Résumé de cours de mathématiques. Quatrième

Transcription

1 1 Algèbre Résumé de cours de mthémtiques 1.1 Grndeurs et mesures Qutrième Conversions des longueurs Les longueurs sont exprimées en km, hm, dm, m, dm, cm ou mm Pour convertir une longueur dns une unité de longueur voisine, on déplce ses chiffres d un rng. Exemples : 31,522m=315,22dm ou 1,94hm=0,194km Vitesses Si V est une vitesse constnte en km/h, si D est l distnce prcourue en km et T le temps de prcours en h, on : V= D T et D=V T et T= D V Si l vitesse n est ps constnte, lors on peut définir l vitesse moyenne, en km/h : V= D T 1.2 Frctions Étnt donné deux nombres et b tels que b 0, b est le nombre dont le produit pr b est égl à. Ainsi : Lorsque et b sont deux entiers, b est une frction. Lorsque et b sont deux nombres quelconques, b est une écriture frctionnire. Lorsqu on multiplie le numérteur et le dénominteur d une frction pr un même nombre non nul, on obtient une frction qui lui est égle. b = k b k Exemple : 3 5 = = 6 10 Lorsqu on divise le numérteur et le dénominteur d une frction pr un même nombre non nul, on obtient une frction qui lui est égle. b = k b k 6 Exemples : 10 = = 3 5 Simplifier une frction c est trouver une frction égle qui s écrit vec un numérteur et un dénominteur plus petits. Exemple : = 5 6 Résumé de cours de mthémtiques 1/10

2 Pour dditionner (ou soustrire) deux écritures frctionnires de même dénominteur, on joute (ou on soustrit) les numérteurs. c b c = b et c c b c = b c Pour dditionner (ou soustrire) deux écritures frctionnires, on commence pr les mettre u même dénominteur. Pour multiplier deux écritures frctionnires, on multiplie les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux. b c d = c b d b = c b X d c d b = c <=> d =bc d 1 = 1 est l'inverse de L'inverse de b est b 1.3 Proportionnlité, échelles Définition : deux grndeurs sont proportionnelles si, lorsqu on multiplie l une pr deux, trois, qutre, etc., l utre se trouve églement multipliée pr deux, trois, qutre, etc. Lorsque deux grndeurs sont proportionnelles, on dit que l on une sitution de proportionnlité. On peut l représenter pr un tbleu de proportionnlité dns lequel on trouve les nombres d'une ligne en multiplint ou en divisnt les nombres de l'utre ligne pr un même nombre qu'on ppelle le coefficient de proportionnlité. Svoir utiliser une sitution de proportionnlité Règle 1 : «l règle de l multipliction et de l division» Exemple : une fbrique vend du cfé. Le prix de ce cfé est proportionnel à l msse chetée et 20 g coûtent 0,5. Clculons le prix de 200 g de cfé. Le prix de 20 g de cfé est 0,5. Comme 200=10 20, le prix de 200 g de cfé est 10 0,5 soit 5. Règle 2 : «l règle de l ddition» Exemple : clculons le prix de 220 g de cfé. Le prix de 20 g de cfé est 0,5, Le prix de 200 g de cfé est 5, Le prix de 220 g (20 g g) est donc 0,5 + 5 soit 5,5. Règle 3 : «le retour à l unité» Exemple : clculons le prix de 123,12 g de cfé. Le principe est simple : il consiste à clculer le prix d 1 g de cfé. Il suffit ensuite de multiplier ce prix «à l unité» ppelé coefficient de proportionnlité pr le nombre de grmmes de cfé pour obtenir le prix. Le prix de 20 g de cfé est 0,5, donc 1 g coûte 0,5 20 soit 0,025. Si l on veut lors clculer le prix de 123,12 g de cfé, on effectue 123,12 0,025 On trouve 3,078 Qutrième proportionnelle Définition : lorsque l on cherche à clculer le qutrième nombre dns un tbleux de Résumé de cours de mthémtiques 2/10

3 proportionnlité à deux lignes et deux colonnes, on dit que l on clcule une qutrième proportionnelle. On considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (x A ;y A ) (x B ;y B ) (x C ;y C ) (x D ;y D ). Propriété : si les points A, B, C et D sont lignés vec l origine du repère, lors le tbleu ci-dessus est un tbleu de proportionnlité. Propriété : Réciproquement, si le tbleu est un tbleu de proportionnlité, lors les points A, B, C et D sont lignés vec l origine du repère. Lorsqu on un mouvement uniforme, le temps écoulé et l distnce prcourue sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnlité est l vitesse. Notion d échelle Définition : Lorsque sur un pln les distnces sont proportionnelles ux distnces réelles, on dit que le pln est «à l échelle». Le coefficient de proportionnlité permettnt de psser des distnces réelles ux distnces sur le pln (exprimées vec l même unité) s ppelle l échelle du pln. Lorsque les dimensions du pln et celles de l rélité sont proportionnelles, l'échelle est longueur pln que quotient :, vec des longueurs exprimées dns l même unité. longueur réelle L'échelle est souvent exprimée sous l forme d'une frction dont le numérteur est Nombres reltifs Multipliction de deux nombres reltifs Le produit de deux nombres reltifs de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres reltifs de signes contrires est un nombre négtif. L distnce à zéro du produit de deux nombres reltifs est égle u produit des distnces à zéro des deux nombres. Cs prticuliers 1 = 1= ( 1)=( 1) = 0=0 =0 Dns un produit de nombres reltifs, les prenthèses peuvent être supprimées utour du premier nombre reltif et utour d'un nombre reltif positif noté sns le Multipliction de plusieurs nombres reltifs différents de zéro. Si le nombre de fcteurs négtifs d'un produit est pir, lors ce produit est positif. Si le nombre de fcteurs négtifs d'un produit est impir, lors ce produit est négtif. L distnce à zéro d'un produit est égle u produit des distnces à zéro de tous les Résumé de cours de mthémtiques 3/10

4 fcteurs Division de deux nombres reltifs Le quotient de deux nombres reltifs de même signe est un nombre positif. Le quotient de deux nombres reltifs de signes contrires est un nombre négtif. L distnce à zéro du quotient de deux nombres reltifs est égle u quotient des distnces à zéro des deux nombres. Cs prticuliers 1 = 1 = =1 = = 1 0 =0 0 n'existe ps! 1.5 Clcul littérl Développer un produit, c est le trnsformer en somme ou en différence. 5 (+ 3)=5 +15 Fctoriser une somme ou une différence, c est l trnsformer en produit =6( 2) On peut supprimer des prenthèses précédées d un signe «+». Exemple : 3+( x 3)+2=3+x 3+2 On peut supprimer des prenthèses précédées d un signe «-» en utilisnt l propriété «l opposé d une somme est l somme des opposés». Exemple : 3 (x 3)+2=3 x Puissnces Définition 0 =1 1 = n =... n fois 1 = 1 n = 1 n n n b =n b n n b =n b b n = n b n b n = n b n n b =n b Puissnce de dix 10 1 = = =0, b =10 b b =10 b 10 b =10 b Écriture scientifique 0,00418=4, =4, Résumé de cours de mthémtiques 4/10

5 1.7 Equtions-inéqutions Equtions Une éqution est une églité dns lquelle un nombre est inconnu. Ce nombre est souvent désigné pr l lettre x. Résoudre une éqution signifie trouver, s il en existe, l (ou les) vleur(s) du nombre inconnu qui rend(ent) l églité vrie. Toute vleur qui rend l églité vrie s ppelle une solution de l éqution. On ne chnge ps une églité si on joute ou si on soustrit à ses deux membres un même nombre. On ne chnge ps une églité si on multiplie ou si on divise ses deux membres pr un même nombre non nul. Premier degré à une inconnue exemple : 2x 3=0 Résolution : on fit l même opértion des deux côtés, cel ne chnge ps l'églité Inéqutions Premier degré à une inconnue Exemple : 2x 3 0 Résolution : on fit l même opértion des deux côtés, cel ne chnge ps l'inéglité suf si on divise ou si on multiplie pr un nombre négtif ; dns ce cs l'inéglité chnge de sens. Si on psse à l'inverse, cel dépend des signes initiux des nombres : Si les deux nombres sont de signe opposé, le sens de l'inéglité est conservé. Si les deux nombres sont de même signe, le sens de l'inéglité est inversé. 2 Géométrie plne 2.1 Tringles Cercle circonscrit à un tringle Propriété:les méditrices des trois côtés d un tringle se coupent en un même point : on dit qu elles sont concourntes. Ce point commun est le centre du cercle pssnt pr les trois sommets du tringle. On dit que ce cercle est le cercle circonscrit u tringle. Les huteurs d'un tringle sont concourntes en un point, noté H est ppelé orthocentre du tringle. Les médines qu'un tringle sont concourntes en un point, noté G ppelé centre de grvité du tringle. Il est situé ux deux tiers de chque médine. Les bissectrices d'un tringle sont concourntes en un point, noté I et ppelé centre du cercle inscrit à ce tringle. Si un tringle est rectngle, lors son cercle circonscrit pour dimètre son hypoténuse. Si un tringle est inscrit dns un cercle ynt pour dimètre l'un de ses côtés, lors ce tringle est rectngle et son hypoténuse est ce côté. 2.2 Distnces Soit une droite d et un point A n'pprtennt ps à d. Résumé de cours de mthémtiques 5/10

6 Le point de l droite le plus proche de A est le point H, pied de l perpendiculire à d pssnt pr A. L distnce AH est ppelée l distnce de d à A. 2.3 Angles Si un point pprtient à l bissectrice d'un ngle, lors il est équidistnt des cotés de cet ngle. Si un point situé entre les côtés d'un ngle sillnt est équidistnt des côtés de l'ngle, lors il pprtient à l bissectrice de cet ngle. 2.4 Périmètres et ires Les ires sont exprimées en km²,hm²,dm²,m² Pour convertir une ire dns une unité d ire voisine, on déplce ses chiffres de deux rngs. Exemples : 127,123dm²=1,27123hm² et 45,2545m²=4525,45dm² 2.5 Théorème des milieux dns un tringle Soit un tringle ABC et deux points I et J situés respectivement sur [ AB] et [ AC] Si I et J sont les milieux respectifs de [ AB] et [ AC], lors (IJ) et (BC) sont prllèles. De plus, IJ= BC 2 Réciproquement, si I est le milieu de [ AB] et si (IJ) et (BC) sont prllèles, lors I est ussi le milieu de [ AC]. 2.6 Théorème de Pythgore Si ABC est un tringle rectngle en A, lors BC 2 =AC 2 AB 2 Réciproquement, si BC 2 =AC 2 AB 2 lors ABC est un tringle rectngle en A. Clculer une longueur Lorsqu on sit qu un tringle est rectngle et que l on connît l longueur de deux côtés, lors on peut clculer l longueur du troisième côté. Montrer qu un tringle est rectngle Si on connît l longueur des trois côtés d un tringle, lors on peut montrer que ce tringle est rectngle. Montrer qu un tringle n est ps rectngle Si on connît l longueur des trois côtés d un tringle, lors on peut montrer que ce tringle n est ps rectngle. 2.7 Droite tngente à un cercle Soit un cercle C de centre O et un point H pprtennt u cercle. L tngente u cercle est l droite pssnt pr le point H et perpendiculire à l droite (OH). Un cercle C et l tngente (d) en un point H de ce cercle ont un seul point d'intersection, le point H, ppelée le point de contct du cercle et de l tngente. 2.8 Trigonométrie Dns le tringle ABC rectngle en A : Résumé de cours de mthémtiques 6/10

7 cos(^abc)= AC côté djcent = BC hypoténuse 2.9 Démontrer en géométrie Démontrer qu'un point pprtient à l méditrice d'un segment. Si un point est équidistnt des extrémités d'un segment, lors ce point pprtient à l méditrice de ce segment Démontrer qu'un point et le milieu d'un segment. Le milieu d'un segment est le point de ce segment qui est équidistnt de ses extrémités. Dire que deux points sont symétriques pr rpport à un troisième point signifie que ce troisième point est le milieu du segment constitué pr les deux premiers. Si une droite est l méditrice d'un segment, lors elle coupe ce segment en son milieu. Une médine d'un tringle est une droite qui psse pr un sommet et qui coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. Si un qudriltère est un prllélogrmme, lors ses digonles ont le même milieu. Si un segment est un dimètre d'un cercle, lors le centre de ce cercle et le milieu de ce segment Démontrer que trois points sont lignés Si trois points sont tels que leur ngle est plt, lors ces trois points sont lignés. Si trois points sont tels que leur ngle est nul, lors ces trois points sont lignés. Si deux droites prllèles ont u moins un point commun, lors elles sont confondues. Si un point est le milieu d'un segment, lors il pprtient à ce segment. Si un point B vérifie AB+BC=AC lors B pprtient à [AC] Si on trois points qui sont lignés, lors leurs symétriques pr rpport à une droite sont lignés. Si on trois points lignés, lors leurs symétriques pr rpport à un point sont lignés Démontrer que deux droites sont perpendiculires. Si deux droites sont prllèles et qu'une troisième droite est perpendiculire à l'une, lors elle est perpendiculire à l'utre. Si une droite est l méditrice d'un segment, lors elle est perpendiculire à ce segment. Une huteur d'un tringle est une droite qui psse pr un sommet et qui est perpendiculire à l droite portnt le côté opposé à ce sommet. Si un tringle est rectngle, lors les deux côtés de l'ngle droit sont perpendiculires. Si un qudriltère est un rectngle, lors deux côtés constitutifs de ce rectngle sont perpendiculires. Si un qudriltère est un losnge, lors ses digonles sont perpendiculires Démontrer que deux droites sont prllèles. Si deux droites sont prllèles à une même droite, lors elles sont prllèles. Si deux droites sont perpendiculires à une même droite, lors elles sont prllèles. Si deux droites coupées pr une sécnte déterminent deux ngles lternes-internes de même mesure, lors ces deux droites sont prllèles. Si deux droites coupées pr une sécnte déterminent deux ngles correspondnts de même mesure, lors ces deux droites sont prllèles. Un prllélogrmme est un qudriltère qui ses côtés opposés prllèles. Si deux droites sont symétriques pr rpport à un point lors elles sont prllèles. Résumé de cours de mthémtiques 7/10

8 2.9.6 Démontrer qu'une droite et l méditrice d'un segment. L méditrice d'un segment et l droite qui est perpendiculire à ce segment et qui coupe ce segment en son milieu. Dire que deux points distincts sont symétriques pr rpport à une droite signifie que l droite est l méditrice de ce segment. Si un point est équidistnt des extrémités d'un segment, lors ce point pprtient à l méditrice de ce segment Démontrer qu'une demi-droite est l bissectrice d'un ngle. L bissectrice d'un ngle est l demi-droite qui prtge cet ngle en deux ngles djcents de même mesure Démontrer que trois droites sont concourntes. Les trois méditrices d'un tringle sont concourntes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit u tringle. Les trois huteurs d'un tringle sont concourntes. Leur point de concours est l'orthocentre du tringle. Les trois médines d'un tringle sont concourntes. Leur point de concours est le centre de grvité du tringle Démontrer qu'un tringle est isocèle. Un tringle isocèle est un tringle qui deux côtés de même longueur. Si un tringle deux ngles de même mesure, lors c'est un tringle isocèle. Si un tringle un xe de symétrie, lors c'est un tringle isocèle Démontrer qu'un tringle est équiltérl. Un tringle équiltérl est un tringle qui ses trois côtés de même longueur. Si un tringle trois ngles de même mesure, lors c'est un tringle équiltérl. Si un tringle trois xes de symétrie, lors c'est un tringle équiltérl Démontrer qu'un tringle est rectngle. Un tringle rectngle est un tringle qui un ngle droit. Si un tringle deux ngles complémentires, lors c'est un tringle rectngle Démontrer qu'un qudriltère est un prllélogrmme. Un prllélogrmme est un qudriltère qui ses côtés opposés prllèles. Si les digonles d'un qudriltère ont le même milieu, lors ce qudriltère est un prllélogrmme. Si les côtés opposés d'un qudriltère non croisé ont l même longueur, lors ce qudriltère est un prllélogrmme. Si un qudriltère non croisé deux côtés opposés prllèles et de même longueur, lors c'est un prllélogrmme. Si un qudriltère non croisé un centre de symétrie, lors c'est un prllélogrmme Démontrer qu'un qudriltère est un rectngle. Si un qudriltère trois ngles droits, lors c'est un rectngle. Si un prllélogrmme ses digonles de même longueur, lors c'est un rectngle. Si un prllélogrmme un ngle droit, lors c'est un rectngle. Résumé de cours de mthémtiques 8/10

9 Démontrer qu'un qudriltère est un losnge. Un losnge est un qudriltère qui ses qutre côtés de même longueur. Si un prllélogrmme ses digonles perpendiculires, lors c'est un losnge. Si un prllélogrmme deux côtés consécutifs de même longueur, lors c'est un losnge Démontrer qu'un qudriltère est un crré. Un crré est un qudriltère qui est à l fois un rectngle et un losnge Démontrer que des segments ont l même longueur. Si un point est le milieu d'un segment, lors il est équidistnt des extrémités de ce segment. Si deux points pprtiennent à un même cercle, lors ils sont équidistnts du centre de ce cercle. Un tringle isocèle est un tringle qui deux côtés de même longueur. Un tringle équiltérl est un tringle qui ses trois côtés de même longueur. Si un point pprtient à l méditrice d'un segment, lors il est équidistnt des extrémités de ce segment. Un losnge est un qudriltère qui ses qutre côtés de même longueur. Si un qudriltère est un prllélogrmme, lors ses côtés opposés ont l même longueur. Si un qudriltère est un rectngle, lors ses digonles ont l même longueur. Si deux segments sont symétriques pr rpport à une droite, lors ils ont l même longueur. Si deux segments sont symétriques pr rpport à un point, lors ils ont l même longueur Démontrer que des ngles ont l même mesure. L bissectrice d'un ngle et l demi-droite qui prtge cet ngle en deux ngles djcents de même mesure. Si un tringle est isocèle, lors ses ngles à l bse ont l même mesure. Si un tringle est équiltérl, lors chcun de ses trois ngles mesure 60. Si deux ngles sont opposés pr le sommet, lors ils ont l même mesure. Si deux droites prllèles sont coupées pr une séquence, lors les ngles lternesinternes qu'elles déterminent ont l même mesure. Si deux droites prllèles sont coupées pr une sécnte, lors les ngles correspondnts qu'elles déterminent ont l même mesure. Si un qudriltère est un prllélogrmme, lors ses ngles opposés ont l même mesure. Si deux ngles sont symétriques pr rpport à une droite, lors ils ont l même mesure. Si deux ngles sont symétriques pr rpport à un point, lors ils ont l même mesure. L somme des mesures des ngles d'un tringle est égle à 180. Si un tringle est rectngle, lors ses ngles igus sont complémentires. Si un qudriltère est un prllélogrmme, lors ses ngles consécutifs sont supplémentires. 3 Géométrie dns l'espce 3.1 Les solides Les volumes sont exprimées en km³,hm³,dm³,m³ Pour convertir un volume dns une unité de volume voisine, on déplce ses chiffres de trois rngs. Exemple : 123,4567 km 3 =123456,7 hm 3 Résumé de cours de mthémtiques 9/10

10 3.2 Pyrmides Une pyrmide est un solide composé : d'une fce polygonle, ppelée l bse de l pyrmide de fces tringulires, ppelées les fces ltérles de l pyrmide. Les fces ltérles ont un sommet commun, ppelé le sommet de l pyrmide. L huteur d'une pyrmide de sommet S est le segment [SH], où H est le point d'intersection de l bse de l pyrmide et de l droite perpendiculire à cette bse pssnt pr le sommet S. On ppelle ussi huteur de l pyrmide l longueur SH. Une pyrmide est régulière lorsque : s bse est un polygone régulier, ce qui signifie que ses côtés ont l même longueur et ses ngles ont l même mesure, donc qu'il est pr conséquent inscrit dns un cercle ; s huteur psse pr le centre du cercle circonscrit à l bse. Les fces ltérles d'une pyrmide régulière sont des tringles isocèles superposbles. Le volume d'une pyrmide est égl u tiers du produit de l'ire de s bse pr s huteur. V = 1 ire de lbse huteur Cônes Un cône de révolution est un solide composé : d'un disque, ppelé l bse du cône ; d'une portion de disque ppelée l surfce ltérle du cône, dont le centre est le sommet du cône et qui est enroulée utour de l bse. L droite pssnt pr le sommet S d'un cône de révolution et le centre O de s bse est ppelée l'xe du cône. Cette droite est perpendiculire à l bse. Le volume d'un cône de révolution est égl u tiers du produit de l'ire de s bse pr s huteur. V = 1 ire de lbse huteur 3 4 Sttistiques et probbilités 4.1 Sttistiques L popultion est l'ensemble des individus sur lesquels porte l'étude sttistique. L'effectif d'une donnée dns une série sttistique est le nombre de fois où cette donnée pprît. L effectif totl est l somme des effectifs de toutes les vleurs. Le crctère d'une série sttistique est l propriété étudiée sur chque individu. Il porte ussi le nom de vrible sttistique. L fréquence f d'une vleur d'un crctère est l proportion d'individus ynt cette vleur de crctère f i = n i N, où n i est l'effectif de l vleur du crctère et N l'effectif totl. Soit une série sttistique dont les vleurs du crctère sont x 1, x 2,..., x k et n 1,n 2,...,n k les effectifs ssociés. L moyenne pondérée de l série sttistique, notée x, pour vleur : x= n 1 x 1 n 2 x 2... n k x k n 1 n 2... n k = f 1 x 1 f 2 x 2... f k x k (si f i est l fréquence de l vleur x i ) Si tous les n i vlent 1 on prle de moyenne. Résumé de cours de mthémtiques 10/10