BACCALAURÉAT BLANC 2016 DE MATHÉMATIQUES SÉRIE STI2D TSTI2D

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1 Lycée l Oiselet Mardi 29 mars 201 BACCALAURÉAT BLANC 201 DE MATHÉMATIQUES SÉRIE STI2D Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES Coefficient : 4 TSTI2D Le candidat doit traiter les quatre eercices. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le barème est approimatif. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : ITEC ou EE. votre classe : Terminale STI2D1 ou Terminale STI2D2 ou... Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 5 pages. 1

2 Eercice 1 Le QCM! Eercice 2 PARTIE A 1 On a sur l intervalle 0,5 ; 25] : f () = = f () = 2( ). 2 Comme 0,5 > 0, le signe de f () est celui du numérateur qui est un trinôme. = 4 + = 100 = 10 2, donc ce trinôme a deu racines : = = 1 et 2 2 = = est un trinôme du second degré qui a pour racines 1 et 9 ; il a donc le signe de a = 1 à l etérieur des racines et celui de a à l intérieur. signe de Donc la fonction est strictement croissante sur l intervalle 0,5 ; 9] et strictement décroissante sur 9 ; 25]. f () Variations de f f (0.5) f (9) f (25) a. f (1) = 18 ln = 0. b. On a vu que sur 9 ; 25] et donc en particulier sur 18 ; 19], la fonction f est strictement décroissante de f (18) = 18ln = 18ln ,0 à f (19) = 18ln = 18ln Sur l intervalle 18 ; 19], la fonction f est continue car dérivable, strictement décroissante d une valeur supérieure à zéro à une valeur inférieure à zéro : il eiste donc un réel unique α de 18 ; 19] tel que f (α) = 0. La calculatrice donne : f (18) 1,0 et f (18,1) 0,9, donc 18 < α < 18,1 ; f (18,05) 0,07 et f (18,0) 0,1, donc 18,05 < α < 18,0. 2

3 18,05 < α < 18,0.Donc 18,05 est une valeur approchée par défaut de α à 10 2 près. c. On a le tableau de variations suivant : f () α Variations de f f (0.5) f (9) f (25) Signe de f On en déduit que f est positive sur 1 ; α] et négative ailleurs. 4 D après la question précédente il faut pour que l entreprise soit bénéficiaire qu elle produise entre 100 et 1 80, soit de 101 à panneau e correspondent à f () = 100 ; or on a vu que le maimum de f est f (9) 87, < 100. La réponse est non. PARTIE B 1 La primitive de la fonction est la fonction soit La fonction G définie sur l intervalle ]0 ; + par G() = ln est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l intervalle ]0 ; + ; donc une primitive de la fonction 18ln est la fonction 18( ln ) Donc une primitive F de la fonction f sur l intervalle 0,5 ; 25] est définie par : F() = 18( ln ) = 18 ln Soit B m la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l entreprise lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et panneau solaires. soit environ e B m = f () d = 1 17 F()]18 1 = 1 F(18) F(1)] 17 = 1 )] 18 18ln (1ln1 1) = 1 24ln ] 59,75 17

4 B m la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l entreprise lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et panneau solaires vaut B m = 1 24ln ] 59,75 soit environ e. 17 Eercice 5 points Dans le plan complee, on considère les points A,Bet C d affies respectives z A,z B et z C telles que z A = 2; π ],z B = z A et z C = z A 1 Déterminer la forme algébrique des nombres complees z A,z B et z C. z A = 2; π ] ( = 2 cos ( = 2 ( π ) 2 + i 1 2 = + i ( )) π + i sin ) z B z C = z A = i = z A = i z A = + i; z B = i; z C = i 2 Déterminer le module et un argument des nombres complees z B et z C. Comme z A = 2; π ] on déduit z B = z A = 2; π ], car si z = r;θ] alors z = r; θ] Forme trigonométrique de z C = i Module : z C = a 2 + b 2 = + 1 = 2 Argument : cosθ = a r = 2 sinθ = b r = 1 2 On déduit que θ = 7π z B = z A = 2; π ] z C = 2; 7π ] 4

5 ( a. Placer les points A,B et C dans un repère orthonormé O; u, ) v d unité 2 cm. b. Justifier que O est le milieu du segment AC]. On calcule l affie du milieu du segment AC] z I = 1 2 (z A + z C ) = 1 2 (z A z A ) = 0 = z O Donc O est le milieu du segment AC]. 4 Soit D le point d affie z D = + i a. Déterminer la forme trigonométrique de z D. Méthode directe : Module : z C = a 2 + b 2 = + 1 = 2 Argument : cosθ = a r = 2 sinθ = b r = 1 2 On déduit que θ = 5π z D = 2; 5π ] Avec les propriétés : Comme z C = 2; 7π ] on déduit z D = z C = 2; 7π ] = 2; 5π ], car si z = r;θ] alors z = r; θ] 5

6 b. Prouver que D est le symétrique de B par rapport à O. On calcule l affie du milieu du segment BD] z J = 1 2 (z B + z D ) = 1 2 ( i + i) = 0 = z O Donc O est le milieu du segment BD], et donc D est le symétrique de B par rapport à O. 5 a. Démontrer que AC = BD. AC = z C z A = i i = 2 2i = (2 ) = = 1 = 4 BD = z D z B = + i + i = 2 + 2i = (2 ) = = 1 = 4 Ainsi on a prouvé que AC = BD = 4 b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier. On a prouvé que O est le milieu du segment AC] et BD]. Donc ABCD est un parallélogramme de centre O. Méthode 1 : on utilise une propriété caractéristique du rectangle : AC = BD = 4, or un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle, donc ABCD est un rectangle. Méthode 2 : on calcule AB et BC et on utilise la propriété réciproque de Pythagore. AB = z B z A = i i = 2i = = 4 = 2 BC = z C z B = i + i = 2 = (2 ) = 12 = 2 On a alors AB 2 + AC 2 = = AC 2 Donc ABC est rectangle en B. ABCD est donc un parallélogramme ayant un angle droit c est donc un rectangle. c. Calculer l aire en cm 2 de ABCD. Aire(ABCD) = AB BC = 2 2 u.a. = 4 4 cm 2

7 Aire(ABCD) = 1 cm 2 Eercice 4 points L efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations,... ) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d affaires de 920 millions d euros dans les services énergétiques. Les résultats seront arrondis au million d euros près 1 Déterminer le chiffre d affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l année ( On calcule % 920 = ) = 1, = Le fournisseur ENERGIA devrait donc faire un chiffres d affaires de 9 millions d euros dans les services énergétiques pour l année On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons C n le chiffre d affaires, en million d euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l année n. 2 Eprimer C n+1 en fonction de C n. C n+1 = C n + 5%C ( n = Cn ) 100 = 1,05C n La suite (C n ) est donc géométrique de raison q = 1,05 de premier C 0 = 920. En déduire la nature de la suite (C n ) et donner ses éléments caractéristiques. Eprimer C n en fonction de n. Comme (C n ) est géométrique, on a C n = q n C 0 C n = 1,05 n a. Calculer la valeur du chiffre d affaires en = ; ainsi la valeur du chiffre d affaires en 2019 est C 5 = 1, ,18 7

8 La valeur du chiffre d affaires en 2019 est environ 1174,18 millions d euros. b. Quel est le pourcentage d augmentation du chiffre d affaires de 2014 à 2019? On donnera le résultat sous la forme p %, où p est arrondi à On peut par eemple faire un tableau de proportionnalité : , p On a donc = 1174, p 920(1 + p) = 1174, p = 1174, p = 1174, p 0,278 Le pourcentage d augmentation du chiffre d affaires de 2014 à 2019 est environ 27,8 %. 5 On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler. a. On considère l algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 1 afin que cet algorithme réponde à la question posée. 1 Variables 2 N : un nombre entier naturel C : un nombre réel 4 Initialisation 5 Affecter à N la valeur 0 Affecter à C la valeur Traitement 8 Tant que C < Affecter à N la valeur N Affecter à C la valeur C 1,05 11 Fin Tant que 12 Sortie 1 Afficher N b. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l année à partir de laquelle le chiffre d affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les millions d euros. Deu méthodes sont possibles : On programme la suite et on regarde la table de valeurs 8

9 On écrit et on eécute l algorithme Dans les deu cas, on conclut que le chiffre d affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d euros en c. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul. On résout C n 1840 C n ,05 n ,05 n 2 ln(1,05 n ) ln(2) nln(1,05) ln(2) n ln(2) ln(1,05) Or ln(2) 14,2, donc n 15 ln(1,05) en appliquant la fonction ln strictement croissante sur ]0;+ en divisant par ln(1,05) > 0 Le chiffre d affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d euros en Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l échelle européenne. Déterminer l année à partir de laquelle le chiffre d affaires va doubler. Notons Σ n le chiffe d affaires de l année n : On a Σ n+1 = Σ n + 10%Σ n = 1,1Σ n (Σ n ) est donc géométrique de raison 1,1 de premier terme Σ 0 = 920 ; ainsi Σ n = q n Σ 0 = 920 1,1 n Or Σ n ,1 n ,1 n 2 ln(1,1 n ) ln(2) nln(1,1) ln(2) n ln(2) ln(1,1) ln(2) 7,2, donc n 8 ln(1,1) en appliquant la fonction ln strictement croissante sur ]0;+ en divisant par ln(1,1) > 0 Le chiffre d affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d euros en