Université Paris Nord-Institut Galilée Année 2015/2016. Exercices

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1 Universié Paris Nord-Insiu Galilée Année 5/6 Mahémaiques pour l'ingénieur. Exercices Suies adjacenes e récurrenes, résoluion d'équaions non linéaires Exercice. Déerminer si les suies suivanes convergen (si possible préciser la limie) : ( ) n, an n! avec a >,, ( + n! n n )n, n ln( + n ), ( + n )n, n sin( n ). Exercice. (moyenne arihméique versus moyenne géomérique) Soien (a n ) e (b n ) deux suies dénies par : a = a, b = b e a n+ = a n b n, b n+ = an+bn ) Monrer que b n+ a n+ = ( a n b n). En déduire que n, b n a n. ) En déduire a n+ a n e b n+ b n. 3) Monrer que b n+ a n+ b n a n. 4) Que dire des suies (a n ) n, (b n ) n? Exercice.3 On s'inéresse à l'équaion x x = ) Déerminer ses racines. ) On cherche à approcher la racine posiive de l'équaion ci-dessus. Soi (u n ) la suie dénie par : u =, u n+ = + u n. Jusier que la suie es bien dénie. 3) Monrer par récurrence que (u n ) es croissane. 4) Monrer par récurrence que (u n ) es majorée par ) Déerminer sa limie. 6) On di que l'inervalle I es sable par f, si f(i) I. Que pensez vous de l'inervalle I = [, + 5] pour la foncion f(x) = + x. Monrer que si I es sable pour une foncion f, alors la suie dénie par u I, e u n+ = f(u n ) es elle que n N u n I. Redémonrer les résulas de, direcemen (i.e sans récurrence). Exercice.4 Soi (u n ) n, dénie par u [ 3, 6] e u n+ = 6 u n. ) Monrer que [ 3, 6] es sable par f : x 6 x. Monrer que (u n ) es bien dénie. ) Monrer que (u n ) end vers. 3) Représener graphiquemen la convergence de cee suie. Que dire des suies (u n ), (u n+ ) (on ne demande pas de jusicaion)? Exercice.5 On cherche à approcher la racine cubique d'un nombre a ], 3[. On pose f(x) = x 3 a. Vérier les hypohèses de convergence de la méhode de Newon e déerminer une suie qui converge vers a /3. Vérier les hypohèses de convergence de la méhode de la sécane e déerminer une suie qui converge vers a /3. Quelle es la meilleure suie donne la meilleure approximaion?

2 Séries numériques e séries enières. Suies e séries Exercice. Soi (u n ) la suie dénie par : u n = n + n + + n n + n Ecrire u n à l'aide du signe Monrer que pour ou k n, n+ n n+ k n. En déduire que la suie converge e déerminer sa limie. Exercice. Eudier la naure des séries n u n suivanes : ) u n = n sin(/n), ) u n = nn, 3) u n n = n ln( + / n) 4) u n = ( ) n, 5) un = cos( π n ), 6) u n = ( )n +n n +. Exercice.3 Un développemen de ln( + x) (*) : ) Monrer par récurrence que pour ou réel posiif x e pour ou enier naurel n : ) En majoran converge vers ln(). ln( + x) = x x n xn ( ) n + ( )n n d, monrer que la série de erme général : + u n = ( )n n n + d. 3) Redémonrer la convergence de la série en uilisan le crière spécial. La série converge -elle absolumen? Exercice.4 Comparaison séries-inégrales : Soi f une foncion de [, [ dans R +, décroissane e de limie nulle à l'inni. On déni la suie (u n ) n en posan : n u n = f(i). n+ ) Monrer que cee suie es croissane e vérie : f(x)dx u n f() + n f(x)dx ) Monrer que si ( n f(x)dx) n converge alors (u n ) n converge. 3) Démonrer que n k= k n 4) Démonrer que ( n k= ) k n converge. 5) Démonrer que ( n k= ) n+k n converge. i= Exercice.5 A l'aide du crière spécial, démonrer que la série de erme général convergene. Es-elle absolumen convergene? ( ) n 4n+ es

3 . Séries enières Exercice.6 Démonrer de deux façons diérenes que pour ou x, e x + e x = k x k (k)!. Exercice.7 ) Démonrer que = n= n pour ou ], [. En déduire le développemen en série enière de log( ), e de log( + ). ) Donner le rayon de convergence de la série enière n+ n, n+ monrer que n+ n= = n+ ln ( ) +. Déerminer la somme de la série suivane : x n n n+. Exercice.8 On s'inéresse aux séries enières n a nx n, où a n es de la forme : de la forme : x P (x) éan une foncion polynomiale. a n = P (n) n! ) Déerminer le rayon de convergence de n a nx n ) Soi m N, b,..., b m des réels. On considère P (x) = b + m k= b kx(x )...(x k + ). Déerminer la foncion f dénie par la somme de la série en erme des b k. f(x) = a n x n 3) Soi P (x) = 4x 4 + 5x 3 49x + 3x +. Déerminer b, b, b, b 3, b 4 els que n= P (x) = b + b x + b x(x ) + b 3 x(x )(x ) + b 4 x(x )(x )(x 3). Sommer la série suivane f(x) = n= P (n) xn n!. Exercice.9 Eudier les séries enières n 3 Inégrales 3. Inégrales sur un segmen x n n(n+), n Exercice 3. L'objecif es de calculer les inégrales suivanes : I = dx x +, J = x x + dx, K = x n n(n+)(n+). x + dx ) Soi f la foncion dénie sur [, ] par f(x) = ln(x+ x + ). Calculer sa dérivée, en déduire I. 3

4 ) Calcul de J e de K. a) Monrer que J + I = K. b) A l'aide d'une inégraion par paries poran sur K, monrer que K = 3 J c) En déduire les valeurs de J e de K. Exercice 3. ) Déerminer une primiive de sin à l'aide de la formule rigonomérique (à connaîre) : sin () = cos(). ) Soi a >, on cherche à calculer I = a a x dx. En eecuan le changemen de variable déni par x = a cos() pour [, π/], monrer que π/ I = a sin ()d. Jusier bien le changemen de variable (aenion aux bornes). 3) Déerminer la valeur de I. Exercice 3.3 Calculer : y ( x) dx, x y x + 3 x + dx, y dx x x (on posera x = sin u). Exercice 3.4 Soi f une foncion dénie e coninue sur [ r, r]. Monrer que : r ) Si cee foncion es paire, f(x)dx = r r f(x)dx. r ) Si cee foncion es impaire, f(x)dx = r 3) Calculer les inégrales : π cos x dx cos x dx x x dx Exercice 3.5 Calculer : I = π (a cos x + b sin x)dx ; J = π (a cos x + b sin x cos x + c sin x)dx ; Exercice 3.6 On considère la foncion f dénie par f(x) = cos d, avec π x π 4 4. a) En uilisan un changemen de variable, monrer que f es une foncion impaire. b) Monrer que si x π/4, f(x) x. Exercice 3.7 Calculer l'inégrale : π/ x sin(x)dx 3. Inégrales sur un inervalle quelconque 3.3 Inégrales, suies e séries Exercice 3.8 On considère l'inégrale I n = (x ) n dx. a) A l'aide d'une inégraion par paries, démonrer la formule de récurrence : I n = n I n+ n b) En déduire la valeur de I n 4

5 Exercice 3.9 Soi b. On éudie la naure de l'inégrale e de la série suivane : x ln b (x) dx, n ln b (n). Cee série es appelée série de Berrand. ) A l'aide du changemen de variable u = ln() monrer que du es nie si e seule- u ln b (u) men si b >. ) A l'aide d'une comparaison série-inégrale, monrer que n si b >. n converge si e seulemen n ln b (n) Exercice 3. En uilisan les sommes de Riemann, calculer les limies suivanes : n n lim, pour α, β >, lim n nα + kβ n n k n k= k= n ( ) kπ lim k sin. n n n k= Exercice 3. Soi a, monrer que la série : u n = n k= cos( ak sin a ), converge vers n a. Exercice 3. (La foncion de Lax) ) Démonrer que ln( x) = x n n= n. ) On appelle foncion de Lax, la foncion dénie par x n σ(x) = n. Déerminer le rayon de convergence de cee série enière, σ() e σ( ) son-ils bien dénis? n= 3) Monrer que σ (x) = ln( x) x pour ou x ], [. 4) Eudier l'inégrabilié de ln() au voisinage de. 5) Jusier l'équivalence ln( x) x e en déduire l'inégrabilié de ln( x) x de. au voisinage 6) Jusier à l'aide des quesions précédenes que ln( )/ es inégrable sur ],. 7) Soi c > e x > c. Monrer que c Jusier ln( c) ln(c) e lim c 8) Monrer les égaliés : c ln() d = ln( ) d = ln( c) ln(c) ln( x) ln(x) + c x c c ln() d = ln() d. ln( ) x d = En faisan endre c vers, en déduire la formule ln( ) c d σ(x) + σ( x) = σ() ln(a) ln( a). c ln() d. ln( ) d. 5

6 4 Séries de Fourier On rappelle que les coeciens de Fourier son dénis par a k = π π f(x) cos(kx)dx, b k = π π f(x) sin(kx)dx Exercice 4. p e q éan des eniers posiifs disincs, calculer les inégrales : I = π cos(px) cos(qx)dx ; J = π cos(px) sin(qx)dx ; K = π sin(px) sin(qx)dx. Exercice 4. (Dens de scie) On s'inéresse à la foncion π-périodique dénie sur [ π, π] par f(x) = x. ) Tracer l'allure de la foncion. Jusier que les b k son ous nuls. ) Monrer que a = π. ( ) n n. 3) Monrer que a n = π 4) A l'aide du héorème de Dirichle, déerminer la série de Fourier don la somme es f. Monrer que k= = π (k+) 8, en déduire la valeur de k=. k Exercice 4.3 (Sinus redressé) On s'inéresse à la foncion f(x) = sin(x). ) Tracer l'allure de la courbe ) Jusier que b k = pour ou k. Monrer que a = π, a =. 3) Soi j, calculer les inégrales π π sin(θ) cos((j + )θ)dθ, sin(θ) cos(jθ)dθ. On rappelle que sin(a) cos(b) = sin(a+b)+sin(a b). 4) Soi k impair, monrer que a k =. 5) Soi k pair, monrer que a k = 4 π( k ). 5) A l'aide du héorème de Dirichle, déerminer la série de Fourier don la somme es f. Jusier à l'aide des crières de séries numériques, que k que sa somme vau. 4k es convergene. Monrer Exercice 4.4 (Foncion parabolique) Monrer que la foncion π périodique don la resricion à [ π, π] es f(x) = x vérie f(x) = π k= ( ) k cos(kx). k 6