réel, =. ; v = v ( v+ w) = ; ( ) v = ( v) v = ; v =. REMARQUES : Lorsqe = 1, on dt qe est ntare ; = 0, s et selement s, = 0. Actvtés 2 et 3 page 179. Proprétés 2 Por tos vecters et v de l espace, on a : v.. v v = v, s et selement s, et v sont + v. + v Orthogonalté et proecton orthogonale sr ne drote Théorème Dex vecters et v de l espace sont orthogonax s, et selement s,. 1 Prodt scalare et vectorel de l espace. 3 ème Maths

2 Défnton Sot D ne drote de l espace. On appelle proecton orthogonale sr D l applcaton q, à tot pont M de l espace, assoce le pont M ntersecton de la drote D et d plan perpendclare à D passant par M. On dt qe M est le proeté orthogonal de M sr D Proprété Soent A, B et C tros ponts tels qe A B. S H est le proeté orthogonal de C sr (AB) alors AB AC = AB AH Actvté 2 page 181. Expresson analytqe. L espace est mn d n repère orthonormé ( O,,, ) Soent et v dex vecters de coordonnées respectves ( xyz,, ) et ( ', ', ') orthonormée (,, ). v = ; Por tos ponts M ( xyz,, ) et '( x', y', z' ) Actvtés 3 et 4 pages 184. Applcatons d prodt scalare dans l espace Vecter normal à n plan x y z dans la base = M, MM ' =.. DEFINITION : Sot A n pont de l espace, n n vecter non nl et P n plan. On dt qe le vecter n est normal a plan P s la drote D ( An, ) est perpendclare à P. PROPRIETES : Un vecter non nl n est normal à P ( Av,, ), s et selement s, n = 0 et n v = 0. Dex vecters non nls n et n' sont normax à n même plan, s et selement s, ls sont.. Dex drotes sont orthogonales, s et selement s, lers vecters drecters respectfs sont Dex plans sont perpendclares, s et selement s, lers vecters normax respectfs sont... Actvtés 3 page 181 et 5 page 182. Exercce 11 page Prodt scalare et vectorel de l espace. 3 ème Maths

3 Prodt vectorel dans l espace Avant totes choses, nos avons beson dans ce paragraphe, d'orenter l'espace, c'est-à-dre dstnger les dex types de repères svants : Repère drect I J J I Repère ndrect Sot n observater se tenant debot, dans l'axe ( O, ), les peds en O et regardant le pont I. Un repère est dt "drect" s, l'observater à le pont J à sa gache. Il est dt "ndrect" dans le cas contrare. L'espace étant orenté, l est alors possble d'orenter tot plan de l'espace : Sot ( O,, ) ( O,, ) est n repère d'n plan P. Sot n vecter normal a plan P. On dra qe le repère drect dans P lorsqe le repère ( O,,, ) l'est dans l'espace : Repère d plan drect Les bases de l'espace o des plans s'orentent de la même façon qe les repères. Remarqe : Permter dex vecters change l orentaton d ne base. Actvté 1 page 185. Défnton On appelle prodt vectorel de dex vecters et v le vecter noté v défn par : Lorsqe et v sont colnéares : v = 0. Repère d plan ndrect Lorsqe et v sont non colnéares (et donc non nls) : Rappel : le vecter nl est colnéare à tot vecter. v est orthogonal à et v (drecton de v ) (, v, v ) est ne base drecte (sens de v ) v = v sn(, v ) (norme o longer de v ) 3 Prodt scalare et vectorel de l espace. 3 ème Maths

4 v v Cas des vecters colnéares : d'après la défnton, s et v sont colnéares alors v = 0. De pls, s et v sont non colnéares (et donc non nls), alors v 0 psqe 0, v 0 et (, v ) 0 (π). On pet donc énoncer la conséqence svante : et v sont colnéares s et selement s v = 0 Ce q sera parfos n crtère por savor s tros ponts sont algnés o non. Proprétés Antsymétre : v = ( v ). Blnéarté (lnéarté par rapport ax dex varables) : ( + v ) w = w + v w et (λ ) v = λ( v ) (lnéarté par rapport à la premère varable) ( v + w ) = v + w et (λ v ) = λ v (lnéarté par rapport à la seconde varable) Théorème Dans n repère orthonormé drect de l espace : S (x ; y ; z) et v ( x ; y ; z ) alors v (y z z y ; z x x z ; x y y x ) Nos admettrons ce théorème. Règle pratqe por calcler les coordonnées de v : On écrt sr ne lgne les coordonnées de en répétant, à la ste la premère et la seconde coordonnée. On procède de même avec v en crox svants : sr ne seconde lgne. Les coordonnées de v sont obtenes à l'ade des prodts x y z x y x y z x y Premère coordonnée : y z z y Dexème coordonnée : z x x z Trosème coordonnée : x y y x 4 Prodt scalare et vectorel de l espace. 3 ème Maths

5 Actvté 2 page 188. Applcatons d prodt vectorel Are d n trangle et d n parallélogramme : 1 Lorsqe ABC est n trangle, on a établt en dexème qe l are S de ABC est donné par : S = bcsn A 2 1 Ce q s écrt : S = AC AB sn BAC Are ( ABC) = 1 AB AC 2 2 De même en présence d n parallélogramme ABCD, on a : Are (ABCD) = AB AD. Actvté 3 page 188. Volme d n tétraèdre : Actvté 4 page Le volme d n tétraèdre ABCD est V = ( ) 6 BC BD BA Dstance d n pont à ne drote : Actvté 5 page 189. La dstance d n pont A à la drote ( D B, ) est d = AB 5 Prodt scalare et vectorel de l espace. 3 ème Maths